專題2.2 等腰三角形的性質(zhì)與判定【十大題型】（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題2.2等腰三角形的性質(zhì)與判定【十大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)等邊對等角求角度】 1【題型2根據(jù)等邊對等角證明】 2【題型3根據(jù)三線合一求解】 4【題型4根據(jù)三線合一證明】 5【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】 6【題型7根據(jù)等角對等邊證明邊相等】 9【題型8根據(jù)等角對等邊求邊長】 10【題型9求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個(gè)數(shù)】 11【題型10等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】 12【知識點(diǎn)等腰三角形】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.【題型1根據(jù)等邊對等角求角度】【例1】（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°得到△A'BC'，點(diǎn)A'恰好落在AC上，連接CC'，則∠ACC'度數(shù)為（

）

A．110° B．105° C．100° D．95°【變式1-1】（2023春·廣東梅州·八年級?？计谀┰凇鰽BC中，AB=AC，BD是AC邊上的高，∠ABD=50°，則∠C的度數(shù)為．【變式1-2】（2023春·四川達(dá)州·八年級?？计谥校┤鐖D，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1

A．12n75° B．12n-165°【變式1-3】（2023春·海南海口·八年級校考期中）如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且∠ADE=∠AED，連接DE．(1)如圖①，∠B=∠C=36°，∠BAD=72°，求∠CDE的度數(shù)．(2)如圖②，若∠ABC=∠ACB=65°，∠CDE=20°，求∠BAD的度數(shù)．(3)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B、C重合），試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【題型2根據(jù)等邊對等角證明】【例2】（2023春·湖南·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠A=45°，點(diǎn)D在AB邊上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證△DCE≌△CBF；(2)若AB=AC，求證DE=1【變式2-1】（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于點(diǎn)E，求證：AD=CE．【變式2-2】（2023春·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，AB=ED，求證：∠DBC=∠DCB．【變式2-3】（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，D為線段CB延長線上一點(diǎn)，連接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于點(diǎn)E、F，且(1)猜想∠DAC與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求證AD=DC+EC．【題型3根據(jù)三線合一求解】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為CA延長線上一點(diǎn)，DH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)F為AB延長線上一點(diǎn)，連接DF交CB的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，若BH=2，BE=2BH，則BC=．

【變式3-1】（2023春·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，連接BE，交AD于點(diǎn)F．若∠C=66°，則∠AFE的度數(shù)為（

）

A．48° B．62° C．72° D．82°【變式3-2】（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，邊BC的垂直平分線為l，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn)，連接CF，∠ACF=∠CBG．(1)若∠FCM=18°，則∠BGC的度數(shù)為______；(2)若點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，判斷CF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【題型4根據(jù)三線合一證明】【例4】（2023春·福建莆田·八年級校考期中）如圖，ΔABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，DE//AC(1)求證：EB=ED．(2)求證：AE=DE．【變式4-1】（2023春·湖南益陽·八年級?？计谥校﹥山M鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形．如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點(diǎn)O，求證：

(1)△ABC≌△ADC；(2)AC⊥BD．【變式4-2】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在直線AB、AC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持(1)如圖①，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上，DE與DF相等且(2)如圖②，若點(diǎn)E、F分別在線段AB、【變式4-3】（2023春·河北廊坊·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），連接CE，點(diǎn)F為CE上一點(diǎn)，BF始終垂直于CE，交直線CD于點(diǎn)

(1)點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)（如圖1），當(dāng)CG=AE時(shí)，求證：BG=CE；(2)若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上（如圖2），當(dāng)CG=AE時(shí)，試猜想BG、(3)過點(diǎn)A作AH⊥CE，垂足為點(diǎn)H，并交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖3），求證：△BCE≌△CAM．【題型5根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】【例5】（2023春·上海浦東新·八年級校聯(lián)考期末）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E分別在CA，BA的延長線上，且BE＝CD，連BD，CE．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，則圖中共有個(gè)等腰三角形．【變式5-1】（2023春·廣西欽州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-2】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ABC=72°，∠A=36°，用尺規(guī)作圖作出射線BD交AC于點(diǎn)D，則圖中等腰三角形共有個(gè)．

