線性系統(tǒng)理論鄭大鐘第二版

線性系統(tǒng)理論鄭大鐘第二版第1頁(yè)/共308頁(yè)第一章緒論第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性第五章系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性第六章線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合第一部分線性系統(tǒng)的時(shí)間域理論第二部分線性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論第2頁(yè)/共308頁(yè)第一章緒論

線性系統(tǒng)理論是系統(tǒng)控制理論的一個(gè)最為基礎(chǔ)和最為成熟的分支。它以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具，以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)?？刂评碚摪l(fā)展概況：第一階段20世紀(jì)40—60年代經(jīng)典控制理論第二階段20世紀(jì)60—70年代現(xiàn)代控制理論第三階段20世紀(jì)70—

大系統(tǒng)理論（廣度）智能控制理論（深度）第3頁(yè)/共308頁(yè)第一章緒論

1.1系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象系統(tǒng)：是由相互關(guān)聯(lián)和相互制約的若干“部分”所組成的具有特定功能的一個(gè)“整體”。系統(tǒng)具有如下3個(gè)基本特征:

(1)整體性

(2)抽象性

作為系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象，系統(tǒng)常常抽去了具體系統(tǒng)的物理，自然和社會(huì)含義，而把它抽象為一個(gè)一般意義下的系統(tǒng)而加以研究。(3)相對(duì)性

在系統(tǒng)的定義中,所謂“系統(tǒng)”和“部分”這種稱謂具有相對(duì)屬性。第4頁(yè)/共308頁(yè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：所謂動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，就是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)按確定規(guī)律或確定統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時(shí)間演化的一類系統(tǒng)——?jiǎng)恿W(xué)系統(tǒng)。系統(tǒng)變量可區(qū)分為三類形式系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分類從機(jī)制的角度

從特性的角度

從作用時(shí)間類型的角度

uxy連續(xù)系統(tǒng)按其參數(shù)的空間分布類型

本書中僅限于研究線性系統(tǒng)和集中參數(shù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論所研究的主體，其行為有各類變量間的關(guān)系來表征。第5頁(yè)/共308頁(yè)線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象為線性系統(tǒng)，其模型方程具有線性屬性即滿足疊加原理。若表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為L(zhǎng)系統(tǒng)模型是對(duì)系統(tǒng)或其部分屬性的一個(gè)簡(jiǎn)化描述①系統(tǒng)模型的作用：仿真、預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)、綜合和設(shè)計(jì)控制器②模型類型的多樣性：用數(shù)學(xué)模型描述、用文字、圖表、數(shù)據(jù)或計(jì)算機(jī)程序表示③數(shù)學(xué)模型的基本性：著重研究可用數(shù)學(xué)模型描述的一類系統(tǒng)④建立數(shù)學(xué)模型的途徑：解析、辨識(shí)⑤系統(tǒng)建模的準(zhǔn)則：折衷

線性系統(tǒng)理論研究對(duì)象是(線性的)模型系統(tǒng)，不是物理系統(tǒng)。線性系統(tǒng)系統(tǒng)模型第6頁(yè)/共308頁(yè)1.2線性系統(tǒng)理論的基本概貌

線性系統(tǒng)理論是一門以研究線性系統(tǒng)的分析與綜合的理論和方法為基本任務(wù)的學(xué)科。主要內(nèi)容:數(shù)學(xué)模型→分析理論→綜合理論發(fā)展過程:經(jīng)典線性系統(tǒng)理論→現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論主要學(xué)派:

狀態(tài)空間法幾何理論把對(duì)線性系統(tǒng)的研究轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間中的相應(yīng)幾何問題,并采用幾何語(yǔ)言來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述,分析和綜合代數(shù)理論把系統(tǒng)各組變量間的關(guān)系看作為是某些代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系,從而可以實(shí)現(xiàn)對(duì)線性系統(tǒng)描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之轉(zhuǎn)化為純粹的一些抽象代數(shù)問題多變量頻域方法

線性系統(tǒng)理論著重研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和改變這種規(guī)律的可能性和方法，以建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間確定的和定量的關(guān)系。

第7頁(yè)/共308頁(yè)第一部分:線性系統(tǒng)時(shí)間域理論

第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間

線性系統(tǒng)時(shí)間域理論是以時(shí)間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述,直接在時(shí)間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和特性的一種理論和方法系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的兩類數(shù)學(xué)描述第8頁(yè)/共308頁(yè)(1)系統(tǒng)的外部描述外部描述常被稱作為輸出—輸入描述例如.對(duì)SISO線性定常系統(tǒng):時(shí)間域的外部描述:復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述

狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式，需要由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程表征——狀態(tài)方程和輸出方程。(3)外部描述和內(nèi)部描述的比較

一般的說外部描述只是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述，不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測(cè)的部分。內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動(dòng)力學(xué)特性。第9頁(yè)/共308頁(yè)狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義狀態(tài)變量組:狀態(tài)：

一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)定義為由其狀態(tài)變量組所組成的一個(gè)列向量一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量組定義為能完全表征其時(shí)間域行為的一個(gè)最小內(nèi)部變量組狀態(tài)空間：

