納米結(jié)構(gòu)的電子性質(zhì)

納米結(jié)構(gòu)的電子性質(zhì)ReviewOriginofenergyandinsolids一個孤立的原子中，原子核外的電子只能處于確定的原子能級上當兩個原子靠近時，每個原子的價電子都受到兩個原子核的吸引，使得價電子有相等的幾率位于兩個原子核的附近，導(dǎo)致每個孤立原子能級分裂為二三個原子相互靠近時，能級發(fā)生三重分裂，……包含大量原子的固體，能級分裂的結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致能帶的產(chǎn)生。低的能帶－價帶(VB)，完全被電子填充，因而不能運動而產(chǎn)生電流。導(dǎo)帶(CB)中則未被完全填充或完全未填充。導(dǎo)帶與價帶之間有一能隙，為禁帶。禁帶中電子不能填充。處于導(dǎo)帶的電子并不約束于特定的原子，而是可以在整個固體中運動，稱為自由電子。單原子中的電子局域于原子自身電子能級的量子理論一個原子的原子軌道與另一個原子的原子軌道互相重迭，構(gòu)成兩個分子軌道(molecularorbital)能量較低的軌道稱為成鍵分子軌道(bondingmolecularorbital)能量較高的軌道稱為反鍵分子軌道(anti-bondingmolecularorbital)更多的原子組成固體，與同一原子能級對應(yīng)的成鍵和反鍵軌道的數(shù)目增加并最終形成能帶。同一能帶中各軌道間僅有微小的能量差。雙原子分子的分子軌道分子軌道理論中的能級分裂能量原子軌道分子軌道原子軌道反鍵態(tài)成健態(tài)N原子最高被占據(jù)的能帶稱為價帶未被完全占據(jù)的能態(tài)稱為導(dǎo)帶分隔導(dǎo)帶與價帶的區(qū)間無軌道，電子不允許具有此區(qū)間的能量>>kBTEg與kBT接近金屬自由電子理論

零級近似下，簡單金屬的電子結(jié)構(gòu)可采用特魯?shù)拢髂┓频淖杂呻娮幽Ｐ?/p>

價電子完全公有化，構(gòu)成了金屬中導(dǎo)電的自由電子，離子實與價電子的相互作用被完全忽略，并且自由電子體系被視作電子間毫無相互作用的理想氣體(電子氣)

為保持金屬的電中性，設(shè)想將離子實的正電荷散布于整個體積中，恰好與自由電子的負電荷中和

漿汁(jellium)模型

自由電子可視為波矢為(kx,ky,kz)的平面波

如果金屬樣品的體積為V＝L3，L為樣品邊長，則該金屬樣品可被看作一個勢阱，在勢阱內(nèi)部價電子可以自由運動

類似于量子力學中的方勢阱中的定態(tài)的解

周期性邊界條件，波矢的諸分量只能為2p/L的整數(shù)倍

由德布羅意波粒二象性，電子的動能與波矢之間有關(guān)系：電子可能占有的能態(tài)是量子化的

金屬金屬中價帶和導(dǎo)帶相重迭，因此無禁帶的存在在零度，所有的最低能級被電子填滿，最高的填充能級為費密能級。在有限溫度，一些最高占據(jù)能級上的電子被熱激發(fā)到較高的空能級，費密能級代表一半被填充一半為空態(tài)的能級。由N個原子構(gòu)成固體，每個能帶可容納2N個電子以填充電子軌道。因此，對于下列一價金屬，由于每個原子的電子數(shù)為奇數(shù)，最后被填充的能帶只能是半滿的，因此就構(gòu)成良導(dǎo)體。Name

#electrons

ConfigurationAluminum13[neon],3s2,3p1Copper29[argon],3d10,4s1Silver47[krypton],4d10,5s1Gold79[xenon],4f14,5d10,6s1以(kx,ky,kz)為坐標軸，構(gòu)成空間，k在空間作均勻分布，而電子在空間則呈球形分布，等能面是以原點為球心的球面電子能量與波矢的對應(yīng)關(guān)系，在k空間，金屬自由電子氣模型具有拋物線型能帶曲線

自由電子氣的拋物線型能帶曲線按Fermi統(tǒng)計，每一個能級(允許的態(tài))能夠容納兩個電子(一個自旋向上，一個自旋向下)由波矢到能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以得到態(tài)密度的表達式：

