專題23銳角三角函數(shù)（共65題）-2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【有答案】【全國(guó)通用】（第01期）

2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國(guó)通用】（第01期）專題23銳角三角函數(shù)（共65題）一、單選題1．（2021·湖南中考真題）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)冪乘法的計(jì)算法則分別計(jì)算即可．【詳解】解：A、，此選項(xiàng)正確；B、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，算術(shù)平方根的定義，同底數(shù)冪乘法，熟知相關(guān)計(jì)算法則即定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（2021·福建中考真題）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個(gè)銳角，求斜邊的長(zhǎng)．【詳解】，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵．3．（2021·浙江金華市·中考真題）如圖是一架人字梯，已知米，AC與地面BC的夾角為，則兩梯腳之間的距離BC為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)余弦的定義即可，得到答案．【詳解】過點(diǎn)A作，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，明確等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·湖北隨州市·中考真題）如圖，某梯子長(zhǎng)10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地面所成角為時(shí)，梯子頂端靠在墻面上的點(diǎn)處，底端落在水平地面的點(diǎn)處，現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為，已知，則梯子頂端上升了（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米【答案】C【分析】根據(jù)梯子長(zhǎng)分別利用三角函數(shù)的正弦定義求出CD=CEsinβ與AD=ABsinα，兩線段作差即可．【詳解】解：如圖所示標(biāo)記字母，根據(jù)題意得AB=CE=10米，∵sinβ，在Rt△ECD中，sin，∴CD=，在Rt△ABD中，sin，∴，∴AC=CD-AD=8-6=2．故選擇C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，解直角三角形，掌握正弦與余弦的平方關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．5．（2021·湖南衡陽市·中考真題）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖．自動(dòng)扶梯的傾斜角為，大廳兩層之間的距離為6米，則自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)約為（）（）．A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，得：∵米∴米故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．6．（2021·天津中考真題）的值等于（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)30°的正切值直接求解即可．【詳解】解：由題意可知，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查30°的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題，熟記其正切值即可．7．（2021·湖南株洲市·中考真題）某限高曲臂道路閘口如圖所示，垂直地面于點(diǎn)，與水平線的夾角為，，若米，米，車輛的高度為（單位：米），不考慮閘口與車輛的寬度．①當(dāng)時(shí)，小于3.3米的車輛均可以通過該閘口；②當(dāng)時(shí)，等于2.9米的車輛不可以通過該閘口；③當(dāng)時(shí)，等于3.1米的車輛不可以通過該閘口．則上述說法正確的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】①三點(diǎn)共線，直接計(jì)算可得；②做出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)，求出；③方法同②．【詳解】如圖過E點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則①當(dāng)時(shí),三點(diǎn)共線，小于3.3米的車輛均可以通過該閘口，故①正確．②當(dāng)時(shí)，等于2.9米的車輛不可以通過該閘口，故②正確．③當(dāng)時(shí)，等于3.1米的車輛可以通過該閘口，故③錯(cuò)誤．綜上所述：說法正確的為：①②，共2個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，二次根式的估值，正確的作圖，計(jì)算和對(duì)比選項(xiàng)是解題關(guān)鍵．8．（2021·重慶中考真題）如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點(diǎn)水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為，坡頂D到BC的垂直距離米（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：；；）A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米【答案】D【分析】作DF⊥AB于F點(diǎn)，得到四邊形DEBF為矩形，首先根據(jù)坡度的定義以及DE的長(zhǎng)度，求出CE，BE的長(zhǎng)度，從而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函數(shù)求解即可得出結(jié)論．【詳解】如圖所示，作DF⊥AB于F點(diǎn)，則四邊形DEBF為矩形，∴,∵斜坡CD的坡度（或坡比）為，∴在Rt△CED中，，∵，∴，∴，∴，在Rt△ADF中，∠ADF=50°，∴，將代入解得：，∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解坡度的定義，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．9．（2021·浙江中考真題）如圖，已知在矩形中，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則線段掃過的區(qū)域的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷出點(diǎn)Q在以BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，再判斷出點(diǎn)C1在以B為圓心，BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，找到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)C1運(yùn)動(dòng)的位置，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)BP與CC1相交于Q，則∠BQC=90°，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在以BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)CB到E，使BE=BC，連接EC，∵C、C1關(guān)于PB對(duì)稱，∴∠EC1C=∠BQC=90°，∴點(diǎn)C1在以B為圓心，BC為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)C1與點(diǎn)E重合，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)C1與點(diǎn)F重合，此時(shí)，，∴∠PBC=30°，∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=，∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，，線段掃過的區(qū)域的面積是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)以及扇形面積公式等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·浙江麗水市·中考真題）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，連結(jié)．