機器人技術 第六章課件

機器人技術2005.2.機器人技術第六章

第六章機器人靜力學和動力學

靜力學和動力學分析，是機器人操作機設計和動態(tài)性能分析的基礎。特別是動力學分析，它還是機器人控制器設計、動態(tài)仿真的基礎。機器人靜力學研究機器人靜止或緩慢運動式，作用在機器人上的力和力矩問題。特別是當手端與環(huán)境接觸時，各關節(jié)力（矩）與接觸力的關系。

機器人動力學研究機器人運動與關節(jié)驅動力（矩）間的動態(tài)關系。描述這種動態(tài)關系的微分方程稱為動力學模型。由于機器人結構的復雜性，其動力學模型也常常很復雜，因此很難實現(xiàn)基于機器人動力學模型的實時控制。然而高質(zhì)量的控制應當基于被控對象的動態(tài)特性，因此，如何合理簡化機器人動力學模型，使其適合于實時控制的要求，一直是機器人動力學研究者追求的目標。2機器人技術第六章6.1機器人靜力學

一、桿件之間的靜力傳遞

在操作機中，任取兩連桿，。設在桿上的點作用有力矩和力；在桿上作用有自重力〔過質(zhì)心）；和分別為由到和的向徑。3機器人技術第六章

按靜力學方法，把這些力、力矩簡化到的固聯(lián)坐標系，可得：或式中(為桿的質(zhì)量)。

求出和在軸上的分量，就得到了關節(jié)力和扭矩，它們就是在忽略摩擦之后，驅動器為使操作機保持靜力平衡所應提供的關節(jié)力或關節(jié)力矩，記作，其大小為4機器人技術第六章

當忽略桿件自重時，上式可簡記為：

若以表示不計重力的關節(jié)力或力矩值，對于轉動關節(jié)則有：

式中——是自到桿的質(zhì)心的向徑。5機器人技術第六章

例1求兩桿操作機的靜關節(jié)力矩(坐標系與結構尺寸如圖)。

解：設已知6機器人技術第六章7機器人技術第六章8機器人技術第六章二、操作機的靜力平衡

設有操作機如圖所示，每個關節(jié)都作用有關節(jié)力矩(廣義驅動力，指向的正向)，在末端執(zhí)行器的參考點處將產(chǎn)生力和力矩。由于、是操作機作用于外界對象的力和力矩，為了和輸入關節(jié)力矩一起進行運算，故應取負值。9機器人技術第六章利用虛功原理建立靜力平衡方程，令于是，操作機的總虛功是：根據(jù)虛功原理，若系統(tǒng)處于平衡，則總虛功(虛功之和)為0，即10機器人技術第六章式中

J——是速度分析時引出的雅可比矩陣，其元素為相應的偏速度。由機器人運動微分關系可知，，則有因為是獨立坐標，則，所以有

上式是針對操作機的關節(jié)力和執(zhí)行器參考點間所產(chǎn)生的力和力矩之間的關系式。

該式表明關節(jié)空間和直角坐標空間廣義力可以借助于雅可比矩陣J進行變換。這種變換關系，也可推廣到任兩桿間固聯(lián)直角坐標系中的廣義力變幻，這時應將關節(jié)空間與直角坐標空間的雅可比矩陣，換作直角坐標空間的雅可比矩陣。11機器人技術第六章

例2如圖，操作機的手爪正在持板手扭某一哩栓，手爪上方聯(lián)接一測力傳感器可測六維力向量(力和力矩)。試確定測力傳感器和扭動板手時力和力矩的關系。12機器人技術第六章解：設在測力傳感器上置坐標系Sf()，在螺栓上置坐標系S

()。在圖示瞬間，兩坐標系彼此平行。因為剛體的無限小位移(平移和轉動)可表示為六維向量，故對二者的微位移可分別表示為：由于兩坐標系的坐標軸平行，于是可以得到：13機器人技術第六章

前式也可以從前圖直觀求得。設

為相應于的廣義力向量，為相應于的廣義力向量，則可得：

上式也可直接用虛功原理求得。14機器人技術第六章一、研究目的：1、合理地確定各驅動單元（以下稱關節(jié)）的電機功率。2、解決對伺服驅動系統(tǒng)的控制問題（力控制）