自由電子氣模型的拋物線型能態(tài)密度曲線。(a)T＝0K；(b)T>0K絕對零度下，金屬處于基態(tài)，所有的電子占有不相容原理所允許的、最低的可能能級，從k＝0的最低態(tài)開始，從低到高，依次填充。如果體積V中電子的總數(shù)為N，小于資用能級的總數(shù)，則電子占有N/2個能量最低能態(tài)，這些電子所占有的最高能級即為費米能eF

n=N/V為電子密度

在k空間，占據(jù)區(qū)成為一個球，稱為費米球，其半徑成為費米波矢kF

在室溫下，一些最高占據(jù)能級上的電子被熱激發(fā)到高于費米能。費密能對應(yīng)于一半被填充一半為空態(tài)的能態(tài)半導(dǎo)體與絕緣體共同特征：價帶被全充滿，導(dǎo)帶全空絕緣體：禁帶寬度很大，帶隙比熱電子能量大兩個量級，電子在常溫下不可能被熱激發(fā)到導(dǎo)帶。理想絕緣體中，所有的電子都直接束縛于原子。半導(dǎo)體：禁帶寬度較小，在低溫下為絕緣體，在高溫下一些電子可被從價帶熱激發(fā)到導(dǎo)帶，電子和空穴在一定的外電場作用下形成電流。導(dǎo)帶的那些最低的能態(tài)被熱激發(fā)的電子占據(jù)，最高被占據(jù)能態(tài)的能量為Fermi能EF。在價帶頂部，由于電子被激發(fā)，留下空態(tài)－空穴，填充價帶頂部的能態(tài)，其最低能態(tài)為－E’F，E’F

也稱為Fermi能有效質(zhì)量考慮最簡單的一維模型，傳導(dǎo)電子的能量與波矢之間可通過如下平方關(guān)系相聯(lián)系：其一次導(dǎo)數(shù)給出速度v二次導(dǎo)數(shù)給出有效質(zhì)量m*：電子有效質(zhì)量m*通常與自由電子質(zhì)量m是不同的。此式給出了有效質(zhì)量的一般定義。能帶的結(jié)構(gòu)有關(guān)，能帶的斜率越大，有效質(zhì)量越小導(dǎo)帶：電子有效質(zhì)量me價帶：空穴有效質(zhì)量mh費密面在三維k空間，滿足：的波矢kx,ky,kz構(gòu)成一個費密面。所有低于費米面的能態(tài)(kx,ky,kz)都被占據(jù)，所有高于費米面的能態(tài)(kx,ky,kz)都為空·。如果傳導(dǎo)電子的能量與波矢之間滿足簡單的平方關(guān)系，則在k空間，F(xiàn)ermi面是下式給出的球面：激子電子－空穴對組成的束縛態(tài)。電子、空穴間通過庫侖力相互作用，在量子力學處理中可視為“類氫原子”。激子有效質(zhì)量：激子能量：m0-自由電子質(zhì)量,e0-真空介電常數(shù)

a0為玻爾半徑電子軌道的有效玻爾半徑：摻雜施主：向?qū)峁╇娮?，電子?dǎo)電，n型受主：向價帶提供空穴，空穴導(dǎo)電，p型施主能級受主能級p-njunction:Abruptjunctionofn&pmaterialP-n結(jié)是由具有相鄰接的n型和p型兩個區(qū)域的單晶半導(dǎo)體構(gòu)成在熱平衡條件下，n區(qū)的電子和p區(qū)的空穴分別向p區(qū)和n區(qū)擴散，形成擴散電流A。載流子擴散的結(jié)果，使pn結(jié)界面兩側(cè)產(chǎn)生了無載流子存在的區(qū)域，稱為耗盡層。電離了的施主及受主在耗盡層形成正負空間電荷，從而產(chǎn)生電場，導(dǎo)致與擴散電流方向相反的漂移電流B當擴散電流A和漂移電流B處于動態(tài)平衡，無電流流動，耗盡層內(nèi)的空間電荷產(chǎn)生了接觸電勢差FB在pn結(jié)上加上正向偏壓：p區(qū)加正電壓，p、n之間的電勢差FT=FB-VF降低，熱平衡被破壞，由多數(shù)載流子形成的擴散電流遠大于漂移電流，形成正導(dǎo)通當p區(qū)加上負電壓，電勢差FT=FB+VF變大,多數(shù)載流子難以擴散，幾乎無電流流動，反向截止pn結(jié)的整流效應(yīng)金屬納米粒子的量子尺寸效應(yīng)：Kubo理論

（a）

尺寸的減小導(dǎo)致電子能級的明顯分立

宏觀金屬體系：電子能譜e(k)準連續(xù)起源：體系中電子數(shù)很多：N～1024，致使費米波矢kF遠大于電子許可態(tài)在k空間中的間隔Dk，Dk/kF~10-8費米能量與體系的尺寸無關(guān)：自由電子模型：電子數(shù)密度n＝N/V，不隨尺寸變化Dk～2p/L費米面附近態(tài)密度：

g(eF)=(3/2)(n/eF)能級間隔：1/2g(eF):

每個許可得能級上有兩個不同的自旋態(tài)能級間隔與總粒子數(shù)成反比。能級間隔展寬的直接效應(yīng)：金屬態(tài)→非金屬態(tài)費米能級處于最高占據(jù)態(tài)和空態(tài)之間的能隙中

實驗觀察前提：(1)足夠低溫度，使kBT<<d(2)