若的半徑為，則下列結(jié)論一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理、銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可解答．【詳解】解：∵是的直徑，弦于點(diǎn)E，∴在中，，∴∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；又∴∴，故選項(xiàng)B正確，符合題意；又∴∵∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；∵，∴，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義以及三角形面積公式的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是熟記垂徑定理和銳角三角函數(shù)的定義．11．（2021·浙江寧波市·中考真題）如圖，在中，于點(diǎn)D，．若E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC長(zhǎng)，再根據(jù)中位線定理可知EF=?！驹斀狻拷猓阂?yàn)锳D垂直BC，則△ABD和△ACD都是直角三角形，又因?yàn)樗訟D=，因?yàn)閟in∠C=，所以AC=2，因?yàn)镋F為△ABC的中位線，所以EF==1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識(shí)，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵．12．（2021·云南中考真題）在中，，若，則的長(zhǎng)是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，∴BC=100×3÷5=60，∴AB==80，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2021·山東泰安市·中考真題）如圖，為了測(cè)量某建筑物的高度，小穎采用了如下的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的A點(diǎn)出發(fā)，沿斜坡行走130米至坡頂D處，再?gòu)腄處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至點(diǎn)E處，在E點(diǎn)測(cè)得該建筑物頂端C的仰角為60°，建筑物底端B的俯角為45°，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，斜坡的坡度．根據(jù)小穎的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算出建筑物的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米【答案】A【分析】作DF⊥AB于F點(diǎn)，EG⊥BC于G點(diǎn)，根據(jù)坡度求出DF=50，AF=120，從而分別在△BEG和△CEG中求解即可．【詳解】如圖，作DF⊥AB于F點(diǎn)，EG⊥BC于G點(diǎn)，則四邊形DFBG為矩形，DF=BG，∵斜坡的坡度，∴，∵AD=130，∴DF=50，AF=120，∴BG=DF=50，由題意，∠CEG=60°，∠BEG=45°，∴△BEG為等腰直角三角形，BG=EG=50，在Rt△CEG中，CG=EG=50，∴米，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解坡度的定義，準(zhǔn)確構(gòu)建合適的直角三角形是解題關(guān)鍵．14．（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，中，，、相交于點(diǎn)D，，，，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由等高三角形的面積性質(zhì)得到，再證明，解得，分別求得AE、CE長(zhǎng)，最后根據(jù)的面積公式解題．【詳解】解：過點(diǎn)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與是等高三角形，設(shè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．15．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，中，，，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使，連結(jié)CE，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出，在結(jié)合題意可得，即證明，從而得出，即易證，得出．再由等腰三角形的性質(zhì)可知，，即證明，從而可間接推出．最后由，即可求出的值，即的值．【詳解】∵在中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∴，∴在和中，，∴，∴，∵為等腰三角形，∴，，∴，∴，即．∵，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．16．（2021·重慶中考真題）如圖，相鄰兩個(gè)山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山腳點(diǎn)C處測(cè)得通信基站頂端M的仰角為60°，測(cè)得點(diǎn)C距離通信基站MA的水平距離CB為30m；乙在另一座山腳點(diǎn)F處測(cè)得點(diǎn)F距離通信基站ND的水平距離FE為50m，測(cè)得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，點(diǎn)C，B，E，F(xiàn)在同一水平線上，則兩個(gè)通信基站頂端M與頂端N的高度差為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m【答案】C【分析】分別解直角三角形和，求出NE和MB的長(zhǎng)度，作差即可．【詳解】解：∵，DF的坡度i=1：1.25，∴，解得，∴，∴，∵，，∴，∴頂端M與頂端N的高度差為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，把邊AB沿對(duì)角線BD平移，點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)，，C，D的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的距離為48；③的最大值為15；④的最小值為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點(diǎn)C到BD的距離，從而對(duì)②做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于連接，過作于分別交于證明是最小值時(shí)的位置，再利用勾股定理求解，對(duì)④做出判斷．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得AB//且AB=∵四邊形ABCD為矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD∴四邊形CD為平行四邊形，故①正確在矩形ABCD中，BD===25過A作AM⊥BD，CN⊥BD，則AM=CN∴S△ABD=AB·CD=BD·AM∴AM=CN==12∴點(diǎn)C到的距離為24∴點(diǎn)C到它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的距離為48∴故②正確∵∴當(dāng)在一條直線時(shí)最大，此時(shí)與D重合∴的最大值==15∴故③正確，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于連接，過作于分別交于則為的中位線，，由可得，此時(shí)最小，由②同理可得：設(shè)則由勾股定理可得：整理得：解得：（負(fù)根舍去），∴故④正確故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2021·浙江溫州市·中考真題）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若．，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解．