高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列通項與求和練典型習題 提數(shù)學素養(yǎng)（含解析）試題

第2講數(shù)列通項與求和[A組夯基保分專練]一、選擇題1．(2019·廣東省六校第一次聯(lián)考)數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋1，bn＝(－1)nan(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的前50項和為()A．49 B．50C．99 D．100解析：選A.由題意得，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，當n＝1時，a1＝S1＝3，所以數(shù)列{bn}的前50項和為－3＋4－6＋8－10＋…＋96－98＋100＝1＋48＝49，故選A.2．(一題多解)(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝()A．2n－1 B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)解析：選B.法一：當n＝1時，S1＝a1＝2a2，則a2＝eq\f(1,2).當n≥2時，Sn－1＝2an，則Sn－Sn－1＝an＝2an＋1－2an，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3,2)，所以當n≥2時，數(shù)列{an}是公比為eq\f(3,2)的等比數(shù)列，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1,\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n－2)，n≥2))，所以Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＋…＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－2)＝1＋eq\f(\f(1,2)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n－1))),1－\f(3,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1)，當n＝1時，此式也成立．故選B.法二：當n＝1時，S1＝a1＝2a2，則a2＝eq\f(1,2)，所以S2＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，結(jié)合選項可得只有B滿足，故選B.3．數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2019＝()A．1 B．－2C．3 D．－3解析：選A.因為an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3)．所以an＋3＝－an(n∈N*)，所以an＋6＝－an＋3＝an，故{an}是以6為周期的周期數(shù)列．因為2019＝336×6＋3，所以a2019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故選A.4．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預測)已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＋an＝3(n≥1)，且a3＝eq\f(13,4)，其前n項和為Sn，則滿足不等式|Sn－n－6|<eq\f(1,123)的最小整數(shù)n是()A．8 B．9C．10 D．11解析：選C.由2an＋1＋an＝3，得2(an＋1－1)＋(an－1)＝0，即eq\f(an＋1－1,an－1)＝－eq\f(1,2)(*)，又a3＝eq\f(13,4)，所以a3－1＝eq\f(9,4)，代入(*)式，有a2－1＝－eq\f(9,2)，a1－1＝9，所以數(shù)列{an－1}是首項為9，公比為－eq\f(1,2)的等比數(shù)列．所以|Sn－n－6|＝|(a1－1)＋(a2－1)＋…＋(an－1)－6|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(9×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))－6))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n)))<eq\f(1,123)，又n∈N*，所以n的最小值為10.故選C.5．(2019·江西省五校協(xié)作體試題)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若an＋Sn＝2n，2bn＝2an＋2－an＋1，則eq\f(1,b1)＋eq\f(1,2b2)＋…＋eq\f(1,100b100)＝()A．eq\f(97,98) B．eq\f(98,99)C．eq\f(99,100) D．eq\f(100,101)解析：選D.因為an＋Sn＝2n①，所以an＋1＋Sn＋1＝2n＋1②，②－①得2an＋1－an＝2n，所以2an＋2－an＋1＝2n＋1，又2bn＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以bn＝n＋1，eq\f(1,nbn)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，則eq\f(1,b1)＋eq\f(1,2b2)＋…＋eq\f(1,100b100)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,100)－eq\f(1,101)＝1－eq\f(1,101)＝eq\f(100,101)，故選D.6．(多選)一個彈性小球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回原來高度的eq\f(2,3)再落下，設它第n次著地時，經(jīng)過的總路程記為Sn，則當n≥2時，下面說法正確的是()A．Sn<500B．Sn≤500C．Sn的最小值為eq\f(700,3)D．Sn的最大值為400解析：選AC.第一次著地時，共經(jīng)過了100m，第二次著地時，共經(jīng)過了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100＋100×\f(2,3)×2))m，第三次著地時，共經(jīng)過了eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(100＋100×\f(2,3)×2＋100×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)×2))m，…，以此類推，第n次著地時，共經(jīng)過了eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(100＋100×\f(2,3)×2＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(100×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)×2＋…＋100×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n－1)×2))m.所以Sn＝100＋eq\f(\f(400,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n－1))),1－\f(2,3))＝100＋400eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n－1))).Sn是關于n的增函數(shù)，所以當n≥2時，Sn的最小值為S2，且S2＝eq\f(700,3).又Sn＝100＋400eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n－1)))<100＋400＝500.故選AC.二、填空題7．古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子前3天所織布的總尺數(shù)為________．解析：設該女子第一天織布x尺，則eq\f(x（25－1）,2－1)＝5，解得x＝eq\f(5,31)，所以該女子前3天所織布的總尺數(shù)為eq\f(\f(5,31)（23－1）,2－1)＝eq\f(35,31).答案：eq\f(35,31)8．(一題多解)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝________．解析：法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，所以a1＝1，S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝92.法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝eq\f(8（a1＋a8）,2)＝eq\f(8（a4＋a5）,2)＝92.答案：929．(2019·江西九江統(tǒng)考改編)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，2Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))an＋1，bn＝(－1)n·(log3an)2，則an＝________，數(shù)列{bn}的前2n項和為________．解析：根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足2Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))an＋1①，則當n≥2時，有2Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1)))an②，由①－②可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))(an＋1－3an)＝0，所以an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)．由2Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))an＋1，可求得a2＝3，a2＝3a1，則數(shù)列{an}的首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝3n－1，bn＝(－1)n·(log3an)2＝(－1)n·(log33n－1)2＝(－1)n(n－1)2，則b2n－1＋b2n＝－(2n－2)2＋(2n－1)2＝4n－3.