2022屆 一輪復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 新高考版第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

第一章集合與常用邏輯用語、不等式

第一節(jié)集合

核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向

1.與方程、函數(shù)、不等式等相結(jié)合考查集合元素的性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.與不等式相結(jié)合考查集合的基本關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.與不等式、數(shù)軸、Venn圖等相結(jié)合考查集合的運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核

心素養(yǎng).

基礎(chǔ)-在微點(diǎn)清障中全面落實(shí)

［理清主干知識(shí)］

1.集合的有關(guān)概念

(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

(2)集合與元素的關(guān)系：若。屬于集合A,記作若〃不屬于集合A,記作挺A.

⑶集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)五個(gè)特定的集合:

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

表示

文字語言記法

關(guān)系

集合4中任意一個(gè)元素都是集合B中

子集AU8或514

的元素

集合A是集合8的子集，并且B中

集合間的真子集A8或5A

至少有一個(gè)元素不屬于A

基本關(guān)系

集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中

相等的元素，集合B中的每一個(gè)元素也都

是集合A中的元素

空集是任何集合的子集0QA

空集

空集是任何非空集合的真子集08且

3.有限集的子集個(gè)數(shù)

設(shè)集合A是有"("GN")個(gè)元素的有限集，即card(4)=〃.

(1)4的子集個(gè)數(shù)是2"；

(2)4的真子集個(gè)數(shù)是2"-1；

（3）4的非空子集個(gè)數(shù)是2"-1；

（4）4的非空真子集個(gè)數(shù)是2"-2.

4.集合的三種基本運(yùn)算

\符號(hào)表示圖形表示符號(hào)語言

集合的4U5={x|xeA,或xe

ADB

并集QE坨

集合的An5={x|xGA,且xe

AHB

交集以

集合的若全集為U,則集合A的

CuA-{xlxeu,且遙4}

補(bǔ)集補(bǔ)集為［以

5.集合基本運(yùn)算的性質(zhì)

(1)4AA=A,A(10=0.

(2)AUA=A,AU0=4.

(3)Ar)CM=0,AUCU4=D，CI/(CCA)=A.

(4)AUBOA0B=A^AU5=80［以21MSAD(［d?)=0.

［澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)］

一、關(guān)鍵點(diǎn)練明

1.（集合的表示）已知集合4={（*,力長+）2在3,*2乙yCZ},則A中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.8

C.5D.4

答案：A

2.(并集與交集的運(yùn)算)設(shè)集合4={-1,1,2,3,5},3={2,3,4},C={xGR|lWx<3},則(AClC)

UB=()

A.{2}B.{2,3}

C.{-1,23}D.{1,2,3,4)

答案：D

3.(全集與補(bǔ)集的運(yùn)算)設(shè)全集為R,集合A={x|0vx<2},B={x|x<l},則40(品8)=

()

A.{x［0<xWl}B.{x|0<x<l}

C.{x|lWx<2}D.{x|0<x<2}

答案：C

4.(相等集合)設(shè)集合M={l,x,y},N={x,x2,xy},且M=N,則x202l+j202n=.

答案：一1

二、易錯(cuò)點(diǎn)練清

1.（忽視元素的互異性）已知集合4={1,3,洞，5=口，m},若5GA,則,〃=（）

A.1B.0或1或3

C.0或3D.1或3

解析：選C由得m=3或in=Fi,

M得/n=0或，”=1,

由集合元素的互異性知m^l.：.m=O或3.

2.（忽視空集的情形）已知集合M={x\x-a=O},N={x|ax-l=O},若MCN=N,則

實(shí)數(shù)?的值是（）

A.-1B.1

C.-1或1D.0或1或一1

解析：選D由MCN=N,得NEM,當(dāng)N=0時(shí)，a=0;當(dāng)NW。時(shí)，；=a,解得a

=±1,故a的值為±1,0.