【詳解】∵在中，，∴在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理和三角函數(shù)．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．19．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，，的周長(zhǎng)為，則AD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接BD，過點(diǎn)E作EM⊥AD，可得ME=，AM=1，再證明△BDF≌△ADE，可得是等邊三角形，從而得DE=，進(jìn)而即可求解．【詳解】連接BD，過點(diǎn)E作EM⊥AD，∵，，∴ME=AE×sin60°=2×=，AM=AE×cos60°=2×=1，∵在菱形ABCD中，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠C＝∠A＝60°，∴△ABD和△BCD均為等邊三角形，∴∠DBF=∠A=60°，BD=AD，又∵，∴△BDF≌△ADE，∴∠BDF=∠ADE，DE=DF，∴∠ADE＋∠BDE＝60°＝∠BDF＋∠BDE，即：∠EDF=60°，∴是等邊三角形，∵的周長(zhǎng)為，∴DE=×=，∴DM=，∴AD=AM+DM=1+．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形，是解題的關(guān)鍵．20．（2021·湖北荊州市·中考真題）如圖，在菱形中，，，以為圓心、長(zhǎng)為半徑畫，點(diǎn)為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，．當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，以過點(diǎn)B且與BC垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，判斷出，再根據(jù)∠BCP=90°和∠BPC=90°兩種情況判斷出點(diǎn)P的位置，啟動(dòng)改革免費(fèi)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸，以過點(diǎn)B且與BC垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，∵△BPC為等腰直角三角形，且點(diǎn)P在菱形ABCD的內(nèi)部，很顯然，①若∠BCP=90°，則CP=BC=2這C作CE⊥AD,交AD于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60°∴CE=CDsin∠D=2∴點(diǎn)P在菱形ABCD的外部，∴與題設(shè)相矛盾，故此種情況不存在；②∠BPC=90°過P作PF⊥BC交BC于點(diǎn)F，∵△BPC是等腰直角三角形，∴PF=BF=BC=1∴P(1,1)，F(xiàn)(1,0)過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，在Rt△ABG中，∠ABG=60°∴∠BAG=30°∴BG=，AG=∴A，∴點(diǎn)F與點(diǎn)G重合∴點(diǎn)A、P、F三點(diǎn)共線∴∴∴故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及求不規(guī)則圖形的面積等知識(shí)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．21．（2021·吉林長(zhǎng)春市·中考真題）如圖是凈月潭國(guó)家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點(diǎn)間的距離為30米，，則纜車從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，上升的高度（BC的長(zhǎng)）為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜邊AB，求∠BAC的對(duì)邊，選擇∠BAC的正弦，列出等式即可表示出來．【詳解】在Rt△ABC中，,即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是根據(jù)解三角函數(shù)的定義，列出方程．22．（2021·湖北黃岡市·中考真題）如圖，為矩形的對(duì)角線，已知，．點(diǎn)P沿折線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)停止），過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，則的面積y與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程x間的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理可得，再分和兩種情況，解直角三角形分別求出的長(zhǎng)，利用直角三角形的面積公式可得與間的函數(shù)關(guān)系式，由此即可得出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)在上，即時(shí)，在中，，在中，，，，；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，即時(shí)，四邊形是矩形，，四邊形是矩形，，，綜上，與間的函數(shù)關(guān)系式為，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)D的圖象符合，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．23．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點(diǎn)的坐標(biāo)為，每一次將繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，依次類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，利用每邊擴(kuò)大為原來的2倍即可解決問題．【詳解】解：由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，，點(diǎn)在第四象限，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．24．（2021·湖北十堰市·中考真題）如圖，小明利用一個(gè)銳角是的三角板測(cè)量操場(chǎng)旗桿的高度，已知他與旗桿之間的水平距離為，為（即小明的眼睛與地面的距離），那么旗桿的高度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意得出AD的長(zhǎng)，在Rt△AED中利用銳角三角函數(shù)的定義求出ED的長(zhǎng)，由CE＝CD＋DE即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是矩形，∵BC＝15m，AB＝1.5m，∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，∵∠EAD＝30°，AD＝15m，∴ED＝AD?tan30°＝15×＝5，∴CE＝CD＋DE＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．25．（2021·浙江臺(tái)州市·中考真題）如圖，將長(zhǎng)、寬分別為12cm，3cm的長(zhǎng)方形紙片分別沿AB，AC折疊，點(diǎn)M，N恰好重合于點(diǎn)P．若∠α＝60°，則折疊后的圖案（陰影部分）面積為（）