所以數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝eq\f(n（1＋4n－3）,2)＝2n2－n.答案：3n－12n2－n三、解答題10．(2019·廣州市綜合檢測(一))已知{an}是等差數(shù)列，且lga1＝0，lga4＝1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a1，ak，a6是等比數(shù)列{bn}的前3項，求k的值及數(shù)列{an＋bn}的前n項和．解：(1)因為lga1＝0，lga4＝1，所以a1＝1，a4＝10.設等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝eq\f(a4－a1,4－1)＝3.所以an＝a1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由(1)知a1＝1，a6＝16，因為a1，ak，a6是等比數(shù)列{bn}的前3項，所以aeq\o\al(2,k)＝a1a6＝16.又an＝3n－2>0，所以ak＝4.因為ak＝3k－2，所以3k－2＝4，得k＝2.所以等比數(shù)列{bn}的公比q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(a2,a1)＝4.所以bn＝4n－1.所以an＋bn＝3n－2＋4n－1.所以數(shù)列{an＋bn}的前n項和為Sn＝eq\f(n（3n－1）,2)＋eq\f(1－4n,1－4)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n＋eq\f(1,3)(4n－1)．11．(2019·江西八所重點中學聯(lián)考)設數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(4,4－an)(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差數(shù)列；(2)設bn＝eq\f(a2n,a2n－1)－1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)證明：因為an＋1＝eq\f(4,4－an)，所以eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\f(4,4－an)－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(4－an,2an－4)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(2－an,2an－4)＝－eq\f(1,2).又a1＝1，所以eq\f(1,a1－2)＝－1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是以－1為首項，－eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\f(1,an－2)＝－1＋(n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(n＋1,2)，所以an＝2－eq\f(2,n＋1)＝eq\f(2n,n＋1)，所以bn＝eq\f(a2n,a2n－1)－1＝eq\f(\f(4n,2n＋1),\f(2（2n－1）,2n))－1＝eq\f(4n2,（2n－1）（2n＋1）)－1＝eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1)，所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝eq\f(n,2n＋1).12．(2019·福建省質(zhì)量檢查)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－n.(1)求證數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求an；(2)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b3＝a2，b7＝a3，求數(shù)列{anbn}的前n項和．解：(1)當n＝1時，S1＝2a1－1，所以a1＝1.因為Sn＝2an－n①，所以當n≥2時，Sn－1＝2an－1－(n－1)②，①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以eq\f(an＋1,an－1＋1)＝eq\f(2an－1＋1＋1,an－1＋1)＝eq\f(2an－1＋2,an－1＋1)＝2.所以{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．所以an＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7.設{bn}的公差為d，則b7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1.所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n.所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n.設數(shù)列{n·2n}的前n項和為Kn，數(shù)列{n}的前n項和為Tn，則Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n③，2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1④，③－④得，－Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝eq\f(2（1－2n）,1－2)－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2.又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－eq\f(n（n＋1）,2)＋2，所以數(shù)列{anbn}的前n項和為(n－1)·2n＋1－eq\f(n（n＋1）,2)＋2.[B組大題增分專練]1．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝1，eq\r(aeq\o\al(2,n)＋2)＝an＋1(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式；(2)若bn＝eq\f(2,an＋an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和．解：(1)由eq\r(aeq\o\al(2,n)＋2)＝an＋1得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝2，且aeq\o\al(2,1)＝1，所以數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以aeq\o\al(2,n)＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又由已知易得an>0，所以an＝eq\r(2n－1)(n∈N*)．(2)bn＝eq\f(2,an＋an＋1)＝eq\f(2,\r(2n－1)＋\r(2n＋1))＝eq\r(2n＋1)－eq\r(2n－1)，故數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(eq\r(3)－1)＋(eq\r(5)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(2n＋1)－eq\r(2n－1))＝eq\r(2n＋1)－1.2．(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足eq\r(Sn)＝eq\r(Sn－1)＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)記bn＝eq\f(1,an·an＋1)，Tn為{bn}的前n項和，求使Tn≥eq\f(2,n)成立的n的最小值．解：(1)由已知有eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝1(n≥2，n∈N)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\r(Sn)))為等差數(shù)列，又eq\r(S1)＝eq\r(a1)＝1，所以eq\r(Sn)＝n，即Sn＝n2.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又a1＝1也滿足上式，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，bn＝eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，所以Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).由Tn≥eq\f(2,n)得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5，所以n的最小值為5.3．(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知{an}是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為Sn，且Sn為an與eq\f(1,an)的等差中項．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝eq\f(（－1）n,an)，求{bn}的前n項和Tn.解：(1)由題意知，2Sn＝an＋eq\f(1,an)，即2Snan－aeq\o\al(2,n)＝1，①當n＝1時，由①式可得S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入①式，得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，整理得Seq\o\al(2,n)－Seq\o\al(2,n－1)＝1.所以{Seq\o\al(2,n)}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，Seq\o\al(2,n)＝1＋n－1＝n.因為{an}的各項都為正數(shù)，所以Sn＝eq\r(n)，所以an＝Sn－Sn－1＝eq\r(n)－eq\r(n－1)(n≥2)，又a1＝S1＝1，所以an＝eq\r(n)－eq\r(n－1).(2)bn＝eq\f(（－1）n,an)＝eq\f(（－1）n,\r(n)－\r(n－1))＝(－1)n(eq\r(n)＋eq\r(n－1))，當n為奇數(shù)時，Tn＝－1＋(eq\r(2)＋1)－(eq\r(3)＋eq