電子在相應(yīng)能級上有足夠長的壽命t，使不確定原理造成的能級展寬遠小于能級間隔的大小，即：例：單個金屬納米粒子的電子比熱，在高溫(kBT>>d)區(qū)與大塊材料一樣，隨溫度線形變化。在低溫(kBT<<d),為指數(shù)變化行為：

c(T)∝exp(-d/kBT)具體實例：金屬銀：n=6×1022cm-1納米粒子直徑為d＝14nm，d＝1K圖：一些金屬元素平均電子能級間隔隨粒子直徑的變化。部分元素僅用垂線示出能級間隔為1K時相應(yīng)的微粒直徑。（b)電子能級的統(tǒng)計學和熱力學

在微粒直徑d很小時，由于增減一個電子引起的靜電能的變化

遠大于kBT，因此孤立微粒的電荷沒有漲落。在計算其低溫性質(zhì)時，可以認為粒子數(shù)(電子數(shù))N是固定的，應(yīng)采取正則系統(tǒng)。金屬納米微粒中含電子數(shù)的奇偶性導(dǎo)致行為的差別加磁場B后電子應(yīng)具有磁矩mB而導(dǎo)致能級簡并得解除對于每個原子只含有一個導(dǎo)電電子的金屬：由于粒子尺寸的分布，可以設(shè)想一半納米粒子含有偶數(shù)個電子，另一半含有奇數(shù)個電子。對于每個原子含有偶數(shù)個導(dǎo)電電子的金屬：所有納米粒子含有偶數(shù)個電子。低溫下，僅與基態(tài)相鄰的電子態(tài)是重要的，可以只考慮圖中所示的能級間隔分別為D和D’的三能級系統(tǒng)。已知各許可態(tài)的能量ei配分函數(shù)的定義：b=(kBT)-1分別對偶數(shù)電子和奇數(shù)電子的情形進行計算低溫極限下，對偶數(shù)電子情形，僅涉及間隔為D的能級對奇數(shù)電子情形，涉及間隔為D及D’的激發(fā)態(tài)結(jié)果Zeven≈1+2(1+cosh2bmBB)e-bD+e-2bDZodd≈2(coshbmBB)(1+e-bD+e-bD′)比熱c和磁化率c可從配分函數(shù)按下式計算：B2對于零磁場的情形，可得：－－式A為簡單，在低溫極限下，進一步簡化到只涉及最低的激發(fā)態(tài)，則得：－－式B比熱隨溫度按指數(shù)變化磁化率：偶數(shù)電子微粒：按指數(shù)變化；奇數(shù)電子微粒：居里定律實際的微粒系統(tǒng)，需要考慮統(tǒng)計分布。將比熱、磁化率統(tǒng)一記為F(D)或F(D,D’)?？紤]D和D’有一定的分布后，依賴于電子數(shù)的奇、偶，有：偶奇P(D),P(D,D’)為能級的分布函數(shù)T→0時，由于e-bD的存在，分布函數(shù)可以簡單地假定為：P(D)=anDn則可得：

c=gnTn+1gn對奇、偶電子數(shù)有不同的值考慮大量尺寸相同納米粒子的統(tǒng)計行為后，比熱隨溫度的變化由指數(shù)形式變?yōu)閮缧问?。含奇?shù)電子的納米微粒的磁化率與D無關(guān)，不受統(tǒng)計平均影響含偶數(shù)電子的納米粒子的磁化率，統(tǒng)計平均后同樣按冪形式變化ceven=anTn1理論分析表明，n值僅n＝1，2，4是可能的。納米微粒的c和c與大塊樣品有很大的不同。上述計算是根據(jù)費米面附近金屬粒子的電子能級為分立的原則計算出來的，因此，納米微粒的c與粒子所含電子的奇偶數(shù)有關(guān)就表明其費米面附近電子能級是不連續(xù)的。納米微粒的比熱c∝Tn+1,而塊材的比熱c∝T,兩者的大的差別也證實了納米粒子費米面附近的能級是分立的。2.輸運性質(zhì)，特征長度，量子限制

(QuantumConfinement)設(shè)：自由粒子：能量E，有效質(zhì)量m*deBroglie波長：DeBroglie波長表示一個特征長度，在微觀描述中在此尺度下量子尺寸效應(yīng)將顯露出來。例：半導(dǎo)體中接近導(dǎo)帶底的電子，

E≤100meV,m*≤0.100m0(m0為自由電子質(zhì)量)，

l的數(shù)量級為100－1000?