A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24cm2 D．36cm2【答案】A【分析】過點(diǎn)C作，過點(diǎn)B作，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，，分別解直角三角形求出AB和AC的長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作，過點(diǎn)B作，∵長(zhǎng)方形紙片分別沿AB，AC折疊，點(diǎn)M，N恰好重合于點(diǎn)P，∴，∴，∴，，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、解直角三角形，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2021·湖南懷化市·中考真題）如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC、BD交于原點(diǎn)O，于E點(diǎn)，交BD于M點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點(diǎn)N，若，則ME的長(zhǎng)為（）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點(diǎn)N，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，可判定是等邊三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之間的數(shù)量關(guān)系求解．【詳解】∵菱形ABCD，∴∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）∵線段DC的中點(diǎn)N∴設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）又∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段DC的中點(diǎn)N∴，解得即C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），在中，∴∵菱形ABCD∴，，∴是等邊三角形又∵于E點(diǎn)，于O點(diǎn)∴，∵，，∴∴又∵在中，∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和特殊角的三角函數(shù)．菱形的性質(zhì)，四邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相垂直且平分一組對(duì)角．等邊三角形的判定，有一個(gè)角為角的等腰三角形是等邊三角形．特殊角的三角函數(shù)，，，．27．（2021·湖北十堰市·中考真題）如圖，內(nèi)接于是的直徑，若，則（）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】首先過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，由垂徑定理可得BF＝CF＝BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝AC，利用等邊對(duì)等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠C與∠BAC的度數(shù)，由BD為⊙O的直徑，即可求得∠BAD與∠D的度數(shù)，又由AD＝3，即可求得BD的長(zhǎng)，繼而求得BC的長(zhǎng)．【詳解】解：過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，∴BF＝CF＝BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝（180°?∠BAC）÷2＝30°，∵∠C與∠D是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝60°，∴∠OBC＝∠ABD?∠ABC＝30°，∵AD＝3，∴BD＝AD÷cos30°＝3÷=2，∴OB＝BD＝，∴BF＝OB?cos30°＝×＝，∴BC＝3．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意準(zhǔn)確作出輔助線．二、填空題28．（2021·江蘇無錫市·中考真題）一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，則前進(jìn)100米所上升的高度為________米．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)BC=x，則AB=7x，AC=，列出方程，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：設(shè)BC=x，則AB=7x，由題意得：，解得：x=，故答案為：．【點(diǎn)睛】u本題主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定義，利用勾股定理列出方程，是解題的關(guān)鍵．29．（2021·廣東中考真題）如圖，在中，．過點(diǎn)D作，垂足為E，則______．【答案】【分析】首先根據(jù)題目中的，求出ED的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長(zhǎng)，即可求出．【詳解】∵，∴△ADE為直角三角形，又∵，∴,解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中，,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高．30．（2021·安徽中考真題）如圖，圓O的半徑為1，內(nèi)接于圓O．若，，則______．【答案】【分析】先根據(jù)圓的半徑相等及圓周角定理得出∠ABO=45°，再根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形即可【詳解】解：連接OB、OC、作OD⊥AB∵∴∠BOC=2∠A=120°∵OB=OC∴∠OBC=30°又∴∠ABO=45°在Rt△OBD中，OB=1∴BD==∵OD⊥AB∴BD=AD=∴AB=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理，正確使用圓的性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵31．（2021·海南中考真題）如圖，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是_____．【答案】【分析】根據(jù)的坐標(biāo)求得的長(zhǎng)度,，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求得的長(zhǎng)度，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易得軸，則的縱坐標(biāo)即的縱坐標(biāo)．【詳解】的坐標(biāo)分別是軸．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)有特殊角的三角函數(shù)，在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟記特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．32．（2021·甘肅武威市·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，，則________．

【答案】6【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解再利用銳角三角函數(shù)依次求解即可得到答案．【詳解】解：是邊的中點(diǎn)，，矩形，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．33．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格圖中，已知點(diǎn)A、B、C、D、O均在格點(diǎn)上，其中A、B、D又在上，點(diǎn)E是線段與的交點(diǎn)．則的正切值為________．【答案】【分析】由題意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∵∠BAE=∠BDC，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及圓周角定理，熟練掌握三角函數(shù)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．34．（2021·湖南中考真題）如圖，在中，，，，交于點(diǎn)．點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】【分析】過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，由題意易得BD=4，則有AD=3，然后可得，進(jìn)而可得即為，若使的值為最小，也就相當(dāng)于為最小，則有當(dāng)點(diǎn)C、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，的值為最小，最后問題可求解．【詳解】解：過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示：∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，若使的值為最小，也就相當(dāng)于為最小，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，的值為最小，如圖所示：∵，∴，∴的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”模型找到最小值的情況，然后進(jìn)行求解即可．35．