專題1.4 勾股定理與最短路徑問題的七大類型（北師大版）（原卷版）

專題1.4勾股定理與最短路徑問題的七大類型【北師大版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)勾股定理與最短路徑問題的七大類型的理解！【類型1平面圖形上的“捷徑”問題】1．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)期末）課間休息時(shí)，嘉嘉從教室窗戶向外看，看到行人為了從A處快速到達(dá)圖書館B處，直接從長方形草地中穿過．為保護(hù)草地，嘉嘉想在A處立一個(gè)標(biāo)牌：“少走■米，踏之何忍？”如圖，若AB＝17米，BC＝8米，則標(biāo)牌上“■”處的數(shù)字是（

）A．6 B．8 C．10 D．112．（2023春·湖南岳陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草．．

3．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，有兩條互相垂直的街道a和b，a路上有一小商店A,b路上有一批發(fā)部B．小商店主人每次進(jìn)貨都沿著A—O—B路線到達(dá)B處，然后原路返回．已A,B兩處距十字路口O的距離分別為600米、800米，如果小商店主人重新選一條最近的路線，那么往返一趟最多可比原來少走米．4．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谀┠承^(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如圖，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8

(1)小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)B再到點(diǎn)C位置，為了方便居民出入，技術(shù)人員打算在綠地中開辟一條從點(diǎn)A直通點(diǎn)C的小路，請(qǐng)問如果方案落實(shí)施工完成，居民從點(diǎn)A到點(diǎn)C將少走多少路程？(2)這片綠地的面積是多少？5．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某學(xué)校進(jìn)大門是一直角通道（A→B→C），為方便學(xué)生進(jìn)入教學(xué)樓，學(xué)校打開了操場(chǎng)綠色通道（A→C）進(jìn)行分流，學(xué)生可以走“捷徑AC”直接到達(dá)教學(xué)樓，若AB＝80米，BC＝60米，則走“捷徑AC”可以少走多少米？【類型2平面圖形上的“飲水”問題】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB2=120．試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時(shí)AM+NB＝（）A．6

B．8 C．10 D．12．（2023春·河南許昌·八年級(jí)校考期末）如圖，一個(gè)牧童在小河正南方向4km的A處牧馬，若牧童從A點(diǎn)向南繼續(xù)前行7km到達(dá)點(diǎn)C．則此時(shí)牧童的家位于C點(diǎn)正東方向8km的B處．牧童打算先把在A點(diǎn)吃草的馬牽到小河邊飲水后再回家，請(qǐng)問他應(yīng)該如何選擇行走路徑才能使所走的路程最短？最短路程是多少？請(qǐng)先在圖上作出最短路徑，再進(jìn)行計(jì)算．3．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)村莊A、B在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.現(xiàn)要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送自來水（水管需直接到A、B村）.(1)水廠應(yīng)修建在什么地方，可使所用的水管最短（請(qǐng)你在圖中設(shè)計(jì)出水廠的位置）：(2)如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，為使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？4．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)南京第五初中校考階段練習(xí)）“數(shù)學(xué)建?！保?1)模型——小馬喝水問題：直線MN表示一條河流的岸，在河流同側(cè)有A、B兩地，小馬從A地出發(fā)到B地，中間要在河邊飲水一次，請(qǐng)?jiān)趫D①中用三角板作出使小馬行走最短路程的飲水點(diǎn)P的位置．（保留作圖痕跡）(2)運(yùn)用——和最小問題：如圖②，長方形ABCD，E是BC的中點(diǎn)，AB=4，BC=43，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC＋PE5．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．(1)牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家，試問在何處飲水，所走路程最短？(2)所走最短路程是多少？6．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在進(jìn)行13.4《最短路徑問題》的學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們從一句唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題．同學(xué)們先研究了最特殊的情況，再利用所學(xué)的軸對(duì)稱知識(shí)，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，找到了問題的答案，并進(jìn)行了證明．下列圖形分別說明了以上研究過程．證明過程如下：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)C'，連結(jié)A∵點(diǎn)B，B'關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)C，C'在∴CB=_________，C'B=_________，∴AC+CB=AC+C在△AC'B'中，∵AB'(1)請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整．（直接填在橫線上）(2)課堂小結(jié)時(shí)，小明所在的小組同學(xué)提出，如圖1，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使PB-PA的值最大呢？請(qǐng)你類比“將軍飲馬”問題的探究過程，先說明如何確定點(diǎn)P的位置，再證明你的結(jié)論是正確的．(3)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，M2,2,N4,-1,MN=13，P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，則PM-PN的最大值為_________7．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A'B．請(qǐng)利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，ΔABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一點(diǎn)M、N使CM+MN的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．【類型3圓柱上的最短路徑問題】1．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知圓柱底面的周長為6，圓柱高為3，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（

