專題27 涉及圓的證明與計(jì)算問題【無答案】

專題27涉及圓的證明與計(jì)算問題圓的證明與計(jì)算是中考必考點(diǎn)，也是中考的難點(diǎn)之一?？v觀全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷，能夠看出，圓的證明與計(jì)算這個(gè)專題內(nèi)容有三種題型：選擇題、填空題和解答題。一、與圓有關(guān)的概念1．圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。2．圓心角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。3.圓周角：頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊分別與圓相交的角叫做圓周角。

4.外接圓和外心：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。5．若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。6.和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。內(nèi)心是三角形三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。二、與圓有關(guān)的規(guī)律1.圓的性質(zhì)：（1）圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；（2）圓具有軸對(duì)稱性；（3）圓具有中心對(duì)稱性。2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。3．推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．4．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。5.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．6．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．7．圓內(nèi)接四邊形的特征①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；②圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。三、點(diǎn)和圓、線和圓、圓和圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系①點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑②點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑③點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑2.直線與圓有3種位置關(guān)系如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么①直線和⊙O相交；②直線和⊙O相切；③直線和⊙O相離。3．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，兩個(gè)圓的圓心距，則：兩圓外離；兩圓外切；兩圓相交；兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含四、切線的規(guī)律1.切線的性質(zhì)（1）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。2.切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。3.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，并且圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。四、求解圓的周長(zhǎng)和面積的公式設(shè)圓的周長(zhǎng)為r，則：求圓的直徑公式d=2r2.求圓的周長(zhǎng)公式c=2πr3.求圓的面積公式s=πr2五、解題要領(lǐng)1.判定切線的方法（1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點(diǎn)）；②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.2.與圓有關(guān)的計(jì)算計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：（1）構(gòu)造思想：①構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng)）；③構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；④構(gòu)造勾股定理模型；⑤構(gòu)造三角函數(shù).（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。3.攻克典型基本模型圖是解決圓的所有難題的寶劍類型1圖形：（1）如圖1,AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E、C是⊙O上的兩點(diǎn).基本結(jié)論有：在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切線”三個(gè)論斷中，知二推一。如圖2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如圖（4）：若CK⊥AB于K，則：①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD?AB（4）在(1)中的條件①、②、③中任選兩個(gè)條件，當(dāng)BG⊥CD于E時(shí)（如圖5），則：①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD?BG==DC2類型2圖形：如圖：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。點(diǎn)O是AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑作⊙O交AC于點(diǎn)E，基本結(jié)論有：（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切線”;“BD=BC”。四個(gè)論斷中，知一推三。（2）①G是⊿BCD的內(nèi)心；②；③⊿BCO∽⊿CDEBO?DE=CO?CE=CE2；（3）在圖（1）中的線段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如圖（3），若①BC=CE，則：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5；（在①、②、③中知一推二）④設(shè)BE、CD交于點(diǎn)H，,則BH=2EH類型3圖形：如圖：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB為直徑作⊙O交AC于D，基本結(jié)論有：如圖：（1）DE切⊙OE是BC的中點(diǎn)；（2）若DE切⊙O，則：①DE=BE=CE；②D、O、B、E四點(diǎn)共圓∠CED=2∠A③CD·CA=4BE2,圖形特殊化：在（1）的條件下如圖：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；如圖：若DE的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AB=BF，則：① ;②類型4圖形：如圖，⊿ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，基本結(jié)論有：（1）DE⊥ACDE切⊙O；（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是的中點(diǎn)。④與基本圖形1的結(jié)論重合。⑤連AD，產(chǎn)生母子三角形。類型5圖形：以直角梯形ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于Ｅ，基本結(jié)論有：（1）如圖1：①AD+BC＝CD；②∠COD=∠AEB=90°；③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切線”四個(gè)論斷中，知一推三）④AD·BC＝2=R2；（2）如圖2，連AE、CO，則有：CO∥AE，CO?AE=2R2(與基本圖形2重合)（3）如圖3，若EF⊥AB于F，交AC于G，則：EG=FG.類型6圖形：如圖：直線PR⊥⊙O的半徑OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直線PQ于R?；窘Y(jié)論有：（1）PQ=PR(⊿PQR是等腰三角形)；（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2類型7圖形：如圖，⊿ABC內(nèi)接于⊙O，I為△ABC的內(nèi)心?；窘Y(jié)論有：（1）如圖1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；③∠AIB=90°+∠ACB;（2）如圖2，若∠BAC=60°，則：BD+CE=BC.