（2021·湖北武漢市·中考真題）如圖，海中有一個(gè)小島，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)測(cè)得小島在北偏東方向上；航行到達(dá)點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島在北偏東方向上．小島到航線的距離是__________（，結(jié)果用四舍五入法精確到0.1）．【答案】10.4【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)題意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，從而得到AC=BC=12,利用sin60°=計(jì)算AD即可【詳解】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)題意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，∴∠ABC=∠CAB=30°，∴AC=BC=12,∵sin60°=，∴AD=ACsin60°=12=6≈10.4故答案為：10.4.【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，解直角三角形，準(zhǔn)確理解方位角的意義，構(gòu)造高線解直角三角形是解題的關(guān)鍵．36．（2021·四川樂山市·中考真題）如圖，為了測(cè)量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點(diǎn)處測(cè)得石碑頂點(diǎn)的仰角為，她朝石碑前行5米到達(dá)點(diǎn)處，又測(cè)得石頂點(diǎn)的仰角為，那么石碑的高度的長(zhǎng)________米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】先根據(jù)已知條件得出△ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60°×AD計(jì)算即可【詳解】解：由題意可知：∠A=30°，∠ADB=60°∴∠CAD=30°∴△ADC是等腰三角形，∴DA=DC又DC=5米故AD=5米在Rt△ADB中，∠ADB=60°∴AB=sin60°×AD=米故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練記憶特殊角的銳角三角函數(shù)值是關(guān)鍵37．（2021·四川樂山市·中考真題）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，于點(diǎn)，連接．若直線與正半軸所夾的銳角為，那么當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值為________．【答案】【分析】設(shè)直線y＝﹣2與y軸交于G，過A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABH＝α，由三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)直線y＝﹣2與y軸交于G，過A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，∵BH∥x軸，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，,，即=∵sinα隨BA的減小而增大，∴當(dāng)BA最小時(shí)sinα有最大值；即BH最小時(shí)，sinα有最大值，即BG最大時(shí)，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，∵∴當(dāng)n時(shí)，BG最大值故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線證得△ACF∽△CBG是解題的關(guān)鍵．38．（2021·浙江衢州市·中考真題）圖1是某折疊式靠背椅實(shí)物圖，圖2是椅子打開時(shí)的側(cè)面示意圖，椅面CE與地面平行，支撐桿AD，BC可繞連接點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，且，椅面底部有一根可以繞點(diǎn)H轉(zhuǎn)動(dòng)的連桿HD，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)A，EB均與地面垂直，測(cè)得，，．（1）椅面CE的長(zhǎng)度為_________cm．（2）如圖3，椅子折疊時(shí)，連桿HD繞著支點(diǎn)H帶動(dòng)支撐桿AD，BC轉(zhuǎn)動(dòng)合攏，椅面和連桿夾角的度數(shù)達(dá)到最小值時(shí)，A，B兩點(diǎn)間的距離為________cm（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】4012.5【分析】（1）過點(diǎn)C作CM垂直AF，垂足為M，，列比例求出CM長(zhǎng)度，則CE=AB-CM；（2）根據(jù)圖2可得，對(duì)應(yīng)袋圖3中求出CD長(zhǎng)度，列比例求AB即可．【詳解】解：（1）過點(diǎn)C作CM垂直AF，垂足為M，∵椅面CE與地面平行，∴，∴，解得：CM=8cm，∴CE=AB-CM=48-8=40cm；故答案為：40；（2）在圖2中，∵，椅面CE與地面平行，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵H是CD的中點(diǎn)，∴，∵椅面CE與地面平行，∴，∴，圖3中，過H點(diǎn)作CD的垂線，垂足為N，因?yàn)椋?，∴，∴，∴，解得：，故答案為?2.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，找到對(duì)應(yīng)相似三角形并正確列出比例是解決本題的關(guān)鍵．39．（2021·浙江中考真題）如圖，已知在中，，則的值是______．【答案】【分析】在直角三角形中，銳角的正弦=銳角的對(duì)邊：直角三角形的斜邊，根據(jù)定義直接可得答案．【詳解】解：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正弦的含義，掌握銳角的正弦的定義是解題的關(guān)鍵．40．（2021·浙江寧波市·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊上，G為中點(diǎn)，連結(jié)分別與交于M，N兩點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為________，的值為__________．【答案】2【分析】由與關(guān)于直線對(duì)稱，矩形證明再證明可得再求解即可得的長(zhǎng)；先證明可得：設(shè)則再列方程，求解即可得到答案．【詳解】解：與關(guān)于直線對(duì)稱，矩形矩形為的中點(diǎn)，如圖，四邊形都是矩形，設(shè)則解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，但不合題意，舍去，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的解法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．41．（2021·四川樂山市·中考真題）在中，．有一個(gè)銳角為，．若點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)、重合），且，則的長(zhǎng)為________．【答案】或或2【分析】依據(jù)題意畫出圖形，分類討論，解直角三角形即可．【詳解】解：情形1：，則，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；情形2：，則，，，∵，∴，∴，解得；情形3：，則，，，∵，∴；故答案為：或或2．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．42．（2021·湖北荊州市·中考真題）如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，，可分別繞點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知，．當(dāng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到，時(shí)，點(diǎn)到的距離為_____________cm．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】6.3【分析】作輔助線如圖，則四邊形CDGF是矩形，可得CD=FG，然后分別解直角△ABG和直角△BCF求出BG和BF的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，作CD⊥AE于點(diǎn)D，作BG⊥AE于點(diǎn)G，作CF⊥BG于點(diǎn)F，則四邊形CDGF是矩形，∴CD=FG，在直角△ABG中，，，∴（cm），∠ABG=30°，∵，∴∠CBF=20°，∴∠BCF=70°，在直角△BCF中，，∠BCF=70°，∴（cm），∴CD=FG=（cm），即點(diǎn)到的距離為6.3cm；故答案為：6.3．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于常考題型，正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形、掌握求解的方法是關(guān)鍵．43．（2021·山西中考真題）太原地鐵2號(hào)線是山西省第一條開通運(yùn)營(yíng)的地鐵線路，于2020年12月26日開通．如圖是該地鐵某站扶梯的示意圖，扶梯的坡度（為鉛直高度與水平寬度的比）．王老師乘扶梯從扶梯底端以0.5米/秒的速度用時(shí)40秒到達(dá)扶梯頂端，則王老師上升的鉛直高度為__________米．【答案】【分析】根據(jù)坡比列比例求解即可．【詳解】解：∵的坡度，∴，∵米，∴，解得：，故答案為：．．