狀態(tài)空間定義為狀態(tài)向量的一個(gè)集合，狀態(tài)空間的維數(shù)等同于狀態(tài)的維數(shù)幾點(diǎn)解釋

（1）狀態(tài)變量組對(duì)系統(tǒng)行為的完全表征性只要給定初始時(shí)刻t0的任意初始狀態(tài)變量組和t≥t0各時(shí)刻的任意輸入變量組那么系統(tǒng)的任何一個(gè)內(nèi)部變量在t≥t0各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)行為也就隨之而完全確定第10頁(yè)/共308頁(yè)(2).狀態(tài)變量組最小性的物理特征(3).狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學(xué)特征(4).狀態(tài)變量組的不唯一性(5).系統(tǒng)任意兩個(gè)狀態(tài)變量組之間的關(guān)系(6)有窮維系統(tǒng)和無窮維系統(tǒng)(7)狀態(tài)空間的屬性狀態(tài)空間為建立在實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)向量空間R

n第11頁(yè)/共308頁(yè)2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例

描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程），包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。選擇狀態(tài)變量第12頁(yè)/共308頁(yè)2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述以上方程可表為形如第13頁(yè)/共308頁(yè)機(jī)電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例上式可表為形如第14頁(yè)/共308頁(yè)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)第15頁(yè)/共308頁(yè)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的方塊圖第16頁(yè)/共308頁(yè)離散時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述形式離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)第17頁(yè)/共308頁(yè)狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)一是:狀態(tài)方程形式上的差分型屬性二是:描述方程的線性屬性三是:變量取值時(shí)間的離散屬性離散時(shí)間線性系統(tǒng)的方塊圖第18頁(yè)/共308頁(yè)2.3.連續(xù)變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類

線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為向量函數(shù)若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個(gè)組成元為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)

若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)

對(duì)于線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng)第19頁(yè)/共308頁(yè)時(shí)變系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)若向量f,g不顯含時(shí)間變量t,即該系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)

若向量f,g顯含時(shí)間變量t,即該系統(tǒng)稱為時(shí)變系統(tǒng)

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)

當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過程為時(shí)間的連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)

當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過程為時(shí)間的不連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng).確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)

稱一個(gè)系統(tǒng)為確定性系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng),都是隨時(shí)間按確定的規(guī)律而變化的.

稱一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng),或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng)是隨機(jī)變量第20頁(yè)/共308頁(yè)2.4由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述

由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述對(duì)于單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng),其微分方程描述其傳遞函數(shù)描述可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為基本步驟：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組，確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)矩陣組。第21頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論1給定單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=n,即系統(tǒng)為真情形第22頁(yè)/共308頁(yè)(2)m<n,即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形第23頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論2給定單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=0情形此時(shí)輸入輸出描述為:選取n個(gè)狀態(tài)變量第24頁(yè)/共308頁(yè)其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:第25頁(yè)/共308頁(yè)(2)m≠0情形此時(shí)輸入輸出描述為:第26頁(yè)/共308頁(yè)其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:其中第27頁(yè)/共308頁(yè)兩種狀態(tài)空間描述為:第28頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論3給定單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為：其極點(diǎn)即傳遞函數(shù)分母方程的根為兩兩互異實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導(dǎo)出：(1)m<n，即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為第29頁(yè)/共308頁(yè)(2)m=n，即系統(tǒng)為真情形令對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：第30頁(yè)/共308頁(yè)由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述例1

設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述解上圖等效為指定狀態(tài)變量組后，列寫變量間的關(guān)系方程：第31頁(yè)/共308頁(yè)寫成矩陣形式例2

設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式。第32頁(yè)/共308頁(yè)解可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下寫出變量之間的關(guān)系第33頁(yè)/共308頁(yè)寫成矩陣形式第34頁(yè)/共308頁(yè)也可以畫出結(jié)構(gòu)圖為e11e13e12e2e3可寫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為第35頁(yè)/共308頁(yè)例3

設(shè)畫出結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)方程為注：由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述，其結(jié)果不唯一！但階次不變。第36頁(yè)/共308頁(yè)2.5線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)

特征多項(xiàng)式

連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)特征多項(xiàng)式均為實(shí)常數(shù)(2)特征方程式(3)凱萊-哈密爾頓（Caley-Hamilton）定理線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由特征值和特征向量所表征。第37頁(yè)/共308頁(yè)(4)最小多項(xiàng)式的各個(gè)元多項(xiàng)式之間互質(zhì)定義

(s)為系統(tǒng)矩陣A的最小多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式(s)也滿足凱萊-哈密爾頓定理，即(A)=0(5)系統(tǒng)矩陣的循環(huán)性

如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式

(s)和最小多項(xiàng)式(s)之間只存在常數(shù)類型的公因子k，即則稱系統(tǒng)矩陣A是循環(huán)的。(6)特征多項(xiàng)式的計(jì)算第38頁(yè)/共308頁(yè)①基于跡計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法②基于分解計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法第39頁(yè)/共308頁(yè)特征值(1)特征值的代數(shù)屬性系統(tǒng)特征值就是使特征矩陣(sI－A)降秩的所有s值(2)特征值集對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，有且僅有n個(gè)特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。(3)特征值的形態(tài)特征值的形態(tài)要么為實(shí)數(shù)，要么為共軛復(fù)數(shù)(4)特征值類型系統(tǒng)特征值可區(qū)分為“單特征值”和“重特征值”兩種類型連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)第40頁(yè)/共308頁(yè)(5)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)i

代表特征值集Λ中值為i

的特征值個(gè)數(shù)(6)特征值的幾何重?cái)?shù)(7)特征值重?cái)?shù)和類型的關(guān)系

對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若i

∈A為單特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)i和幾何重?cái)?shù)i之間必有

對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若i∈A為重特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)i和幾何重?cái)?shù)i之間必有第41頁(yè)/共308頁(yè)特征向量和廣義特征向量

n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，i為A的特征值(1)特征向量的幾何特性(2)特征向量的不唯一性(3)單特征值所屬特征向量的屬性對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A的屬于特征值{1、2、…n}的相應(yīng)一組特征向量{1、2、…n}為線性無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)特征值{1、2、…n}為兩兩互異。特征向量：特征向量的屬性：第42頁(yè)/共308頁(yè)廣義特征向量

