專題31 兩點之間線段最短和垂線段最短綜合（解析版）

專題31兩點之間線段最短和垂線段最短綜合1．如圖，生活中，有以下兩個現(xiàn)象，對于這兩個現(xiàn)象的解釋，正確的是（

）A．兩個現(xiàn)象均可用兩點之間線段最短來解釋B．現(xiàn)象1用垂線段最短來解釋，現(xiàn)象2用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋C．現(xiàn)象1用垂線段最短來解釋，現(xiàn)象2用兩點之間線段最短來解釋D．現(xiàn)象1用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋，現(xiàn)象2用垂線段最短來解釋【答案】C【分析】直接利用線段的性質(zhì)以及直線的性質(zhì)分別分析得出答案．【詳解】解：現(xiàn)象1：測量運動員的跳遠成績時，皮尺與起跳線保持垂直，可用“垂線段最短”來解釋；現(xiàn)象2：把彎曲的河道改直，可以縮短航程可用“兩點之間線段最短”來解釋，故選：C．【點睛】此題主要考查了線段的性質(zhì)，兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．2．自習課上，老師出示這樣一道題目：如圖，AB是一條河流．要鋪設(shè)管道將河水引到C、D兩個用水點，現(xiàn)有兩種鋪設(shè)管道的方案．方案一：分別過點C、D畫AB的垂線，垂足為E、F，沿CE、DF鋪設(shè)管道；方案二：連接CD交AB于點P，沿PC、PD鋪設(shè)管道．這兩種鋪設(shè)管道的方案哪一種更節(jié)省材料？為什么？總結(jié)學生的回答，有以下幾種答案，你認為正確的答案是（