【點(diǎn)睛】本題主要考查坡比的概念，根據(jù)坡比列出比例是解決本題的關(guān)鍵．44．（2021·湖北宜昌市·中考真題）“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時(shí)廣泛使用的一種圖形．如圖，以邊長(zhǎng)為2厘米的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”，該“萊洛三角形”的面積為____________平方厘米．（圓周率用表示）【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出相關(guān)的邊、角數(shù)值，計(jì)算出扇形面積和弓形面積，從而推算出陰影面積即可．

【詳解】解：如下圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)D，∵為等邊三角形，，∴，，在中，，∴，∴，，∴，∴，故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查的圓內(nèi)陰影面積的求法、扇形面積的計(jì)算、等邊三角形性質(zhì)與面積計(jì)算、銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意找見相關(guān)的等量是解題關(guān)鍵．45．（2021·湖北黃岡市·中考真題）如圖，建筑物上有一高為的旗桿，從D處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為，觀測(cè)旗桿底部B的仰角為，則建筑物的高約為_____（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)，，）【答案】【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，設(shè)，從而可得，再在中，利用正切三角函數(shù)解直角三角形即可得．【詳解】解：由題意得：，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，在中，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，且符合題意，

即建筑物的高約為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．46．（2021·四川眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．

【答案】【分析】過M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小為MH，再算出MC的長(zhǎng)度，在直角三角形MPC中利用三角函數(shù)即可解得MH【詳解】過M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC為等邊三角形∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=∴此時(shí)得到最小值，∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時(shí)的P點(diǎn)是解題關(guān)鍵.47．（2021·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，射線、互相垂直，，點(diǎn)位于射線的上方，且在線段的垂直平分線上，連接，．將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段，若點(diǎn)恰好落在射線上，則點(diǎn)到射線的距離______．

【答案】【分析】添加輔助線，連接，過點(diǎn)作交ON與點(diǎn)P．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，在和中，，根據(jù)三角函數(shù)和已知線段的長(zhǎng)度求出點(diǎn)到射線的距離．【詳解】如圖所示，連接，過點(diǎn)作交ON與點(diǎn)P．

∵線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段∴，∴即∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上∴，∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)．對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連的線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．48．（2021·新疆中考真題）如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，E為AB邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心，將按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，連接EF，分別交BD，CD于點(diǎn)M，N．若，則__________．【答案】【分析】過點(diǎn)E作EP⊥BD于P，將∠EDM構(gòu)造在直角三角形DEP中，設(shè)法求出EP和DE的長(zhǎng)，然后用三角函數(shù)的定義即可解決．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=1，．∵△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DCF，∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°．設(shè)AE=CF=2x，DN=5x，則BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x．∵AB∥DC，∴．

∴．∴．整理得，．解得，，（不合題意，舍去）．∴．∴．過點(diǎn)E作EP⊥BD于點(diǎn)P，如圖所示，

設(shè)DP=y，則．∵，∴．解得，．∴．∴在Rt△DEP中，．即．

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)點(diǎn)，熟知各類圖形的性質(zhì)與判定是解題的基礎(chǔ)，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．49．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為___________．【答案】．【分析】首先證明，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的?。B接CO交⊙O于，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，CP取到最小值．【詳解】如圖所示，∵邊長(zhǎng)為6的等邊，∴，又∵∴∴∴∴∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧此時(shí)連接CO交⊙O于，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，CP取到最小值∵，，∴∴，∴又∵∴，∴即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓、特殊角的三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)．關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，該題綜合性較強(qiáng)．三、解答題50．（2021·廣東中考真題）如圖，在中，，作的垂直平分線交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．