第05講 乘法公式（2大考點8種解題方法）

第05講乘法公式（2大考點8種解題方法）考點考向考點考向1.平方差公式：2.完全平方公式考點精講考點精講考點一：平方差公式題型一：運用平方差根式進行計算一、單選題1．（2021·上海·七年級期中）下列各式中，不能用平方差公式計算的是（

）A． B． C． D．2．（2021·上海市傅雷中學七年級期中）下列乘法中，能應用平方差公式的是（）A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）二、填空題3．（2021·上海金山·七年級期中）計算：__________．4．（2021·上海奉賢·七年級期中）如果a、b互為相反數(shù)，那么a2﹣b2的值是___．5．（2018·上海市姚連生中學七年級期中）計算：________．6．（2021·上?！て吣昙壠谥校┯嬎悖篲_____．7．（2021·上?！て吣昙壠谥校├贸朔ü接嬎悖?20.3×19.7=__________三、解答題8．（2021·上海奉賢·七年級期中）簡便計算：23×54+29×31．9．（2021·上海市川沙中學南校七年級期中）用乘法公式計算：10．（2021·上海市民辦新黃浦實驗學校七年級期中）計算：．11．（2019·上海奉賢·七年級期末）計算：．12．（2021·上?！て吣昙壠谥校┯嬎悖侯}型二:平方差公式與幾何圖形一、單選題1．（2021·上海金山·七年級期中）根據(jù)圖中的圖形面積關系可以說明的公式是（

）A． B．C． D．．2．（2021·上海·七年級期中）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）3．（2019·上海市真北中學七年級階段練習）從邊長為的大正方形紙板中挖去一個邊長為的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形(如圖甲)，然后拼成一個平行四邊形(如圖乙)．那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的公式為（

）A． B．C． D．4．（2019·上海市天山第二中學七年級期中）如圖，邊長為的正方形中剪去一個邊長為的小正方形，剩下部分正好拼成一個等腰梯形，利用這兩幅圖形面積，能驗證怎樣的數(shù)學公式？（

）A．B．C．D．5．（2022·上?！て吣昙壠谀膱D1到圖2的變化過程可以發(fā)現(xiàn)的代數(shù)結論是(

)A．(a+b)(a-b)= B．=(a+b)(a-b)C． D．二、填空題6．（2022·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，點D、C、H、G分別在長方形ABJI的邊上，點E、F在CD上，若正方形ABCD的面積等于15，圖中陰影部分的面積總和為6，則正方形EFGH的面積等于___________．三、解答題7．（2022·上?！て吣昙壠谀┕S接到訂單，需要邊長為（a＋3）和3的兩種正方形卡紙．(1)倉庫只有邊長為（a＋3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a＋3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的一組相鄰的邊長分別為多少？（用含a代數(shù)式來表示）；(2)若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，測得盒子底部長方形長比寬多4，則的值為．（直接寫出答案）8．（2019·上海市育鷹學校七年級期中）如圖，將邊長為a的正方形按虛線剪成4個部分，去掉其中邊長為b的小正方形，將剩余的3個部分重新拼成一個互不重疊且無縫隙的長方形．畫出拼好的長方形，并標注相應的數(shù)據(jù)；求拼好后長方形的周長；若，，求拼好后長方形的面積．9．（2021·上?！て吣昙壠谥校┕S接到訂單，需要邊長為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的邊長多少？（用含a代數(shù)式來表示）；（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測得盒子底部長方形長比寬多3，則S2﹣S1的值為．10．（2022·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，將邊長為的正方形的邊長增加，得到一個邊長為的正方形.在圖1的基礎上，某同學設計了一個解釋驗證的方案（詳見方案1）方案1.如圖2，用兩種不同的方式表示邊長為的正方形的面積.方式1：方式2：因此，（1）請模仿方案1，在圖1的基礎上再設計一種方案，用以解釋驗證；（2）如圖3，在邊長為的正方形紙片上剪掉邊長為的正方形，請在此基礎上再設計一個方案用以解釋驗證.考點二：完全平方公式題型三：運用完全平方公式進行計算一、單選題1．（2022·上海·七年級專題練習）無論x、y為任何實數(shù)，多項式x2+y2?4x?2y+8的值總是(