3.（忽視集合運(yùn)算中端點(diǎn)取值）已知集合4={》|*23},B=[x\x^m},且4U8=4,則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析：因?yàn)榧?={*僅，3},B={x\x^m],且AU5=A,所...—.它

0123m456X

以如圖所示，所以m23.

答案：[3,+8）

能力——在題點(diǎn)全析中補(bǔ)齊短板

考點(diǎn)一集合的基本概念

［典例］(1)已知集合4={(》，y)|/+y2W3,xCZ,jGZ},則A中元素的個(gè)數(shù)為()

A.9B.8

C.5D.4

⑵設(shè)A={2,3,a2-3a,?+^+7^,B=g2|,3},已知4GA且4陣8,則a的取值集

合為.

［解析］(1)將滿足好+產(chǎn)在3的整數(shù)x,y全部列舉出來，即(一1,一1),(-1,0),(-1,1),

(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9個(gè).故選A.

(2)因?yàn)?GA,即4G,，3,a2~3a,a+^+7)-,

2

所以a2-3a=4或a+-+7=4.

若出―3〃=4,則a=—1或Q=4;

若a+［+7=4,即，+3a+2=0,則a=—1或a=-2.

2

由30與a+,+7互異，得a#—1.

故”=-2或a=4.又4陣8,即4舟|a—2|,3},

所以|a-2|W4,解得aW—2且aW6.

綜上所述，a的取值集合為{4}.

［答案］(1)A⑵{4}

［方法技巧］

與集合元素有關(guān)問題的解題策略

(1)研究集合問題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，

還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含

義.

(2)利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合

是否滿足元素的互異性.

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.(多選)實(shí)數(shù)1是下面哪個(gè)集合中的元素()

A.整數(shù)集ZB.{x|x=|x|}

(x—1

C.{xeN|-l<x<l}D.JxGRWO

解析：選ABD對(duì)于A,是整數(shù)，AIEZ,故A正確.

對(duì)于B,'：x=\x\,Ax^O,Vl>0,.,.B正確.

對(duì)于C,v{xGN|-l<x<l}={0},1不在集合中，，C不正確.

對(duì)于D,^0={x€R|-l<x^l},1是集合中的元素，；.D正確.故

選A、B、D.

2.已知集合4={1,x2}.若*2仁{1,3,9,x),則x=.

解析：由題意知，x2^1,/.x^±l.Vx2e{1,3,9,x),.?.若必=3,則x=±\6，經(jīng)檢驗(yàn)

可知符合題意；若必=9,則*=±3,經(jīng)檢驗(yàn)，x=3不滿足集合元素的互異性，舍去；若必

=x,則x=0或x=l,經(jīng)檢驗(yàn)，x=l不滿足集合元素的互異性，舍去.綜上可知*=小或

一方或一3或0.

答案：小或一班或一3或0

3.設(shè)集合A={-4,20—1,a2},B={9,“一5,1—a},且A,5中有唯一的公共元素9,

則實(shí)數(shù)a的值為.

解析：因?yàn)榧螦,8中有唯一的公共元素9,所以9WA.若2“一1=9,即。=5,此時(shí)

4={-4,9,25},B={9,0,—4},則集合A,B中有兩個(gè)公共元素一4,9,與已知矛盾，舍去.若

出=9,則“=±3,當(dāng)a=3時(shí)，4={-4,5,9},5={9,-2,~2},5中有兩個(gè)元素均為一2,

與集合中元素的互異性矛盾，應(yīng)舍去；當(dāng)。=-3時(shí)，4={-4,-7,9},8={9,-8,4),符

合題意.綜上所述，a——3.

答案：一3

考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

［典例］(1)已知集合4={**-2X-3W0,xeN*},則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為()

A.7B.8

C.15D.16

(2)已知集合4={*|-2式*式5},B={x|m+l^x^2m-l},若則實(shí)數(shù)，”的取值

范圍為.