對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)i為n×n維系統(tǒng)矩陣A的一個(gè)i重特征值(i=1,2,..,,ij

,ij)，則廣義特征向量的基本屬性：

對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)1為系統(tǒng)矩陣A的屬于i重特征值i的k級(jí)廣義右特征向量，按以下方法定義的k個(gè)特征向量必為線性無關(guān)：（1）廣義特征向量鏈第43頁(yè)/共308頁(yè)

對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)矩陣A的特征值i

的代數(shù)重?cái)?shù)為i，則A的屬于i

的廣義右特征向量組由i

個(gè)線性無關(guān)n1維非零向量組成(i=1,2,..,,ij,ij)。稱此組特征向量為i的長(zhǎng)度為k的廣義右特征向量鏈（2）確定廣義特征向量組的算法第44頁(yè)/共308頁(yè)右廣義特征向量組的算法：A的屬于i重特征值i

的右廣義特征向量組可按如下步驟確定。Step1：計(jì)算直到

。設(shè)：n=10，I=8，m0=4并設(shè)：0=0，1=3，2=6，3=7，4=8Step2：確定廣義特征向量組的分塊表。基本原則為：表的列數(shù)＝廣義特征向量組分塊數(shù)＝m0=4表的“列j”＝“分塊j”，j=1，，m0，

m0=4列j即分塊j中特征向量個(gè)數(shù)＝，j=1，，m0，

m0=4列j即分塊j內(nèi)特征向量按由下而上排列第45頁(yè)/共308頁(yè)列1分塊1列2分塊2列3分塊3列4分塊4特征向量數(shù)4-3=1特征向量數(shù)3-2=1特征向量數(shù)2-1=3特征向量數(shù)1-0=3行1行2行3A的屬于i重特征值i

的右廣義特征向量組分塊表Step3：定義表中的獨(dú)立型特征向量和導(dǎo)出型特征向量第46頁(yè)/共308頁(yè)Step4：確定獨(dú)立型特征向量i1，i2，i3Step5：確定導(dǎo)出型特征向量第47頁(yè)/共308頁(yè)Step6：對(duì)A的屬于i重特征值i的右廣義特征向量組，確定廣義特征向量鏈。其中廣義特征向量鏈的數(shù)目=分塊表中行的數(shù)目=3

廣義特征向量鏈=分塊表中行的特征向量組3個(gè)廣義特征向量鏈為（3）不同廣義特征向量組間的關(guān)系

對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)i為n×n系統(tǒng)矩陣A的一個(gè)i重特征值，i=1,2,..,,ij,ij，則A的屬于不同特征值的個(gè)廣義特征向量組間必線性無關(guān)。第48頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論4

特征值為兩兩互異的情形2.6狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形對(duì)n個(gè)特征值{1、2、…n}兩兩互異的n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，基于n個(gè)特征向量構(gòu)造變換陣p=[1、

2、…

n]，則狀態(tài)方程可通過線性非奇異變換而化為約當(dāng)規(guī)范形。

約當(dāng)規(guī)范形被廣泛應(yīng)用于線性時(shí)不變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的分析。任意線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程都可以通過線性非奇異變換化為約當(dāng)規(guī)范形。特征向量T-1AT，對(duì)角規(guī)范型系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)完全解耦第49頁(yè)/共308頁(yè)若A陣為友矩陣形式(能控規(guī)范性)則P陣是一個(gè)范德蒙德(Vandermonde)矩陣，為當(dāng)出現(xiàn)復(fù)數(shù)特征值時(shí)，可以當(dāng)作互異情況考慮，但必包含共扼復(fù)數(shù)元，在系統(tǒng)分析與綜合中，需作實(shí)數(shù)化處理。第50頁(yè)/共308頁(yè)[例]試將下列狀態(tài)方程變換為約當(dāng)規(guī)范形解：A的特征值可由－A＝0求出對(duì)應(yīng)于1＝－1的特征矢量特征矢量不唯一!第51頁(yè)/共308頁(yè)同理可以算出則變換矩陣P為

狀態(tài)方程變換為約當(dāng)規(guī)范形第52頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論5

特征值包含重值的情形對(duì)包含重特征值的n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的特征值那么，基于相應(yīng)于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣Q，令可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范形：具有準(zhǔn)對(duì)角線的形式第53頁(yè)/共308頁(yè)其中，Ji為相應(yīng)于特征值i的約當(dāng)塊：例：P61重特征值情形的約當(dāng)規(guī)范形是一個(gè)“嵌套式”的對(duì)角塊陣，外層，中層，內(nèi)層系統(tǒng)狀態(tài)可實(shí)現(xiàn)可能的最簡(jiǎn)耦合。當(dāng)系統(tǒng)矩陣A所有的特征值I的i=i，約當(dāng)規(guī)范形為對(duì)角線矩陣。第54頁(yè)/共308頁(yè)2.7由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣定義：?jiǎn)屋斎雴屋敵鼍€性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系：稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。其中第55頁(yè)/共308頁(yè)(1)G(s)的函數(shù)屬性傳遞函數(shù)矩陣G(s)在函數(shù)屬性上是復(fù)變量s的q×p有理分式矩陣。(2)G(s)的真性和嚴(yán)真性當(dāng)且僅當(dāng)G(s)是真或嚴(yán)真時(shí)，G(s)才是物理上可實(shí)現(xiàn)的(3)G(s)的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式(4)G(s)的極點(diǎn)G(s)的極點(diǎn)定義為方程式的根第56頁(yè)/共308頁(yè)(5)G(s)的循環(huán)性若稱G(s)是循環(huán)的(6)G(s)正則性和奇異性G(s)基于(A,B,C,D)的表達(dá)式考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)則設(shè)G(s)的首一化特征多項(xiàng)式為G(s)，A的特征多項(xiàng)式為(s)，若必有若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則表G(s)的極點(diǎn)集合ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，則ΛG?Λ；若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則ΛG=Λ

