山東省2022年中考數(shù)學(xué)(六三制)一輪習(xí)題-題型六二次函數(shù)綜合題

題型六二次函數(shù)綜合題類(lèi)型1線段、周長(zhǎng)問(wèn)題(2019·德州臨邑二模)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－eq\f(9,2)與x軸交于A(1，0)，B(6，0)兩點(diǎn)，D是y軸上一點(diǎn)，連接DA并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)E.(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)E在第一象限，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，△ADO與△AEF的面積比為eq\f(S△ADO,S△AEF)＝eq\f(1,9)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)D是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作與x軸平行的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使DA2＝DM·DN？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定，可得AF的長(zhǎng)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；(3)設(shè)D(0，n)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得AD的長(zhǎng)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1·x2，根據(jù)DA2＝DM·DN，可得關(guān)于n的方程，解方程，即可得答案．【規(guī)范解答】1．(2021·德州)小剛在用描點(diǎn)法畫(huà)拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c時(shí)，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…(1)請(qǐng)根據(jù)表格中的信息，寫(xiě)出拋物線C1的一條性質(zhì)：________________________________________________________________________；(2)求拋物線C1的解析式；(3)將拋物線C1先向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線C2；①若直線y＝eq\f(1,2)x＋b與兩拋物線C1，C2共有兩個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍；②拋物線C2的頂點(diǎn)為A，與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)B，C(B在C左側(cè))，點(diǎn)P(不與點(diǎn)A重合)在第二象限內(nèi)，且為C2上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，直線AP交y軸于點(diǎn)Q，連接AB，DQ.求證：AB∥DQ.類(lèi)型2圖形面積問(wèn)題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－5交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B(－5，0)和點(diǎn)C(1，0)，過(guò)點(diǎn)A作AD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D.(1)求此拋物線的解析式；(2)E是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線AD上，求△EAD的面積；(3)若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABP的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積．【思路分析】(1)根據(jù)題意可以求得a，b的值，從而可以求得拋物線的解析式；(2)根據(jù)題意可以求得AD的長(zhǎng)和點(diǎn)E到AD的距離，從而可以求得△EAD的面積；(3)根據(jù)題意可以求得直線AB的函數(shù)解析式，再根據(jù)題意可以求得△ABP的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題．【規(guī)范解答】2．(2019·日照)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－5x＋5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B.(1)求拋物線解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA，MB，BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；(3)如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC＋eq\f(1,2)PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由．圖1圖2

類(lèi)型3角度問(wèn)題(2019·煙臺(tái))如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸交于A(－1，0)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸交拋物線于另一點(diǎn)D，作DE⊥x軸，垂足為E.雙曲線y＝eq\f(6,x)(x>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，連接MD，BD.(1)求拋物線的解析式；(2)N，F(xiàn)分別是x軸、y軸上的兩點(diǎn)，當(dāng)以M，D，N，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)N，F(xiàn)的坐標(biāo)；(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，∠BPD的度數(shù)最大？(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果)【思路分析】(1)由已知求出D點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)A(－1，0)和D(2，3)代入y＝ax2＋bx＋3即可；(2)作M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，作D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接M′D′與x軸、y軸分別交于點(diǎn)N，F(xiàn)，則以M，D，N，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)最小，即為M′D′＋MD的長(zhǎng)；(3)設(shè)P(0，t)，作△PBD的外接圓N，當(dāng)⊙N與y軸相切時(shí)，∠BPD的度數(shù)最大．