第06講 有理數(shù)的乘方、科學記數(shù)法(5類熱點題型講練)（解析版）

第06講有理數(shù)的乘方、科學記數(shù)法1.掌握有理數(shù)的乘方運算；2.掌握科學計數(shù)法.知識點01有理數(shù)的乘方一般地，個相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作的次方.求個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù).讀作的次方，也可以讀作的次冪.知識點02有理數(shù)的乘方運算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值.知識點03科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．科學記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．題型01有理數(shù)冪的概念理解【典例1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）代數(shù)式可以表示為（

）A． B． C． D．n2【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的意義解答即可得.【詳解】解：代數(shù)式可以表示為；故選：C.【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解乘方的意義是關鍵.【變式1】（2022秋·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）表示的意義是(

)A．與相乘 B．與相加 C．個相乘 D．個相加【答案】C【分析】根據(jù)冪的意義分析即可求解．【詳解】解：表示的意義是個相乘，故選：C．【點睛】本題考查了冪的意義，掌握冪的意義是解題的關鍵．【變式2】（2023秋·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期末）在中，底數(shù)是，指數(shù)是；【答案】4【分析】根據(jù)冪的相關概念解答即可．【詳解】解：在中，底數(shù)是，指數(shù)是4，故答案為：，4．【點睛】本題考查了冪的概念，,一般地中a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，正確理解定義是解題的關鍵．題型02有理數(shù)的乘方運算【典例1】（2023·全國·九年級專題練習）計算：(1)；(2)；(3)【答案】(1)8(2)(3)【分析】（1）根據(jù)乘方計算法則計算即可；（2）根據(jù)乘方法則計算；（3）根據(jù)乘方法則計算．【詳解】（1）解：；（2）；（3）．【點睛】此題考查了有理數(shù)乘方計算法則：n個相同因數(shù)的乘法等于這個數(shù)的n次冪，同時可以逆用．【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)625(2)(3)0.027【分析】（1）表示4個相乘，即可得出答案；（2）先計算2的立方，即可得出答案；（3）根據(jù)在一個數(shù)的前面加上負號就是這個數(shù)的相反數(shù)，乘方是幾個相同因數(shù)的簡便運算，可得答案．【詳解】（1）；（2）；（3）．【點睛】本題考查了乘方的定義，理解乘方的意義是解題的關鍵．【變式2】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)2.25(3)(4)(5)8【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運算法則逐個計算即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）（5）．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練運用運算法則是解本題的關鍵．題型03乘方運算的符號規(guī)律【典例1】（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習）任何一個有理數(shù)的偶次冪必是（）A．負數(shù) B．正數(shù) C．非正數(shù) D．非負數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)乘方的性質(zhì)：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，0的任何次冪都是0，從而可判斷．【詳解】解：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何次冪都是0，故任何一個有理數(shù)的偶數(shù)次冪必是非負數(shù)．故選：D．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方，正數(shù)與負數(shù)，有理數(shù)，解答的關鍵是對有理數(shù)的乘方的性質(zhì)的掌握．【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）已知為正整數(shù)，計算的結(jié)果是（）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運算法則進行計算即可．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運算法則以及乘方的符號規(guī)律是解本題的關鍵．【變式2】（2022秋·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習）下列各組的兩個數(shù)中，運算后結(jié)果相等的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義對各選項分析判斷利用排除法求解．【詳解】A、，，不相等，故A選項錯誤；B、，，不相等，故B選項錯誤；C、，，相等，故C選項正確；D、，，不相等，故D選項錯誤．故選：C．【點睛】此題考查有理數(shù)的乘方，解題的關鍵在于掌握運算法則．題型04乘方的應用【典例1】（2023·全國·七年級假期作業(yè)）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細的面條．如圖所示：這樣捏合到第次后可拉出幾根面條？

【答案】第次后可拉出根面條．【分析】根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，答：這樣捏合到第6次后可拉出根面條．【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是熟練掌握乘方的意義．【變式1】（2023·全國·七年級假期作業(yè)）如圖是某種細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個．根據(jù)此規(guī)律可得：