［解析］⑴法一:A={x|-lWx近3,XGN*}={1,2,3},其真子集有：0,{1},{2},{3},

{1,2},{1,3},{2,3},共7個(gè).

法二：因?yàn)榧?中有3個(gè)元素，所以其真子集的個(gè)數(shù)為23—1=7(個(gè)).

(2)因?yàn)锽^A,所以，①若B=0,貝寸2/n-l</n+l,此時(shí)”?<2.②若BW。,則

2m—1^/n+l,

m+1^-2,解得.由①、②可得，符合題意的實(shí)數(shù)，”的取值范圍為(一8,

2m—1^5.

3］.

［答案］(1)A(2)(—8,3］

［方法技巧］解決有關(guān)集合間的基本關(guān)系問題的策略

(1)一般利用數(shù)軸法、Venn圖法以及結(jié)構(gòu)法判斷兩集合間的關(guān)系，如果集合中含有參數(shù),

需要對(duì)式子進(jìn)行變形，有時(shí)需要進(jìn)一步對(duì)參數(shù)分類討論.

(2)確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù).

［提醒］不能忽略任何非空集合是它自身的子集.

(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素滿足的式子或

區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，常用數(shù)軸法、Venn圖法.

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.已知集合M={x|y=Ul-x2,XGR},N={x|x=m2,則集合M,N的關(guān)系

是()

A.MNB.NM

C.MGCRND.N=［RM

解析：選B依題意知，M={x\y=\j1-X2,XGR}={X|-1WXW1},^={x|x=/n2,m

GM}={x|OWxWl},所以NM.故選B.

2.已知集合4={工*-35+2=0,xCR},B={x|0<r<5,xCN},則滿足條件AUCG

B的集合C的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選I)求解一元二次方程，得A={x|x2—3x+2=0,xGR}={x|(x—l)(x—2)=0,

XSR)={1,2},易知B={x|0<xV5,XGN}={1,2,3,4}.因?yàn)锳UCU8,所以根據(jù)子集的定義，

集合C必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原題即求集合{3,4}的子集個(gè)數(shù)，即有22=4

個(gè)，故選D.

考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算

考法(一)集合間的交、并'補(bǔ)運(yùn)算

［例1］(1)(多選)(2021?山東濱州期末)設(shè)全集17={0,1,2,3,4},集合A=

{0,1,4},B={0,1,3},貝!!()

A.4n8={0,1}

B.CcB={4}

C.AUB={0,1,3,4}

D.集合A的真子集個(gè)數(shù)為8

(2)(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)已知M,N均為R的子集，且［RMUM則MU(［RN)

=()

A.0B.M

C.ND.R

［解析］(1)；全集U={(),1,2,3,4},4={(),1,4},8={0,1,3},.?.408=

{0,1},103={2,4},4U8={0,l,3,4},集合4的真子集個(gè)數(shù)為23—1=7,故選A、C.

(2)如圖所示，易知答案為B.

［答案］⑴AC(2)B

［方法技巧］解決集合運(yùn)算問題3個(gè)技巧

看元素集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)

構(gòu)成算問題的關(guān)鍵

對(duì)集合有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問

化簡題簡單明了、易于解決

應(yīng)用數(shù)形常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖

考法(二)利用集合的運(yùn)算求參數(shù)

2

［例2］(1)(2020?全國卷I)設(shè)集合A={x|x-4^0},B={x\2x+a^0}9且AHB={x\

—2WxWl},則a=()

A.-4B.-2

C.2D.4

2

(2)集合A={0,2,a}9B={1,a},若AU5={0,1,2,4,16},則〃的值為.

［解析］(1)易知A={x|-2WxW2},B=^x},因?yàn)锳n〃={x|-2Wx〈l},所

以一3=1,解得〃=—2.故選B.

(2)根據(jù)并集的概念，可知{a,a2}={4,16},只能是a=4.

［答案］(DB(2)4

［方法技巧］

利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

(1)與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到.