。第57頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論7

G(s)的實(shí)用計(jì)算關(guān)系式令則第58頁(yè)/共308頁(yè)2.8線性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性坐標(biāo)變換的實(shí)質(zhì)是把系統(tǒng)在空間一個(gè)坐標(biāo)系上的表征化為另一個(gè)坐標(biāo)系上的表征。線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為引入坐標(biāo)變換則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為結(jié)論8

坐標(biāo)變換是狀態(tài)空間方法分析和綜合中廣為采用的一種基本手段——突出系統(tǒng)的某些特性或特征，或是簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析和綜合的計(jì)算過程。線性時(shí)不變系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性第59頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論9

線性時(shí)不變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換，其傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異變換下保持不變。定義：稱具有相同輸入和輸出的兩個(gè)同維線性時(shí)不變系統(tǒng)代數(shù)等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們的系數(shù)矩陣之間滿足狀態(tài)空間描述坐標(biāo)變換中給出的關(guān)系。

代數(shù)等價(jià)的系統(tǒng)的基本特征是具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)特性，如特征多項(xiàng)式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測(cè)性等。

坐標(biāo)變換具有人為屬性，系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下如特征多項(xiàng)式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測(cè)性等的不變性反映了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)核結(jié)構(gòu)的固有特性。

第60頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論10

線性時(shí)變系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換P(t)為可逆且連續(xù)可微，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為第61頁(yè)/共308頁(yè)2.9組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣設(shè)子系統(tǒng)并聯(lián)

兩個(gè)子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)聯(lián)接的條件第62頁(yè)/共308頁(yè)并聯(lián)后子系統(tǒng)串聯(lián)

兩個(gè)子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)串聯(lián)聯(lián)接的條件是：串聯(lián)后第63頁(yè)/共308頁(yè)

子系統(tǒng)反饋聯(lián)接設(shè)兩個(gè)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)輸出反饋聯(lián)接的條件是反饋聯(lián)接后第64頁(yè)/共308頁(yè)第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析3．1引言

數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)動(dòng)分析的實(shí)質(zhì)就是求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。以解析形式或數(shù)值分析形式，建立系統(tǒng)狀態(tài)隨輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律。解的存在性和唯一性條件

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程如果系統(tǒng)矩陣A(t),B(t)的所有元在時(shí)間定義區(qū)間[t0,tα]上為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，輸入u(t)的所有元為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，那么狀態(tài)方程的解x(t)存在且唯一。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，上述條件可減弱為：①系統(tǒng)矩陣A(t)的各個(gè)元aij(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為絕對(duì)可積，即：當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)方程的解為存在和唯一，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析才有意義。第65頁(yè)/共308頁(yè)③輸入u(t)的各個(gè)元uk(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：條件②③可一步合并為要求B(t)、u(t)的各元在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上絕對(duì)可積。本章隨后各節(jié)中，均加設(shè)系統(tǒng)滿足上述解的存在性和唯一性條件。②輸入矩陣B(t)的各個(gè)元bij(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)＝零輸入響應(yīng)＋零初態(tài)響應(yīng)第66頁(yè)/共308頁(yè)3．2連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)令輸入u(t)=0而得到系統(tǒng)自治狀態(tài)方程結(jié)論1.系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的解，具有以下形式其中若初始時(shí)間取為t0≠0則連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析是本章討論的重點(diǎn)

第67頁(yè)/共308頁(yè)設(shè)其解是t的向量?jī)缂?jí)數(shù)則由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等關(guān)系有式中x0，b1，…，bk，都是n維向量，且x(0)=b0，故定義：矩陣指數(shù)函數(shù)第68頁(yè)/共308頁(yè)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

(4)

設(shè)A和F為兩個(gè)同維可交換方陣，即AF=FA則有第69頁(yè)/共308頁(yè)矩陣指數(shù)函數(shù)的算法

1：定義法2：特征值法1）若A的特征值為兩兩互異則

只能得到eAt的數(shù)值結(jié)果，難以獲得eAt解析表達(dá)式，但用計(jì)算機(jī)計(jì)算，具有編程簡(jiǎn)單和算法迭代的優(yōu)點(diǎn)。P為變換A為約當(dāng)規(guī)范型的變換矩陣p=[v1、v2、…vn]其中v1、v2、…vn為A的n個(gè)特征向量。第70頁(yè)/共308頁(yè)2）若A的特征值出現(xiàn)重根其中則其中假設(shè)的i幾何重?cái)?shù)為1第71頁(yè)/共308頁(yè)例三個(gè)互異特征根1＝－1，2＝－2，3＝－3第72頁(yè)/共308頁(yè)例

三個(gè)重特征根1＝2＝3＝1，i=3，=2第73頁(yè)/共308頁(yè)3：有限項(xiàng)展開法設(shè)根1、2、…

n

為A的n個(gè)互異特征值若1為n重特征值第74頁(yè)/共308頁(yè)例

第75頁(yè)/共308頁(yè)4：預(yù)解矩陣法例:已知，求eAt解：第76頁(yè)/共308頁(yè)證明：其解為：系統(tǒng)的零初態(tài)響應(yīng)當(dāng)x(0)=0時(shí)，線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)方程系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，具有以下形式第77頁(yè)/共308頁(yè)系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本表達(dá)式

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為其解為：對(duì)初始時(shí)刻t0=0情形有表達(dá)式第78頁(yè)/共308頁(yè)3.3連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：基本解陣

矩陣方程的解陣稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的基本解陣。其中H為任意非奇異實(shí)常陣結(jié)論：(1)基本解陣不唯一

