最適合初學(xué)者看的能帶理論課件

固體的能帶

物理學(xué)家原來(lái)只知道導(dǎo)體和絕緣體,只是在量子理論的指引下,通過(guò)對(duì)原子的能級(jí)和固體的能帶進(jìn)行計(jì)算和分析后才發(fā)現(xiàn)了半導(dǎo)體,隨后發(fā)明了晶體管和集成電路,從而才能使我們的社會(huì)進(jìn)入信息化時(shí)代.1最適合初學(xué)者看的能帶理論前言第八章晶體的能帶結(jié)構(gòu)從STM得到的硅晶體表面的原子結(jié)構(gòu)圖物理學(xué)前言之一材料的性質(zhì)大規(guī)模集成電路半導(dǎo)體激光器超導(dǎo)人工微結(jié)構(gòu)2最適合初學(xué)者看的能帶理論§8.1晶體的能帶一.電子共有化晶體具有大量分子、原子或離子有規(guī)則排列的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。電子受到周期性勢(shì)場(chǎng)的作用。a按量子力學(xué)須解定態(tài)薛定格方程。3最適合初學(xué)者看的能帶理論

解定態(tài)薛定格方程(略），可以得出兩點(diǎn)重要結(jié)論：1.電子的能量是分立的能級(jí);2.電子的運(yùn)動(dòng)有隧道效應(yīng)。原子的外層電子(高能級(jí))，勢(shì)壘穿透概率較大，電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng),稱為共有化電子。原子的內(nèi)層電子與原子核結(jié)合較緊,一般不是共有化電子。4最適合初學(xué)者看的能帶理論二.能帶(energyband)量子力學(xué)計(jì)算表明，晶體中若有N個(gè)原子，由于各原子間的相互作用，對(duì)應(yīng)于原來(lái)孤立原子的每一個(gè)能級(jí),在晶體中變成了N條靠得很近的能級(jí),稱為能帶。晶體中的電子能級(jí)有什么特點(diǎn)？5最適合初學(xué)者看的能帶理論能帶的寬度記作

E，數(shù)量級(jí)為

E～eV。

若N~1023,則能帶中兩能級(jí)的間距約10-23eV。一般規(guī)律：

1.越是外層電子，能帶越寬，

E越大。

2.點(diǎn)陣間距越小，能帶越寬，

E越大。3.兩個(gè)能帶有可能重疊。6最適合初學(xué)者看的能帶理論離子間距a2P2S1SE0能帶重疊示意圖7最適合初學(xué)者看的能帶理論三.能帶中電子的排布晶體中的一個(gè)電子只能處在某個(gè)能帶中的某一能級(jí)上。

排布原則：

1.服從泡里不相容原理（費(fèi)米子）

2.服從能量最小原理設(shè)孤立原子的一個(gè)能級(jí)Enl，它最多能容納2(2+1)個(gè)電子。這一能級(jí)分裂成由N條能級(jí)組成的能帶后，能帶最多能容納2N(2l+1)個(gè)電子。8最適合初學(xué)者看的能帶理論

電子排布時(shí)，應(yīng)從最低的能級(jí)排起。

有關(guān)能帶被占據(jù)情況的幾個(gè)名詞：1．滿帶（排滿電子）2．價(jià)帶（能帶中一部分能級(jí)排滿電子）

亦稱導(dǎo)帶3．空帶（未排電子）

亦稱導(dǎo)帶4．禁帶（不能排電子）2ｐ、3ｐ能帶，最多容納6N個(gè)電子。例如，1ｓ、2ｓ能帶，最多容納2N個(gè)電子。2N(2l+1)9最適合初學(xué)者看的能帶理論一.布洛赫定理一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)應(yīng)具有哪些基本特點(diǎn)？在量子力學(xué)建立以后，布洛赫（F.Bloch）和布里淵（Brillouin）等人就致力于研究周期場(chǎng)中電子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。他們的工作為晶體中電子的能帶理論奠定了基礎(chǔ)。布洛赫定理指出了在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù)的特點(diǎn)?！?.2（補(bǔ)充）布洛赫定理空間10最適合初學(xué)者看的能帶理論在一維情形下，周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子能量E(k)和波函數(shù)必須滿足定態(tài)薛定諤方程

k-------表示電子狀態(tài)的角波數(shù)V(x)----周期性的勢(shì)能函數(shù)，它滿足

V(x)=V(x+na)a----晶格常數(shù)n-----任意整數(shù)11最適合初學(xué)者看的能帶理論布洛赫定理：式中也是以a為周期的周期函數(shù)，即*

