2022屆四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)縣高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）之和，也就

是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想

的證明中做出相當(dāng)好的成績.若將6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）

2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的5=（）

3.如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（)

A.2B.2V2C.26D.1

4.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2=巖+1,貝氏=

2-1

9

A.-+iB.1-i

5

C.1+iD.-i

5.已知a,5是兩條不同的直線，a,"是兩個(gè)不同的平面，且aua,bc.p,allp,b//a,則“a〃》“是"a〃/?”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知直線/:x+m2y=0與直線〃：x+y+加=0貝！1"〃/〃，，是，，加=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

x>-l

7.已知實(shí)數(shù)樂），滿足約束條件八八，貝！|2x-3），的最小值是

x-2y+2>0

2x-y-2<0

7

A.-2B.——C.1D.4

2

21

8.已知實(shí)數(shù)a〉0,6〉l滿足。+。=5,則一+——的最小值為（）

ab-\

43+2夜?3+4夜03+272.、3+4夜

A.----------B.------------C?------------D.------------

4466

---1---UU11

9.在ATWC中，BD=-DC,則AO=（）

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

4433

1一?_1—2___

C.-AB+-ACD.-AB——AC

3333

10.已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，￡是SB的中點(diǎn)，則AE,SD所成的角的余弦值為（）

1V2732

A.-B.—C.—D.-

3333

11.為實(shí)現(xiàn)國民經(jīng)濟(jì)新"三步走'’的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)，國家加大了扶貧攻堅(jiān)的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率

（脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比）為70%.2015年開始，全面實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高,

其中2019年度實(shí)施的扶貧項(xiàng)目，各項(xiàng)目參加戶數(shù)占比（參加該項(xiàng)目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項(xiàng)目的脫貧

率見下表：

實(shí)施項(xiàng)目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)

參加用戶比40%40%10%10%

脫貧率95%95%90%90%

那么2019年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的(

27B.II倍048八D.(倍

女倍0百倍

12.已知等差數(shù)列伍“｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=-2,/=10,則§9=()

A.45B.42C.25D.36

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在正四棱柱ABC。一4與G〃中，尸是側(cè)棱CG上一點(diǎn)，且GP=2PC.設(shè)三棱錐尸-OQB的體積為匕，

V

正四棱柱"CO-A/CQ的體積為匕則子的值為.

14.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=*,貝！|忖=

15.成都市某次高三統(tǒng)考，成績X經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，近似服從正態(tài)分布X?N(100,〃)，且P(86<X<100)=0.15,若

該市有8000人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績X大于114分的人數(shù)為

16.已知復(fù)數(shù)z=(l+2i)(a+i),其中i是虛數(shù)單位.若z的實(shí)部與虛部相等,則實(shí)數(shù)，，的值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)/(W

(2)/(x)=(sin2x+1)2

18.(12分)已知函數(shù)/(幻=111%一/?1￥-/?1，2(/?7€1^).

(1)討論函數(shù)/(X)的極值;

⑵記關(guān)于x的方程/。)+根2%2=。的兩根分別為p,q(p<q),求證：ln〃+lnq>2.

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC—A'5'C'中，N、/分別是AC、BC、AC的中點(diǎn).

(1)證明：MN"平面CFB'；

(2)若底面AB'C是正三角形，AC=1,C1在底面的投影為產(chǎn)，求8'到平面/U'C'C的距離.

20.(12分)已知函數(shù),f(x)=廿三，g(x)=xsinx+cosx.

(1)判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2乃)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)記函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2乃)上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為不、x2,求證：/(刈+“馬卜①

21.(12分)在平面四邊形AC8D(圖①)中，A4BC與均為直角三角形且有公共斜邊A3,設(shè)43=2,

NBA。=30。，N84C=45。，將AABC沿A3折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐C'—ABD,且使CZ>=0.

(1)求證：平面CA8J?平面D4B；

(2)求二面角A—C'。—8的余弦值.