(2)由系統(tǒng)自治方程的任意n個(gè)線性無關(guān)解為列可構(gòu)成一個(gè)基本解陣。(3)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的一個(gè)可能的基本解陣為第79頁(yè)/共308頁(yè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

矩陣方程的解陣(t-t0)

稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：1:連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本解陣定出2:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t-t0)

唯一，與基本解陣的選取無關(guān)。3:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式為基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式

第80頁(yè)/共308頁(yè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特性第81頁(yè)/共308頁(yè)3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，矩陣方程：的解矩陣(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程的解矩陣(t)稱為基本解陣,其中H為任意非奇異實(shí)常值矩陣。線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不管是規(guī)律形態(tài)還是分析方法都要復(fù)雜得多，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律表達(dá)式形式上十分類似于線性時(shí)不變系統(tǒng)。第82頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論：①基本解陣不唯一②對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣可由系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的任意n個(gè)線性無關(guān)解為列構(gòu)成③對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣結(jié)論：①狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為唯一②狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式第83頁(yè)/共308頁(yè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)

第84頁(yè)/共308頁(yè)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

結(jié)論：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的解狀態(tài)運(yùn)動(dòng)計(jì)算上的困難對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，一般難以確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解析表達(dá)式，主要用于理論分析中?？捎脭?shù)值方法求解。

線性系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)表達(dá)式在形式上的統(tǒng)一性。第85頁(yè)/共308頁(yè)3.6連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化基本約定：

1）對(duì)采樣方式的約定采樣方式取為以常數(shù)T為周期的等間隔采樣，采樣時(shí)間寬度△比采樣周期T小得多。2）對(duì)采樣周期T大小的約定滿足Shamnon采樣定理給出的條件3）對(duì)保持方式的約定零階保持方式

無論是采用數(shù)字計(jì)算機(jī)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為，還是采用離散控制裝置控制連續(xù)時(shí)間受控系統(tǒng)，都會(huì)遇到將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)化為離散時(shí)間系統(tǒng)的問題。第86頁(yè)/共308頁(yè)基本結(jié)論：

給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為其中第87頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論：

給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為其中結(jié)論：①時(shí)間離散化屬性：時(shí)間離散化不改變系統(tǒng)的時(shí)變或時(shí)不變屬性②離散化系統(tǒng)屬性：不管系統(tǒng)矩陣A(t)或A是非奇異或奇異，其離散化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣G(k)和G必為非奇異。第88頁(yè)/共308頁(yè)例：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)采樣周期T=1秒，試求其離散化狀態(tài)方程。解

第89頁(yè)/共308頁(yè)3.7離散時(shí)間線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

不管是時(shí)變差分方程，還是時(shí)不變差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系統(tǒng)狀態(tài)方程，利用給定的或定出的上一采樣時(shí)刻狀態(tài)值，迭代地定出下一個(gè)采樣時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。定義：矩陣方程(k+1)=G(k)(k,m),(m,m)=I的解陣(k,m)稱為離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程(k+1)=G(k),(0)=I的解陣(k),稱為離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

(k,m)=G(k-1)G(k-2)…G(m)

離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：結(jié)論：①(k,m)非奇異G(i),i=m,m+1,…k-1均為非奇異②(k)非奇異G非奇異③對(duì)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必為非奇異。第90頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其解為：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其解為定義：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)x(0)=x0

y(k)=Cx(k)+Du(k)結(jié)論：離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)矩陣為第91頁(yè)/共308頁(yè)第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性4．1能控性和能觀測(cè)性的定義能控性和能觀測(cè)性是從控制和觀測(cè)角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)基本特性。不完全能控但能觀測(cè)不能控不能觀測(cè)電路第92頁(yè)/共308頁(yè)狀態(tài)能控性，能達(dá)性定義對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)如果存在一個(gè)時(shí)刻以及一個(gè)無約束的容許控制u(t),使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)X0在t0時(shí)刻為能控。如果存在一個(gè)時(shí)刻t1∈J,t1>t0,以及一個(gè)無約束的容許控制u(t),t∈[t0,t1],使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf≠0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時(shí)刻為能達(dá)。注意：

對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)離散時(shí)間線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣G為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價(jià)。第93頁(yè)/共308頁(yè)定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0∈J都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能控/能達(dá)。定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非空狀態(tài)集合在時(shí)刻t0∈J為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能控/能達(dá)。定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時(shí)刻t0∈J均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達(dá)。注：從工程實(shí)際角度考慮，一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)為能控/能達(dá)的概率幾乎等于1。系統(tǒng)能控性，能達(dá)性定義

第94頁(yè)/共308頁(yè)能觀測(cè)性定義和指定初始時(shí)刻t0∈J,如果存在一個(gè)時(shí)刻t1∈J，t1>t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，則稱非零狀態(tài)x0在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)；對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)

如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0都不為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能觀測(cè)；如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非零狀態(tài)集合在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能觀測(cè)；如果系統(tǒng)對(duì)任意時(shí)刻均為完全能觀測(cè)，即能觀測(cè)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測(cè)。第95頁(yè)/共308頁(yè)該系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的由于可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測(cè)性與x(t0)的能觀測(cè)性是等價(jià)的。注：從工程實(shí)際角度考慮，一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)為能觀測(cè)的概率幾乎等于1。其解為；第96頁(yè)/共308頁(yè)4．2連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)

結(jié)論1：(格拉姆矩陣判據(jù))線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣為非奇異矩陣。證明：

充分性為非奇異時(shí)，系統(tǒng)能控說明系統(tǒng)是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。