l支配著在相應(yīng)的維度方向限制引起的電子態(tài)的量子化。產(chǎn)生量子化能級間隔。有效質(zhì)量m*越小的系統(tǒng)，量子化能級間隔越大。對于簡并電子系統(tǒng)，由費米能確定費米波長：費米波長給出費米能量的電子態(tài)的空間分布范圍。如果lF與空間分布的尺度同數(shù)量級，這些電子態(tài)就被限制住。在相應(yīng)的維度方向上對靜態(tài)輸運沒有貢獻。(但存在動力學輸運)動力學輸運中采用平均自由程：上述三個量都是平均值，描述宏觀輸運性質(zhì)，其大小依賴于電子系統(tǒng)所遵從的統(tǒng)計規(guī)律。若表示的是相鄰兩次彈性碰撞之間的平均時間，le被稱為彈性散射平均自由程。在與彈性散射平均自由程相當?shù)拈L度上，電子的輸運是彈道式的，不受散射。（不考慮電子與電子之間的相關(guān)性）量子點接觸(Quantumpointcontact)是二維電子氣中短而窄的收縮區(qū)，其長度L～寬度W，且均小于電子平均自由程l。在量子點接觸中是完全的彈道輸運。其中最突出的是2W≧lF量子點接觸系統(tǒng)的電導(dǎo)量子化現(xiàn)象。1988年，VanWees等和Wharam等獨立地發(fā)現(xiàn)改變分裂柵的電壓從而使點接觸寬度改變時電導(dǎo)呈臺階式變化。對寬的二維電子氣區(qū)的串聯(lián)電阻進行修正后，臺階近似為2e2/h(=(12.9kW)-1)的整數(shù)倍。每種材料具有特定的電導(dǎo)。導(dǎo)線的電導(dǎo)與其長度成反比。但另一方面，當導(dǎo)線的長度減小到電子的平均自由程，電子的輸運性質(zhì)由擴散式變?yōu)閺椀朗?Ballistictransport)。電子的彈性散射平均自由程l與體系尺度相比甚小，電子在無序分布的雜質(zhì)散射，其路徑為無規(guī)行走。電子平均自由程與體系的尺度相當，進入彈道輸運區(qū)，限制電流大小的是樣品的邊界散射，雜質(zhì)散射可忽略。當導(dǎo)線的寬度減小到費米波長的尺度，由納米線所連接的電極間的電導(dǎo)按階梯2e2/h(=(12.9kW)-1)。并且電導(dǎo)不再與導(dǎo)線的長度相關(guān)。決定電子輸運的因素：動量限制：假定約束具有寬度W，約束于引線中的電子波的動量px和py為量子化。對應(yīng)于整數(shù)n，動量由hn/2W給出。如果pz2=2mE-(px2+py2)為負，能量為E、質(zhì)量為m的電子就不能通過限制而輸運。最大的n數(shù)定義了傳導(dǎo)通道的數(shù)目N。對于一個確定的系統(tǒng)，N是確定的，因此最大的pz不能超過h/lf(lf為電子在電極中的費米波數(shù))。能量限制：電極間的電勢差為eV，能量為E～Ef+eV的電子對電流有貢獻,Ef為費米能。計入自旋簡并，每一傳導(dǎo)通道獲得G＝2e2/h的電導(dǎo).傳導(dǎo)通道的數(shù)目依賴于納米線的寬度。因此當納米線變細時就出現(xiàn)電導(dǎo)階梯狀地減小。－－－電導(dǎo)量子化(Conductancequantization)。金屬量子點接觸－MetalQPC(Quantumpointcontact)s：用納米細線連接電極，電極逐步分離，拉伸納米線變細變長，最終斷開。通過在恒定的偏壓下測量通過電極的電流，可以測得電導(dǎo)臺階。在銅棒上沉積金電極，STM針尖為金線，偏壓為Vb.Landauer-Büttiker公式1957年，Landauer導(dǎo)出了計算電導(dǎo)系數(shù)的公式。其基本思想：當測量一個樣品的I－V曲線時，一定會在這個樣品上至少連接兩根導(dǎo)線，然后讓電流通過器件。若將這兩根導(dǎo)線視為理想導(dǎo)線，即假設(shè)其不含雜質(zhì)，則可將它們看作電子波的理想波導(dǎo)管，而將被測器件視為一勢壘。這樣器件的電導(dǎo)系數(shù)就一定依賴于電子波的穿透系數(shù)T。粗略地講，穿透系數(shù)T越大，可期待的器件的電導(dǎo)系數(shù)也就越大。對于一個一維體系，考慮了電子的自洽屏蔽作用之后，Landauer得到如下公式：Landauer公式是建立在電子波散射的散射矩陣基礎(chǔ)上的。當器件的尺度小于電子的非彈性散射自由程，所發(fā)生的輸運過程就完全可以用電子波的散射加以描述，Landauer公式就變得尤其適用。應(yīng)用Landauer公式于量子點接觸體系，可得電導(dǎo)為：tnm為從第m個模過渡到第n個模的傳輸幾率幅。在點接觸區(qū)，電子彈道式的通過，沒有散射，從而不發(fā)生在模式間的轉(zhuǎn)換。故：tnm＝dnm由于被占據(jù)的子帶數(shù)N總是整數(shù)，隨通道的寬窄而改變，因而電導(dǎo)呈臺階式變化。約束于引線中的電子波的動量px和py為量子化。對應(yīng)于整數(shù)n，動量由hn/2W給出。相干長度：在電子態(tài)相位因非彈性碰撞而遭破壞之前，可能經(jīng)歷幾次彈性碰撞。由于彈性碰撞不破壞電子態(tài)的相位記憶，在相鄰兩次的非彈性碰撞之間，載流子飛行的距離稱為相干長度，用Lf表示。下標f表示粒子數(shù)波函數(shù)的相位。當測量引線間的距離與Lf可以比較時，在靜態(tài)輸運實驗中可以看到普適電導(dǎo)漲落現(xiàn)象。小的金屬環(huán)或細線在低溫下電導(dǎo)作為磁場的函數(shù)G(B)呈現(xiàn)非周期的漲落。Si等MOSFET的電導(dǎo)隨柵壓的變化G(VG)呈現(xiàn)非周期的漲落。0.8mm直徑的金環(huán)的G(B).準一維Si-MOSFET線的G(B).Si-MOSFET線的電導(dǎo)隨柵壓VG的漲落。上述實驗中觀察到的漲落具有如下特征：與時間無關(guān)的非周期漲落。熱噪聲與時間有關(guān)，故這種電導(dǎo)漲落不是熱噪聲。每一特定的樣品有其自身特有的漲落圖樣，在保持宏觀條件不變的情況下，其漲落圖樣是可以重現(xiàn)的。故這種漲落是

