河北2023高考數(shù)學(xué)題

河北2023高考數(shù)學(xué)題【題目】

2023年河北高考數(shù)學(xué)題

已知函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?[-1,2]$，當(dāng)$x\in[-1,0]$時(shí)，$f(x)=2x^2$；當(dāng)$x\in(0,1]$時(shí)，$f(x)=a(x-1)+1$；當(dāng)$x\in(1,2]$時(shí)，$f(x)=4-2x$。

（1）求實(shí)數(shù)$a$的值；

（2）求$f(x)$的最小值和最大值。

【參考內(nèi)容】

首先，根據(jù)題意，已知函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-1,0]$上的表達(dá)式為$f(x)=2x^2$，在區(qū)間$(0,1]$上的表達(dá)式為$f(x)=a(x-1)+1$，在區(qū)間$(1,2]$上的表達(dá)式為$f(x)=4-2x$?，F(xiàn)在我們來求解這道題。

（1）求實(shí)數(shù)$a$的值：

為了確定$a$的值，我們需要使得函數(shù)$f(x)$在各個(gè)區(qū)間上的表達(dá)式在交接處連續(xù)。因此，我們需要求解以下兩個(gè)方程組：

\[

\begin{cases}

\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)\\

\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)

\end{cases}

\]

代入對(duì)應(yīng)的表達(dá)式進(jìn)行求解：

\[

\begin{cases}

\lim_{x\to0^-}2x^2=\lim_{x\to0^+}[a(x-1)+1]\\

\lim_{x\to1^-}[a(x-1)+1]=\lim_{x\to1^+}(4-2x)

\end{cases}

\]

計(jì)算左右兩側(cè)的極限：

\[

\begin{cases}

0=-a+1\\

a=2

\end{cases}

\]

解得$a=2$。

（2）求$f(x)$的最小值和最大值：

在閉區(qū)間$[-1,2]$上求函數(shù)$f(x)$的最值，首先需要考慮函數(shù)的極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)。根據(jù)給定的表達(dá)式，我們可以找到以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

1.區(qū)間$[-1,0]$的右端點(diǎn)：$x=-1$

2.區(qū)間$[-1,0]$的極值點(diǎn)：在開區(qū)間$(-1,0)$內(nèi)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0：$f'(x)=4x=0$，解得$x=0$，即在$x=0$處可能存在極值點(diǎn)。

3.區(qū)間$(0,1]$的兩個(gè)端點(diǎn)：$x=0$和$x=1$

4.區(qū)間$(0,1]$的極值點(diǎn)：在開區(qū)間$(0,1)$內(nèi)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0：$f'(x)=a=0$，解得$x$不存在極值點(diǎn)。

5.區(qū)間$(1,2]$的兩個(gè)端點(diǎn)：$x=1$和$x=2$

6.區(qū)間$(1,2]$的極值點(diǎn)：在開區(qū)間$(1,2)$內(nèi)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0：$f'(x)=-2=0$，解得$x$不存在極值點(diǎn)。

將得到的關(guān)鍵點(diǎn)代入函數(shù)$f(x)$的表達(dá)式，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值：

1.$f(-1)=2(-1)^2=2$

2.$f(0)=2(0)^2=0$

3.$