在機器人處于不同位置圖形（位形）時，各關節(jié)的有效慣量及耦合量都會發(fā)生變化（時變的），因此，加于各關節(jié)的驅動力也應是時變的，可由動力學方程給以確定。6-2機器人動力學概述二、機器人動力學研究的問題可分為兩類：

1、給定機器人的驅動力（矩），用動力學方程求解機器人（關節(jié)）的運動參數(shù)或動力學效應（即已知,求和，稱為動力學正問題。）。

2、給定機器人的運動要求，求應加于機器人上的驅動力（矩）（即已知和，求,稱為動力學逆問題）。15機器人技術第六章三、動力學研究方法：1．拉格朗日方程法：通過動、勢能變化與廣義力的關系，建立機器人的動力學方程。代表人物R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。計算量O(n4)，經(jīng)優(yōu)化O(n3)，遞推O(n)。2．牛頓—歐拉方程法：用構件質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉動表示機器人構件的運動，利用動靜法建立基于牛頓—歐拉方程的動力學方程。代表人物Orin,Luh(陸?zhàn)B生)等。計算量O(n)。3．高斯原理法:利用力學中的高斯最小約束原理,把機器人動力學問題化成極值問題求解.代表人物波波夫(蘇).用以解決第二類問題。計算量O(n3)。4．凱恩方程法：引入偏速度概念，應用矢量分析建立動力學方程。該方法在求構件的速度、加速度及關節(jié)驅動力時，只進行一次由基礎到末桿的推導，即可求出關節(jié)驅動力，其間不必求關節(jié)的約束力，具有完整的結構，也適用于閉鏈機器人。計算量O(n!)。16機器人技術第六章

系統(tǒng)的動能和勢能可在任何坐標系（極坐標系、圓柱坐標系等）中表示

，不是一定在直角坐標系中。

動力學方程為：

廣義力

廣義速度

廣義坐標（力或力矩）（或）（或）

6.3二桿機器人的拉格朗日方程應用質(zhì)點系的拉格朗日方程來處理桿系的問題。

定義：L=K-PL—Lagrange函數(shù)；K—系統(tǒng)動能之和；P—系統(tǒng)勢能之和。6.3.1剛體系統(tǒng)拉格朗日方程17機器人技術第六章

設二桿機器人臂桿長度分別為，質(zhì)量分別集中在端點為，坐標系選取如圖。以下分別計算方程中各項：

一、動能和勢能

對質(zhì)點：勢能：

動能：

（負號與坐標系建立有關）

對質(zhì)點：

先寫出直角坐標表達式：

6.3.2剛體系統(tǒng)拉格朗日方程18機器人技術第六章對求導得速度分量：

動能：勢能：

二、Lagrange函數(shù)

19機器人技術第六章三、動力學方程

先求第一個關節(jié)上的力矩

——（1）20機器人技術第六章同理，對和微分，可求得第二關節(jié)力矩

以上是兩桿機器人動力學模型?！?）21機器人技術第六章系數(shù)D的物理意義：

—關節(jié)的有效慣量（等效轉動慣量的概念）。由關節(jié)處的加速度引起的關節(jié)處的力矩為（）

—關節(jié)和之間的耦合慣量。由關節(jié)或的加速度（或）所引起的關節(jié)和處的力矩為或

—向心力項系數(shù)。表示關節(jié)處的速度作用在關節(jié)處的向心力（）—向心力項系數(shù)。表示關節(jié)處的速度作用在本身關節(jié)處的向心力（）四、動力學方程中各系數(shù)的物理意義