(2)若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程

(組)求解.

［提醒］在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗(yàn)證(滿足互異性).

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.(2020?新淅考全國卷■1)設(shè)集合A={x|l式xW3},B={x|2<x<4},則AU3=()

A.{x|2<xW3}B.{x|2Wx《3}

C.{x|lWx<4}D.{x|l<x<4}

解析：選C因?yàn)锳={x|lWxW3},B={x|2<x<4},

所以AU8={x|lWx<4}.

2.已知集合4={x［—J?={x|x2—x—2<0},貝MR4)CB=()

A.(-1,0]B.[-1,2)

C.[1,2)D.(1,2]

解析：選CVA={x|—1<X<1},B={x|x2_x_2<0}={x|—l<x<2},(RA={X|X這一1

或xel},則(CRA)C3={X|1WXV2},故選C.

3.已知集合4={*僅<3},8={x|x>a},若ACBW。，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[3,+~)B.(3,+8)

C.(-8,3)D.(一8,3]

解析：選C因?yàn)锳CBW。，所以結(jié)合數(shù)軸可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<3,故選C.

素養(yǎng)

一、創(chuàng)新命題視角——學(xué)通學(xué)活巧遷移

集合中的新定義問題

類型(一)定義新運(yùn)算

［例1］定義集合A與8的運(yùn)算“*”為：4*5={x|xGA或但遙(4D8)}.設(shè)X

是非負(fù)偶數(shù)集，y={i,2,3,4,5},則(X*y)*y=()

A.XB.Y

c.xnyD.xuy

［解析］由題意可知，xnv={2,4},

XUy={0,1,2,3,4,5,6,8,10,…},

.?.X*y={0,1,3,5,6,8,10,…}.

.?.(x*y)ny={i,3,5},

(X*F)Uy={0,1,2,3,4,5,6,8,10,…}.

.?.(X*y)*y={0,2,4,6,8,10,…}=X.故選A.

［答案］A

［名師微點(diǎn)］

正確分析新運(yùn)算法則，把新運(yùn)算法則所表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)弄清楚，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)

學(xué)情境.注意結(jié)合集合的基礎(chǔ)知識(shí)解答.

類型(二)定義新概念

［例2］已知集合Ao={x|O<xVl}.給定一個(gè)函數(shù)y=/(x),定義集合A"={jly=_Ax),x

GA“T},若4mA“T=0對(duì)任意的xGN*成立，則稱該函數(shù)具有性質(zhì).

(1)具有性質(zhì)“?！钡囊粋€(gè)一次函數(shù)的解析式可以是.

(2)給出下列函數(shù)：①/=%②7=必+1；^=co苧+2.其中具有性質(zhì)“。”的函數(shù)的

序號(hào)是.

［解析］(1)答案不唯一，合理即可.示例：

對(duì)于解析式y(tǒng)=x+l,

因?yàn)锳o={x|O<xvl},所以4={x［l<x<2},

A2={x|2<r<3},…，顯然符合404-1=0.

故具有性質(zhì)“0”的一個(gè)一次函數(shù)的解析式可以是y=x+l.

(2)對(duì)于①，Ao={x|O<x<l},Ai={x|x>l},A2={X|0<X<1},?,,,

依次循環(huán)下去，符合A“nA"-i=0.

對(duì)于②，A?={x|0<x<l},Ai={x|l<x<2},A2={X|2<X<5},A3={X|5<X<26},…，根據(jù)

函數(shù)y=/+l的單調(diào)性得相鄰兩個(gè)集合不會(huì)有交集，符合404,-1=0.

對(duì)于③，Ao={x|O<x<l},Ai={x|2<x<3},A2={x|l<x<2},A3={x|l<x<2),

不符合A?riAM-I=<2>.

所以具有性質(zhì)“0”的函數(shù)的序號(hào)是①②.

［答案］(l)J=x+l(2)??