【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，∠DAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，CE⊥BD．(1)求證：AD=BE；(2)如圖2，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE、CD，在不添加其他字母的條件下，寫出圖中四個(gè)等腰三角形．【題型6根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形】【例6】（2023春·重慶江北·八年級校考期中）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CBA與∠CAB的平分線相交于點(diǎn)E，延長AE交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于F，作EG∥AB交AC于點(diǎn)G(1)求證：△GEF為等腰三角形；(2)求證：AF+BD=AB．【變式6-1】（2023春·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠1+∠2=180°，GP平分∠BGH．(1)求證：△PGH是等腰三角形；(2)若∠1=116°，求∠GPD的度數(shù)．【變式6-2】（2023春·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD中，∠DCB+∠CBA=180°，過點(diǎn)D作∠CDE=∠CAB，DE與C交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)H．(1)求證：△CHD為等腰三角形；(2)若E為BC中點(diǎn)，猜想AH，HD與EH三者的數(shù)量關(guān)系．并證明之【變式6-3】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性，頂角為36°的等腰三角形我們稱之為黃金三角形，“黃金三角形“具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點(diǎn)的一條直線可以把它分成兩個(gè)小等腰三角形，為此，請你，解答問題：（1）已知如圖1：黃金三角形△ABC中，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，求證：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，請你設(shè)計(jì)三種不同的方法，將△ABC分割成三個(gè)等腰三角形，不要求寫出畫法，不要求證明，但是要標(biāo)出所分得的每個(gè)三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．（3）已知一個(gè)三角形可以被分成兩個(gè)等腰三角形，若原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36°，求原三角形的最大內(nèi)角的所有可能值．【題型7根據(jù)等角對等邊證明邊相等】【例7】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC=60°，∠C=45°．

(1)求證：AB=BD；(2)設(shè)BD與AE交于點(diǎn)F，求證：CE=BF+EF．【變式7-1】（2023春·天津·八年級期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，AB＝AC，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，求證：BD＝CE．【變式7-2】（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)D在BC的延長線上，連接AD，AE平分∠CAD交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與AC(1)求證：CG=CE；(2)若∠B=30°，∠CAD=40°，求∠AEF和∠(3)求證：∠D=2【變式7-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）已知：在銳角△ABC中，AD為BC邊上的高，∠ABD＝2∠CAD．(1)如圖1，求證：AB＝BC；(2)如圖2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且BE＝CD，連接DE，∠AED+∠BDE＝90°，求證∠ABC＝45°；(3)如圖3，在（2）的條件下，過B作BF⊥AC于點(diǎn)F，BF交AD于點(diǎn)G，連接CG，若S△CDG＝2，求△ABG的面積．【題型8根據(jù)等角對等邊求邊長】【例8】（2023春·山東聊城·八年級?？计谀┤鐖D，AD為△ABC的角平分線．(1)如圖1，若CE⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，AB=8，AC=5．求BE的長．(2)如圖2，若∠C=2∠B，點(diǎn)E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的長；（用含a、b的式子表示）【變式8-1】（2023春·浙江金華·八年級浙江省義烏市稠江中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，上午8時(shí)，一艘船從A處出發(fā)以15海里/小時(shí)的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)B處，從A,B兩點(diǎn)望燈塔C，測得∠NAC=35°,∠NBC=70°，則B處到燈塔C的距離為（

）A．45海里 B．30海里 C．20海里 D．15海里【變式8-2】（2023春·湖北襄陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，將一張長方形紙片ABCD按圖中那樣折疊，若AE＝5，AB＝12，BE【變式8-3】（2023春·遼寧盤錦·八年級?？计谥校┤鐖D，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB=∠DBA，又知AC=14，△CDB的周長為22，則DB的長為()A．6 B．7 C．8 D．9【題型9求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形的個(gè)數(shù)】【例9】（2023春·河北邢臺·八年級校考期末）題目：“如圖，已知∠AOB=30°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=x，MN=2，P是射線OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有3個(gè)，求x的取值范圍?！睂τ谄浯鸢?，甲答：x=0，乙答：0<x<2，丙答：2<x<4，則正確的是（

A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【變式9-1】（2023春·浙江·八年級期中）如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1=50°，點(diǎn)A在直線a上，直線b上存在點(diǎn)B，使以點(diǎn)O、A、A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式9-2】（2023春·廣東廣州·八年級校考期中）如圖，△ABC中∠ABC=40°，動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上，當(dāng)△ABD為等腰三角形，∠ADB=．

【變式9-3】（2016秋·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AC=BC＞AB，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與△ABC的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為個(gè)．【題型10等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】【例10】（2023春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=∠ABC=42°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，將△ACE沿著AE翻折得到△AFE，連接CF，若E，F(xiàn)，B三點(diǎn)恰好在同一條直線上，則∠CFA的度數(shù)是（

）A．75° B．78° C．80° D．84°【變式10-1】（2023春·黑龍江大慶·八年級校考期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF(E在BC上，F(xiàn)在AC上)折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為度．

【變式10-2】（2023春·福建漳州·八年