2.6 應用一元二次方程（分層練習8種題型）（解析版）

2.6應用一元二次方程分層練習考查題型一傳播問題1．請根據圖片內容，回答下列問題：(1)每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人？(2)按照這樣的速度傳染，第三輪將新增多少名感染者（假設每輪傳染人數(shù)相同）？【詳解】（1）解：設平均一個人傳染了x個人．則可列方程：．解得，（舍去）．答：每輪傳染中，平均一個人傳染了10個人．（2）（名）．答：按照這樣的速度傳染，第三輪將新增1210名感染者．2．某?！吧镅袑W”活動小組在一次野外研學實踐時，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支．若主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是多少？【詳解】解：設這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是，根據題意，可得，整理得，解得，（不合題意，舍去），答：這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是9．3．學生會要組織“西實杯”籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場）．（1）如果有4支球隊參加比賽，那么共進行______場比賽；（2）如果全校一共進行36場比賽，那么有多少支球隊參加比賽？【詳解】解：（1）（場），答：共進行6場比賽；（2）設有支球隊參加比賽，根據題意得：，解得：（不合題意，舍去），答：有9支球隊參加比賽．考查題型二增長率問題1．某口罩生產廠生產的口罩1月份平均日產量為18000個，1月底市場對口罩需求量大增，為滿足市場需求，工廠決定從2月份起擴大產量，3月份平均日產量達到21780個．(1)求口罩日產量的月平均增長率；(2)按照這個增長率，預計4月份平均日產量為多少？【詳解】（1）解：設口罩日產量的月平均增長率為x，根據題意，得18000（1＋x）2＝21780，解得x1＝?2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日產量的月平均增長率為10%；（2）解：21780×（1＋10%）＝23958（個）．答：預計4月份平均日產量為23958個．2．隨著粵港澳大灣區(qū)建設的加速推進，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產業(yè)，據統(tǒng)計，目前廣東5G基站的數(shù)量約1.5萬座，計劃到2020年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達到17.34萬座．（1）計劃到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是多少萬座？；（2）按照計劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率．【詳解】解：（1）由題意可得：到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是（萬座）.答：到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是6萬座.（2）設年平均增長率為，由題意可得：，解得：，（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為．3．列方程解應用題：某工廠一月份的產品產量為100萬件，由于工廠管理理念更新，管理水平提高，產量逐月提高，三月份的產量提高到144萬件，求一至三月該工廠產量的月平均增長率．【詳解】解：設一至三月產量的月平均增長率為x，根據題意列方程，得．解得．不合題意，舍去．∴x=0.2=20%．答：該工廠一至三月產量的月平均增長率為20%．考查題型三與圖形有關的問題1．如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？【詳解】解：設道路的寬應為x米，由題意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合題意，舍去)答：道路的寬應為4m．2．如圖，在寬為20m，長為30m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為551m2，求道路的寬．【詳解】解：設道路的寬為，根據題意得：，解得：，（不合題意，舍去），答：道路的寬為．3．有一塊長60m，寬50m的矩形荒地，地方政府準備在此建一個綜合性休閑廣場，其中黑色部分為通道，通道的寬度均相等，中間的三個矩形（其中三個矩形的一邊長均為am）區(qū)域將鋪設塑膠地面作為運動場地．(1)設通道的寬度為xm，則a＝（用含x的代數(shù)式表示）；(2)若塑膠運動場地總的占地面積為2430m2，則通道的寬度為多少？【詳解】（1）解：結合圖形可得：荒地的長為60m，內部兩個矩形的寬為am，通道寬為xm，∴，，故答案為：；（2）解：根據題意得：，∵，∴，