sample-specific。(3)只要滿足

lF<<l<<L≦Lf

lF:費米面處電子的波長；l：彈性散射平均自由程

L:樣品線度;Lf:電子波函數(shù)的相位相干長度漲落的大小是量級為e2/h(~4×10-5S)的普適量，與樣品材料、大小、無序程度、電導(dǎo)平均值的大小無關(guān)。故稱為普適電導(dǎo)漲落(universalconductancefluctuations,UCF)普適電導(dǎo)漲落來源于介觀金屬(滿足lF<<l<<L≦Lf)中的量子干涉效應(yīng)。由Landauer理論，電導(dǎo)正比于總透射幾率。從樣品一邊透射到另一邊的透射幾率幅：在金屬區(qū)電子通過樣品時經(jīng)歷多次與雜質(zhì)的散射，其路徑是無規(guī)行走式的準經(jīng)典“軌道”。不同路徑之間的相位差是不規(guī)則的，導(dǎo)致隨機干涉效應(yīng)。使電導(dǎo)呈現(xiàn)非周期的不規(guī)則漲落。采用微擾論，可以證明:介觀系統(tǒng)在金屬區(qū)的電導(dǎo)漲落的大小是普適量e2/h.擴散長度LD：在具有兩種載流子(電子和空穴)的量子阱結(jié)構(gòu)中，電子－空穴的復(fù)合時間trec給出擴散長度：LD＝(Dtrec)1/2D為擴散系數(shù)擴散長度內(nèi)不涉及碰撞過程。載流子在壽命期內(nèi)的飛行距離，有時可達幾百個平均自由程的長度。當限制長度(幾何長度)與某一物理長度有相同的數(shù)量級，與這個限制長度相關(guān)聯(lián)的物理性質(zhì)的變化就會突顯出來。主要有兩方面的問題：由z(準兩維系統(tǒng)，取為xy平面)或x方向(寬度，量子線)橫向限制引起的量子限制效應(yīng)。(2)沿y(長度方向)的由于量子相干效應(yīng)引致的介觀問題。對于自由電子系統(tǒng)，當尺度在3D到0D受到限制時電子態(tài)密度的變化的示意圖。Fora3Dsolid,thedensityofstateshasa√Edependence。In2D,圖中代表性地畫出了量子阱結(jié)構(gòu)作為示意，thedensityofstatesisastepfunction。1Dsystems,例如.量子線，圖中以MBE生長的線和碳納米管為示意.Thedensityofstateshasa1/√Edependenceand,thus,在接近帶邊處出現(xiàn)奇異性。0Dsystem,圖中以MBE生長的量子點和納米晶粒為代表，出現(xiàn)分立的,δ-function-likeelectronicstates.零維系統(tǒng)(量子點)的電子結(jié)構(gòu)對于在周期性勢阱中的波矢為k的電子，其能量為：如果·能量E有N(E)個態(tài)，則單位能量范圍內(nèi)的能態(tài)數(shù)即態(tài)密度定義為：(1)由式(1)，得：此結(jié)果對任何維度都是適用的。不同維度的差別由決定對于bulk半導(dǎo)體，能量E的可能的狀態(tài)數(shù)N是以由(1)式所給出的為半徑的球內(nèi)的狀態(tài)數(shù)。因此所以能態(tài)密度為：由于故對于bulk半導(dǎo)體，有對于在一維上存在約束的二維(面)結(jié)構(gòu)，電子可以在面內(nèi)自由運動，但在垂直方向上受到約束。對于厚度為L的平板，允許的能態(tài)是一系列由下式給出的分立能級n=1,2,3,….能量E的能態(tài)數(shù)N(E)是在半徑為k的圓碟內(nèi)的狀態(tài)數(shù)，為N(E)∝k2故：dN/dk∝k因此能態(tài)密度與能量無關(guān)。各能量組合后的能態(tài)密度呈現(xiàn)出與約束相關(guān)的臺階，以及臺階間的水平線。在兩維上受到約束則給出一維的“量子線”。沿著量子線，能態(tài)的數(shù)目正比于k，即N(E)∝k,因此dN/dk∝常數(shù)，能態(tài)密度為D(E)∝1/k,或?qū)懗桑篋(E)∝E-1/2。組合的能態(tài)密度展現(xiàn)出由量子約束態(tài)導(dǎo)致的尖銳階躍，在跳躍之間則是E-1/2的變化。如果在三維上都受到約束，則導(dǎo)致零維的“量子點”。此時，只出現(xiàn)與量子約束相對應(yīng)的分立能級。所得的能態(tài)密度為一系列的簡單的線。量子點的量子限制效應(yīng)(QuantumConfinement)最簡單的情況是考慮強約束。強約束的條件：粒子直徑a<<ae,ah(electronandholeBohrradius).假定：在粒子外波函數(shù)為零，（對應(yīng)于無限高勢壘）。忽略庫侖相互作用(強約束時約束能遠大于庫侖能)。采用有效質(zhì)量近似(effectivemassapproach):以有效質(zhì)量替代晶格周期勢場：對于邊長為a的立方體，其解為：(particle-in-a-box)n,l,m=1,2,3,…（2）相對于價帶頂?shù)膶?dǎo)帶的能量為：Eg為能帶間隙，me*為電子有效質(zhì)量。對于更為對稱的半徑為R的球形粒子，有：Ylm為規(guī)一化球函數(shù)，n為主量子數(shù)，l為動量，Jx為貝塞爾函數(shù)。Kmly由Jl+1/2(knlR)=0時的根定義。由上述波函數(shù)得能量為：同樣給出一系列分立能級。作為簡化，上述推導(dǎo)只是對導(dǎo)帶進行，單對于價帶也同樣適用?？紤]在導(dǎo)帶和價帶之間的躍遷，上述公式中的質(zhì)量me*須由約化質(zhì)量m=me*mh*/(me*+mh*),