【規(guī)范解答】3．(2019·德州)如圖，拋物線y＝mx2－eq\f(5,2)mx－4與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且x2－x1＝eq\f(11,2).(1)求拋物線的解析式；(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)a≤x1≤a＋2，x2≥eq\f(9,2)時(shí)，均有y1≤y2，求a的取值范圍；(3)拋物線上一點(diǎn)D(1，－5)，直線BD與y軸交于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M在線段BD上，當(dāng)∠BDC＝∠MCE時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．類(lèi)型4特殊三角形存在性問(wèn)題(2021·煙臺(tái))如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，B(4，0)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC＝2OA，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E.直線y＝mx＋n經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．(1)求拋物線及直線BC的函數(shù)解析式；(2)F是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)FA＋FC的值最小時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及FA＋FC的最小值；(3)連接AC，若P是拋物線上對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)一點(diǎn)，Q是直線BC上一點(diǎn)，試探究是否存在以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的Rt△PEQ，且滿(mǎn)足tan∠EQP＝tan∠OCA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為所求點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)FA＋FC的值最小，進(jìn)而求解；(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè)時(shí)，證明△QME∽△ENP，則eq\f(PN,ME)＝eq\f(EN,QM)＝eq\f(PE,QE)＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，進(jìn)而求解；②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，同理可解．4．(2021·濟(jì)南)拋物線y＝ax2＋bx＋3過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，點(diǎn)B(3，0)，頂點(diǎn)為C.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P在拋物線上．連接CP并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，連接AC，若△DAC是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，在(2)的條件下，點(diǎn)E是線段AC上(與點(diǎn)A，C不重合)的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，作∠PEF＝∠CAB，邊EF交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，求m的取值范圍．類(lèi)型5特殊四邊形存在性問(wèn)題(2020·四川遂寧)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的頂點(diǎn)M與對(duì)稱(chēng)軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線AN交拋物線于點(diǎn)D，直線BE交AD于點(diǎn)E，若直線BE將△ABD的面積分為1∶2兩部分，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－1)·(x－3)，把點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式，可求解；(2)先求出點(diǎn)M，點(diǎn)N坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求AD解析式，聯(lián)立方程組可求點(diǎn)D坐標(biāo)，可求S△ABD＝eq\f(1,2)×2×6＝6，設(shè)點(diǎn)E(m，2m－2)，分兩種情況討論，利用三角形面積公式可求解；(3)分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解．【規(guī)范解答】5．(2021·淄博)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(m－1,2)x＋eq\f(m,2)(m＞0)與x軸交于A(－1，0)，B(m，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC.(1)若OC＝2OA，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)在(1)的條件下，點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線y＝eq\f(1,2)x＋b與拋物線交于B，G兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)E(在拋物線上)，點(diǎn)F(在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上)，使得以B，G，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案【類(lèi)型清單·過(guò)方法關(guān)】【例1】解：(1)y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(21,4)x－eq\f(9,2).(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(4，eq\f(9,2))．(3)存在點(diǎn)D，使DA2＝DM·DN，且D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－eq\f(5,3))或(0，3)．設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，n)，則AD2＝1＋n2.當(dāng)y＝n時(shí)，－eq\f(3,4)x2＋eq\f(21,4)x－eq\f(9,2)＝n，化簡(jiǎn)得－3x2＋21x－18－4n＝0.設(shè)方程的兩根為x1，x2，∴x1·x2＝eq\f(18＋4n,3).DM＝x1，DN＝x2，DA2＝DM·DN，即1＋n2＝eq\f(18＋4n,3)，解得n1＝－eq\f(5,3)，n2＝3，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(0，－eq\f(5,3))或(0，3)．