）

A．43 B．23 C．352．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谀┤鐖D，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點(diǎn)繞到正上方的B點(diǎn)，已知知圓柱底面周長是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．

A．8 B．5 C．20 D．103．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知圓柱高為8cm，底面圓的周長為12cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，那么它爬行的最短路程是（

A．20cm B．15cm C．12cm4．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為12m的半圓，其邊緣AB=CD=20m（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)E在CD上，CE=4m.一滑板愛好者從A點(diǎn)滑到

A．28m B．24m C．20m5．（2023春·四川樂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，在容器內(nèi)壁離容器底部1.5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿1.5cm的點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為15A．9cm B．12cm C．18cm6．（2023春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，透明的圓柱形玻璃容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿4cm的點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為15cm，則該圓柱底面周長為（

）cm．A．9 B．10 C．18 D．20【類型4圓錐上的最短路徑問題】1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考期末）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長為20πcm，母線AB長為30cm，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長度是（

A．30cm B．303cm C．60cm D．20π2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，底面半徑為1，母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長是．3．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知圓錐的底面半徑是4cm，母線長為12cm，C為母線PB的中點(diǎn)，螞蟻在圓錐側(cè)面上從A爬到C的最短距離是4．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明用半徑為20，圓心角為θ的扇形，圍成了一個(gè)底面半徑r為5的圓錐.（1）扇形的圓心角θ為；（2）一只蜘蛛從圓錐底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)A的最短路程是.【類型5正方體上的最短路徑問題】1．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京十四中?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長為2cm，點(diǎn)B為一條棱的中點(diǎn).螞蟻在正方體表面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（

）A．10cm B．4cm C．17cm2．（2023春·廣東茂名·八年級(jí)茂名市第一中學(xué)校考期中）固定在地面上的一個(gè)正方體木塊（如圖①），其棱長為4cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A．2(2+6) B．42+43．（2023春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如右圖，一只螞蟻從棱長為4cm的正方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱外表面爬到B點(diǎn)，那么它的最短路線的長是cm

4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方體盒子的棱長為23，O為AE的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)C處，它想沿正方體的表面爬行到點(diǎn)O處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為

5．（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一只螞蟻沿著邊長為3的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，按照如圖所示經(jīng)過3個(gè)面爬到點(diǎn)B，則它運(yùn)動(dòng)的最短路徑長為．6．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校├忾L分別為5cm，3cm兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在E1F1上，且E【類型6長方體上的最短路徑問題】1．（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)長方體盒子的長、寬、高分別為15cm，10cm，20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5cm，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)A沿盒的表面爬到點(diǎn)

A．105cm B．25cm C．529cm2．（2023春·貴州貴陽·八年級(jí)?？计谥校┮阎L方體的長、寬、高分別為2cm，4cm，8cm，一只螞蟻沿著長方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則需要爬行的最短距離為（

A．2cm B．4cm C．10cm D．3．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．若AB=3，BC=4，CC1A．74 B．310 C．89 D．4．（2023春·全國·八年級(jí)期末）如圖是一個(gè)長方體盒子，其長、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長度為（

）A．12 B．15 C．18 D．215．（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的長方體，AB=BC=2，BD=1，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體表面爬到點(diǎn)F，則螞蟻爬行的最短距離為．6．（2015秋·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個(gè)長、寬、高分別為5dm、4dm、3dm的無蓋長方體木箱(如圖,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1)求線段BG的長；(2)現(xiàn)在箱外的點(diǎn)A處有一只蜘蛛，箱內(nèi)的點(diǎn)C處有一只小蟲正在午睡，保持不動(dòng)．請(qǐng)你為蜘蛛設(shè)計(jì)一種捕蟲方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小蟲．(木板的厚度忽略不計(jì))【類型7臺(tái)階上的最短路徑問題】1．（2023春·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬和高分別為9、3和1,A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到A．18 B．15 C．12 D．82．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)二級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)臺(tái)階的長、寬、高分別為60cm、30cm、10cm．A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，在A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B3．（2023春·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是米．4．（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，臺(tái)階階梯每一層高20cm，寬40cm，長50cm．一只螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，最短路程是．5．（202