由于時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求解困難，故能控性格拉姆矩陣判據(jù)的意義主要在于理論分析中的應(yīng)用。第97頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論3：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t),B(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時(shí)刻t0∈J完全能控的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1∈J，t1>t0，,使能控性秩判據(jù)結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)：完全能控的充分必要條件是，存在時(shí)刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。(格拉姆矩陣判據(jù))主要在于理論分析和推導(dǎo)中的應(yīng)用。第98頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論4

（能控性秩判據(jù)）對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣滿秩，即rankQc=n結(jié)論5（能控性PBH秩判據(jù)）n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：

rank[sI-A，B]=n,sCC為復(fù)數(shù)域或rank[iI-A，B]=n，i為系統(tǒng)特征值結(jié)論6：（能控性PBH特征向量判據(jù)）

n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：矩陣A不存在與B所有列正交的非零左特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值i

，使同時(shí)滿足TA=i

T，T

B=0的左特征向量T

=0。主要在于理論分析中，特別是線性時(shí)不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。第99頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論7：（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量。結(jié)論8：（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：①特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣中，該行元素不全為零。②特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣各行向量線性無關(guān)。注：1.能控性PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性時(shí)不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。

2.狀態(tài)向量的線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。第100頁(yè)/共308頁(yè)例

圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件解

選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：第101頁(yè)/共308頁(yè)即（R1R4=R2R3）時(shí)，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。例

系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組{bl11、bl12、bl13}線性無關(guān)以及{bl21}不為零向量。

系統(tǒng)能控第102頁(yè)/共308頁(yè)當(dāng)k＝n時(shí)，Qk為能控性判別矩陣。對(duì)完全能控連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)為：

＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)k

。結(jié)論9：對(duì)完全能控單輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則系統(tǒng)能控性指數(shù)＝n。能控性指數(shù)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)：定義：第103頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論10：對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足如下估計(jì)：設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：第104頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論12：對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，將Q表為：其中：1＋2

＋＋r＝n由于rankB=r，將Q中的n個(gè)線性無關(guān)列重新排列：能控性指數(shù)滿足：＝max{1，2

，，r}且稱{1，2

，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。BA-1B第105頁(yè)/共308頁(yè)4．3連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)

結(jié)論1：線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是，存在時(shí)刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。第106頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論3：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t),C(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時(shí)刻t0∈J完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1∈J，t1>t0，,使第107頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論4

對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為能觀測(cè)性判別矩陣滿秩，即rankQo=n結(jié)論5n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為：或?yàn)橄到y(tǒng)特征值C為復(fù)數(shù)域第108頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論7：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。結(jié)論8：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是：特征值互異的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。特征值相同的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，各列向量線性無關(guān)。結(jié)論6：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值，使同時(shí)滿足的右特征向量第109頁(yè)/共308頁(yè)定義：令完全能觀測(cè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)定義為＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)。結(jié)論9：對(duì)完全能觀測(cè)單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測(cè)性指數(shù)為＝n。結(jié)論10：對(duì)完全能觀測(cè)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：對(duì)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是：第110頁(yè)/共308頁(yè)4.4離散時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)定義

離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)如果對(duì)初始時(shí)刻h∈Jk和任意非零初始狀態(tài)X(h)=X0都存在時(shí)刻l∈Jk,l>h和對(duì)應(yīng)輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻l∈Jk達(dá)到原點(diǎn)，即有X(l)=0,則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控；如果對(duì)初始時(shí)刻h和任意非零狀態(tài)Xl，都存在時(shí)刻l∈Jk,l>h和對(duì)應(yīng)輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)X(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻l∈Jk達(dá)到Xl，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)。結(jié)論1

離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異第111頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論2若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有k∈[h,l-1]非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h∈Jk完全能控的充分必要條件為，存在時(shí)刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)一個(gè)或一些k∈[h,l-1]奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控的一個(gè)充分條件。

若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有k∈[h,l-1]非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。

若離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。第112頁(yè)/共308頁(yè)時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù)

結(jié)論3

離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時(shí)刻l

>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。第113頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論4n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣滿秩若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為rankQkc=n。若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n為系統(tǒng)完全能控的一個(gè)充分條件。結(jié)論5

對(duì)于單輸入離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時(shí)，可構(gòu)造如下一組輸入控制則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，通常稱這組控制為最小拍控制。

若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。

若離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。第114頁(yè)/共308頁(yè)例

設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解

系統(tǒng)是能控的第115頁(yè)/共308頁(yè)

令

若令無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。第116頁(yè)/共308頁(yè)時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論6

離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h∈Jk完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l∈Jk,l>h,使格蘭姆矩陣為非奇異時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)

結(jié)論7

離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l>0,使格蘭姆矩陣為非奇異第117頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論8n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為滿秩結(jié)論9

若單輸出離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài)

第118頁(yè)/共308頁(yè)4.5對(duì)偶性對(duì)于線性系統(tǒng)，能控性和能觀測(cè)性之間在概念和判據(jù)形式上存在對(duì)偶關(guān)系，實(shí)質(zhì)上反映了系統(tǒng)控制問題和系統(tǒng)估計(jì)問題的對(duì)偶。定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)其對(duì)偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)對(duì)偶系統(tǒng)其中，狀態(tài)X——n維行向量，協(xié)狀態(tài)——n維行向量輸入u——p維列向量，輸入——q維行向量輸出y——q維列向量，輸出——p維行向量第119頁(yè)/共308頁(yè)

顯然，是一個(gè)p維輸入q維輸出的n階系統(tǒng)，其對(duì)偶系統(tǒng)d是一個(gè)q維輸入p維輸出的n階系統(tǒng)。d

系統(tǒng)矩陣＝系統(tǒng)矩陣的轉(zhuǎn)秩d

輸入矩陣＝輸出矩陣的轉(zhuǎn)秩d輸出矩陣＝輸入矩陣的轉(zhuǎn)秩對(duì)偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：1.線性屬性和時(shí)變屬性2.系數(shù)矩陣的對(duì)偶性3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的對(duì)偶性互為轉(zhuǎn)秩逆！第120頁(yè)/共308頁(yè)

