第八章專題拓展

第八章專題拓展§8.5開放探究型[第1題](2014江蘇鎮(zhèn)江,28,10分)我們知道平行四邊形有很多性質(zhì).現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折,會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.【發(fā)現(xiàn)與證明】?ABCD中,AB≠BC,將△ABC沿AC翻折至△AB'C,連結(jié)B'D.結(jié)論1:B'D∥AC;結(jié)論2:△AB'C與?ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形.……請(qǐng)利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2(只需證明一個(gè)結(jié)論).【應(yīng)用與探究】在?ABCD中,已知∠B=30°,將△ABC沿AC翻折至△AB'C,連結(jié)B'D.(1)如圖1,若AB=,∠AB'D=75°,則∠ACB=________°,BC=________;(2)如圖2,AB=2,BC=1,AB'與邊CD相交于點(diǎn)E,求△AEC的面積;(3)已知AB=2,當(dāng)BC長(zhǎng)為多少時(shí),△AB'D是直角三角形?[第2題](2014廣東,25,9分)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,BC=10cm,AD=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā),以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,分別交AB、AC、AD于點(diǎn)E、F、H.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).(1)當(dāng)t=2時(shí),連結(jié)DE,DF.求證:四邊形AEDF是菱形;(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,所形成的△PEF的面積存在最大值.當(dāng)△PEF的面積最大時(shí),求線段BP的長(zhǎng);(3)是否存在某一時(shí)刻t,使△PEF是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出此刻t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.[第3題](2014浙江紹興,24,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l平行于x軸,交y軸于點(diǎn)A,第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上,連結(jié)OB,動(dòng)點(diǎn)P滿足∠APQ=90°,PQ交x軸于點(diǎn)C.(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),若點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,1),求PA的長(zhǎng);(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí),若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等,求PA∶PC的值;(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線OB上時(shí),點(diǎn)D是直線OB與直線CA的交點(diǎn),點(diǎn)E是直線CP與y軸的交點(diǎn),若∠ACE=∠AEC,PD=2OD,求PA∶PC的值.[第4題](2014江蘇連云港,27,14分)某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究.已知AB=8.問題思考:如圖1,點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF.(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎?若是,請(qǐng)求出;若不是,請(qǐng)求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值.(2)分別連結(jié)AD、DF、AF,AF交DP于點(diǎn)K.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形?請(qǐng)說明理由.圖1問題拓展:(3)如圖2,以AB為邊作正方形ABCD,動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng),且PQ=8.若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D的線路,向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中,PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng).圖2(4)如圖3,在“問題思考”中,若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn),且AM=BN=1,點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn).請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中,GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)及OM+OB的最小值.圖3[第5題](2014福建福州,21,13分)如圖1,點(diǎn)O在線段AB上,AO=2,OB=1,OC為射線,且∠BOC=60°,動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā),沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t=秒時(shí),則OP=________,S△ABP=________;(2)當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí),求t的值;(3)如圖2,當(dāng)AP=AB時(shí),過點(diǎn)A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B.求證:AQ·BP=3.圖1圖2備用圖[第6題](2013江蘇鹽城,28,12分)如圖①,若二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0)、B(3,0)兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象的對(duì)稱點(diǎn)為C.(1)求b、c的值;(2)證明:點(diǎn)C在所求的二次函數(shù)的圖象上;(3)如圖②,過點(diǎn)B作DB⊥x軸交正比例函數(shù)y=x的圖象于點(diǎn)D,連結(jié)AC,交正比例函數(shù)y=x的圖象于點(diǎn)E,連結(jié)AD、CD.如果動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AD方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D沿線段DC方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng),連結(jié)PQ、QE、PE,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,是否存在某一時(shí)刻,使PE平分∠APQ,同時(shí)QE平分∠PQC?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.圖①圖②[第7題](2013山西,26,14分)綜合與探究:如圖,拋物線y=x2-x-4與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BC,以BC為一邊,點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l分別交BD,BC于點(diǎn)M,N,試探究m為何值時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形,此時(shí),請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由;(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在點(diǎn)Q,使△BDQ為直角三角形.若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.[第8題](2012福建泉州,25,12分)已知:A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上.(1)若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的☉O上,i)如圖①,當(dāng)∠A=45°,R=1時(shí),求∠BOC的度數(shù)和BC的長(zhǎng);ii)如圖②,當(dāng)∠A為銳角時(shí),求證:si