將前面結果重新寫成簡單的形式

：22機器人技術第六章—哥氏力項系數(shù)。兩項組合為關節(jié)與處的速度作用在關節(jié)處的哥氏力，哥氏力是由于牽連運動是轉動造成的。

—關節(jié)處的重力項。重力項只與大小、長度以及機構的結構圖形（）有關。

比較二桿機器人例中的系數(shù)與一般表達式中的系數(shù)得到有效慣量系數(shù)：

耦合慣量系數(shù)：

23機器人技術第六章向心力項系數(shù)：

哥氏力項系數(shù)：

重力項：

24機器人技術第六章6.4機器人的拉格朗日方程的一般表達形式

從上節(jié)容易看出Lagrange方程是一個二階耦合、非線性和微分方程，為簡化計算，未慮及傳動鏈中的摩擦。以下方程的推導，也是不考慮傳動鏈帶來的摩擦影響，只考慮桿件本身，然后再加入關節(jié)處驅動裝置（如電機、碼盤等）的影響。

推導分五步進行：一、計算任意任意桿件上任意點的速度；二、計算動能；三、計算勢能；四、形成Lagrange函數(shù)；五、建立動力學方程。25機器人技術第六章其速度為：

一、點的速度

由于整個系統(tǒng)的動能都是在基礎系中考慮的，故需求系統(tǒng)各質(zhì)點在基礎坐標系中的速度。對于桿坐標系中的一點，它在基礎坐標系中的位置為式中—變換矩陣速度平方為：

式中—矩陣的跡，即矩陣主對角元素之和。26機器人技術第六章二、動能

位于桿上處質(zhì)量為的質(zhì)點的動能是：27機器人技術第六章則桿的動能（在基礎坐標系中）為：令式中稱為連桿的偽慣量矩陣。則得到桿的動能為：對于桿上任意一點的（在桿坐標系中）可以表示為：28機器人技術第六章根據(jù)理論力學中慣性矩、慣性積和靜矩的定義，引入下列記號：對坐標軸的慣性矩：則有：29機器人技術第六章對坐標軸的慣性積：對坐標軸的靜矩：質(zhì)量之和：于是：xzyr30機器人技術第六章同理：于是能夠表達為：機器人臂桿總的動能是：31機器人技術第六章如果考慮到關節(jié)處驅動裝置的動能：

調(diào)換求跡與求和運算順序，并加入關節(jié)處驅動裝置的動能，得到機器人總的動能為：（對于移動關節(jié)：）式中為關節(jié)處驅動裝置的轉動慣量。三、勢能

設桿的質(zhì)心在再其自身坐標系的位置向量為，則它在基礎坐標系中的位置向量為32機器人技術第六章設重力加速度在基礎坐標系中的齊次分量為：于是機器人的總勢能為：則桿在基礎坐標系中的勢能為：（一般認為基礎坐標系的z軸取向上方）33機器人技術第六章先求拉格朗日方程中的各項：四、拉格朗日函數(shù)五、動力學方程（1)34機器人技術第六章由于是對稱矩陣，則有：合并(a)式中前兩項，得到：（1’)當時，中不包含以后關節(jié)變量，即：于是可得：35機器人技術第六章（2)交換其中的部分啞元，得到：36機器人技術第六章（3)37機器人技術第六章將以上各項帶入拉格朗日公式，并用和分別代替上式中的啞元和，得到：上式為拉格朗日方程的最后形式。這些方程與求和的次序無關，因此可將上式寫為簡化形式：（5)（4)38機器人技術第六章式中：

以上的動力學方程(5)中系數(shù)D的意義與上節(jié)所列相同，即分別為有效慣量項系數(shù)(),耦合慣量項系數(shù)（），向心力項系數(shù)（），哥氏力項系數(shù)（），重力項等。39機器人技術第六章

動力學方程中的慣量項和重力項在機器人控制重特別重要，將直接系統(tǒng)的穩(wěn)定性和定位精度。只有當機器人高速運動時，向心力項和哥氏力項才是重要的。傳動裝置的慣量值往往較大，對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響也不可忽略。

在機器人動力學問題的討論中，拉格朗日動力學方程常寫作更簡化的一般形式：式中：的意義見（5)式。（6)40機器人技術第六章乘法次數(shù)：6.5機器人的牛頓—歐拉方程