22.(10分)已知函數(shù)/(%)=與，直線y為曲線,y=/(x)的切線(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

ee

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

⑵用min{〃?,〃}表示〃?，”中的最小值，設(shè)函數(shù)8(》)=01苗］/3，X-/，(》>0),若函數(shù)

妝工)=8(力-52為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有3+3=6,利用古典概型求解即可.

【詳解】

6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),

根據(jù)古典概型知，所求概率為P=(.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.

2.B

【解析】

運(yùn)行程序，依次進(jìn)行循環(huán)，結(jié)合判斷框，可得輸出值.

【詳解】

起始階段有，=1,5=3,

第一次循環(huán)后S=」=-2，j=2,

1-32

012

第二次循環(huán)后,.13，i=3,

1H-

2

o_L=o

第三次循環(huán)后一12一，i=4,

3

第四次循環(huán)后5=['=一2，j=5,

1-32

所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3,

當(dāng)i=2019時(shí)，再次循環(huán)輸出的S=3,i=2020,此時(shí)2020>2019,循環(huán)結(jié)束，輸出5=3,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.

3.C

【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AO,算出長度.

【詳解】

幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為AO=26

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

e、，l+2i(1+2i)(2+i)2+i+4i+2r、卬

因?yàn)閦=：—+1=+l=-----------+1=1+1,所以z=l-i，故選B.

2-iG(2-i;)(2+i，)5

5.D

【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：aca,bc.fi,a//fi,b//a,

由a〃b,不一定有a〃4a與/?可能相交；

反之，由a〃人可得a〃b或a與》異面，

'?a,方是兩條不同的直線，a,“是兩個(gè)不同的平面，且aua,bu/J,a//p,b//a,

則“a〃歹是"a〃/T的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.

【詳解】

若〃/〃，則lx1=4x1,故加=1或加=-1,

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，直線/：x+y=O,直線〃:x+y+l=O,此時(shí)兩條直線平行；

當(dāng)加=一1時(shí)，直線/：x+y=O,直線〃：x+y—l=O,此時(shí)兩條直線平行.

所以當(dāng)〃/〃時(shí)，推不出m=1,故“〃/〃”是“巾=1”的不充分條件，

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，可以推出〃/〃，故“〃/〃”是“加=1”的必要條件，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷，前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮，后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推

出關(guān)系，本題屬于中檔題.

7.B

【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖中陰影部分所示，

2121

設(shè)z=2%-3y,貝！]y=——z,易知當(dāng)直線y=(x—gz經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，z取得最小值，

33

(1fx=T

X=-1]17

由0,八，解得1，所以。(一1，5),所以ZmM=2x(—1)-3、5=-；，故選B.

[x-2y+2=0丫=5

“一2。的"0/『

I

8.A

【解析】

所求冬+J一的分母特征，利用]21

a+Q5變形構(gòu)造。+3—1)=4,再等價(jià)變形:(一+「)3+(〃—1)],利用基本不

ab-l4ab-\

等式求最值.

【詳解】

解：因?yàn)閍>0力>1滿足a+Z>=5,

貝!12H——--=(2H——?一)ra+(Z?-l)-|x—

ab-1ab-\Lv〃4

當(dāng)且僅當(dāng)亞二D=，_時(shí)取等號，

ab-\

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的

技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的

定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

9.B

【解析】

在A3,AC上分別取點(diǎn)區(qū)使得荏=2而定，

2

可知血獷為平行四邊形，從而可得到而=通+衣=-4百+-川C,即可得到答案.

33

【詳解】

如下圖，BD^-DC,在A8,AC上分別取點(diǎn)￡、凡使得通=2而，而

22

則AEDF為平行四邊形，故?萬=通+通=］通+§祕，故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

試題分析：設(shè)AC、3。的交點(diǎn)為。，連接EO,則NAEO為AE,SO所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長為

則AE=走a,EO=工a,OA=也a,所以cosZAEO=+0'一上°

2222AE-OA

(f4+(1a)2-(fa)，

=--------——L——,故C為正確答案.