［名師微點(diǎn)］解決集合創(chuàng)新型問題的方法

緊扣首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具

新定義體的解題過程之中，這是解決新定義型問題的關(guān)鍵所在

集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等)是解決新定義集合問題的基礎(chǔ)，

用好集合

也是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些信息，在

的性質(zhì)

關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)

二'創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向

1.現(xiàn)有100名攜帶藥品出國的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥，那么

對(duì)既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計(jì)中，下列說法正確的是()

A.最多人數(shù)是55B.最少人數(shù)是55

C.最少人數(shù)是75D.最多人數(shù)是80

解析：選B設(shè)100名攜帶藥品出國的旅游者組成全集/,其中帶感冒已圖不

藥的人組成集合4,帶胃藥的人組成集合A設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃0

藥的人數(shù)為x,則0WxW20.設(shè)以上兩種藥都帶的人數(shù)為y.由圖可知，x+-----------------

card(A)+card(B)-j=100.：.x+75+80-j=100,，y=55+x.；0WxW20,；.55Wy<75,

故最少人數(shù)是55.

2.中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，

剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知A={x|x=3〃

+2,〃CN*},B={x\x=5n+3,〃GN*},C={x\x=7n+2,〃GN*},若xe（4CBriC）,則

整數(shù)x的最小值為（）

A.128B.127

C.37D.23

解析：選DI?求整數(shù)的最小值，...先將23代人檢驗(yàn)，滿足A,B,C三個(gè)集合，故

選D.

3.若集合{a,b,c,研={1,2,3,4},且下列四個(gè)關(guān)系：①。=1；②斤1；③c=2；④dW4

有且只有一個(gè)是正確的.請(qǐng)寫出滿足上述條件的一個(gè)有序數(shù)組m,b,c,d）=,符

合條件的全部有序數(shù)組（a,b,c,〃）的個(gè)數(shù)是.

解析：顯然①不可能正確，否則①②都正確；

7=2,7=3,ra=3,

力=3,b=2,b=l,

若②正確，則＜J若③正確，則“

C=l,c=l,c=2,

5=4、d=4.、d=4.

a=2.7=3,"a=4,

b=l,b=l,b=l,

若④正確，則＜或或，

c=4,c=4,c=3,

、d=3、d=2、d=2.

所以符合條件的數(shù)組共6個(gè).

答案：（3,2,1,4）（填一個(gè)正確的即可）6

4.已知U={ai,a2,a3,a4}＞集合A是集合U中的兩個(gè)元素所組成的集合，且同時(shí)

滿足下列三個(gè)條件：①若貝！J為e4;②若方住4,則“2莊4③若由6人，則a毋4求

集合4

解：假設(shè)aiGA,則a2GA.又若“3陣A,則做電4,：.a3eA,與集合A中有且僅有兩個(gè)元

素不符，...假設(shè)不成立，；.＜11$4.假設(shè)。464則a痣A,則改陣A,且ai《A,與集合A中有且

僅有兩個(gè)元素不符，；.假設(shè)不成立，：.O4^A.

故集合4={。2,a；,},經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意.

【課時(shí)跟蹤檢測1________________________________________________________________

1.（多選）若集合MQN,則下列結(jié)論正確的是（）

A.MClN=MB.MUN=N

C.D.（MUA9UN

解析：選ABCD由于MUN,即M是N的子集，故MCIN=M,MUN=N,從而

（MUN）QN.

2.（2020?天潭高考）設(shè)全集［7={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,0,1,2},B=

{一3,0,2,3},則AC(Cu3)=()

A.{-3,3}B.{0,2}

C.{-1,1}D?{-3,—2，—1,1,3}

解析：選c法一：由題知[4={-2,-1,1},所以An(Cu5)={-l,l},故選c.

法二：易知4n(Cub)中的元素不在集合B中，則排除選項(xiàng)A、B、D,故選C.