機器人的拉格朗日動力學模型為非線性二階常微分方程，利用這些方程，由已知的每一軌跡設定點的關節(jié)位置、速度和加速度，可以計算各關節(jié)的標稱力矩，但拉格朗日方程利用4×4齊次變換矩陣，使得計算效率太低。加法次數(shù)：

為了實現(xiàn)實時控制，曾用過略去哥氏力和向心力的簡化模型，但當操作機快速運動時，哥氏力和向心力在計算關節(jié)力矩中是相當重要的。因而這種簡化只能用于機器人的低速運動，在典型的制造業(yè)環(huán)境中，這是不合乎要求的。此外，這種簡化所引起的關節(jié)力矩誤差，不能用反饋控制校正。

牛頓—歐位法采用迭代形式方程，計算速度快，可用于實時控制，因而成為一種常用的建模方法。41機器人技術第六章

尋求轉動坐標系和固定慣性坐標系之間必要的數(shù)學關系,再推廣到運動坐標系(轉動和平移)和慣性坐標系之間的關系。如圖,慣性坐標系O-XYZ和轉動坐標系O-X*Y*Z*

的原點重合于O點。而OX*、OY*、OZ*軸相對OX、OY、OZ軸旋轉。設和分別為這兩個坐標系沿主軸的單位矢量。轉動坐標系中點P可用它在任一坐標系中的分量來表示：6.5.1轉動坐標系或在慣性坐標系中的運動：YXZrY*X*Z*OP在轉動坐標系中的運動：42機器人技術第六章在慣性坐標系中的運動：（7)

需要解決轉動坐標系坐標軸在慣性坐標系中的導數(shù)問題。我們假定，轉動坐標系繞著過原點O的某軸OQ以角速度

旋轉。方向沿OQ軸，指向轉動坐標系右旋方向。則可以證明轉動坐標系中的任意固定矢量在慣性坐標系中的導數(shù)為：XZYsY*X*Z*OQ43機器人技術第六章于是由（6)式可得：這是建立轉動坐標系兩種時間導數(shù)之間關系的基本方程。方程（9)又被稱為哥氏定理。（8)（9)44機器人技術第六章6.5.2運動坐標系如圖,運動坐標系O-X*Y*Z*

相對于慣性坐標系O-XYZ轉動和平移。質(zhì)量為M的質(zhì)點P

分別以和確定相對于慣性坐標系和運動坐標系的原點的位置。原點O*

相對于原點O的位置以矢量表示。則有：rYXZOPY*X*Z*O*r*h（10)（11)45機器人技術第六章6.5.3桿件運動學

根據(jù)前述運動坐標系的概念，推導一組數(shù)學方程，描述機器人的運動桿件相對于基礎坐標系的運動學關系。

令

和分別為坐標系相對于基礎坐標系的線速度和角速度。令和分別為桿件i坐標系相對于基礎坐標系和桿件i-1坐標系的角速度。則桿件i坐標系相對于基礎坐標系的線速度和角速度分別是：

坐標系是基礎坐標系，而坐標系和分別固聯(lián)于桿件i-1和桿件i上，原點分別為Oi-1和Oi

。原點Oi相對于原點O和原點Oi-1的位置分別用位置矢量

和

表示。原點Oi-1相對于基礎坐標系原點O的位置用位置矢量

表示。46機器人技術第六章式中d*(.)／dt

表示在運動坐標系的時間導數(shù)。（12)（13)47機器人技術第六章（14)（15)

為坐標系相對于的角加速度:

根據(jù)機器人桿件坐標系建立的步驟和參數(shù)的定義，桿件i在桿件i–1坐標系中的運動是沿方向的平移或繞轉動。因此，式中是桿件i相對于桿件i-1

坐標系的角速度值。若桿件i轉動若桿件i平移（16)48機器人技術第六章（18)類似地（17)若桿件i轉動若桿件i平移由式（13)和式（16)有：若桿件i轉動若桿件i平移若桿件i轉動若桿件i平移（19)若桿件i轉動若桿件i平移由式（15)、式（16)和式（17)有：若桿件i轉動若桿件i平移（20)（21)由式（15)、式（16)和式（17)有：49機器人技術第六章（22)若桿件i轉動若桿件i平移由式（12)、式（13)和式（20)有：利用矢量叉乘積的恒等式并根據(jù)式（14)、式（15)和式（19)有：—（23)若桿件i轉動若桿件i平移50機器人技術第六章