2x(^-tz)-(—a)

考點(diǎn)：異面直線所成的角.

11.B

【解析】

設(shè)貧困戶總數(shù)為。，利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率P=2x40%x95%+2xl0%x90%,進(jìn)而可求解.

【詳解】

設(shè)貧困戶總數(shù)為a,脫貧率P=2x40%x95%a+2xl0%x90%“=94%,

34%=47

所以70%35,

47

故2019年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的—倍.

35

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率與統(tǒng)計(jì)，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知4+%=4+%,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前八項(xiàng)和的公式即可.

【詳解】

由題㈤)=9A+%)=9X(-2+10)=36.

222

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前“項(xiàng)和.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.—

6

【解析】

設(shè)正四棱柱ABC。-A4GA的底面邊長AB=BC=a,=h,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計(jì)算可得.

【詳解】

解：設(shè)正四棱柱ABC。一4&G。的底面邊長AB=3C=a,高叫=匕，

則匕B3AMG4=SABCDxM=a~b,

2

VP-QDB=匕-卬沖=gSAW”-BC=^x^aba=^ab

.--卬小一1即乂_1

匕

8CQ-AB1GA6V6

故答案為：—

6

【點(diǎn)睛】

本題考查柱體、錐體的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.顯

2

【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后利用求模公式可得結(jié)果.

【詳解】

z」」一一|=立.

1+i22112

故答案為：旦.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為a+初的形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

15.2800.

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)，結(jié)合P(86<X<100)=0.15求得P(X>114)=；-0.15=0.35,即可得解.

【詳解】

根據(jù)正態(tài)分布X?NCI。。,/),且P(86VX<100)=0.15,

所以P(X>114)=；-0.15=0.35

故該市有8000人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績X大于114分的人數(shù)為8000x0.35=2800.

故答案為：2800.

【點(diǎn)睛】

此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析，根據(jù)曲線的對稱性求解概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績大于114的人數(shù).

16.-3

【解析】

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，結(jié)合已知條件即可求出實(shí)數(shù)”的值.

【詳解】

解：z=(1+2i)(a+i)=(a-2)+(1+2a)i的實(shí)部與虛部相等，

所以“一2=1+2”,計(jì)算得出。=一3.

故答案為：-3

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)/,(x)=-O.O5^05t+1；(2)_f(x)=2sin4x+4cos2x.

【解析】

(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.

(2)同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.

【詳解】

⑴令〃(x)=-O.O5x+l,(p(u)=eu,則=,

而M'(X)=-0.05,(p'(u)=eu,af'(x)=^05x+lx(-O,O5)=-O.OS^05^1.

(2)令"(x)=sin2x+l,=則/(x)=Q[“(X)],

而/(x)=2cos2x,e'(〃)=2〃，故/'(x)=2cos2xx2"=4cos2x(sin2x+l),

化簡得到了'(x)=2sin4x+4cos2x.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡單函數(shù)的復(fù)合，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的

導(dǎo)數(shù)，本題屬于容易題.

18.(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)，"討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；

(2)P，4是方程/(力+〃?2%2=0的兩根，代入方程，化簡換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.