互為對(duì)偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換，信號(hào)傳遞方向相反，信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。TTTATCTBTd原構(gòu)系統(tǒng)與其對(duì)偶系統(tǒng)具有相同屬性。4.方塊圖對(duì)偶屬性第121頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論:

設(shè)Σ為原構(gòu)線性系統(tǒng),Σd為對(duì)偶線性系統(tǒng),則有Σ完全能控Σd完全能觀測(cè)Σ完全能觀測(cè)Σd

完全能控線性時(shí)不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣互為對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同。對(duì)偶性原理第122頁(yè)/共308頁(yè)Σ完全能控Σd完全能觀測(cè)

根據(jù)這一原理，一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測(cè)）的特性，可以轉(zhuǎn)化為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測(cè)（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。對(duì)偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)導(dǎo)出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)最優(yōu)控制問題和最佳估計(jì)問題基本結(jié)論間的對(duì)于關(guān)系。第123頁(yè)/共308頁(yè)4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件

設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)其中G=eAT

H=A的特征值結(jié)論1：如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測(cè)），則對(duì)任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測(cè)）的。本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測(cè)）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測(cè)）的。將線性連續(xù)系統(tǒng)化為線性離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和控制，是現(xiàn)今系統(tǒng)與控制理論中常為采用的一種模式。第124頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論2

：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測(cè)），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測(cè)）的必要條件是：不是A的特征值。其中l(wèi)為非零整數(shù)結(jié)論3:對(duì)時(shí)間離散化系統(tǒng)，使采樣周期T的值，對(duì)滿足Re[i－j]=0的一切特征值，成立則時(shí)間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eATB為行線性無關(guān)結(jié)論4:連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其時(shí)間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，采樣周期T滿足如下條件：對(duì)A的任意兩個(gè)特征值1、2，不存在非零整數(shù)l

，使成立對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。第125頁(yè)/共308頁(yè)4.7能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

結(jié)論1:單輸入單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測(cè)的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。例設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由于存在零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測(cè)的。結(jié)論2:多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)能控的充分必要條件是：狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)。結(jié)論3：多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態(tài)向量X(0)之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)。第126頁(yè)/共308頁(yè)4．8能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：SISO情形

由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也不是唯一的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間描述化成相應(yīng)的幾種規(guī)范形式：如約當(dāng)規(guī)范型，對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控規(guī)范型對(duì)于狀態(tài)反饋來說比較方便，而能觀測(cè)規(guī)范型則對(duì)于狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)及系統(tǒng)辯識(shí)比較方便。無論選用哪種規(guī)范形，其實(shí)質(zhì)都是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述進(jìn)行非奇異線性變換，其關(guān)鍵在于尋找相應(yīng)的變換矩陣。本節(jié)以線性時(shí)不變SISO系統(tǒng)為對(duì)象，討論能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形的基本形式和變換矩陣的構(gòu)造方法。第127頁(yè)/共308頁(yè)線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為能控性能觀測(cè)性在線性非奇異變換下的屬性引入坐標(biāo)變換，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為第128頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論1：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測(cè)性指數(shù)也保持不變。能控規(guī)范形結(jié)論2：對(duì)完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)第129頁(yè)/共308頁(yè)則通過變換矩陣或第130頁(yè)/共308頁(yè)可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即導(dǎo)出：注：1.能控規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)｛0，1，…，n-1｝

聯(lián)系起來，對(duì)于系統(tǒng)綜合與仿真研究很方便。

2.完全能控的任意兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能控規(guī)范形。

3.一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能控。

4.單輸入系統(tǒng)具有唯一的能控規(guī)范形。無特殊形式第131頁(yè)/共308頁(yè)結(jié)論3：對(duì)完全能觀測(cè)的n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其能觀測(cè)規(guī)范形可基于線性非奇異變換導(dǎo)出其中第132頁(yè)/共308頁(yè)注：1.能觀測(cè)規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)｛0，1，…，n-1｝

聯(lián)系起來，對(duì)于綜合系統(tǒng)的觀測(cè)器很方便。

2.完全能觀測(cè)的任意兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能觀測(cè)規(guī)范形。

3.一個(gè)單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能觀測(cè)。

4.單輸出系統(tǒng)具有唯一的能觀測(cè)規(guī)范形。無特殊形式第133頁(yè)/共308頁(yè)例：已知線性時(shí)不變能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試化為能控規(guī)范型。解：第134頁(yè)/共308頁(yè)4．9能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形MIMO情形

多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型，相比于單輸入單輸出情形，無論規(guī)范形式還是構(gòu)造方法都要復(fù)雜一些。

1.規(guī)范形式的不唯一性

2.構(gòu)造變換矩陣的復(fù)雜性本節(jié)僅討論應(yīng)用較廣的龍伯格規(guī)范形。搜索線性無關(guān)的行或列的方法多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判別矩陣和能觀測(cè)性判別矩陣從Qc或Qo中找出n個(gè)線性無關(guān)的列或行，通常需經(jīng)過一個(gè)搜索過程。nnpnqn第135頁(yè)/共308頁(yè)考察n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性判別矩陣為若系統(tǒng)完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n個(gè)線性無關(guān)。nnp1.搜索Qc中的n個(gè)線性無關(guān)的列向量的“列向搜索方案”用格柵圖的方法在Qc中搜索n個(gè)線性無關(guān)的列向量。第136頁(yè)/共308頁(yè)格柵圖b1b2b3b4A0A1A2A3A4A5BABA2BA3BA4BA5Bn＝61