注*：關(guān)于布洛赫定理的證明，有興趣的讀者可以查閱《固體物理學(xué)》黃昆原著韓汝琦改編（1988）P154具有(2)式形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù),或布洛赫函數(shù)。滿足（1）式的定態(tài)波函數(shù)必定具有如下的特殊形式12最適合初學(xué)者看的能帶理論布洛赫定理說(shuō)明了一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù)為：一個(gè)自由電子波函數(shù)與一個(gè)具有晶體結(jié)構(gòu)周期性的函數(shù)的乘積。

只有在等于常數(shù)時(shí)，在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)才完全變?yōu)樽杂呻娮拥牟ê瘮?shù)。

這在物理上反映了晶體中的電子既有共有化的傾向，又有受到周期地排列的離子的束縛的特點(diǎn)。

因此，布洛赫函數(shù)是比自由電子波函數(shù)更接近實(shí)際情況的波函數(shù)。

它是按照晶格的周期a調(diào)幅的行波。13最適合初學(xué)者看的能帶理論實(shí)際的晶體體積總是有限的。因此必須考慮邊界條件。

設(shè)一維晶體的原子數(shù)為N,它的線度為L(zhǎng)=Na,則布洛赫波函數(shù)應(yīng)滿足如下條件此式稱為周期性邊界條件。二.周期性邊界條件采用周期性邊界條件以后，具有N個(gè)晶格點(diǎn)的晶體就相當(dāng)于首尾銜接起來(lái)的圓環(huán)：在固體問(wèn)題中，為了既考慮到晶體勢(shì)場(chǎng)的周期性，又考慮到晶體是有限的，我們經(jīng)常合理地采用周期性邊界條件：14最適合初學(xué)者看的能帶理論由周期性邊界條件可以推出:布洛赫波函數(shù)的波數(shù)k只能取一些特定的分立值。aa周期性邊界條件對(duì)波函數(shù)中的波數(shù)是有影響的。圖2周期性邊界條件示意圖15最適合初學(xué)者看的能帶理論左邊為右邊為所以由周期性邊界條件即周期性邊界條件使k只能取分立值：證明如下:按照布洛赫定理：16最適合初學(xué)者看的能帶理論k是代表電子狀態(tài)的角波數(shù),n是代表電子狀態(tài)的量子數(shù)。對(duì)于三維情形,電子狀態(tài)由一組量子數(shù)(nx、ny、nz)來(lái)代表。它對(duì)應(yīng)一組狀態(tài)角波數(shù)（kx、ky、

kz）。一個(gè)對(duì)應(yīng)電子的一個(gè)狀態(tài)。17最適合初學(xué)者看的能帶理論我們以為三個(gè)直角坐標(biāo)軸，建立一個(gè)假想的空間。這個(gè)空間稱為波矢空間、空間，或動(dòng)量空間*。kx、ky、

kz由于德布洛意關(guān)系，即，所以空間也稱為動(dòng)量空間。注：在空間中，電子的每個(gè)狀態(tài)可以用一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)來(lái)表示，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是三.空間18最適合初學(xué)者看的能帶理論kykx0-112-23-31-12-2-33上式告訴我們，沿空間的每個(gè)坐標(biāo)軸方向，電子的相鄰兩個(gè)狀態(tài)點(diǎn)之間的距離都是。圖3表示二維空間每個(gè)點(diǎn)所占的面積是。因此，空間中每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所占的體積為。