剛體的運動可分解為隨質(zhì)心的移動和繞質(zhì)心的轉動。借助于桿件運動學知識，我們把達朗貝爾原理用于每個桿件，描述機器人各桿件的運動。達朗貝爾原理可應用于任意瞬時，它實質(zhì)上是牛頓第二運動定律的一種變型，可表示為：

6.5.4牛頓——歐拉法基本運動方程

牛頓定理

:歐拉方程:式中：—桿i質(zhì)量；

—桿i上所有外力合力；

—桿i上所有外力對質(zhì)心的合力矩；

—桿i繞其質(zhì)心慣性矩陣。51機器人技術第六章根據(jù)力（矩）平衡原理，在質(zhì)心處有：則有（24)方程（24)即為牛頓——歐拉法的基本方程。

52機器人技術第六章

上面推導的牛頓——歐拉法（也簡稱N-E法）方程式含關節(jié)聯(lián)接的約束力（矩），沒有顯示地表示輸入—輸出關系，不適合進行動力學分析和控制器設計。如果變換成由一組完備且獨立的位置變量（質(zhì)心位置變量通常不是相互獨立的）和輸入力來描述，這些變量都顯式地出現(xiàn)在動力學方程中，即得到顯式的輸入——輸出形式表示的動力學方程，稱為封閉形式的動力學方程（拉格朗日方程即是封閉的）。6.5.5遞推形式的牛頓——歐拉方程

關節(jié)變量是一組完備且獨立的變量，關節(jié)力（矩）是一組從約束力（矩）中分解出來的獨立的輸入，所以用和來描述方程，可以得到封閉形式的動力學方程。53機器人技術第六章

根據(jù)N-E法的基本方程，利用質(zhì)心運動變量與關節(jié)變量及關節(jié)運動變量之間的關系以及約束力與關節(jié)力矩之間的關系，消去中間變量，可以得到封閉形式的動力學方程。但顯然不如用拉格朗日法簡單，特別是當機器人自由度較多時，更是如此。因此，對于N-E法，常用的不是它的封閉形式方程，而是它的遞推形式方程。方程（24）可直接寫成如下遞推形式：（25)而關節(jié)力（矩）可寫成如下形式：

（26)式中，為沿關節(jié)軸線的單位矢量，為關節(jié)的粘滯阻尼系數(shù)。54機器人技術第六章

遞推形式的N-E法方程與封閉形式方程比較，計算量從減少到：乘法次數(shù)：117n–24，加法次數(shù)：103n-21，從而大大加快了計算速度。自由度越多，遞推形式的優(yōu)勢越明顯。對于典型n=6的情形，遞推形式的計算效率幾乎提高10倍。因此，常用于實時計算。遞推形式方程的特點是其計算從機器人操作機的一個桿到另一桿逐個順序進行的，它充分利用了操作機的串聯(lián)鏈特性，常用于求解動力學逆問題（即已知，求）。

求解的大致過程為：根據(jù)運動和力的不同傳遞方向，進行運動量的向前迭代和力學量的向后迭代。具體步驟如下：55機器人技術第六章動力學計算運動學計算

1．確定計算N-E方程所需的所有運動量，包括每個桿件的（）由桿1桿n：2.將上述運動量代入N-E方程，確定關節(jié)力（矩）。計算順序與運動量計算相反，由桿n桿1：

56機器人技術第六章

前述遞推運動方程的明顯缺點是所有慣性矩陣和物理幾何參數(shù)（如）等，都是以基礎坐系為參照的，因此，當機器人運動時，它們也隨著變化。Luh等人改進了上述N-E方程，將所有桿件的速度、加速度、慣性矩陣、質(zhì)心位置、力和力矩等，都表示在各桿的自身坐標系中，從而使計算更加簡單。這種改進的最重要的成果是，計算關節(jié)驅動力矩的時間不僅與機器人關節(jié)數(shù)成線性比例，而且與機器人構型無關。這就有可能在關節(jié)變量空間實現(xiàn)機器人的實時控制算法。6.5.6在桿件自身坐標系中的遞推方程