2

3搜索到1＋

2＋

3＝n停止。1＝3，

2＝2，

3＝1，l＝3Qc中的6個(gè)線性無關(guān)的列:b1,Ab1,A2b1;b2,Ab2;b3

第137頁(yè)/共308頁(yè)b1b2b3b4A0A1A2A3A4A51

2

31＝3，2＝1，

3＝22.搜索Qc中的n個(gè)線性無關(guān)的列向量的“行向搜索方案”rankB=r<pn＝6，p＝4，r＝3搜索到1＋2＋

3＝n停止。{1,2,3}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。Qc中的6個(gè)線性無關(guān)的列:b1,Ab1,A2b1;b2;b3,

Ab3BABA2BA3BA4BA5B第138頁(yè)/共308頁(yè)龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點(diǎn)配置綜合問題中有著廣泛的用途?？疾焱耆芸氐膎維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性判別矩陣為rankB=r<p采用“行向搜索方案”，在Qc中找出n個(gè)線性無關(guān)的列向量，并組成非奇異矩陣：其中{1，2

，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且1＋2

＋＋r＝n第139頁(yè)/共308頁(yè)構(gòu)造變換矩陣S{1，2

，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且1＋2

＋＋r＝n第140頁(yè)/共308頁(yè)對(duì)于完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)rankB=r<p基于線性非奇異變換，可導(dǎo)出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范形第141頁(yè)/共308頁(yè)無特殊形式r列P-r列第142頁(yè)/共308頁(yè)例：已知完全能控的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)試將其變換為龍伯格能控規(guī)范形解：1.寫出能控性判別矩陣Qc采用“行向搜索方案”，在Qc中找出3個(gè)線性無關(guān)的列向量b1b2Ab1Ab2A2b1A2b2b1b2A0A1A21

21＝2，2＝1rankB=r=p=2Qc中3個(gè)線性無關(guān)的列向量為b1，b2

，Ab1第143頁(yè)/共308頁(yè)由Qc中找出的3個(gè)線性無關(guān)的列向量組成非奇異矩陣：1＝2，2＝1第144頁(yè)/共308頁(yè)龍伯格能控規(guī)范形為：第145頁(yè)/共308頁(yè)4.10連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)按能控性分解

設(shè)不完全能控n維多輸入多數(shù)出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為

在Qc中采用“行向搜索方案”或“列向搜索方案”搜索出k個(gè)線性無關(guān)列q1,q2，…，qk

；其次，在除Qc外的n維狀態(tài)空間中，任意選取n-k個(gè)線性無關(guān)列qk+1,qk+2，…，qn

，構(gòu)成非奇異變換P-1

結(jié)構(gòu)分解的實(shí)質(zhì)是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測(cè)的系統(tǒng)分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，又可以深入揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述間的關(guān)系。能控性判別矩陣的秩第146頁(yè)/共308頁(yè)引入非奇異線性變換其中可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)按能控性的結(jié)構(gòu)分解：狀態(tài)向量的非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性及能控程度。第147頁(yè)/共308頁(yè)經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫為于是可得能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：由于

輸入u的作用，只能改變能控振型位置，不能改變不能控振型位置，這對(duì)系統(tǒng)分析和綜合具有重要意義。結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性?；诮Y(jié)構(gòu)分解式的能控性判據(jù)。

特征值為能控振型特征值為不能控振型第148頁(yè)/共308頁(yè)例：已知試按能控性進(jìn)行規(guī)范分解解：系統(tǒng)不完全能控，取能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為第149頁(yè)/共308頁(yè)系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解

設(shè)不能觀測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

其能觀測(cè)性矩陣Qo=[C,CA,CA2,…,CAn-1]T的秩為m<n，選出其中m個(gè)線性無關(guān)行，再加任意n-m個(gè)行，構(gòu)成非奇異變換F系統(tǒng)按能觀測(cè)性的結(jié)構(gòu)分解對(duì)偶于系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解。第150頁(yè)/共308頁(yè)能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能觀測(cè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為第151頁(yè)/共308頁(yè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解是指，對(duì)不完全能控和不完全能觀測(cè)系統(tǒng)，同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。但變換陣Tco的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐步分解的方法。

(1)先將系統(tǒng)按能控(能觀測(cè))性分解；

(2)將不能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)(能控)性分解；

(3)將能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)(能控)性分解；

(4)綜合以上三次變換，導(dǎo)出系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解的表達(dá)式。可通過非奇異變換，將原系統(tǒng)(A,B,C)變換為按能控性和能觀測(cè)性規(guī)范分解的系統(tǒng)（Aco,Bco,Cco）。第152頁(yè)/共308頁(yè)

設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不完全能控、不完全能觀測(cè)，可先對(duì)系統(tǒng)按能控性分解，即令kn-k再分別對(duì)k維能控子系統(tǒng)、n－k維不能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解Fo1為kk維非奇異方陣，F(xiàn)o2為(n－k)(n－

k)維非奇異為方陣。第153頁(yè)/共308頁(yè)綜合以上三次變換，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性。第154頁(yè)/共308頁(yè)作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測(cè)部分。第155頁(yè)/共308頁(yè)u＋y＋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)規(guī)范分解方塊圖作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測(cè)部分。第156頁(yè)/共308頁(yè)例：設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)如下，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。解：1.

系統(tǒng)能控性判別陣rankQc=2<n=3,所以系統(tǒng)是不完全能控的。取

其中q3是任意的，只要能保證P非奇異即可。2.按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解第157頁(yè)/共308頁(yè)變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：

顯然，不能控子空間是能觀測(cè)的，無需再進(jìn)行分解。