圖3二維空間示意圖19最適合初學(xué)者看的能帶理論§8.3克朗尼格-朋奈模型能帶中的能級(jí)數(shù)目

一.克朗尼格-朋奈模型

能帶理論是單電子近似理論。

布洛赫定理指出，一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子，其波函數(shù)一定是布洛赫函數(shù)。下面我們通過(guò)一個(gè)最簡(jiǎn)單的一維周期場(chǎng)-------克朗尼格-朋奈（Kroning-Penney）模型來(lái)說(shuō)明晶體中電子的能量特點(diǎn)。周期性邊界條件的引入,說(shuō)明了電子的狀態(tài)是分立的。它把每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)看成是獨(dú)立地在一個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)在再來(lái)說(shuō)明電子的能量有什么特點(diǎn)？回顧：20最適合初學(xué)者看的能帶理論克朗尼格-朋奈模型是把圖1的周期場(chǎng)簡(jiǎn)化為圖4所示的周期性方勢(shì)阱。假設(shè)電子是在這樣的周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。在0<x<a一個(gè)周期的區(qū)域中，電子的勢(shì)能為0caU0U(x)xb圖4克朗尼格-朋奈模型21最適合初學(xué)者看的能帶理論按照布洛赫定理，波函數(shù)應(yīng)有以下形式式中即可得到滿足的方程將波函數(shù)代入定態(tài)薛定諤方程22最適合初學(xué)者看的能帶理論利用波函數(shù)應(yīng)滿足的有限、單值、連續(xù)等物理（自然）條件，進(jìn)行一些必要的推導(dǎo)和簡(jiǎn)化，最后可以得出下式注*：有興趣的讀者可參閱〈固體物理基礎(chǔ)〉蔡伯熏編（1990）P268。式中而是電子波的角波數(shù)*。（4）式就是電子的能量E應(yīng)滿足的方程,也是電子能量E與角波數(shù)k之間的關(guān)系式。23最適合初學(xué)者看的能帶理論(4)式的左邊是能量E的一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)，記作f(E)；由于，所以使的E值都不滿足方程。下圖5為給出了一定的a、b、U0數(shù)值后的f(E)：右邊是角波數(shù)k的函數(shù)。24最適合初學(xué)者看的能帶理論由圖看出，在允許取的E值（暫且稱為能級(jí)）之間，有一些不允許取的E值（暫且稱為能隙）。下面的圖6為E~k曲線的某種表達(dá)圖式。圖5f(E)函數(shù)圖f(E)E25最適合初學(xué)者看的能帶理論E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k曲線的表達(dá)圖式26最適合初學(xué)者看的能帶理論兩個(gè)相鄰能帶之間的能量區(qū)域稱為禁帶。晶體中電子的能量只能取能帶中的數(shù)值，而不能取禁帶中的數(shù)值。圖中為“許可的能量”，稱為能帶*。E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k曲線的表達(dá)圖式27最適合初學(xué)者看的能帶理論E~k曲線與a有關(guān)、與U0b乘積有關(guān)。乘積U0b反映了勢(shì)壘的強(qiáng)弱。由于原子的內(nèi)層電子受到原子核的束縛較大，與外層電子相比，它們的勢(shì)壘強(qiáng)度較大。

計(jì)算表明：

U0b的數(shù)值越大所得到的能帶越窄。所以，內(nèi)層電子的能帶較窄。外層電子的能帶較寬。28最適合初學(xué)者看的能帶理論

從E~k曲線還可以看出：

k值越大，相應(yīng)的能帶越寬。由于晶體點(diǎn)陣常數(shù)a越小，相應(yīng)于k值越大。因此，晶體點(diǎn)陣常數(shù)a越小，能帶的寬度就越大。有的能帶甚至可能出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。這些都與§8.1節(jié)“概述”中介紹的結(jié)論是一致的。E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k曲線的表達(dá)圖式29最適合初學(xué)者看的能帶理論二.能帶中的能級(jí)數(shù)晶體中電子的能量不能取禁帶中的數(shù)值，只能取能帶中的數(shù)值。由圖5可以看出：第一能帶

k的取值范圍為

第二能帶k的取值范圍為

第三能帶k的取值范圍為

每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的k的取值范圍都是*。注*：我們把以原點(diǎn)為中心的第一能帶所處的k

值范圍稱為第一布里淵區(qū);第二、第三能帶所處的

k值范圍稱為第二、第三布里淵區(qū)，并以此類推。30最適合初學(xué)者看的能帶理論所以，晶體中電子的能帶中有N個(gè)能級(jí)。電子在晶體中按能級(jí)是如何排布的呢？電子是費(fèi)密子，它的排布原則有以下兩條：（1）服從泡里不相容原理（2）服從能量最小原理而在空間每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所占有的長(zhǎng)度為，因此，每一能帶中所包含的（狀態(tài)數(shù)）能級(jí)數(shù)為每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的k的取值范圍都是。31最適合初學(xué)者看的能帶理論對(duì)于孤立原子的一個(gè)能級(jí)Enl按照泡里不相容原理，最多能容納2（2l+1）個(gè)電子。在形成固體后，這一能級(jí)分裂成由N

條能級(jí)組成的能帶了，它最多能容納的電子數(shù)為2N(2l+1)個(gè)。例如，對(duì)孤立原子的1S、2S能級(jí),在形成固體后相應(yīng)地成為兩個(gè)能帶。它們最多能容納的電子數(shù)為2N個(gè)。對(duì)孤立原子的2P、3P能級(jí),在形成固體后也相應(yīng)地成為兩個(gè)能帶。它們最多能容納的電子數(shù)為6N個(gè)。電子排布時(shí)還得按照能量最小原理從最低的能級(jí)排起。32最適合初學(xué)者看的能帶理論孤立原子的最外層電子能級(jí)可能填滿了電子也可能未填滿了電子。若原來(lái)填滿電子的，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。若孤立原子中較高的電子能級(jí)上沒(méi)有電子，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶上也沒(méi)有電子。若原來(lái)未填滿電子的，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也未填滿電子。孤立原子的內(nèi)層電子能級(jí)一般都是填滿的，在形成固體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。33最適合初學(xué)者看的能帶理論排滿電子的能帶稱為滿帶；排了電子但未排滿的稱為未滿帶（或?qū)В?；未排電子的稱