解得（不合題意，舍去）．

∴通道的寬度為2m．考查題型四數(shù)字問題1．已知三個連續(xù)奇數(shù)的平方和是371，求這三個奇數(shù)．【詳解】解：設這三個連續(xù)奇數(shù)分別為、、，根據題意得：，解得：，當時，，，當時，，，答：這三個連續(xù)正整數(shù)為，，或，，2．一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位上數(shù)字與十位上數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，求這個兩位數(shù)．【詳解】設十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為（x﹣4）．可列方程為：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．答：這個兩位數(shù)為84．3．2021年7月1日是建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個數(shù)（如圖所示），圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)：若不能請說明理由．【詳解】解：設最小的數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，由題意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合實際舍去；由題意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以當最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時，最小的數(shù)是5．考查題型五動態(tài)幾何問題1．中，，，，點P從點A開始沿邊向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊向終點C以2cm/s的速度移動．如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，兩點停止運動．設運動時間為t秒．(1)填空：________，________（用含t的代數(shù)式表示）；(2)是否存在t的值，使得的面積等于？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）（1）由題意得：BQ=2t，AP=t，則BP=5-AP=5-t．故答案為：2t，5-t．（2）（3）存在．由題意可得：的面積為，∵的面積等于，∴=4，解得：t1=1，t2=4（不符合題意，舍去），∴當t=1時，△PBQ的面積等于4cm2．2．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點P從點A出發(fā)沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，同時動點Q從點B出發(fā)沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，當P運動到B點時P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代數(shù)式表示）(2)D是AC的中點，連接PD、QD，t為何值時△PDQ的面積為40cm2？【詳解】（1）根據題意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm．故答案是：（12﹣2t）；4t．（2）如圖，過點D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥DH，又∵D是AC的中點，∴BH=BC＝12cm，DH是△ABC的中位線，∴DHAB＝6cm，根據題意，得（12﹣2t）（24﹣4t）×62t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4，即當t＝2或4時，△PBQ的面積是40cm2．3．如圖，在邊長為12cm的等邊三角形ABC中，點P從點A開始沿AB邊向點B以每秒鐘1cm的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以每秒鐘2cm的速度移動，若P、Q分別從A、B同時出發(fā)，其中任意一點到達目的地后，兩點同時停止運動，求：(1)經過6秒后，BP=_______，BQ=