設是3×3旋轉矩陣，它把矢量由坐標系變換到坐標系中。

57機器人技術第六章

這樣，可不計算相對基礎坐標系的和等，而是直接計算在桿件自身坐標系中的和等。于是有關運動量的遞推公式變?yōu)椋喝魲U件i轉動若桿件i平移若桿件i轉動若桿件i平移若桿件i轉動若桿件i平移58機器人技術第六章關節(jié)間約束力公式變?yōu)椋?/p>

因此，概括地說，高效的牛頓一歐拉運動方程是一組正向和反向的遞推方程，每一桿件的動力學和運動學參數(shù)都是以其自身坐標系為參照的。59機器人技術第六章6.6機器人的凱恩方程法簡介

凱恩(Kane)方法是用來建立機器人機構動力學模型的一種普遍方法，其基本思想是以廣義速率代替廣義坐標作為系統(tǒng)的獨立變量，它用達朗倍爾原理及虛位移原理建立動力學方程。凱恩方法既適合于完整系統(tǒng)，也適合于非完整系統(tǒng)。6.6.1廣義速率和偏速度及偏角速度一、廣義速率一個具有n個自由度的完整系統(tǒng)，相對于慣性坐標系的運動一般通過n個獨立的廣義坐標來描述。

n個廣義速度也是獨立的，故可用n個廣義速度的線性組合，即n個廣義速率(或稱準速度)

來描述系統(tǒng)的運動，即60機器人技術第六章式中：為及t的函數(shù)；而由組成的系數(shù)矩陣應為非奇異陣。則有二、偏速度系統(tǒng)中任意質(zhì)點p的徑矢為為廣義坐標及t的函數(shù)，則該點的速度為（27)（28)61機器人技術第六章令其中

稱廣義速率前的系數(shù)矢量為p點相對于慣性坐標系的第r偏速度。一般說來它是廣義坐標和時間t的函數(shù)。對于定常系統(tǒng)，偏速度只是廣義坐標的矢量函數(shù)。（29)（31)（30)三、偏角速度62機器人技術第六章

從式(30)可見，廣義速率的取法不同，系統(tǒng)內(nèi)同一質(zhì)點及同一剛體的偏速度也可不同。故可通過一定的技巧來選取廣義速率，使得到的偏速度和偏角速度具有最簡單的形式。最理想的是使較多的偏速度和偏角速度等于零，這樣有利于簡化動力學方程。一般選擇與系統(tǒng)的運動密切相關的量，如選取系統(tǒng)中剛體的角速度分量或質(zhì)點的速度分量為廣義速率，以使剛體的角速度和質(zhì)點的速度具有最簡單的表達形式。作為特例，如果取廣義速度為廣義速率，即可見對于廣義速度的偏速度為。63機器人技術第六章6.6.2凱恩動力學方程四、剛體各點偏速度由達朗倍爾原理和虛位移原理推得的系統(tǒng)的動力學普遍方程：

系統(tǒng)中p點的速度，對于具有n個自由度的系統(tǒng)，可寫成廣義速率的線性組合，即（32)（33)64機器人技術第六章式中。如果可積分，則為另一種定義的廣義坐標。（34)從式(34)可得到的變分，即將上式代入式(33)得65機器人技術第六章改變求和的形式得（34)令稱為系統(tǒng)對應于的廣義主動力稱為系統(tǒng)對應于的廣義慣性力66機器人技術第六章這樣，式（34）成為：由于為獨立的變分，所以有（35)

上式稱為凱恩動力學方程，意為廣義上動力與廣義慣性力之相等于零。凱恩方程法可以得到封閉形式的動力學方程。67機器人技術第六章6.7彈性機器人動力學簡介6.7.1機器人系統(tǒng)的彈性問題

通常，機器人機構的手臀、驅動、傳動元件被假設為剛性的，故系統(tǒng)的建模及控制方案設計都是以這樣一個剛性假設