3.(2019?北京高考)已知集合4={*|-1<%<2},5={x|x>l},貝ljAU5=()

A.(-1,1)B,(1,2)

C.(-1,+8)D.(1,+8)

解析：選C將集合4,B在數(shù)軸上表示出來，如圖所示.?4|

由圖可得AU5={x|x>-l}.-1012

4.已知集合4={(x,7)僅2+>2=1},B={(x,j)[y=x),則ACB中元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.2

C.1D.0

解析：選B因?yàn)?表示圓好+)2=1上的點(diǎn)的集合，8表示直線y=x上的點(diǎn)的集合，

直線y=r與圓x2+j2=l有兩個(gè)交點(diǎn)，所以ACI5中元素的個(gè)數(shù)為2.

5.設(shè)集合4={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若ASB={1},則8=()

A.{1,-3}B.{1,0}

C.{1,3}D.{1,5}

解析：選C因?yàn)锳D8={1},所以163,所以1是方程始一4x+,〃=0的根，所以1

—4+/n=0,m=3,方程為*2—4x+3=0,解得x=l或x=3,所以5={1,3}.

6.集合A={3,2"},B={a,b}.若4D8={4},則4UB=()

A.{2,3,4}B.{1,3,4}

C.{0,1,2,31D.{1,2,3,4)

解析：選AVAriB={4},；.2"=4,則a=2,5=4".AU5={2,3,4}.

7.已知全集t/={x|-l<x<9},A={x|l<x<a},4是U的子集，若AW。，則a的取值

范圍是()

A.{a|a<9}B.{a\a^9]

C.{“Iq9}D.{<i|l<a^9}

解析：選D由題意知，集合AW。，所以a>l,又因?yàn)锳是U的子集，故需aW9,所

以a的取值范圍是{a[l<aW9}.

8.已知集合4={-1,0,1},B={x|x2-3x+m=0},若AC5={0},則5的子集有()

A.2個(gè)B.4個(gè)

C.8個(gè)D.16個(gè)

解析：選B?/AnB={0},A0GB,

.\/n=0,/.B={x|x2-3x=0}={0,3}.

.?.5的子集有22=4個(gè).故選B.

9.(多選)已知全集U=R,函數(shù))=加(*-2)的定義域?yàn)镸,集合N={x|P-2x>0},則

下列結(jié)論正確的是()

A.MC\N=MB.Mn([uM=0

C.MUN=UD.M=[VN

解析：選AB由*一2>0得x>2,所以M=(2,+?>).由*2—2*>0得x<0或x>2,所

以N=(-8,0)U(2,+0°),[°N=[0,2],所以MCN=M,MUN=*U,

故選A、B.

10.設(shè)集合A={xly=lg(—*2+X+2)},8={x|x—a>0},若AU8,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A.(—8,—I)B.(—8,-I]

C.(一8,-2)D.(一8,-2]

解析：選B集合A={x|j=lg(—X2+X+2)}={X|-1<X<2},B={x\x>a],因?yàn)锳UB,

所以aW—1.

11.如圖，已知/是全集，A,B,C是它的子集，則陰影部分所表1/

示的集合是()QCID/y

A.[(C/A)nfi]nc

B.[(C/B)UXJ]DC

C.(ADB)n([：/C)

D.[An([/B)]nc

解析：選D由圖知陰影部分中的元素屬于A,不屬于B,屬于C則陰影部分表示的

集合是[Ac([/8)]CC.

12.(2021-湖北，、校聯(lián)考)已知集合A=jxx=k+/,kGN},B=

1-rx=y—I，mGNLC={xxJ+上，〃eNk則集合A,B,C的關(guān)系是()

A.ACBB.CAB

C.AB=CD.ABC

解析：選A,集合C=*|x=^+/,〃GN},.?.當(dāng)〃=2a(aWN)時(shí)，x=^+\=a+t，

此時(shí)C=4,C.當(dāng)〃=b—l(bGN")時(shí)，：eeN*).而集合8

=卜|%=々一；，機(jī)￡N},當(dāng)機(jī)=0時(shí)，—但一*C,工集合C&綜上，ACB,

故選A.