(2)經過幾秒△BPQ的面積等于10？(3)經過幾秒時△BPQ的面積達到最大？并求出這個最大值．【詳解】（1）由題意，得，∵是等邊三角形，∴，∴．故答案為：6cm；12cm；（2）作于D，∴，∴，∴，在中，由勾股定理，得，∵由題意得：AP=x,PB=12-x，，∴，解得，∵時，，故舍去，∴．∴經過2秒的面積等于；（3）∵的面積，∴當時，的面積最大，此時最大值為．考查題型六工程問題1．某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【詳解】（1）解：設型設備每小時鋪設路面米，則型設備每小時鋪設路面米，根據題意得，，解得：，則，答：型設備每小時鋪設的路面長度為90米；（2）根據題意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值為10．2．2022年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹枯死．小區(qū)物業(yè)管理公司決定補種綠化樹，計劃購買小葉榕和香樟共50棵進行栽種．其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經測算，購買兩種樹共需38800元．(1)原計劃購買小葉榕、香樟各多少棵？(2)實際購買時，經物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價均下降元（），且兩種樹的售價每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計劃的基礎上多購買小葉榕2棵，香樟1棵．物業(yè)管理公司實際購買的費用比原計劃多3600元，求物業(yè)管理公司實際購買兩種樹共多少棵？【詳解】（1）設原計劃購買小葉榕棵，則購買香樟棵，根據題意，可得，解得，．答：原計劃購買小葉榕35棵、香樟15棵．（2）根據題意，可得，整理得，，解得：，，∵，∴，∴購買了39棵小葉榕，17棵香樟，答：物業(yè)管理公司實際購買兩種樹共56棵．3．全球疫情爆發(fā)時，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產口罩以應對疫情，經調查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產線最大產能是78000個/天，每增加1條生產線，每條生產線減少1625個/天，工廠的產線共x條（1）該工廠最大產能是_____個/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進的生產線每天恰好能生產口702000個，該工廠引進了多少條生產線？【詳解】（1）根據題意，得該工廠最大產能是：個/天故答案為：；（2）根據題意，得：或∴即該工廠引進了12或36條生產線．考查題型七行程問題1．甲、乙兩個機器人分別從相距70m的A、B兩個位置同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．(1)甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？(2)如果甲、乙到達A或B后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同一位置？【詳解】（1）解：設n分鐘后第1次相遇，依題意，有+5n＝70，整理得n2+13n﹣140＝0，解得n＝7，n＝﹣20（不符合題意，舍去）第1次相遇是在開始后7分鐘．答：甲、乙開始運動后7分鐘第一次同時到達同一位置；（2）解：設n分鐘后第2次相遇，依題意，有5n＝3×70，整理得n2+13n﹣420＝0，解得n＝15，n＝﹣28（不符合題意，舍去）故第2次相遇是在開始后15分鐘．答：開始運動后15分鐘第二次同時到達同一位置．2．一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）？【詳解】解：（1）從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是（m/s），那么從剎車到停車所用的時間是s；（2）從剎車到停車車速的減少值是20-0＝20，從剎車到停車每秒平均車速減少值是m/s；（3）設剎車后汽車滑行到15m時約用了xs，這時車速為（20-8x）m/s，則這段路程內的平均車速為，所以x（20-4x）＝15，整理得：4x2-20x＋15＝0，解得：，∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），答：剎車后汽車行駛到15m時約用0.9s．3．某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設計了點做圓周運動的一個雛形，如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點、，以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程與時間滿足關系，乙以的速度勻速運動，半圓的長度為．（1）甲運動后的路程是多少?（2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間?（3）甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了多少時間?詳解】解：（1）當t=4s時，cm.答：甲運動4s后的路程是．（2）由圖可知，甲乙第一次相遇時走過的路程為半圓，甲走過的路程為，乙走過的路程為，則.解得或（不合題意，舍去）．答：甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了3s．（3）由圖可知，甲乙第二次相遇時走過的路程為三個半圓，則解得或（不合題意，舍去）．答：甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了7s．考查題型八圖表信息問題1．烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數(shù)據，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票【詳解】（1）解：設平均每次累計票房增長的百分率是，依題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：平均每次累計票房增長的百分率是10%．（2）解：（張）．答：10月11日賣出2500000張電影票．（或（張）．）2．疫情期間，“大白”成了身穿防護服的人員的代稱．開學以來，我校很多老師在繁重的課務之余承擔起了核酸檢測的任務，化身可敬可愛的“大白”．據多日檢測結果調查發(fā)現(xiàn)一個熟能生巧的現(xiàn)象，當每位大白檢測人數(shù)是人時，每位同學人均檢測時間是秒，而檢測人數(shù)每提高人，人均就少耗時秒（若每位大白的檢測人數(shù)不超過人，設人均少耗時秒）．(1)補全下列表格：檢測人數(shù)（人）人均檢測時間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時完成了檢測任務，那么他今日檢測總人數(shù)為多少人？【詳解】（1）解：設檢測人數(shù)為，人均檢測時間為秒，由題意得：、，補全表格如下：檢測人數(shù)人人均檢測時間秒（2）解：由題意得，，解得，，當時，檢測總人數(shù)為人，每位大白的檢測人數(shù)不超過人，不符合題意，舍去，當時，檢測總人數(shù)為人，答：他今日檢測總人數(shù)為人．3．小王某月手機話費中的各項費用統(tǒng)計情況見下列圖所示，其中月功能費為5元，請你根據統(tǒng)計圖的信息完成下列各題：（1）該月小王手機話費共有________元．（2）扇形統(tǒng)計圖中，表示短信費的扇形的圓心角______度．（3）請將條形統(tǒng)計圖補充完整．（4）電信公司為讓利給用戶，從下月起每月將對長途話費進行打折優(yōu)惠，如果小王每月長途電話的通話時間不變，那么兩個月后，月長途花費將降至28.8元，那么長途話費的月平均折扣為多少？【詳解】（1）元（2）.（3）如圖，（4）解：設平均減少率為，據題意得

解得答：長途話費的月平均折扣為八折.1．2022年某地桑葚節(jié)于4月5日到4月20舉行，熱情的當?shù)鼐用駷橛慰蜏蕚淞松］夭?、桑葚酒、桑葚醬、桑葚膏等等，在當?shù)嘏e行的“桑葚會”上，游客不僅可以品嘗純正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚醬、桑葚音，而且還能體驗制作它們的過程．各類桑葚產品均對外銷售，游客們可以買一些送給親朋好友．已知桑葚酒是桑葚醬單價的45，預計桑葚節(jié)期間全鎮(zhèn)銷售桑葚酒和桑葚醬共7500千克，桑葚酒銷售額為200000元，桑葚醬銷售額為125000(1)求本次桑葚節(jié)預計銷售桑葚酒和桑葚醬的單價；(2)今年因受“新冠”疫情的影響，前來參加桑葚節(jié)的游客量比預計有所減少，當?shù)劓?zhèn)府為了刺激經濟，減少庫存，將桑葚酒和桑葚醬降價促銷．桑葚醬在預計