類型8圖形：已知，AB是⊙O的直徑，C是中點(diǎn)，CD⊥AB于D。BG交CD、AC于E、F?；窘Y(jié)論有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是中點(diǎn))（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF（3）BE·BG=BD·BA（4）若D是OB的中點(diǎn)，則：①⊿CEF是等邊三角形；②【例題1】（2020?武漢）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是（）A．523 B．33 C．32【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019?山東省聊城市）如圖，BC是半圓O的直徑，D，E是上兩點(diǎn)，連接BD，CE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)A，連接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度數(shù)為（）A．35° B．38° C．40° D．42°【例題2】（2020?牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足為M，連接OA．若△AOM中有一個(gè)角是30°，OM＝23，則弦AB的長(zhǎng)為．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019安徽)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為．【例題3】（2020貴州黔西南）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請(qǐng)研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使BC＝OB，點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn)，DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，PE，PC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個(gè)確定的值．回答這個(gè)確定的值是多少？并對(duì)小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019?湖北十堰）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CDE＝∠BAC．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半徑．一、選擇題1．（2020?宜昌）如圖，E，F(xiàn)，G為圓上的三點(diǎn)，∠FEG＝50°，P點(diǎn)可能是圓心的是（）A．B．C．D．2．（2020?營(yíng)口）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．110° B．130° C．140° D．160°3．（2020?荊門）如圖，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．14° B．28° C．42° D．56°4．（2020?臨沂）如圖，在⊙O中，AB為直徑，∠AOC＝80°．點(diǎn)D為弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn)．則∠CED的大小可能是（）A．10° B．20° C．30° D．40°5．（2020?內(nèi)江）如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（2020?湖州）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°7．（2020?泰安）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長(zhǎng)為（）A．4 B．43 C．8338．（2020?嘉興）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，將△ABC繞它的外心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C'，則它們重疊部分的面積是（）A．23 B．343 C．39．（2020?隨州）設(shè)邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為h、r、R，則下列結(jié)論不正確的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r=34a D．R10．（2020?涼山州）如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于⊙O，則AD：AB＝（）A．22：3 B．2：3 C．3：2 D．3：22二、填空題11．（2020?黑龍江）如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠ADB＝°．12．（2020?無錫）已知圓錐的底面半徑為1cm，高為3cm，則它的側(cè)面展開圖的面積為＝cm2．13．（2020?湖州）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，則CD與AB之間的距離是．14．（2020?棗莊）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，線段PO交⊙O于點(diǎn)C．連接BC，若∠P＝36°，則∠B＝．15．（2020?連云港）用一個(gè)圓心角為90°，半徑為20cm的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓半徑為cm．16.（2019?南京）如圖，PA.PB是⊙O的切線，A.B為切點(diǎn)，點(diǎn)C.D在⊙O上．若∠P＝102°，則∠A+∠C＝．17.（2019山東東營(yíng)）如圖，AC是⊙O的弦，AC=5，點(diǎn)B是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=45°，若點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則MN的最大值是____________．18.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，點(diǎn)D在圓上，且∠ADC＝30°，則∠AOB的度數(shù)為________．19.山東濟(jì)寧模擬為Rt△ABCACOC⊙O與邊AB切點(diǎn)D，交OA點(diǎn)E，知BC＝，AC＝3．圖陰分的積是．20.（2019?湖北省鄂州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（3，4），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．點(diǎn)A、B在x軸上，且OA＝OB．點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝90°，則AB長(zhǎng)度的最大值為．三、解答題21.（2020?咸寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)A為半徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作半圓O的切線DF，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圓O的半徑長(zhǎng)．22．（2020?懷化）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使CD＝CA，且∠D＝30°．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）分別過A、B兩點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點(diǎn)，過C點(diǎn)作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G．求證：CG2＝AE?BF．23．（2020?銅仁市）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，CE⊥AB于點(diǎn)E，D是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BCE＝∠BCD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝8，BECE=124．（2020?溫州）如圖，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且在直徑AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)E，G是AC上一點(diǎn)，∠ADC＝∠G．（1）求證：∠1＝∠2．（2）點(diǎn)C關(guān)于DG的對(duì)稱點(diǎn)為F，連結(jié)CF．當(dāng)點(diǎn)F落在直徑AB上時(shí)，CF＝10，tan∠1=25，求⊙25．（2020?衢州