）A．方案一節(jié)省材料，理由是兩點之間線段最短B．方案二節(jié)省材料，理由是兩點之間線段最短C．方案一節(jié)省材料，理由是垂線段最短D．方案二節(jié)省材料，理由是兩點確定一條直線【答案】C【分析】垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，根據(jù)垂線段的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵CE⊥AB，根據(jù)垂線段的性質(zhì)可知，CE＜CP，同理，DF＜DP，∴方案一更節(jié)省材料．故選：C．【點睛】本題考查了垂線段的性質(zhì)，垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．3．下列三個日?，F(xiàn)象：其中，可以用“垂線段最短”來解釋的是_____（填序號）．【答案】①【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：垂線段最短即可得到結(jié)論．【詳解】解：可以用“垂線段最短”來解釋①，可以“兩點之間線段最短”來解釋②，可以用“兩點確定一條直線”來解釋③，故答案為：①．【點睛】本題考查了垂線段最短以及直線、線段的相關(guān)知識，熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在公園綠化時，需要把管道l中的水引到A，B兩處．工人師傅設(shè)計了一種又快又節(jié)省材料的方案如下：畫法：如圖，（1）連接AB；（2）過點A畫線段直線l于點C，所以線段AB和線段AC即為所求．請回答：工人師傅的畫圖依據(jù)是______．【答案】兩點之間，線段最短；垂線段最短【分析】根據(jù)兩點之間線段最短以及垂線段最短即可判斷．【詳解】解：由于兩點之間距離最短，故連接AB，由于垂線段最短可知，過點A作AC⊥直線l于點C，此時AC最短，故答案為：兩點之間，線段最短；垂線段最短．【點睛】本題考查作圖?應用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是正確兩點之間線段最短以及垂線段最短，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．在數(shù)學課上，王老師提出如下問題：如圖，需要在A，B兩地和公路l之間修地下管道，請你設(shè)計一種最節(jié)省材料的修建方案．小李同學的作法如下：①連接AB；②過點A作AC⊥直線l于點C；則折線段B﹣A﹣C為所求．王老師說：小李同學的方案是正確的．請回答：該方案最節(jié)省材料的依據(jù)是垂線段最短和______．【答案】兩點之間線段最短【分析】根據(jù)兩點之間線段最短即可得到答案．【詳解】解：由題意得可知：該方案最節(jié)省材料的依據(jù)是垂線段最短和兩點之間線段最短，故答案為：兩點之間線段最短．【點睛】本題主要考查了垂線段最短和兩點之間線段最短，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題6．如圖，汽車站、高鐵站分別位于A、B兩點，直線a和b分別表示公路與鐵路．（1）從汽車站到高鐵站怎樣走最近？畫出圖形，理由是．（2）從高鐵站到公路怎樣走最近？畫出圖形，理由是．【答案】（1）連接AB，兩點之間，線段最短；（2）過B作BC⊥a，垂線段最短．【分析】（1）連接AB，根據(jù)兩點之間，線段最短；（2）過B作BC⊥a，根據(jù)垂線段最短．【詳解】解：如圖所示：（1）沿AB走，兩點之間線段最短；（2）沿BC走，垂線段最短．【點睛】此題主要考查了應用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是掌握線段的性質(zhì)和垂線段的性質(zhì)．7．如圖，為解決A、B、C、D四個村莊的用水問題．政府準備投資修建一個蓄水池．（1）若使蓄水池與四個村莊的距離的和最小，請畫出蓄水池P的位置；（2）為把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一條引水渠．若使引水渠的長度最小，請畫出引水渠PQ的修建線路．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）利用兩點之間距離線段最短，進而得出答案；（2）利用點到直線的距離垂線段最短，即可得出答案．【詳解】解答：解：（1）如圖所示：由兩點之間，線段最短，連接AC、BD交點即為P點，（2）如圖所示：由垂線段最短，過P作PQ⊥河道l，垂足即為Q點．【點睛】本題主要考查了應用設(shè)計與作圖，正確掌握點與點以及點到直線的距離定義是解題關(guān)鍵．8．幾何知識可以解決生活中許多距離最短的問題.讓我們從書本一道習題入手進行探索【回顧】（1）如圖①，、是公路兩側(cè)的兩個村莊.現(xiàn)要在公路上修建一個垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，請在圖中畫出點的位置，并說明理由【探索】（2）如圖②，在村莊附件有一個生態(tài)保護區(qū)，現(xiàn)要在公路上修建一個垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，從村莊到公路不能穿過生態(tài)保護區(qū)，請在圖中畫出點的位置（3）如圖③，、是河兩側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)要在河上修建一座橋，使得橋與河岸垂直，且村到村的總路程最短，請在圖中畫出橋的位置（保留畫圖痕跡）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）連接AB交直線l于點C，點C即為所求作．（2）根據(jù)兩點之間線段最短解決問題．（3）作AA′CD，且AA′＝1，連接BA′得到點C，作線段CD⊥河岸即可．【詳解】（1）如圖，點C即為所求作．理由：兩點之間，線段最短.（2）如圖，點C即為所求作．（3）如圖，線段CD可即為所求作．【點睛】本題考查作圖?應用與設(shè)計作圖，垂線段最短，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．9．在如圖所示的方格中，每個小正方形的邊長為1，點A、B、C、D在方格紙中小正方形的頂點上．（1）畫線段；（2）畫圖并說理：①畫出點到線段的最短線路，理由是；②畫出一點，使最短，理由是．【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析，點到直線的距離垂線段最短；（3）圖見解析，兩點之間線段最短．【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；（2）①借助網(wǎng)格作CE⊥AB，根據(jù)點到直線距離垂線段最短可得符合條件的E點；②連接AD和CE交于P點，根據(jù)兩點之間線段最短可得．【詳解】（1）連接AB如下圖所示；（2）①如圖所示CE為最短路徑，理由是點到直線的距離垂線段最短，故答案為：點到直線的距離垂線段最短；②如圖所示P點為最短，理由是：兩點之間線段最短，故答案為：兩點之間線段最短．【點睛】本題考查兩點之間的距離，垂線段最短和根據(jù)要求畫線段．理解點到直線的距離垂線段最短和兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵．10．（1）如圖，A、B是河l兩側(cè)的兩個村莊．現(xiàn)要在河l上修建一個抽水站C，使它到A、B兩村莊的距離的和最小，請在圖中畫出點C的位置，并保留作圖痕跡．【探索】（2）如圖，C、B兩個村莊在一條筆直的馬路的兩端，村莊A在馬路外，要在馬路上建一個垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，請在圖中畫出點O的位置．（3）如圖，現(xiàn)有A、B、C、D四個村莊，如果要建一個垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，請在圖中畫出點O的位置．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)兩點之間線段最短，連接AB，交l于點C即可；（2）根據(jù)BO＋CO=BC為定長，故需保證AO最小即可，根據(jù)垂線段最短，過點A作AO⊥BC于O即可；（3）根據(jù)兩點之間線段最短，故連接AC、BD交于點O即可．【詳解】解：（1）連接AB，交l于點C，此時AC＋BC=AB，根據(jù)兩點之間線段最短，AB即為AC＋BC的最小值，如下圖所示：點C即為所求；（2）∵點O在BC上∴BO＋CO=BC∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC為定長，∴當AO+BO+CO最小時，AO也最小過點A作AO⊥BC于O，根據(jù)垂線段最短，此時AO最小，AO+BO+CO也最小，如下圖所示：點O即為所求；（3）根據(jù)兩點之間線段最短，若使AO＋CO最小，連接AC，點O應在線段AC上；若使BO＋DO最小，連接BD，點O應在線段BD上，∴點O應為AC和BD的交點如下圖所示：點O即為所求．【點睛】此題考查的是兩點之間線段最短和垂線段最短的應用，掌握根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短，找出最值所需點是解決此題的關(guān)鍵．11．如圖，、、是平面內(nèi)三點.（1）按要求作圖：①作射線，過點作直線，使、兩點在直線兩旁；②點為直線上任意一點，點為直線上任意一點，連結(jié)線段、；（2）在（1）所作圖形中，若點到直線的距離為2，點到直線的距離為5，點、之間的距離為8，點、之間的距離為6，則的最小值為_______，依據(jù)是_______.【答案】（1）見解析；（2）5；兩點之間，線段最短；垂線段最短.【分析】（1）根據(jù)直線、射線、線段的特點按要求作圖即可；（2）根據(jù)兩點之間，線段最短和點到直線的距離垂線段最短回答即可．【詳解】（1）如圖所示.（2）的最小值為點A到直線BC的距離，所以是5.依據(jù)是：兩點之間，線段最短；垂線段最短.【點睛】本題考查直線、射線、線段以及兩點之間，線段最短，點到直線的距離，解題關(guān)鍵是掌握直線、射線、線段的特點，牢記兩點之間，線段最短，垂線段最短．12．如圖，為了解決、、、四個小區(qū)的缺水問題，市政府準備投資修建一個水廠，不考慮其他因素，請你畫圖確定水廠的位置，使之與四個小區(qū)的距離之和最?。硗?，計劃把河流中的水引入水廠中，使之到的距離最短，請你畫圖確定鋪設(shè)引水管道的位置，并說明理由．【答案】(1)作圖見解析；（2）垂線段最短．【分析】（1）線段AC和BD的交點即是水廠的位置．（2）過點H作直線EF的垂線段即可．【詳解】解：連接和，線段和的交點點就是水廠的位置．理由是：垂線段最短．【點睛】本題主要考查了兩點之間線段最短和垂線段最短在生活中的應用，解題時要注意它們的綜合應用．13．如圖，在直線MN的異側(cè)有A、B兩點，按要求畫圖取點，并注明畫圖取點的依據(jù)．(1)在直線MN上取一點C，使線段AC最短．依據(jù)是______________．(2)在直線MN上取一點D，使線段AD＋BD最短．依據(jù)是______________________．【答案】

