北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題1.6 解直角三角形（知識(shí)講解）下冊(cè)基

專題1.6解直角三角形（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解解直角三角形的含義，會(huì)綜合運(yùn)用平面幾何中有關(guān)直角三角形的知識(shí)和銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形；2．會(huì)運(yùn)用有關(guān)解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中存在的解直角三角形問題．

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

要點(diǎn)詮釋：

(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

要點(diǎn)二、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，要點(diǎn)詮釋：

1．在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.

【典型例題】類型一、解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°．（1）已知：c＝8，∠A＝60°，求∠B及a，b的值；（2）已知：a＝3，c＝6，求∠A，∠B及b的值．【答案】（1）∠B＝30°，a＝12，b＝4；（2）∠A＝∠B＝45°，b＝3【分析】（1）先求出∠B的度數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)可以求出a、b的值；（2）先由勾股定理求出b的值，然后求出∠A、∠B的度數(shù)即可．解：（1）∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∵c=8，∴a=c·sin60°=8×=12，b=c·cos60°=8×=4；（2）∵a＝3，c＝6，∴b=3，∴b=a，∴∠A=∠B=45°．【點(diǎn)撥】熟練掌握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．舉一反三：【變式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解這個(gè)直角三角形．【答案】b＝2，∠B＝30°，∠A＝60°．【分析】利用勾股定理可求出b＝2，結(jié)合c＝4可得出b＝c，進(jìn)而可得出∠B＝30°，∠A＝60°．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，∴b＝＝2，∴b＝c，∴∠B＝30°，∠A＝60°．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，利用勾股定理求出b值，找出b＝c是解題的關(guān)鍵．【變式2】.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，連接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于點(diǎn)G．（1）求證：DQ=PQ；（2）當(dāng)tan∠APD=時(shí)，求：①CQ的長(zhǎng)；②BG的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）①CQ=；②BG=．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠APD=∠QDP．等量代換得到∠QPD=∠QDP，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①過Q作QE⊥PD于E，解直角三角形得到AP=1.5，根據(jù)勾股定理得到PD=，DQ=，于是得到結(jié)論；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．解：（1）證明：∵四邊形ABDF是正方形，∴AB∥CD，∴∠APD=∠QDP．∵∠APD=∠QPD，∴∠QPD=∠QDP，∴DQ=PQ；（2）解：①過Q作QE⊥PD于E，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∵tan∠APD=，AD=2，∴AP=1.5，∴PD==，∵DQ=PQ，∴DE=PE=，∵∠APD=∠QPD，∴tan∠APD==tan∠QPD=，∴QE=，∴DQ==，∴CQ=DQ-CD=；②∵AB=2，AP=1.5，∴PB=，∵CQ∥PB，∴△CQG∽△BPG，∴=，∴=，∴BG=．故答案為：（1）見解析；（2）①CQ=；②BG=．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】圖1是一輛在平地上滑行的滑板車，圖2是其示意圖．已知車桿長(zhǎng)，車桿與腳踏板所成的角，前后輪子的半徑均為，求把手離地面的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】92.5【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交地面于點(diǎn)，利用即可進(jìn)行求解.解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交地面于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴把手離地面的高度為.【點(diǎn)撥】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.類型二、解非直角三角形2．某校綜合實(shí)踐小組要對(duì)一幢建筑物的高度進(jìn)行測(cè)量.如圖，該小組在一斜坡坡腳處測(cè)得該建筑物頂端的仰角為，沿斜坡向上走到達(dá)處，（即）測(cè)得該建筑物頂端的仰角為.已知斜坡的坡度，請(qǐng)你計(jì)算建筑物的高度（即的長(zhǎng)，結(jié)果保留根號(hào)）.【答案】建筑物的高度為.【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)坡度的定義求出AB，BD,AD，再利用三角函數(shù)的定義列出方程求解.解：過點(diǎn)作，垂足為.過點(diǎn)作，垂足為.∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，.∵，∴，∴設(shè)，，∴，∴，∴，.根據(jù)題意，，，在中，設(shè)，∵，∴，∴，∴，在中，∵，.又∵，∴，解得，∴.答：建筑物的高度為.【點(diǎn)撥】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義.舉一反三：【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)150°；(2)【分析】（1）連接BD，首先證明△ABD是等邊三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理證明△BDC是直角三角形，進(jìn)而可得答案；（2）過B作BE⊥AD，利用三角形函數(shù)計(jì)算出BE長(zhǎng)，再利用△ABD的面積加上△BDC的面積可得四邊形ABCD的面積．解：（1）連接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）過B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB?sin60°=4×=2，∴四邊形ABCD的面積為：AD?EB+DB?CD=×4×2+×4×8=4+16．【變式2】.如圖，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的長(zhǎng).【答案】2+2【解析】本題注意考查的就是利用三角函數(shù)解直角三角形，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，然后分別根據(jù)Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的長(zhǎng)度，從而得出AB的長(zhǎng)度.