13.已知集合尸=Uly2一)一2>0},。=3*2+m+〃<0},若p(jQ=R,尸CQ=(2,3],

貝！Ja+b=.

解析：尸=白爐一y—2>0}={貝戶2或產(chǎn)一1},

?"UQ=R,尸口。=(2用，.?.Q={x|-l&W3},

:,—1,3是方程*2+?*+/>=0的兩根，

—1+3=-a,

由根與系數(shù)的關(guān)系得，

答案：一5

14.若集合｛x|x2+2Ax+l=0｝中有且僅有一個(gè)元素，則滿足條件的實(shí)數(shù)％的取值集合是

解析：由題意知，方程/+24*+1=0有兩個(gè)相等實(shí)根，

.*./=4々2—4=0,解得《=±1,

.?.滿足條件的實(shí)數(shù)A的取值集合是{1,-1}.

答案：{1,-1}

15.對(duì)于任意兩集合A,B,定義A-5={x|xGA且海B},A*B=(A-B)U(B-A),記

A={y[y》O},B={x|-3Wx這3},則4*8=.

解析：由題意知A-B={x|x>3},B-A={x\~3^x<Q},所以A*5=[-3,0)U(3,+0°).

答案：[-3,0)U(3,+8)

16.設(shè)集合A={x|x+”?20},B={x\-2<x<4},全集U=R,且(屋，4)門8=0,則實(shí)數(shù)

m的取值范圍為.

解析：由已知A={x|x'一機(jī)},/.CrA={x|x<-m}.

Vfi={x|-2<x<4},([⑷Q8=0,

即，的取值范圍為[2,+°°).

答案：[2,+°0)

第二節(jié)充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞

核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向

1.與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)結(jié)合考查充分條件與必要條件的判斷及應(yīng)用，凸顯

邏輯推理的核心素養(yǎng).

2.以函數(shù)、不等式為載體考查全稱命題、特稱命題的否定及真假判斷的應(yīng)用，凸顯邏

輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

基礎(chǔ)——在微點(diǎn)清障中全面落實(shí)

［理清主干知識(shí)］

1.充分條件與必要條件的相關(guān)概念

記p,g對(duì)應(yīng)的集合分別為A,B,則

p是q的充分條件p0qAQB

P是g的必要條件A^B

p是q的充要條件p=g且QpA=B

P是q的充分不必要條件p0q且q—pAB

p是q的必要不充分條件pAq旦q0PAB

p是q的既不充分

p今q且q弁pACB且MB

也不必要條件

［提醒］不能將“若0,則qn與“p=q”混為一談，只有“若p,則qn為真命題時(shí),

才有“p0q"，即“p=q”0“若p,則q”為真命題.

2.全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞符號(hào)表示

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)、任給等V

存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等3.

3.全稱命題和特稱命題

名稱

全稱命題特稱命題

形

結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)x,有p(x)成立存在M中的一個(gè)xo,使p(xo)成立

p(x)

簡記VxGM,BXO^M9P(XQ)

否定日"(xo)VxGM,佛必)

［澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)］

一'關(guān)鍵點(diǎn)練明

1.(充分、必要條件的判斷)“x<0”是“l(fā)n(x+l)<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：B

2.(全稱命題的否定)命題“所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0”的否定為

答案：“有些可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不是0”

3.（特稱命題的否定）命題"mxoeR,蝴一*0—1>0"的否定為.

答案：VxGR,x2-x-1^0

4.（全（特）稱命題的真假判斷）下列命題中的真命題是（填序號(hào)）.

03xo6R,lgx（）=l；（2）3xoGR,sinx（）=0；

③VxCR,x3>0；@VxGR,2J>0.