)A．正數(shù) B．負數(shù) C．零 D．不確定二、填空題2．（2021·上海普陀·七年級期末）計算：＝____________．3．（2020·上海市澧溪中學七年級階段練習）已知，則=_____________三、解答題4．（2021·上海市西延安中學七年級期中）計算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．5．（2021·上海市西延安中學七年級期中）計算：（3a﹣2b+c）（3a+2b﹣c）．6．（2021·上海奉賢·七年級期中）計算：（m+n）2﹣（m+n）（m﹣n）+2mn．7．（2021·上海松江·七年級期中）計算：8．（2021·上海黃浦·七年級期中）先化簡，再求值：（3x＋2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x＝﹣．9．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）求的值，其中．10．（2021·上海市南洋模范初級中學七年級期中）先化簡，再求值：a（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣4．11．（2020·上海市市北初級中學七年級期中）若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是正整數(shù)）的形式，則稱為這個數(shù)為“和諧數(shù)”．例如：因為13＝22+32，所以13是“和諧數(shù)”；再如：因為a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a、b是正整數(shù)），所以a2+2ab+2b2也是“和諧數(shù)”．（1）判斷53是否為“和諧數(shù)”；（2）試判斷（x2+9y2）?（4y2+x2）（x、y是正整數(shù)）是否為“和諧數(shù)”，并說明理由．12．（2022·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，已知正方形的邊長為a，正方形的邊長為，點G在邊上，點E在邊的延長線上，交邊于點H．連接、．（1）用a，b表示的面積，并化簡；（2）如果點M是線段的中點，聯(lián)結、、，①用a，b表示的面積，并化簡；②比較的面積和的面積的大?。}型四：通過對完全平方公式變形求值一、單選題1．（2022·上?！て吣昙壠谀┤鬭＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判斷結果正確的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．無法判斷二、填空題2．（2021·上海市南洋模范初級中學七年級期中）已知：，則____．3．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）若a、b為有理數(shù)，且2a2-2ab+b2+4a+4=0，則a2b+ab2=____________4．（2021·上?！て吣昙壠谥校┮阎?，計算：______．5．（2021·上海浦東新區(qū)民辦欣竹中學七年級期中）若不論取何值，二次三項式的值恒大于10，則的取值范圍是___．三、解答題6．（2021·上海市南洋模范初級中學七年級期中）已知：x+y＝﹣6，xy＝4，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（2x﹣1）（2y﹣1）．7．（2021·上海市川沙中學南校七年級期中）已知，，求的值．8．（2022·上海·七年級專題練習）已知a、b滿足，求的值．9．（2021·上海松江·七年級期中）觀察下列各式：，，，……（1）按此規(guī)律，則______；（2）若，你能根據(jù)上述規(guī)律求出代數(shù)式的值嗎？（3）若，直接寫出代數(shù)式______．10．（2021·上?！て吣昙壠谥校├枚囗検匠朔ǚ▌t計算：（1）_______（2）__________利用上面計算的結果作為結論，以及自己所學的數(shù)學知識解決下列問題．已知：，．計算下列各式：（3）；（4）；（5）．11．（2021·上?！て吣昙壠谥校╅喿x：將代數(shù)式x2+2x+3轉化為（x+m）2+k的形式（其中m，k為常數(shù)），則x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．（1）仿照此法將代數(shù)式x2+6x+15化為（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．（2）若代數(shù)式x2﹣6x+a可化為（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．題型五：求完全平方公式中的字母系數(shù)一、單選題1．（2021·上?！て吣昙壠谥校┮阎且粋€完全平方式，那么m為（

）A． B． C． D．2．（2021·上?！て吣昙壠谥校⒍囗検郊由弦粋€單項式后，使它能成為另一個整式的完全平方，下列添加單項式錯誤的是（

）A．4x B．4 C．4 D．3．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤绻且粋€完全平方式，則n值為（

）A．3； B．-3； C．6； D．±3．二、填空題4．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤羰且粋€完全平方式，則的值是___________．5．（2021·上海市南洋模范初級中學七年級期中）如果二次三項式x2+3x+a是一個完全平方式，那么常數(shù)a的值是___．6．（2019·上海嘉定·七年級期中）如果是完全平方式，則m的值是________．7．（2021·上海·七年級期中）若是完全平方式，則常數(shù)=__________8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學七年級課時練習）(3x+____)2=________________；9．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤羰且粋€完全平方式，則m=_____.10．（2021·上?！て吣昙壠谥校┮阎P于的代數(shù)式是完全平方式，則____________11．（2021·上海黃浦·七年級期中）多項式恰好是另一個多項式的平方，則________．題型六：完全平方式在幾何圖形中的應用一、填空題1．（2020·上海市盧灣中學七年級期末）如圖所示，圖1是一個邊長為a的正方形剪去一個邊長為1的小正方形，圖2，是一個邊長為的正方形，記圖1，圖2中陰影部分的面積分別為，則可化簡為____．二、解答題2．（2021·上?！て吣昙壠谥校﹩栴}再現(xiàn)：數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．證明：將一個邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖1：這個圖形的面積可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2這就驗證了兩數(shù)和的完全平方公式．類比解決：（1）請你類比上述方法，利用圖形的幾何意義證明平方差公式．（要求畫出圖形并寫出推理過程）問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：13+23＝32？如圖2，A表示1個1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一個（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32嘗試解決：（2）請你類比上述推導過程，利用圖形的幾何意義確定：13+23+33＝．（要求寫出結論并構造圖形寫出推證過程）．（3）問題拓廣：請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+n3＝．（直接寫出結論即可，不必寫出解題過程）3．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D,用兩個邊長分別為a，b的正方形，和兩個a×b的長方形，拼成圖案（1）,圖案(1)里含有一個乘法公式，你發(fā)現(xiàn)了嗎？請寫出來:.(2)請你用同樣的四個圖形，再拼出一個圖案來，要求也可以說明這個公式，并且同時是對稱圖形.(3)現(xiàn)有邊長分別為a,b的正方形紙片和長為b、寬為a的長方形紙片各若干張，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）拼成一個長方形，使拼出的長方形面積為（每兩張紙片之間既不重疊，也無空隙，拼出的圖中必須保留拼圖痕跡）題型七：整式的混合運算一、解答題1．（2022·上海·七年級期末）計算：.2．（2021·上海楊浦·七年級期中）先化簡，再求值：其中3．（2021·上海·七年級期中）9xy（x﹣y）（x+1）﹣3y（x﹣y）（3x+2y）+6y2（x﹣y）（x+1），其中x=，y=2．題型八：完全平方公式在幾何圖形中的應用一、單選題1．（2021·上海奉賢·七年級期中）圖（1）是一個長為2a，寬為的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小完全相同的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是（