mh*為空穴有效質(zhì)量。由于波函數(shù)的正交性，只允許同量子數(shù)的態(tài)間的躍遷。上述處理中在一級近似中忽略了很多因素。對于實際的粒子需要對這些因素進行考慮和修正。電子－空穴對之間的庫侖相互作用和誘導(dǎo)極化效應(yīng)考慮半徑為R，介電常數(shù)為e2的球嵌于介電常數(shù)為e1的介質(zhì)中，對于球內(nèi)位置為r1和r2的兩個電荷，其勢能為：第一項為庫侖項，第二、三項為由在r1和r2處的電荷的極化，第四項是由一個電荷與另一電荷誘導(dǎo)的極化間的相互作用引起的互極化項。將上述庫侖勢包含到薛定鍔方程，對于給定的波函數(shù)數(shù)，可以計算出能量。在一級近似下，只采用電子和空穴的1S波函數(shù)，則得最低激發(fā)態(tài)的能量：第一項是約束能。第二項為庫侖相互作用。第三項來自極化，并對1S波函數(shù)進行了平均。約束能按R-2變化，庫侖能按R-1變化。因此總是可以使得約束項成為最大的(R足夠小).但對很多可能的系統(tǒng)，特別是直接帶隙材料，庫侖項會變得相當顯著。此外，極化項，雖然相對于前兩項是小的，但有時會變得特別重要，例如在考慮小粒子在表面化學反應(yīng)中的行為時。三種約束強度類型：(1)a<<aeanda<<ah強約束(2)ah<a<ae

intermediateregion(由于導(dǎo)帶與價帶的區(qū)別，典型的半導(dǎo)體，空穴的有效質(zhì)量遠大于電子有效質(zhì)量，故電子玻爾半徑遠大于空穴玻爾半徑）重的空穴受到電子運動平均效應(yīng)的影響。球形玻函數(shù)在中心具有極小，故空穴將趨于被局限在中心。一級近似下，電子的量子約束給出分立能級結(jié)構(gòu)。由于庫侖相互作用相對增強，放寬了躍遷時對量子數(shù)守恒的限制，因此，使強約束時的單次躍遷被分裂為導(dǎo)向近能級的幾個躍遷。(3)a>ah,anda>ae，弱約束只需考慮激子。激子能量只有很小的增加。但由于激子是晶粒的整體激發(fā)，激子運動的尺寸量子化導(dǎo)致的激子能量的移動還是可以觀察到的。激子波函數(shù)可寫作：其中x(r)(r=re-rh)給出激子相對于其自身質(zhì)量中心的運動。