【詳解】

/.、—時(shí)生//、1c2\-mx-2tTTxCl+mjc)(l-2rwc)

(1)依題意，/(x)=一—加一2加2%=-----------=1-----△--------；

XXX

若利=0,則r(x)=，>o,則函數(shù)〃x)在((),+“)上單調(diào)遞增，

X

此時(shí)函數(shù)/(X)既無極大值，也無極小值；

若機(jī)>0,貝！ll+/nr>0,令/'(x)=。，解得x=」一，

2m

故當(dāng)xw(O,J)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

2m

當(dāng)xe(」-,+oo)時(shí)，r(x)<0,/(X)單調(diào)遞減，

2m

此時(shí)函數(shù)/(x)有極大值/(二一)=In----m'~---根2(二一)—-----7，無極小值；

2m2m2m2m2m4

若m<0,貝!11一2mx>0,令f'(x)-0,解得x=一■-,

m

故當(dāng)xw(O,—L)時(shí)，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

m

當(dāng)X￡(—',+8)時(shí)，/\x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

m

此時(shí)函數(shù)/(x)有極大值J(一~-|=ln(一■-■-)-/n2(-—)2=ln(--),無極小值;

mJmmmm

(2)依題意，Inx—〃優(yōu)=0,則ln〃=mp,\nq=mq,

故Ing-Inp=m{q-p),Inp+q=+?

要證：lnp+lnq〉2,即證加(〃+q)>2,

Ina-Inz?、_,q2(q-p)

即證：----L(pz+q)>2,即證/工〉?，

q-ppp+q

設(shè)"=/?>i),只需證：inr>其二D(r>i),

Pt+\

設(shè)g⑺=lnr—貝=

r+1r(z+l)

故g(。在(I,M)上單調(diào)遞增，故g(r)>g(l)=0,

即Inr〉？””,故lnp+lnq〉2.

r+1

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.

證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式/(X)>g(x)的基本

方法：

⑴若/(X)與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明/(X)min>g(X)a；

(2)若/'(X)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x),然后根據(jù)函數(shù)〃(X)的單調(diào)性或最值，證明

h(x)>0

19.(1)證明見解析；(2)晝

2

【解析】

(1)連接A8,連接3C'、B'C交于點(diǎn)E,并連接E/L則點(diǎn)E為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出E/WAB,

MN//AB,利用空間平行線的傳遞性可得出瓦7/肱V,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)推導(dǎo)出平面A4'C'C,并計(jì)算出"尸，由此可得出5'到平面A4'C'C的距離為夕尸，即可得解.

【詳解】

(1)連接45,連接8C'、B'C交于點(diǎn)E,并連接EF,則點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，

?.?￡、尸分別為3C'、A'C的中點(diǎn)，則瓦7/A3,同理可得MN〃A'B,：.EF//MN.

MN?平面CFB',EFu平面CFB',因此，MN〃平面CFB'；

(2)由于C在底面AB'C'的投影為尸，.?.CEJ_平面AB'C,

?「5Tu平面AB'C',_LCF,

?.?△AB'C'為正三角形，且尸為A'C的中點(diǎn)，.?.3/LAC,

?.?。尸04'。'=/，；.9/，平面44'。'。，且BN=AB'-sin^=走，

32

因此，5'到平面AA'C'C的距離為走.

2

本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

20.(1)2;(2)見解析.

【解析】

(I)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,2乃)上的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論;

全"，”與，2萬｝且滿足

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為西、x2,由⑴知％6

兀通山玉+COSX,=0(i=l,2),—=-tanx,.,于是得出/(%)+/(兀2)=_5皿玉一sin/,由一>一得

jr

-tan玉〉-tan/,利用正切函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出<々—，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)=xsinx+cosx,「?g'(尢)=xcosx,

*/0<x<2^,當(dāng).t￡(0仁］時(shí)，cosx>0,xcosx>0,g'(x)>0,則函數(shù)y=g(x)在(0卷)上單調(diào)遞增;

(兀3兀)(JC34、

當(dāng)時(shí)'cosx<0,xcosx<0,g'(x)<0,則函數(shù)y=g(x)叫J上單調(diào)遞減；

當(dāng)X唁⑴3兀

時(shí)，cosx>0,xcosx>0,g'(x)>0,則函數(shù),2乃上單調(diào)遞增.

2

Qg(0)=l>0,=f>0?g(%)=-l<。，g3兀苧<0,g(2萬)=1>0.

