2024屆廣東省東莞市東莞外國語學(xué)校高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2024屆廣東省東莞市東莞外國語學(xué)校高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式可得A，結(jié)合交集的概念計算即可.【詳解】由題意可得，即，所以.故選：B2．已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】借助中間值比較大小即可.【詳解】解：，，，所以故選：B3．函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)零點存在性定理分析判斷【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以至多有一個零點，因為，，所以在零點在區(qū)間，故選：A．4．已知函數(shù)，，如圖是下列四個函數(shù)中某個函數(shù)的大致圖象，則該函數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到對應(yīng)的函數(shù)的定義域為和當(dāng)時，，再一一判斷各個選項即可.【詳解】由圖象可得，該圖象對應(yīng)的函數(shù)的定義域為，對于A選項：的定義域為，所以A選項錯誤；對于B選項：的定義域為，所以B選項錯誤；又知當(dāng)時，，對于C選項，的定義域為，當(dāng)時，，所以C選項錯誤；對于D選項，的定義域為，當(dāng)時，，所以D選項符合題意.故選：D.5．某企業(yè)不斷自主創(chuàng)新提升技術(shù)水平，積極調(diào)整企業(yè)旗下的甲、乙、丙、丁、戊等種系列產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，近年來取得了顯著效果.據(jù)悉該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，其中種系列產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例如圖所示.則下列說法錯誤的是（

）

A．年甲系列產(chǎn)品收入比年的多B．年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比年的企業(yè)年總收入還多C．年丁系列產(chǎn)品收入是年丁系列產(chǎn)品收入的D．年戊系列產(chǎn)品收入是年戊系列產(chǎn)品收入的倍【答案】C【分析】利用已知條件可分別得出年和年種系列產(chǎn)品所占總收入的比例，結(jié)合該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，逐一檢驗選項即可得出答案．【詳解】對于A：年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年甲系列產(chǎn)品收入比年的多，故A選項不符題意；對于B：年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和占了總收入的，該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比年的企業(yè)年總收入還多，故B選項不符題意；對于C：年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年丁系列產(chǎn)品收入是年丁系列產(chǎn)品收入的，故C選項符合題意；對于D：年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年戊系列產(chǎn)品收入是年戊系列產(chǎn)品收入的倍，故D選項不符題意.故選：C.6．已知展開式中的系數(shù)為48，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)二項式的通項公式進(jìn)行求解即可.【詳解】二項式的通項公式為：的展開式中，的系數(shù)為，解得．故選：A7．設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，且，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點，它關(guān)于直線對稱為（），由已知（）在函數(shù)的圖像上，∴，解得，即，∴，解得，故選C．【解析】函數(shù)求解析式及求值8．在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A．12π B．24π C．48π D．96π【答案】C【分析】設(shè)為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，根據(jù)三棱柱的體積得，根據(jù)直三棱柱外接球半徑的求法可求出，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到的最小值，即可得到該三棱柱外接球表面積的最小值【詳解】設(shè)為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，則，所以，則，外接圓的半徑為，所以棱柱外接球的半徑為，令，則，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，則該三棱柱外接球表面積最小值為.故選：C.二、多選題9．若，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，由基本不等式，代入計算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，則，所以，故A正確；因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，因為，所以，所以，故B正確；由選項B可知，，故C錯誤；因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D錯誤；故選：AB10．已知，為不同的直線，，為不同的平面，則下列說法錯誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】ABC【分析】通過分析不同情況下直線和平面的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，A項,設(shè)所在平面,,只需即滿足題設(shè),故A錯誤；B項，設(shè)且且,此時，B錯誤；C項，當(dāng)，，時，可能垂直于，C錯誤；D項，當(dāng)，，，則，故D正確.故選：ABC.11．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，則（

）A．的最小值是，最大值是 B．的周期為C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性求得正確答案.【詳解】由于，所以圖象關(guān)于直線對稱，由于是定義在上的偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對稱，所以是周期為的周期函數(shù)，B選項正確.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，的開口向上，對稱軸為，所以，根據(jù)的周期性、對稱性可知的最小值是，最大值是，A選項正確.，C選項錯誤.，，所以，D選項正確.故選：ABD12．如圖，正方體中，點為棱的中點，點是線段上的動點，，則下列選項正確的是（