）

A．ab B． C． D．二、填空題2．（2021·上?！て吣昙壠谥校┮阎?，如果一個正方形的面積是，則這個正方形的周長是____________________．3．（2019·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，兩個正方形邊長分別為a、b，如果a+b=7，ab=13，則陰影部分的面積為_____．三、解答題4．（2021·上?！て吣昙壠谥校╅喿x理解：“若x滿足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．解：設70﹣x＝a，x﹣50＝b，則（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，那么（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解決問題：（1）若x滿足（40﹣x）（x﹣30）＝20，求（40﹣x）2+（x﹣30）2的值；（2）如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝14，CG＝30，長方形EFGD的面積是200，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中長方形MFNP的面積．（結果是一個具體的數(shù)值）．5．（2020·上海閔行·七年級期中）動手操作：如圖①是一個長為，寬為的長方形，沿圖中的虛線剪開分成四個大小相等的長方形，然后按照圖②所示拼成一個正方形．提出問題：（1）觀察圖②，請用兩種不同的方法表示陰影部分的面積：_________；__________；（2）請寫出三個代數(shù)式、、之間的一個等量關系：_______；問題解決：根據(jù)上述（2）中得到的等量關系，解決下列問題：已知，求的值．6．（2022·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，有A型、B型、C型三種不同的紙板，其中A型：邊長為a厘米的正方形；B型：長為a厘米，寬為1厘米的長方形；C型：邊長為1厘米的正方形.（1）A型2塊，B型4塊，C型4塊，此時紙板的總面積為平方厘米；①從這10塊紙板中拿掉1塊A型紙板，剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密的排出一個大正方形，這個大正方形的邊長為厘米；②從這10塊紙板中拿掉2塊同類型的紙板，使得剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密地排出兩個相同的大正方形，請問拿掉的是2塊哪種類型的紙板？（計算說明）（2）A型12塊，B型12塊，C型4塊，從這28塊紙板中拿掉1塊紙板，使得剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密地排出三個相同形狀的大正方形，則大正方形的邊長為.7．（2019·上海嘉定·七年級期中）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個大小、形狀都一樣的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形,設直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.求：（1）用a和b的代數(shù)式表示正方形ABCD的面積S；（2）當a=4，b=3時，求S的值.8．（2022·上?！て吣昙壠谀┩耆椒焦剑哼m當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學問題．例如：若，求的值；解：因為，所以，即：，又因為，所以＝7．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，求的值；(2)填空：①若，則＝；②若，則＝．(3)如圖，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝6，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．鞏固提升鞏固提升選擇題1.（浦東四署2020期末4）下列各多項式中，能用平方差公式分解因式的是（）A.；B.；C.；D..2.（莘松中學2019期中4）下列整式乘法能夠運用完全平方公式計算的是（）A.(-a+b)(a-b) B.-(-a-b)(b-a)C.(a+b)(-a+b) D.(a-b)(a+b)3.（2019寶教院附中10月考6）如圖(1)所示，在邊長為a的正方形紙板中挖掉一個邊長為b的小正方形（），把余下的部分剪成一個矩形（如圖(2)），通過計算兩個圖形的陰影部分的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）A.；B.；C.；D..4.（張江2019期中23）多項式的最小值為（）A. B. C. D.5.（浦東南片2020期末2）下列等式中，能成立的是（）A. B.C. D.6.（延安中學2019期中19）已知多項式，把它加上下列單項式后不可以用完全平方公式進行因式分解的是（）A.x;B.-x;C.x4;D.-x4.二、填空題7.（嘉定區(qū)2020期末10）計算：_____________.8.（莘松中學2019期中12）計算：____________.9.（西南模2019期中7）計算：（﹣a+2b﹣c）2＝．10.（2019徐匯中學10月考8）計算：=.11.（盧灣中學2020