(R)(R=(mere+mhrh)/(me+mh))給出質(zhì)心的運動。具有（2）式所給出的形式。激子能級為：

M=me+mh為激子總質(zhì)量，Eex為激子束縛能。最強的躍遷發(fā)生在E~1/a2波函數(shù)可以有一定程度的穿入周圍介質(zhì)。與介質(zhì)的相互作用需要考慮。局域場效應(yīng)(localfieldeffects)

量子點粒子常常是嵌埋于環(huán)境介質(zhì)中，這些介質(zhì)常常是電介質(zhì).當粒子尺寸減小到與光波長相近，粒子內(nèi)部的場成為：

Ein＝fEoutEout為粒子外部的場，f為局域場因子。對于簡單形狀的粒子，f可寫為：

f＝1/[1+A(e-1)]e=e1+ie2,為歸一到周圍介質(zhì)的介電常數(shù)，A是退極化因子。A只與幾何外形有關(guān)，對于球形，A＝1/3。粒子內(nèi)部的光強將改變一個因子F存在使局域場獲得最大增強的共振。導(dǎo)致顯著的非線形光學響應(yīng)。準一維系統(tǒng)的電子結(jié)構(gòu)求解薛定鍔方程：采用有效質(zhì)量近似，本征函數(shù)可寫為：對于限制勢，在x和z方向取最簡單的模型：矩形方勢阱。當勢壘高為無限時，x方向和z方向的勢可分離，則本征值為：態(tài)密度為：態(tài)密度顯示出平方根倒數(shù)的奇異性，給出準一維特性的標志峰。3.庫侖阻塞與單電子隧穿Coulombblockage庫侖阻塞是前一個電子對后一個電子的庫侖排斥能，這導(dǎo)致對一個小體系的充放電過程，電子不能集體傳輸，而是一個一個單電子的傳輸。充入一個電子所需的能量Ec為e2/2C,C為小體系的電容，體系越小，C越小，Ec越大。當微粒尺寸非常小時，由于靜電能的變化遠大于kBT，導(dǎo)致電荷的改變非常困難。單電子學singleelectronics:controlthemovementandpositionofasingleorsmallnumberofelectronsBulk：conductor：電子自由地通過點陣，電流由流過導(dǎo)體的電荷給出，這些電荷可以是任何數(shù)值，包括電子電荷的某個分數(shù)，因此電荷是連續(xù)的，非量子化的電子云相對于晶格原子的偏移，這種移動可以是連續(xù)的，因此傳輸?shù)碾姾墒且粋€連續(xù)的量。常規(guī)導(dǎo)體為一隧道結(jié)所隔斷。電子流過該系統(tǒng)的運動包括：在常規(guī)導(dǎo)體部分的連續(xù)過程在隧道結(jié)中的分立過程電子通過隧道穿透通過隧道結(jié)，只能是一個一個分立(整數(shù))電荷進行隧道穿透。電荷首先在與絕緣層相接的電極表面積聚，直到在隧道界的兩邊建立起足夠高的偏壓以后，使一個電子具有足夠高的幾率發(fā)生隧道穿透，傳輸一個基本電荷通過隧道界——單電子放電MetalInsulatorMetale-MIM結(jié)當電子從極板1隧穿到極板2時：極板1的電荷增加e，結(jié)電壓改變DV＝e/C靜電能增加ec＝e2/2C電容器的充電能通常尺度下:DV～10-9V<<kBT/e納米尺度：Ec/kB＝e2/2C/kB~1K庫侖阻塞電流偏置隧道結(jié)：庫侖振蕩Coulomboscillations單個隧道結(jié)與恒流源構(gòu)成閉合回路，回路中將出現(xiàn)頻率為f=I/e的電流振蕩，稱為Coulomboscillations電子盒electronbox:金屬粒子的一端與隧道結(jié)相連，電子可以通過隧道穿透進入或離開此端。系統(tǒng)與一電壓源連接。金屬粒子上可以充入確定數(shù)目的電子。典型系統(tǒng)：嵌埋于氧化物中的金屬顆粒上層的氧化層足夠薄使電子能夠隧道穿透。為使一個電子能夠傳輸?shù)浇饘兕w粒上，需要庫侖能Ec=e2/2C。C為金屬粒子的電容。忽略熱能及其它能量，僅考慮偏置電壓Vb當Vb<閾值Vth=e/C,因為沒有足夠的能量使金屬粒子充電，無電子可以隧穿——庫侖阻塞增加Vb，金屬粒子上將依此充上一個電子、兩個電子、三個電子…..形成庫侖臺階。庫侖振蕩和庫侖阻塞現(xiàn)象發(fā)生的兩個條件：（1）熱漲落的影響要?。杭唇Y(jié)足夠小，工作溫度足夠低，對隧道結(jié)而言，充電能起主要作用。在液氮溫度，要求電容C<12nF，在室溫要求C<3nF宏觀尺度下，如結(jié)面積為：0.1×0.1mm2時，ec約為10-9eV,很小，其效果為熱漲落所掩蓋納米尺度：結(jié)面積小到0.1mm×0.1mm，絕緣層厚1.0nm左右，結(jié)電容C～10-15F,ec