(1)這樣的一個細胞經(jīng)過2小時后可分裂成多少個細胞？(2)這樣的一個細胞經(jīng)過多少小時后可分裂成64個細胞？【答案】(1)16(2)3【分析】（1）根據(jù)題意，2小時是4個30分鐘，從而得到答案；（2）根據(jù)題意，得到規(guī)律，設經(jīng)過個30分鐘得到64個細胞，列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：經(jīng)過2小時，即第4個30分鐘后，可分裂成個細胞，經(jīng)過2小時后，可分裂成16個細胞；（2）解：根據(jù)題意，一個細胞第1個30分鐘分裂成2個，即個細胞；第2個30分鐘分裂成4個，即個；…依此類推，第個30分鐘分裂為個細胞；，解得，經(jīng)過6個30分鐘，即3小時后可分裂成64個細胞．【點睛】本題考查冪的應用，熟記冪的相關定義及計算是解決問題的關鍵．題型05用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【典例1】（2023春·江西南昌·九年級?？茧A段練習）我國神舟十三號載人飛船的起飛推力為牛．將用科學記數(shù)法表示應為．【答案】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，n是負整數(shù)．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式1】（2023秋·山西太原·七年級?？计谀?016年5月下旬，中國大數(shù)據(jù)博覽會在貴陽舉行，參加此次大會的約有人，將用科學記數(shù)法表示為．【答案】【分析】科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：,故答案為：．【點睛】本題主要考查了科學記數(shù)法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數(shù)法的定義．【變式2】（2022秋·山西忻州·七年級?？茧A段練習）第二屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于年4月日至日在北京召開，“一帶一路”建設進行5年多來，中資金融機構(gòu)為“一帶一路”相關國家累計發(fā)放貸款約億元，重點支持了基礎設施、社會民生等項目．數(shù)據(jù)億用科學記數(shù)法表示為．【答案】【分析】科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：億，故答案為：．【點睛】本題主要考查了科學記數(shù)法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數(shù)法的定義．一、單選題1．（2020秋·廣東汕頭·七年級汕頭市龍湖實驗中學校考期中）（

）A． B．16 C． D．8【答案】B【分析】根據(jù)乘方法則計算即可．【詳解】解：，故選B．【點睛】本題考查了乘方運算，解題的關鍵是掌握乘方的運算法則，注意符號．2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·七年級校聯(lián)考期中）已知與互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】C【分析】根據(jù)與互為相反數(shù)可得，由非負數(shù)的性質(zhì)可得，求出的值，進行計算即可．【詳解】解：與互為相反數(shù)，，，，解得：，，故選：C．【點睛】本題考查了相反數(shù)的意義、非負數(shù)的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方，根據(jù)相反數(shù)的意義和非負數(shù)的性質(zhì)求出的值是解題的關鍵．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱德強學校?？计谥校┫铝懈鹘M數(shù)中，數(shù)值相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】根據(jù)乘方的定義以及乘法法則解決此題．【詳解】解：A、因為，，所以和不相等，故A不符合題意；B、因為，，所以和相等，故B符合題意．C、因為，，所以和不相等，故C不符合題意．D、因為，，所以和不相等，故D不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查乘方以及乘法，熟練掌握乘方的定義以及有理數(shù)的乘法法則是解決本題的關鍵．4．（2023秋·山西太原·七年級?？计谀?jù)國家衛(wèi)健委6月20日通報，截至2021年6月19日，31個?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產(chǎn)建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗萬劑次．其中，萬用科學記數(shù)法表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)．【詳解】解：萬．故選：B．【點睛】本題考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原來的數(shù)，變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)，確定與的值是解題的關鍵．5．（2023秋·河北石家莊·七年級?？计谀┫铝袛?shù)或式子：，，，0，在數(shù)軸上所對應的點一定在原點右邊的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】在原點右邊的數(shù)即正數(shù)，所以先根據(jù)有理數(shù)乘方的定義化簡各數(shù)，繼而可得答案．【詳解】解：，，，0，，∴在數(shù)軸上所對應的點一定在原點右邊的個數(shù)為2，故選：B．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方，正確理解題意，依據(jù)數(shù)軸上原點右邊的數(shù)表示正數(shù)，左邊的數(shù)表示負數(shù)及有理數(shù)的乘方運算法則即可解決．6．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，某種細胞經(jīng)過30分鐘由一個分裂成2個，若要這種細胞由一個分裂成16個，那么這個過程要經(jīng)過（）

A．1.5小時 B．2小時 C．3小時 D．4小時【答案】B【分析】根據(jù)題意30分鐘由一個分裂成2個，依次計算即可．【詳解】解：第一次：30分鐘變成2個；第二次：1小時變成個；第三次：1.5小時變成個；第四次：2小時變成個；故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是熟練的掌握有理數(shù)的乘方的相關知識點．二、填空題7．（2022秋·七年級單元測試）計算：，．【答案】【分析】直接根據(jù)乘方運算法則求解即可．【詳解】解：；；故答案為：；．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方運算，掌握基本的運算法則是解題關鍵．8．（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為．【答案】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)，當原數(shù)的絕對值時，是負整數(shù)．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．9．（2023春·湖南衡陽·七年級?？计谀┮阎?，滿足，則式子的值是．【答案】1【分析】根據(jù)絕對值和平方式的非負性求出a、b，再代值求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查絕對值和平方式的非負性、有理數(shù)的混合運算和代數(shù)式求值，理解非負數(shù)的性質(zhì)并正確求解是解答的關鍵．10．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）一根米長的木棒，小明第一次截去全長的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，則第五次截去后剩下的木棒長為米．【答案】【分析】根據(jù)題意可求出第一次截去全長的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，從而即可得出第五次截去余下的，剩下米．【詳解】解：第一次截去全長的，剩下米，第二次截去余下的，剩下米，…第五次截去余下的，剩下米．故答案為：．【點睛】本題考查有理數(shù)乘方的應用，數(shù)字類規(guī)律探索．理解乘方的定義是解題關鍵．11．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)規(guī)定一種新的運算“”：，如，則．【答案】【分析】根據(jù)題中所給的運算方法列出乘方的式子，再根據(jù)乘方的運算法則進行計算即可．【詳解】解：，如，，故答案為：．【點睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，熟知數(shù)的乘方法則是解答此題的關鍵．12．（2023秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）字母表示一個有理數(shù)，下列關于的運算：①

②

③

④其中一定成立的有（把你認為正確的序號都填上）．【答案】①②/②①【分析】根據(jù)冪的意義，絕對值的意義分別判斷即可．【詳解】解：①，故正確；②，故正確；③，故錯誤；④當時，；當時，，故錯誤；故答案為：①②．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對值，體現(xiàn)了分類討論的思想，掌握正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，0的絕對值等于0是解題的關鍵．三、解答題13．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運算法則計算即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練運用乘方的運算法則是解本題的關鍵．14．（2022秋·江蘇泰州·七年級校考期中）把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并用“＜”號連接起來：，，，，【答案】數(shù)軸見解析，【分析】首先在數(shù)軸上確定表示各數(shù)的點的位置，再用小于號連接即可．【詳解】解：，，，，如圖所示：∴．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的比較大小以及絕對值化簡和乘方運算，關鍵是掌握在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．15．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）規(guī)定:.(1)求的值；(2)若，求x的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)原式將、代入即可求解；（2）將，代入等式，即可求解x的值．【詳解】（1）原式；（2），，，．【點睛】本題考查新型定義下的數(shù)學運算，熟練掌握有理數(shù)的乘方運算法則是解題的關鍵．16．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）已知與互為相反數(shù)，與互為倒數(shù)．(1)；．(2)當時，求的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)的定義求解即可，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，相乘等于1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；（2）根據(jù)絕對值以及平方的非負性，求得的值，進而根據(jù)有理數(shù)的乘方進行計算即可求解．【詳解】（1）解：∵與互為相反數(shù)，與互為倒數(shù)．∴故答案為：；．（2）由題（1）可知，

由絕對值的非負性、平方數(shù)的非負性