所以，函數(shù)y=g(x)在(0卷J與萬不存在零點(diǎn)，在區(qū)間7乃C)和5,2萬)上各存在一個(gè)零點(diǎn).

2

綜上所述，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,24)上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2:

(2)?.?/(司=吆，，/(x)=—xsinx+cosx_g(x)

XX2X2

加與你2”

由(1)得，g(x)=%sinx+cosx在區(qū)間上存在零點(diǎn),

，兀)與(苧,2萬]上各存在一個(gè)極值點(diǎn)再、%2?且占71第2%)，

所以，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間€2^

且滿足即七

g(%)=0X.sin+COSE=0(i=1,2),—=-tanxj,

Xi

“㈤+〃々)=空L+/

=-sm%-sinx2,

X\X2

又?.?工<王玉(七一萬),

<2</<24，—Bp-tan%)>-tanx2,tan<tan/=tan

22%%

由y=tanx在XE會,4J上單調(diào)遞增，得胃<X]<X2-?！簇?，

再由y=sinx在萬上單調(diào)遞減，得sin%>sin(%2-;r)=-sinx2

即

sinxt+sinx2>0,/(jq)+/(x2)<0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分析問題和解決問題的能力,

屬于難題.

21.(1)證明見解析；(2)-巫1

35

【解析】

(1)取AB的中點(diǎn)O,連接C'。,。。，證得CO_LOO,從而證得。O_L平面ABO,再結(jié)合面面垂直的判定定理,

即可證得平面C'ABJ_平面DAB；

(2)以。為原點(diǎn)，AB,OC所在的直線為y軸，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面AC'。和平面的法向

量，利用向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】

(1)取AB的中點(diǎn)0,連接CO,DO,

在KfAAC3和RfAAOB中，AB=2,則CO=OO=1,

又C'D=V2，所以CO2+DO2=CD2,即C'O±OD,

又C'0_L4B,fiABC\OD=O,AB,O￡>u平面A5O,所以C'O_L平面A3。,

又OOu平面CAB,所以平面CAB_L平面DAB

(2)以。為原點(diǎn)，AB,0C所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

(R)

則A(0,-1,0),5(0,1,0),。(0,0,1),D—,-,0,

<>

--------~~，(>/31、

所以AC'=(0,1,1)，BC'=(0,-1,1)，CD=—,-,-1，

設(shè)平面ACD的法向量為％=(七,%,Z1),

\1AC|vAC=0[絲4=。

則即"「分一。'代入坐標(biāo)得百1>

勺_LC￡)CD——再~1—y—Z]=0

、22

令4=1,得x=-l,&=6所以勺=(6,—1,1),

設(shè)平面8aD的法向量為〃2=(x2,y2,z2),

一必+Z2=0

n,1BC\n2BC'=Q

則2,，即辰。。=。'代入坐標(biāo)得‘百工1一Z

±CD~YX2+2y2~Z2=0

字1』，

令z,=1,得y,=1,x2=—.所以“2=

■3

所以由“色2r=f二曙

V3+1+1-J-+1+16,

所以二面角A-CD-B的余弦值為—Y至

35

本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中

熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對于立體幾何中角的計(jì)算

問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

【解析】

試題分析：(1)先求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)等于1求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入兩個(gè)曲線的方程，解方程組，可求得。=%=1;

e

r、x—,0<x<x0

(2)設(shè)/(x)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為二,利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)=mi“〃x),x-g={；

從而

—,x>x0

X---1---CX2,0八<X<//

x°/I

〃3=g(x)-c/={:，然后利用〃'(X)20求得C的取值范圍為-00,一廣

x2\/e

~~CX,x>XQ

試題解析:

(1)對/(x)求導(dǎo)得:(x)=

設(shè)直線y=｝與曲線y=/(x)切于點(diǎn)則

1ax^

-x=----

en°*

解得=1,

1_*0(2-/)

所以。的值為1.