~1K,在mK溫度范圍內(nèi)出現(xiàn)庫侖阻塞現(xiàn)象(2)量子力學的漲落要?。好總€電子需要局域在單個金屬納米顆粒上。否則電子被在一個大的空間內(nèi)共享，則對單個顆粒的整數(shù)電荷充入就不能觀察到。

設(shè)單電子隧穿過程的平均時間為tT，形式上可以寫成tT

＝RTC，RT為隧穿電阻，隧穿過程引起的能量漲落為：De～h/tT,量子力學漲落足夠小，相當于ec>>h/RTC,或：RT>>RQ~h/e2~26kW具體實現(xiàn)：非常小的高電阻隧道結(jié)。小顆?！?nm基于庫侖阻塞的可能器件：精密電流標準極靈敏靜電計邏輯門存儲器：超低能耗，高速、原子尺度

MOS技術(shù)的可能替代者。電流偏置的單結(jié)偏置電流為I的單結(jié)。結(jié)的特性描述：電容C和隧穿電阻RT兩個參數(shù)。結(jié)的狀態(tài)描述：結(jié)電極上的電荷Q，通過勢壘隧穿的電子數(shù)n。電子隧穿導(dǎo)致體系靜電能的改變：

e/C前的＋號對應(yīng)于極板1減少電荷，T=0時，隧穿過程條件：De

>0，即：趨于使體系能量減小。故在：－1/2e<Q<1/2e

范圍發(fā)生庫侖阻塞。偏置電流I不為零但很小時，結(jié)上的電荷按dQ/dt＝I的速率線形增加(結(jié)上電荷來自金屬極板上導(dǎo)電電子相對于正電荷背景的小的位移）。當Q超過閾值e/2,隧穿發(fā)生，使Q突然變?yōu)?e/2。然后新的循環(huán)開始。結(jié)的端電壓相應(yīng)地呈鋸齒形振蕩，振幅為：e/2C。單電子隧穿的重復(fù)頻率：實線所示過程使系統(tǒng)能量降低，虛線所示過程使系統(tǒng)能量升高。系統(tǒng)能量結(jié)上電荷112233在低溫極限D(zhuǎn)e>>kBT條件下，單電子隧穿幾率：

G＝(1/e2RT)DeDe為隧穿引起的靜電能的變化。偏置電流為I時，結(jié)電壓按速率I/C增加，隧穿發(fā)生時，突然下降e/C.對于V(t)總大于閾值，隧穿率為：G(V)＝(C/2e2RT)[V2-(V-e/C)2](*)如平均電壓為在從到的一個周期內(nèi)發(fā)生一次隧穿，即：代入(*)式，得：電流較大時：伏安特性呈線形，但與通常歐姆定律給出的結(jié)果相比，在電壓軸上平移e/2C。偏置電流很小時：單電子隧穿振蕩明顯。V低于閾值。I=0時I-V曲線線形部分的截矩VG=e/2C稱為庫侖隙(Qoulombgap)是判斷庫侖阻塞存在的證據(jù)。單電子島特征能量對一個島(island)充入少量數(shù)目的電子的過程與兩種能量有關(guān)：電子－電子相互作用電子的空間限制spatialconfinement

只有在納米尺度，上述能量才足夠大，使熱漲落可以被抑制電子－電子相互作用經(jīng)典模型：靜電充電能當電荷dq被輸入到一導(dǎo)體，需要做一定的功以克服已存在于導(dǎo)體上的電荷所形成的場對于一個半徑為d的導(dǎo)體球，其電容為：

C＝2ped

e為周圍介質(zhì)的介電常數(shù)

給電容C充電q需要的能量為：Acollectionofpracticalcapacitanceformulas對于足夠小的島，出現(xiàn)第二項電子－電子相互作用能：充入一個電子后，費密能發(fā)生變化費密能EF隨載流子濃度的變化如下式：金屬半導(dǎo)體Nnet＝n-p為凈載流子濃度金屬的載流子濃度～1022/cm3本征半導(dǎo)體~1010/cm3，摻雜半導(dǎo)體~1014/cm3ComparisonofthechangeinFermienergyfortheadditionofone,two,andthreeelectroninSitotheelectrostaticchargingenergy充入第一個電子所造成的Fermi能變化最大，充入第二和第三個電子所造成的Fermi能變化皆小于室溫所對應(yīng)的熱能。因此在單電子器件中應(yīng)盡可能采用少載流子的結(jié)構(gòu)以獲得大的能量變化。ComparesSiwithAlAlChangeismuchbiginSiThedifferenceinfreecarrierconcentrationInmetalmuchmorecarriersareavailableandthereforetheadditiono