）A．直線與是異面直線B．三棱錐的體積為C．過點作平面的垂線，與平面交與點，若，則D．點到平面的距離是一個常數(shù)【答案】ACD【分析】選項A.取的中點,可得平面，從而可判斷；選項B.由，求出其體積可判斷；選項C.取的中點，設(shè)，可得，建立空間坐標(biāo)系，證明平面平面，從而可判斷；選項D.由選項A的解答可知，平面，點到平面的距離等于直線上任意一點到平面的距離，從而可判斷.【詳解】選項A.取的中點，連接,則又，所以,所以四點共面.又平面,平面,則平面由,所以平面，又平面所以直線與是異面直線，故A正確選項B.,故B不正確.選項C.在正方體中，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.取的中點，連接,則,設(shè)平面的法向量,則,即取設(shè)平面的法向量,則,即取由，可得，即平面平面，設(shè),連接,且平面平面此時由與相似，由，可得，即此時點滿足.過點在平面內(nèi)作,則平面由,則與不平行，所以與一定相交，設(shè)為.又平面，則平面.所以過點作平面的垂線，與平面交與點，若，則所以選項C正確.選項D.設(shè)點到平面的距離為.由選項A的解答可知，平面所以點到平面的距離等于直線上任意一點到平面的距離.則點到平面的距離等于點到平面的距離.,即,所以由在正方體中，由題意，為給定三角形，所以，為定值，故點到平面的距離為常數(shù).故D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查異面直線的判斷，點到面的距離的求解和體積的求解，線面和面面垂直的判斷和證明，解答本題的關(guān)鍵是取的中點，設(shè)，可得，建立空間坐標(biāo)系，證明平面平面，從而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可判斷選項C，屬于中檔題.三、填空題13．為了了解某水庫里大概有多少條魚，先打撈出了1000條魚，在魚身上標(biāo)記一個不會掉落的印記后放回水庫，過一段時間后再次捕撈了200條魚，發(fā)現(xiàn)其中5條魚有印記．則這個水庫里大概有條魚【答案】40000【分析】利用“捉放捉”原則即可求得這個水庫里大概有40000條魚【詳解】設(shè)水庫里大概有x條魚，則，解之得故答案為：4000014．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【分析】先求出對數(shù)型函數(shù)的定義域，再結(jié)合二次函數(shù)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，或，所以該函數(shù)的定義域為，二次函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)是正實數(shù)集上的減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為二次函數(shù)的遞減區(qū)間，即為，而，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：15．已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為.【答案】【分析】直接利用空間中點到線的距離公式計算即可.【詳解】由題意可得l的一個單位方向向量為，,故點P到直線l的距離.故答案為：.16．已知函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則的最大值為．【答案】1【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的定義推出為上的奇函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)推出在上單調(diào)遞增．利用奇偶性和單調(diào)性將不等式化為對任意的恒成立，再參變分離得對任意的恒成立．然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值可得結(jié)果.【詳解】因為，所以為上的奇函數(shù)．又，所以在上單調(diào)遞增．不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立．令，所以，所以當(dāng)時，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，在上為減函數(shù)．所以，設(shè)，顯然為上的增函數(shù)，因為，，所以存在，使得，所以，此時，所以，即的最大值為1．故答案為：1【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.四、證明題17．正三棱柱中，是的中點，連接，交于點，，．

(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)求直線與平面ABC所成角的正切值【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正三棱錐的幾何性質(zhì)，明確所求三棱錐的高和底面積，結(jié)合三棱錐的體積公式，可得答案；（2）根據(jù)中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理，可得答案；（3）根據(jù)線面角的定義，作圖，結(jié)合直三棱柱的幾何性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）正三棱錐中，是的中點，，三棱錐的體積為：.（2）連接，是矩形，是的中點，為的中點，，平面，平面，平面.（3）取中點，連接，為的中點，，平面，平面，即為直線與平面所成角，

，，分別為的中點，，，即.五、解答題18．流行性感冒（簡稱流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一種傳染性強、傳播速度快的疾病.其主要通過空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播.流感每年在世界各地均有傳播，在我國北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季兩個流行高峰.兒童相對免疫力低，在幼兒園、學(xué)校等人員密集的地方更容易被傳染.某幼兒園將去年春季該園患流感的小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：年齡23456患病人數(shù)2120151410(1)求關(guān)于的線性回歸方程；(2)計算變量的相關(guān)系數(shù)（計算結(jié)果精確到0.01），并回答是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強?附：回歸方程中，，相關(guān)系數(shù).【答案】(1)(2)，該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強【分析】（1）計算相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式求解；（2）計算相關(guān)系數(shù)并判斷相關(guān)性強弱.【詳解】（1），，，，，，所以與之間線性回歸方程為.（2），則，因為且非常接近，所以該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強.六、證明題19．在中，，，分別上的點且，，將沿折起到的位置，使．(1)求證：；(2)是否在射線上存在點，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，DM=2或12．【分析】（1）先證明出平面，從而得到，結(jié)合，得到平面，從而證明出；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分與兩種情況，求出兩平面的法向量，從而列出方程，求出或，得到的長度.【詳解】（1）證明：，平面，平面，∵平面，，又，平面，平面，∵平面，∴；（2）由題意，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，易得，設(shè)，則，當(dāng)時，兩點重合，平面的法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，且，，故，不妨取，得，則，設(shè)平面與平面所成角為，則，不合題意，舍去；故，設(shè)平面的一個法向量為，且，故，不妨取，解得．故化簡可得，解得：或，因為，所以或12．七、解答題20．已知函數(shù)，其中.(1)若在處取得極值，求a的值；(2)當(dāng)時，討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，由，得到方程，求出，并進(jìn)行檢驗；（2）求定義域，求導(dǎo)，分，與三種情況，求出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1），由題意，，解得，當(dāng)時，，定義域為，，令，解得，令，解得，故為的極值點，滿足題意，故（2）定義域為，，，①時，，令，解得或，令，解得，函數(shù)在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；②當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，，令，解得或，令，解得，故在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．綜上：當(dāng)時，在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．21．某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對性檢測（檢測分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值和80%分位數(shù);(2)若所有學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，．初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯不獲獎．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為，第三道題答對的概率為．若他獲得一等獎的概率為，設(shè)他獲得二等獎的概率為，求的最小值．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，【答案】(1)平均數(shù)：；分位數(shù)：(2)182(3)．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和分位數(shù)的求法求得正確答案.（2）根據(jù)原則以及正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.（3）先求得的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值.【詳解】（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計值為則．解得．所以樣本平均數(shù)的估計值為62．前三組的頻率和為，前四組的頻率和為，第四組的頻率為，所以分位數(shù)為.（2）因為學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中．所以．所以．所以估計能參加復(fù)試的人數(shù)為．（3）由該學(xué)生獲一等獎的概率為可知：．則．令．