新教材2023高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示分層演練新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.在空間直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,-2,11),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,2,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(6,-1,4),則△ABC一定是()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析:因?yàn)锳B=(3,4,-8),AC=(5,1,-7),BC=(2,-3,1),所以|AB|2=32+42+(-8)2=89,|AC|2=52+1+(-7)2=75,|BC|2=22+(-3)2+1=14,所以|AC|2+|BC|2=|AB|2答案:C2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D為BB1的中點(diǎn),則異面直線C1D與A1C所成角的余弦值為()A.105 B.257 C.1515解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)C1的坐標(biāo)是(0,1,2),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1,0,1),點(diǎn)A1的坐標(biāo)是(0,0,2),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,1,0).所以C1D=(1,-1,-1),A1C所以cos<C1D,A1C>=C1D·A答案:C3.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則向量AB與AC的夾角等于60°.解析:由題意,得AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),所以cos<AB,AC>=AB·AC|AB||故AB與AC的夾角為60°.4.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求△ABC的面積;(2)求△ABC中AB邊上的高.解:(1)由已知,得AB=(1,-3,2),AC=(2,0,-8),所以|AB|=1+9+4=14,|AC|=4+0+64=217,AB·AC=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,所以cos<AB,AC>=AB·AC|所以sin<AB,AC>=1-734所以S△ABC=12|AB|·|AC|·sin<AB,AC>=12×14×217×2734=(2)設(shè)AB邊上的高為CD,則CD=2S△ABC|即△ABC中AB邊上的高為36.B級(jí)能力提升5.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),若OA+λOB與OB的夾角為120°,則λ的值為()A.±66B.66C.-66解析:因?yàn)镺A=(1,0,0),OB=(0,-1,1),所以O(shè)A+λOB=(1,-λ,λ),所以(OA+λOB)·OB=λ+λ=2λ,|OA+λOB|=1+(-λ)2+λ2=所以cos120°=2λ2×1+2λ2=-12又因?yàn)?λ2×1+2λ2答案:C6.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,有一棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1,A1C的中點(diǎn)E到AB的中點(diǎn)F的距離為()A.2a B.22a C.a D.1解析:由題意,得Fa,a2,0,A1(a,0,a),C(0,a則|EF|=a-a2答案:B7.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(-∞,-2).解析:由題意,得a,b的夾角不可能為180°,a·b=2x-2×3+2×5=2x+4.設(shè)a,b的夾角為θ,因?yàn)棣葹殁g角,所以cosθ=a·b|a||b|<0.又因?yàn)閨a|>0,|b|>0,所以a·b<0,即2x+4<0,所以x<-2,即實(shí)數(shù)x8.在空間直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知M1(2,5,-3),M2(3,-2,-5),若在線段M1M2上存在一點(diǎn)M滿足M1M2=4MM2,解析:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y,z),則M1M2=(1,-7,-2),MM2=(3-x,-2-y,因?yàn)镸1M2=所以1=4(3所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為114所以O(shè)M=1149.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱長(zhǎng)都是2,M是BC的中點(diǎn),在棱CC1上是否存在點(diǎn)N,使得異面直線AB1和MN所夾的角等于45°?并說(shuō)明理由.解:不存在.理由如下:以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意,知A(0,0,0),C(0,2,0),B(3,1,0),B1(3,1,2),M32因?yàn)辄c(diǎn)N在CC1上,所以設(shè)點(diǎn)N(0,2,m)(0≤m≤2),則AB1=(3,1,2),MN=所以|AB1|=22,|MN|=m2+1,AB1·如果異面直線AB1和MN所夾的角等于45°,那么向量AB1和MN的夾角等于45°或因?yàn)閏os<AB1,MN>=AB所以2m-122×m2+1=±22,所以在CC1上不存在點(diǎn)N,使得異面直線AB1和MN所夾的角等于45°.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多選題若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),則()A.cos<a,b>=-25 B.a⊥C.a∥b D.|a|=|b|解析:因?yàn)橄蛄縜=(1,2,0),b=(-2,0,1),所以|a|=5,|b|=5,a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,cos<a,b>=a·b|a||可得A,D兩項(xiàng)正確,B,C兩項(xiàng)顯然不正確.答案:AD11.多選題正方體A1B1C1D1-ABCD的棱長(zhǎng)為2,M為B1C1的中點(diǎn),下列命題中是真命題的是()A.AB1與BC1成60°角B.若CN=13NC1,面A1MN交CD于點(diǎn)EC.若P點(diǎn)在正方形ABB1A1邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且MP⊥DB1,則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)等于2D.若點(diǎn)E,F分別在DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,直線EF與AD1,A1D解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).對(duì)于選項(xiàng)A,AB1=(0,2,-2),BC1=(cos<AB1,BC1>=AB所以AB1與BC1成60°角,所以選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)镃N=13NC1,所以點(diǎn)N0,2,32.設(shè)點(diǎn)E(0,m,2),則A1M=(-1,2,0).A1N=-2,2,32,所以?λ,μ∈R,使得A1M=λA1得-1=-所以E0,43,2,所以CE=0,-23,0對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)P(2,y,z),則MP=(1,y-2,z),DB1=(2,2,由MP·DB1=2+2y-4-2z=0,得y-z=所以點(diǎn)P的軌跡為面AA1B1B內(nèi)滿足y-z=1的點(diǎn)構(gòu)成的線段,長(zhǎng)度為2,所以選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別在DB1,A