解析：當(dāng)x=10時(shí)，1g10=1,則①為真命題；當(dāng)x=0時(shí)，sin0=0,則②為真命題；

當(dāng)時(shí)，則③為假命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，VxGR,2x>0,則④為真命題.

答案：①②④

二'易錯(cuò)點(diǎn)練清

1.（混淆否命題與命題的否定）命題“所有奇數(shù)的立方都是奇數(shù)”的否定是

答案：存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù)

2.（對(duì)充分、必要條件的概念理解不清）已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條

件，q是s的必要條件，那么p是夕的條件.

答案：充分不必要

能力——在題點(diǎn)全析中補(bǔ)齊短板

考點(diǎn)一充分條件與必要條件的判斷

［典例］（1）（2020?天淬高考）設(shè)aWR,貝！是％2>優(yōu)，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（2）（2020?浙江高?考）已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線〃共面”是

m,n兩兩相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］（1）由得”>1或.<0,反之，由”>1得a?〉.，則"a>l"是"a?〉。，，的充分不必

要條件，故選A.

（2）由"?，"，/在同一平面內(nèi)，可能有機(jī)，"，/兩兩平行，所以"?，"，，可能沒有公共

點(diǎn)，所以不能推出,〃，“，/兩兩相交.由機(jī)，“，/兩兩相交且機(jī)，〃，/不經(jīng)過同一點(diǎn)，可

ij.lC\m=A,ir\n=B,mC\n=C,且AM,所以點(diǎn)A和直線”確定平面a,而B,C^n,

所以B,CGa,所以/,mUa,所以/n,",/在同一平面內(nèi).故選B.

［答案］⑴A(2)B

［方法技巧］充分、必要條件的判斷方法

利用定直接判斷''若P，則g”“若g,則p”的真假.在判斷時(shí)，確定條件是什么、

義判斷結(jié)論是什么

從集合的利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大''的技巧，即小范圍推得大范圍，

角度判斷即可解決充分必要性的問題

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.(多選)下列說法正確的是()

A.uac=bcn是ua=bn的充分不必要條件

B.“制”是ua<bn的既不充分也不必要條件

C.若“xGA”是“xGB”的充分條件，則AUB

D.“a>b>Q”是GN,"'2)”的充要條件

解析：選BCc=0時(shí)，由ac=bc不能得出a=b,A錯(cuò)誤；與a<b相互不能推

導(dǎo)，如〃=2,B=—1時(shí)，滿足:但不滿足aVZ>,反之若a=-1,b=2,滿足aVZ>但不

滿足:是"a<b”的既不充分也不必要條件，B正確；由充分、必要條件

與集合之間的包含關(guān)系可知C正確；由。>力>0能得出“">〃，當(dāng)”=-4,/>=一2時(shí)，a2

>b2,但aVZ>,D錯(cuò)誤.

2.設(shè)7GR,貝！|“2=—3”是“直線2a+q-l)y=l與直線6x+(l—》y=4平行"的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A當(dāng)2=-3時(shí)，兩條直線的方程分別為6x+4y+l=0,3x+2y-2=0,此時(shí)

兩條直線平行；

若直線2&+G-l)y=l與直線6x+(l—2)y=4平行，則22X(1—乃=-6(1—力，所以

2=—3或2=1,經(jīng)檢驗(yàn)，兩者均符合.

綜上，“2=—3”是“直線2；JC+(2-1)J=1與直線6x+(l-x)j=4平行”的充分不必

要條件，故選A.

考點(diǎn)二根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍

3

［典例］(1)已知P：x，k,q：不<1，如果p是g的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)發(fā)的取

值范圍是()

A.［2,+8)B.(2,+8)

C.［1,+oo)D.(-8,-1］

(2)已知p：(x—/n)2>3(x—,〃)是q：x2+3x—4<0的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍為.

332—x

［解析］(1)由不得，不行―1=6彳〈0，即(x—2)(x+l)>o,解得