試題解析：過點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，∴CD=AC=×4=2，∴AD=，在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，∴CD=DB=2，∴AB=AD+DB=2+2．【變式3】如圖所示，A、B兩地之間有一條河，原來從A地到B地需要經(jīng)過橋DC，沿折線A→D→C→B到達(dá)，現(xiàn)在新建了橋EF（EF=DC），可直接沿直線AB從A地到達(dá)B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，橋DC和AB平行．（1）求橋DC與直線AB的距離；（2）現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來少走多少路程？（以上兩問中的結(jié)果均精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：≈1.14，≈1.73）【答案】（1）橋DC與直線AB的距離是6.0km；（2）現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來少走的路程是4.1km．【分析】(1)過C向AB作垂線構(gòu)建三角形，求出垂線段的長(zhǎng)度即可；(2)過點(diǎn)D向AB作垂線，然后根據(jù)解三角形求出AD，CB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來少走的路程.解：（1）作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示，∵BC=12km，∠B=30°，∴km，BH=km，即橋DC與直線AB的距離是6.0km；（2）作DM⊥AB于點(diǎn)M，如圖所示，∵橋DC和AB平行，CH=6km，∴DM=CH=6km，∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，∴AD=km，AM=DM=6km，∴現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）=AD+DC+BC﹣AM﹣MH﹣BH=AD+BC﹣AM﹣BH=km，即現(xiàn)在從A地到達(dá)B地可比原來少走的路程是4.1km．【點(diǎn)撥】做輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)邊角關(guān)系解三角形，是解答本題的關(guān)鍵.類型三、構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積3．如圖，AB是長(zhǎng)為10m，傾斜角為30°的自動(dòng)扶梯，平臺(tái)BD與大樓CE垂直，且與扶梯AB的長(zhǎng)度相等，在B處測(cè)得大樓頂部C的仰角為65°，求大樓CE的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14）【答案】大樓CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于點(diǎn)F,根據(jù)三角函數(shù)的定義及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于點(diǎn)F．則BF＝DE．在直角△ABF中，sin∠BAF＝，則BF＝AB?sin∠BAF＝10×＝5（m）．在直角△CDB中，tan∠CBD＝，則CD＝BD?tan65°＝10×2.14=21.4（m）．則CE＝DE+CD＝BF+CD＝5+21.4≈26（m）．答：大樓CE的高度是26m．【點(diǎn)撥】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義與性質(zhì).舉一反三：【變式1】問題背景：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長(zhǎng)分別為，，，求此三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處)，如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．(1)請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：________.思維拓展：(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．如果△ABC三邊的長(zhǎng)分別為a，a，a(a＞0)，請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a)畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：(3)若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為，，(m＞0，n＞0，且m≠n)，試運(yùn)用構(gòu)圖法畫出示意圖并求出這三角形的面積．【答案】（1）；（2）3a2；（3）7mn【分析】（1）的面積；（2）是直角邊長(zhǎng)為，的直角三角形的斜邊；是直角邊長(zhǎng)為，的直角三角形的斜邊；是直角邊長(zhǎng)為，的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；（3）結(jié)合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長(zhǎng)為，的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為，的直角三角形的斜邊；直角邊長(zhǎng)為，的直角三角形的斜邊.同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積.解：(1)；故答案為；(2)如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形網(wǎng)格中，△ABC即為所求作三角形，S△ABC＝2a×4a－×2a×2a－×2a×a－×4a×a＝3a2(3)如圖2，在每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m、寬為n的網(wǎng)格中，△ABC即為所求作三角形，其中AB＝、AC＝、BC＝，S△ABC＝4m×4n－×m×4n－×3m×2n－×4m×2n＝7mn.【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理應(yīng)用、利用了數(shù)形綜合的思想，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵.關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答.【變式2】.數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小林在校園內(nèi)選擇°了道路上的A、B兩點(diǎn)處，利用測(cè)角儀對(duì)教學(xué)樓的樓頂D處進(jìn)行了測(cè)量，如圖，測(cè)得∠DAC=45°，∠DBC=60°,AB=10米，求樓頂D處到道路AC的距離約為多少米？(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，)【答案】樓頂D處到道路AC的距離約為23.7米.【解析】【分析】作輔助線,在Rt△BDE中利用三角函數(shù)值求出DE的長(zhǎng)即可解題解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，設(shè)，則，∴EB=x-10,在Rt△BDE中，DE=tan60°==,解方程并檢驗(yàn)得：DE=x=15+5,答：樓頂處到道路的距離約為23.7米.【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,屬于簡(jiǎn)單題,選用簡(jiǎn)單的角表示DE是解題關(guān)鍵.【變式3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的長(zhǎng)．【答案】BD的長(zhǎng)是5．【分析】過D作DE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)DE＝a，用a表示出AE、BE，在Rt△ABC和Rt△B