（1）若，求的周長(zhǎng)；（2）若，求的值．【答案】（1）1；（2）【分析】(1)作出BC的垂直平分線，連接BD，由垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周長(zhǎng)；(2)設(shè)，，進(jìn)而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．【詳解】解：(1)如圖，連接，設(shè)垂直平分線交于點(diǎn)F，∵為垂直平分線，∴，∵，∴．(2)設(shè)，∴，又∵，∴，在中，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等是解決本題的關(guān)鍵．51．（2021·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）計(jì)算；【答案】【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、代入特殊角的三角函數(shù)值分別化簡(jiǎn)計(jì)算即可得答案．【詳解】=2+1-2×+=．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算，包含負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值，熟練掌握運(yùn)算法則并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．52．（2021·湖南中考真題）“2021湖南紅色文化旅游節(jié)——重走青年毛澤東游學(xué)社會(huì)調(diào)查之路”啟動(dòng)儀式于4月29日在安化縣梅城鎮(zhèn)舉行．該鎮(zhèn)南面山坡上有一座寶塔，一群愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生在研學(xué)之余對(duì)該寶塔的高度進(jìn)行了測(cè)量．如圖所示，在山坡上的A點(diǎn)測(cè)得塔底B的仰角，塔頂D的仰角，斜坡米，求寶塔的高（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】寶塔的高約為27米．【分析】先在中，解直角三角形分別求出的長(zhǎng)，再在中，解直角三角形可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)即可得．【詳解】解：在中，（米），（米），在中，（米），則，，，（米），答：寶塔的高約為27米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．53．（2021·湖南中考真題）已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）過C作于點(diǎn)D，解直角三角形即可；（2）由已知條件可知，求得，勾股定理求得，解即可求得的長(zhǎng)【詳解】（1）如圖，過C作于點(diǎn)D,即（2），，,在中，設(shè)，則在中，即:解得：（不符題意，舍）【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．54．（2021·湖南張家界市·中考真題）張家界大峽谷玻璃橋是我市又一聞名中外的五星景點(diǎn)．某校初三年級(jí)在一次研學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)研學(xué)小組設(shè)計(jì)以下方案測(cè)量橋的高度．如圖，在橋面正下方的谷底選一觀測(cè)點(diǎn)，觀測(cè)到橋面，的仰角分別為，測(cè)得長(zhǎng)為320米，求觀測(cè)點(diǎn)到橋面的距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】277米【分析】過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)已知條件可得，在中，求出AD即可【詳解】解：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)由圖可知：，AM∥CD∴∠B=∠BAM=30°，∠DCA=∠CAM=60°∴∴∴在中，∴，即∴（米）答．觀測(cè)點(diǎn)到橋面的距離是277米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、根據(jù)三角函數(shù)正確列方程是解題的關(guān)鍵．55．（2021·黑龍江綏化市·中考真題）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實(shí)線所示，底座為，點(diǎn)在同一條直線上，測(cè)得，，其中一段支撐桿，另一段支撐桿，求支撐桿上的點(diǎn)到水平地面的距離是多少?（用四舍五入法對(duì)結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）【答案】點(diǎn)到水平地面的距離約為．【分析】過作交于，過作交延長(zhǎng)線于，證明四邊形FMDN為矩形，得到MF=DN，在Rt△BDN中求出DN的長(zhǎng)，再在Rt△MED中求出EM的長(zhǎng)，最后將EM與MF相加即得到答案．【詳解】解：過作交于，過作交延長(zhǎng)線于，如下圖所示：在中，，由30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半可知，，，，，，，在中：，代入數(shù)據(jù)：，∴四邊形是矩形，，，，又已知，在中：，，，故點(diǎn)到水平地面的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．56．（2021·浙江寧波市·中考真題）我國(guó)紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)．如圖2是傘完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈D已滑動(dòng)到點(diǎn)的位置，且A，B，三點(diǎn)共線，，B為中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，傘完全張開．

（1）求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）20cm；（2）26.4cm【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可求得；（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出．利用角平分線的性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求出AE，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵B為中點(diǎn)，∴，∵，∴．（2）如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．

∵，∴．∵平分，∴．在中，，∴，∴．∵，∴，∴傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確構(gòu)建直角三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．57．（2021·江西中考真題）圖1是疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)小紅測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄與手臂始終在同一直線上，槍身與額頭保持垂直量得胳膊，，肘關(guān)節(jié)與槍身端點(diǎn)之間的水平寬度為（即的長(zhǎng)度），槍身．圖1（1）求的度數(shù)；（2）測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)與額頭距離范圍為．在圖2中，若測(cè)得，小紅與測(cè)溫員之間距離為問此時(shí)槍身端點(diǎn)與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）∠ABC的度數(shù)為113.6；（2）槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離在規(guī)定范圍內(nèi)．理由見解析【分析】（1）過B作BK⊥MP于點(diǎn)K，在Rt△BMK中，利用三角形函數(shù)的定義求得∠BMK，即可求解；（2）延長(zhǎng)PM交FG于點(diǎn)H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函數(shù)的定義即可求得的長(zhǎng)，比較即可判斷．