【跟蹤訓(xùn)練】1．解：(1)函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)(答案不唯一)．(2)拋物線的解析式為y＝－x2＋4x＋3.(3)∵y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，∴將拋物線向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線C2的解析式為y＝－(x－2＋4)2＋7－3＝－(x＋2)2＋4.①由題意可畫(huà)出圖象如下圖1.當(dāng)直線過(guò)C1頂點(diǎn)與C1相切時(shí)，與兩拋物線只有1個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線過(guò)C2頂點(diǎn)與C2相切時(shí)，與C2只有一個(gè)交點(diǎn)，與兩拋物線共有3個(gè)交點(diǎn)，向下平移，直線與兩拋物線均有大于或等于3個(gè)交點(diǎn)，∴b2<b<b1時(shí)，與兩拋物線有2個(gè)交點(diǎn)．聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋b1，,y＝－x2＋4x＋3，))得－x2＋eq\f(7,2)x＋3－b1＝0.∵只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝(eq\f(7,2))2－4×(－1)×(3－b1)＝0，解得b1＝eq\f(97,16).聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋b2，,y＝－（x＋2）2＋4，))得x2＋eq\f(9,2)x＋b2＝0.∵只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝(eq\f(9,2))2－4b2＝0，解得b2＝eq\f(81,16)，∴eq\f(81,16)<b<eq\f(97,16).③由題意可畫(huà)出圖象，如圖2.∵y＝－(x＋2)2＋4＝－x2－4x，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，4)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，－m2－4m)．令y＝0，即－x2－4x＝0，解得x1＝－4，x2＝0，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－4，0)．如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸．則AH＝4，BH＝2，∴tan∠ABO＝eq\f(AH,BH)＝eq\f(4,2)＝2.設(shè)直線AP的解析式為y＝kx＋d，將(m，－m2－4m)，(－2，4)代入解得k＝－(m＋2)，d＝－2m，∴y＝－(m＋2)x－2m，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，－2m)，∴QO＝－2m.∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，－m2－4m)，∴DO＝－m，∴tan∠QDO＝eq\f(QO,DO)＝eq\f(－2m,－m)＝2，∴∠ABO＝∠QDO，∴AB∥DQ.【例2】解：(1)拋物線的解析式為y＝x2＋4x－5.(2)S△EAD＝20.(3)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－eq\f(5,2)，－eq\f(35,4))時(shí)，△ABP的面積最大為eq\f(125,8).【跟蹤訓(xùn)練】2．解：(1)拋物線解析式為y＝x2－6x＋5，點(diǎn)B坐標(biāo)為(5，0)．(2)M(3，－4)，S四邊形AMBC＝eq\f(1,2)×4×5＋eq\f(1,2)×4×4＝18.(3)如圖，在線段AB上取點(diǎn)N，使BN＝1，即N(4，0)，連接PN，BP，CN.∵eq\f(BN,BP)＝eq\f(1,2)，BA＝5－1＝4，BP＝2，∴eq\f(BP,BA)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).又∵∠NBP＝∠PBA.∴△NBP∽△PBA，∴eq\f(NP,PA)＝eq\f(BP,BA)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)PA＝NP，∴PC＋eq\f(1,2)PA＝PC＋PN.當(dāng)PC＋eq\f(1,2)PA最小時(shí)，即PC＋PN最小，此時(shí)點(diǎn)C，P，N三點(diǎn)共線．∵C(0，5)，N(4，0)，∴OC＝5，ON＝4.在Rt△CON中，由勾股定理得CN＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，∴PC＋eq\f(1,2)PA的最小值CN＝eq\r(41).【例3】解：(1)拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3.(2)如圖，分別作點(diǎn)M，D關(guān)于y軸，x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，D′，連接M′D′交x軸，y軸于點(diǎn)N，F(xiàn)，則以M，D，N，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)最小，即為M′D′＋MD的長(zhǎng)．由拋物線的解析式可知，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)(1，4)，∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)(－1，4)．設(shè)直線M′D′的解析式為y＝kx＋t.∵點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(2，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋t＝4，,2k＋t＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(7,3)，,b＝\f(5,3)，))∴直線M′D′的解析式為y＝－eq\f(7,3)x＋eq\f(5,3).令y＝0，則－eq\f(7,3)x＋eq\f(5,3)＝0，解得x＝eq\f(5,7)，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(eq\f(5,7)，0)．令x＝0，則y＝eq\f(5,3)，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，eq\f(5,3))．(3)9－2eq\r(15).【跟蹤訓(xùn)練】3．解：(1)拋物線的解析式為y＝eq\f(2,3)x2－eq\f(5,3)x－4.(2)－2≤a≤eq\f(5,2).(3)如圖，連接BC，CM，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OE于點(diǎn)G.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(32,23)，－eq\f(100,23))．【例4】解：(1)拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,2)