垂線段最短

兩點之間，線段最短【分析】(1)過A作AC⊥MN，AC最短；(2)連接AB交MN于D，這時線段AD+BD最短．【詳解】(1)過A作AC⊥MN，根據(jù)垂線段最短，故答案為垂線段最短；(2)連接AB交MN于D，根據(jù)是兩點之間線段最短，故答案為兩點之間線段最短．【點睛】本題主要考查了垂線段的性質(zhì)和線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂線段最短；兩點之間線段最短．14．如圖，直線l是某天然氣公司的主輸氣管道，點A、B是在l異側(cè)的兩個小區(qū)，現(xiàn)在主輸氣管道上尋找支管道連接點，向兩個小區(qū)鋪設(shè)支管道，有以下兩個方案：方案一：只取一個連接點P，使得向兩個小區(qū)鋪設(shè)的支管道總長度最短，在圖中畫出點P的位置，依據(jù)是.方案二：取兩個連接點M和N，使得點M到A小區(qū)鋪設(shè)的支管道最短，使得點N到B小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，在圖中畫出M、N的位置，依據(jù)是.設(shè)方案一中鋪設(shè)的支管道總長度為m，方案二中鋪設(shè)的支管道總長度為n，則m與n的大小關(guān)系為：mn（填“＞”、“=”或“＜”）.【答案】兩點之間，線段最短；垂線段最短；＞【分析】根據(jù)題目要求直接連接AB，以及分別過A，B向直線l作垂線即可，利用直角三角形中斜邊大于直角邊進而得出答案即可．【詳解】解：方案一、連接AB交直線l于點P，依據(jù)是兩點之間，線段最短；方案二、分別過A，B向直線l作垂線即可，如圖，AM、BN即為所求，依據(jù)是垂線段最短；方案一中m=AP+PB，方案二中n=AM+BN，在Rt?AMP與Rt?BNP中，AM<AP，BN<BP，∴AM+BN<AP+BP，即m>n，故答案為：兩點之間，線段最短；垂線段最短；>．【點睛】題目主要考查兩點之間線段最短及垂線段最短，直角三角形斜邊大于直角邊等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．15．我國“十一五”規(guī)劃其中一重要目標是，建設(shè)社會主義新農(nóng)村，國家對農(nóng)村公路建設(shè)投資近1000億人民幣．西部的某落后山村準備在A、B兩個村莊間修一條公路，再從村莊B修一條公路到河n，如圖所示，如何修路才能使公路最短？畫出圖形并說明理由．【答案】見解析；兩點之間線段最短；垂線段最短【分析】由兩點之間線段最短；垂線段最短即可作出圖形：連接AB；過點B作l的垂線段．【詳解】解：如圖所示：AB、BC為所求．作圖理由：兩點之間線段最短；垂線段最短．【點睛】此題考查了作圖能力，掌握：兩點之間線段最短、垂線段最短是解題的關(guān)鍵．16．如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M，N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊．（1）設(shè)汽車行駛到P點位置時，離村莊M最近，行駛到Q點位置時，離村莊N最近，請你在AB上分別畫出P，Q兩點的位置．（2）設(shè)汽車行駛到R點位置時，離村莊M與村莊N的距離和最短，請你在AB上分別畫出R點的位置．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作MP⊥AB垂足為P，NQ⊥AB垂足為Q，點p