【詳解】解：（1）過B作BK⊥MP于點(diǎn)K，由題意可知四邊形ABKP為矩形，∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，在Rt△BMK中，，∴∠BMK，∴∠MBK=90-=23.6，∴∠ABC=23.6+90=113.6，答：∠ABC的度數(shù)為113.6；（2）延長(zhǎng)PM交FG于點(diǎn)H，由題意得：∠NHM=90，∴∠BMN，∠BMK，∴∠NMH，在Rt△NMH中，，∴(cm)，∴槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離為(cm)，∵，∴槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離在規(guī)定范圍內(nèi)．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．58．（2021·甘肅武威市·中考真題）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測(cè)得和的度數(shù)（在同一條直線上）．?dāng)?shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測(cè)量：地面上兩點(diǎn)的距離為．問題解決：求寶塔的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過程．【答案】【分析】設(shè)，再利用銳角三角函數(shù)用含的代數(shù)式表示再列方程，解方程可得答案．【詳解】解：設(shè)，在中，，在中，，，解得，．答：寶塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．59．（2021·青海中考真題）如圖1是某中學(xué)教學(xué)樓的推拉門，已知門的寬度米，且兩扇門的大小相同（即），將左邊的門繞門軸向里面旋轉(zhuǎn)，將右邊的門繞門軸向外面旋轉(zhuǎn)，其示意圖如圖2，求此時(shí)與之間的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)，，）．【答案】1.4米【分析】作BE⊥AD于點(diǎn)E，作CF⊥AD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC到點(diǎn)M，使得BE=CM，則EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出EF的長(zhǎng)度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的長(zhǎng)，此題得解．【詳解】解：作BE⊥AD于點(diǎn)E，作CF⊥AD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC到點(diǎn)M，使得BE=CM，如圖所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=35°，∴BE=AB?sin∠A=≈0.6，AE=AB?cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD?sin∠D≈0.7，DF=CD?cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四邊形BEMC為平行四邊形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD-AE-DF=0.5，F(xiàn)M=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B與C之間的距離約為1.4米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．60．（2021·四川成都市·中考真題）越來越多太陽能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角，在與點(diǎn)A相距3.5米的測(cè)點(diǎn)D處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角（點(diǎn)A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：）【答案】8米【分析】過E作EF⊥MN于F，連接EB，設(shè)MF=x米，可證四邊形FNDE，四邊形FNAB均是矩形，設(shè)MF=EF=x，可求FB=x+3.5，由tan∠MBF=，解得米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米．【詳解】解：過E作EF⊥MN于F，連接EB，設(shè)MF=x米，∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，∴四邊形FNDE，四邊形FNAB均是矩形，∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，∴MF=EF=x,∴FB=FE+EB=x+3.5，∴tan∠MBF=，∴解得米，經(jīng)檢驗(yàn)米符合題意，∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米．【點(diǎn)睛】本題考查矩形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，簡(jiǎn)單方程，掌握矩形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，簡(jiǎn)單方程是解題關(guān)鍵．61．（2021·山東聊城市·中考真題）時(shí)代中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行紅色研學(xué)活動(dòng)．學(xué)生到達(dá)愛國(guó)主義教育基地后，先從基地門口A處向正南方向走300米到達(dá)革命紀(jì)念碑B處，再?gòu)腂處向正東方向走到黨史紀(jì)念館C處，然后從C處向北偏西37°方向走200米到達(dá)人民英雄雕塑D處，最后從D處回到A處．已知人民英雄雕塑在基地門口的南偏東65°方向，求革命紀(jì)念碑與黨史紀(jì)念館之間的距離（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】420米【分析】過D點(diǎn)分別作DEBC，DFAB，垂足分別是點(diǎn)E，點(diǎn)F．由三角函數(shù)可求，．可證四邊形BEDF是矩形，可求AF＝140,在Rt△ADF中，利用三角函數(shù)可求DF＝AF·tan65°≈299.60.,可求BC＝BE＋CE≈420（米）．【詳解】解∶過D點(diǎn)分別作DEBC，DFAB，垂足分別是點(diǎn)E，點(diǎn)F．由題意得，＝37°．在R△CDE中∵，，．，．∴四邊形BEDF是矩形，∴BE＝DF，BF＝DE＝160，∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.在Rt△ADF中，，∴DF＝AF·tan65°≈140×2.14＝299.60.∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420（米）．所以，革命紀(jì)念碑與黨史紀(jì)念館之間的距離約為420米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，矩形判定與性質(zhì)，掌握銳角三角函數(shù)的定義與矩形判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．62．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，某無人機(jī)愛好者在一小區(qū)外放飛無人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛行到一定高度D點(diǎn)處時(shí)，無人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為，測(cè)得小區(qū)樓房頂端點(diǎn)C處的俯角為．已知操控者A和小區(qū)樓房之間的距離為45米，小區(qū)樓房的高度為米．（1）求此時(shí)無人機(jī)的高度；（2）在（1）條件下，若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．問：經(jīng)過多少秒時(shí)，無人機(jī)剛好離開了操控者的視線？（假定點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面內(nèi)．參考數(shù)據(jù)：，．計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）米；（2）秒【分析】（1）通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，進(jìn)而得到DH的值；（2）先利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠BA