2022屆高考數(shù)學(xué)考前必做題及答案解析

2022年高考數(shù)學(xué)考前必做題

1.如圖，在四棱柱A8C￡>-4BiG￡>i中，AM_L底面ABCQ,NBAC=90°.AD//BC.且

4/=A8=AZ)=2BC=2,點(diǎn)E在棱匕平面4EC與棱相交于點(diǎn)F.

(I)證明：AiF〃平面BiCE；

1AE

(II)棱AB上是否存在點(diǎn)E,使二面角Ai-EC-D的余弦值為若存在，求出「的

3AB

值；若不存在，說明理由.

(III)求三棱錐Bi-AiEF的體積的最大值.

【分析】(I)利用棱柱的性質(zhì)以及面面平行的性質(zhì)定理證明AiF〃EC,由線面平行的判

定定理證明即可：

(II)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E(Z,0,0),0WfW2,求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向

量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面A\EC的法向量，由向量的夾角公式列式求解

即可；

(IU)過點(diǎn)尸作FM_LAi8i于點(diǎn)M,由面面垂直的性質(zhì)定理證明下“，平面A1A2B1，利

用等體積法/「公門=4-8送述，將問題轉(zhuǎn)化為求解FM最大值，即可得到答案.

【解答】(I)證明：因?yàn)锳BCD-481C1G為棱柱，

則平面A8CD〃平面AiBiCi。，

又平面ABCCn平面A\ECF=EC,平面AiBiCOiC平面A\ECF=A\F,

則A\F//EC,

又AiFC平面BiCE,ECu平面B\CE,

故AiF〃平面BiCE；

(II)解：因?yàn)锳iA_L平面4BCD,NBAO=90°,

則A4,AB,40兩兩垂直，

故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(0,0,2),C(2,1,0),

設(shè)E(/,0,0),0W/W2,

貝必:E=(t,0,-2),4；C=(2,1,-2),

設(shè)平面AiEC的法向量為云=(x,y,z),

則口碓=0即母:2z=0

比M：C=0.+y-2z=0

令■z=t,則x=2,y—2t-4,

故m=(2,2t-4,t),

又平面OEC的一個法向量為曾=(0,0,1),

因?yàn)槎娼茿\-EC-D的余弦值為手

所以|cos<m，n>|=蛆叫=[舊=i,

問㈤j4+(2t-4)2+t2

整理可得P+4f-5=0,

解得f=l或f=-5,

又0WW2,

所以f=l，

則E(1,0,0),

1AE1

所以棱AB上存在中點(diǎn)E,使二面角4-EC-。的余弦值為,，此時77=不

3AB2

(III)解：過點(diǎn)尸作尸何1_481于點(diǎn)M,

因?yàn)槠矫?AB81J_平面AIBCIOI，且平面AiABB]_L平面4BiCiG=AiBi,BWu平面

A\B\C\D\,

則尸MJ_平面AiABBi，

由等體積法可得，％i-RiEF=^F-B^E=3，F(xiàn)M=可x—xFM=gFM,

因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)。重合時，EM取得最大值2,此時點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，

4

所以當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。1重合時，三棱錐Bi-AiE/的體積取得最大值

【點(diǎn)評】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理以及線面平行的判定定理的應(yīng)用，面面垂直的

性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用以及等體積法的應(yīng)用，在求解有

關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向

量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

2.已知在三棱錐A-中，平面ABO_L平面BC￡>,△ABQ為等邊三角形，BD=2,Z

BCD=30°,且ACCO,點(diǎn)P為線段AZ）的中點(diǎn).

（1）求證：8PJ_平面ACZ）；

（2）若M為CO的中點(diǎn)，求MP與平面BPC所成角的正弦值.

【分析】（1）由已知可得8PLA。，取的中點(diǎn)E,得再由已知結(jié)合面面垂

直的判定可得AE_L平面BCD,得AE±CD,結(jié)合CD±AD,得C￡>_L平面ABD,可得

CDIBP,進(jìn)一步證得BP_L平面AC￡>；

（2）由（1）可知CD_L8O,取BC的中點(diǎn)F,則即￡4、EF、￡7）兩兩垂直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA、EF、所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求

出平面BPC的一個法向量，再求出詁的坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值即可求得MP

與平面BPC所成角的正弦值.

【解答】（1）證明：???△A3。為等邊三角形，P為的中點(diǎn)，...8?LAO,

取8。的中點(diǎn)E,連接AE,貝ljAE_LBD,

平面ABD_L平面BCD,且平面ABDC1平面BCD=BD,

：.AEmBCD,得AE_LC。，

又?.?COJ_A。，且A￡?CAE=A,平面AB。，

而BPu平面ABD,：.CDIBP,

又,.?C￡)nAO=。，平面ACC；

(2)解：由(1)可知C￡?_LBO,取BC的中點(diǎn)尸，則EF_LQE,即EA、EF、EC兩兩垂

直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以E4、EF、E3所在直線為小y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,0,V3),B(0,-1,0),C(2V3,1,0),D(0,1,0),

1V3-

P(0,—,—),M(V3,1,0).

22

BP=(0,|,當(dāng)，BC=(2V3,2,0),

設(shè)％=(x,y,z)為平面BPC的一個法向量，

由岳用=0,得自+%=。，令尸1,得產(chǎn)z=3,

U-BC=0(2伍+2y=0

：.n=(1,-V3,3),

又：MP=(―V3>—寺，坐)，

設(shè)MP與平面BPC所成角為0,

...MP-n.點(diǎn)V39

??s'no0=I--——I=亍7行=智

MP與平面BPC所成角的正弦值為雪.

【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用

空間向量求解空間角，是中檔題.

3.如圖，在直三棱柱48C-4B1。中，ZBAC=90°,AB=AC,D,E,F分別為A4”

B\C,BC的中點(diǎn).

(1)證明：OE與AiF在同一平面內(nèi)；

(2)已知異面直線BiC與A4所成的角為45°,求直線OE與平面08c所成角的大小.

【分析】(1)連接AF,EF,證明E/〃A4i,然后證明OE與A1Q在同一平面內(nèi).

(2)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A3,AC,441所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，求出平面。BC的一個法向量，求出法=族=(1,1,0),利用空間向量的數(shù)量

積求解直線與平面所成角的大小即可.

【解答】(1)證明：連接AEEF,

:E,F分別為BiC,8C中點(diǎn)，EF//BBi，

'：AA\//BB\,：.EF//AA\,(3分)

：.AAi,E尸在同一平面內(nèi)，設(shè)為a,則4，F(xiàn),D,E&a,

：.AiFca,DEcza,二。吊與4用在同一平面內(nèi).(6分)

(2)解：為異面直線BiC,A4所成的角，.?.NBCCi=45°,

設(shè)AB=AC=2,則CCi=B?=2V2,(7分)

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AC,A4所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，

則8(2,0,0),C(0,2,0),F(l,1,0),D(0,0,夜),

：.AF=(1,1,0),BC=(-2,2,0),BD=(-2,0,V2),

設(shè)平面甌的一個法向量為藍(lán)=(x,y,z),則7?吧=-2x+2y=°

.m-BD——2x+V2z—0

令x=l,則y=l,z=V2,

所以平面。BC的一個法向量”