二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

一、典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

下圖所示為穩(wěn)定的二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖。開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-

這是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。

稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。第四節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特征根為：，注意：當不同時，（極點）有不同的形式，其階躍響應(yīng)的形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。特征方程為：⒈當時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。⒉當時，特征方程有一對實部為負的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。⒊當時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。⒋當時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。當輸入為單位階躍函數(shù)時，，有：[分析]：當時，極點為：

此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩圓頻率。階躍響應(yīng)為：當時，極點為：極點的負實部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部是振蕩頻率。稱為阻尼振蕩圓頻率。階躍響應(yīng)函數(shù)為：當時，極點為：當時，極點為：即特征方程為特征方程還可為因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為于是閉環(huán)傳函為：這里，式中

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：單位階躍響應(yīng)極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負實根單調(diào)上升一對負實重根

衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

可以看出：隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)?？梢姺从硨嶋H系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。二、典型二階系統(tǒng)的性能指標及其與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程：⒈上升時間：根據(jù)定義，當時，。解得：

稱為阻尼角，這是由于。⒉峰值時間：當時，整理得：由于出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：其中⒊最大超調(diào)量：故：將峰值時間代入⒋調(diào)節(jié)時間：可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為

根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當t≥ts時|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。當t=t’s時，有：由于實際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快因此可用包絡(luò)線代替實際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時間。即認為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束。當較小時，近似?。?，且所以⒌振蕩次數(shù)N：由分析知，在之間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量都較小。工程上常取作為設(shè)計依據(jù)，稱為最佳阻尼常數(shù)。這是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。利用牛頓迭代公式（二）非振蕩瞬態(tài)過程：⒈對于，極點為：牛頓迭代公式：對其根可迭代求出在c(t)中，有兩個衰減指數(shù)項，所以是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。⒉對于，極點為：當時利用牛頓迭代公式可得當時，，這時可用一階系統(tǒng)來近似當時，系統(tǒng)也具有單調(diào)非振蕩的瞬間過程，是單調(diào)非振蕩的臨界狀態(tài)。在非振蕩過程中，它的最小。通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時間，即希望希統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0~1之間。而不希望處于過阻尼情況，因為調(diào)節(jié)時間過長。但對于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于情況。當時，極點遠離虛軸，且c(t)中包含極點s2的衰減項的系數(shù)小，所以由極點s2引起的指數(shù)項衰減的很快，因此，在瞬態(tài)過程中可以忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。阻尼系數(shù)是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但長。當時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結(jié)]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到只與有關(guān)，所以一般根據(jù)來選擇。

越大，（當一定時）為了限制超調(diào)量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在25%~1.5%之間。阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系zb=cos-1zd%zb=cos-1zd%0.184.26°72.90.6950.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7820.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.15[例]：求系統(tǒng)的特征參數(shù)并分析與性能指標的關(guān)系：[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

時，?？焖傩院?，振蕩加?。?/p>

時，下面分析瞬態(tài)性能指標和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系：（假設(shè)）三、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過程[0,t1]誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，以使誤差減小，但因系統(tǒng)阻尼系數(shù)小，正向速度大，造成響應(yīng)出現(xiàn)正向超調(diào)。[t1,t2]誤差信號為負，產(chǎn)生反向修正作用，但開始反向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使正向速度為零，此時輸出達到最大值。[t2,t3]誤差信號為負，此時反向修正作用，大，使輸出返回過程中又穿過穩(wěn)態(tài)值，出現(xiàn)反向超調(diào)。[t3,t4]誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，但開始正向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使反向速度為零，此時輸出達到反向最大值。二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因[0,t1]正向修正作用太大，特別在靠近t1

點時。[t1,t2]反向修正作用不足。減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路[0,t1]減小正向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t1,t2]加大反向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。[t2,t3]減小反向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t3,t4]加大正向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。即在[0,t2]內(nèi)附加一個負信號，在[t2,t4]內(nèi)附加一個正信號。減去輸出的微分或加上誤差的微分都具有這種效果。a.輸出量的速度反饋控制--+-b.誤差的比例+微分控制將輸出量的速度信號c’(t)采用負反饋形式反饋到輸入端并與誤差信號e(t)比較，構(gòu)成一個內(nèi)反饋回路。簡稱速度反饋。以誤差信號e(t)與誤差信號的微分信號e’(t)的和產(chǎn)生控制作用。簡稱PI控制。又稱微分順饋為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對系統(tǒng)進行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。速度反饋和速度順饋是較常用的校正方法。a.輸出量的速度反饋控制---與典型二階系統(tǒng)的標準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。+-b.誤差的比例+微分控制-與典型二階系統(tǒng)的標準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為

由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。⒊閉環(huán)傳遞函數(shù)有零點，將會給系統(tǒng)帶來影響。c.比例+微分控制與速度反饋控制的關(guān)系--比例+微分控制相當于分別對輸入信號和反饋信號進行比例+微分。其中對反饋信號進行比例+微分相當于速度反饋。所以誤差的比例+微分控制相當于輸出的速度反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)再串聯(lián)比例+微分環(huán)節(jié)。因此可以將其分別討論。-零極點分布圖四、具有零點的二階系統(tǒng)分析具有零點的二階系統(tǒng)比典型的二階系統(tǒng)多一個零點，(和不變)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，零點為：具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：由上圖可看出：使得比響應(yīng)迅速且有較大超調(diào)量。設(shè)為零點和極點實部之比具有零點的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：式中：，零極點分布圖根據(jù)上式可以得出主要性能指標如下：式中：，，具有零點的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：+-比例+微分控制的性能

顯然，這是一個典型二階環(huán)節(jié)加微分順饋。不同的是其原二階環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)增加了，變?yōu)?，而無阻尼振蕩頻率不變。我們知道，當阻尼系數(shù)不變時，附加零點會使系統(tǒng)的超調(diào)量增大。但是，增加了順饋環(huán)節(jié)雖然增加了一個零點，卻使系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加了。一般來講，超調(diào)量會下降。這樣，就能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。我們可以不證明地給出c(t)的緊湊形式：20根據(jù)上式可以得出主要性能指標如下：①②③[解]：①③當T不變時，T=0.25，②[例3-1]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時，當T不變時K=?[解]：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：[例3-2]：上例中，用速度反饋改善系統(tǒng)的性能。如下圖所示。為使，求的值。并計算加入速度反饋后的瞬態(tài)指標。--16這時的瞬態(tài)性能指標為：顯然，加入了速度反饋后，不變，而增加了倍。上例中，若要求，則：[解]：[例3-3]對典型的二階系統(tǒng)（）采用微分順饋校正。為使，試確定順饋系數(shù)和