線性系統(tǒng)理論鄭大鐘第二版

線性系統(tǒng)理論鄭大鐘第二版第1頁/共308頁第一章緒論第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性第五章系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性第六章線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合第一部分線性系統(tǒng)的時間域理論第二部分線性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論第2頁/共308頁第一章緒論

線性系統(tǒng)理論是系統(tǒng)控制理論的一個最為基礎(chǔ)和最為成熟的分支。它以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具，以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)?？刂评碚摪l(fā)展概況：第一階段20世紀(jì)40—60年代經(jīng)典控制理論第二階段20世紀(jì)60—70年代現(xiàn)代控制理論第三階段20世紀(jì)70—

大系統(tǒng)理論（廣度）智能控制理論（深度）第3頁/共308頁第一章緒論

1.1系統(tǒng)控制理論的研究對象系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論的研究對象系統(tǒng)：是由相互關(guān)聯(lián)和相互制約的若干“部分”所組成的具有特定功能的一個“整體”。系統(tǒng)具有如下3個基本特征:

(1)整體性

(2)抽象性

作為系統(tǒng)控制理論的研究對象，系統(tǒng)常常抽去了具體系統(tǒng)的物理，自然和社會含義，而把它抽象為一個一般意義下的系統(tǒng)而加以研究。(3)相對性

在系統(tǒng)的定義中,所謂“系統(tǒng)”和“部分”這種稱謂具有相對屬性。第4頁/共308頁動態(tài)系統(tǒng)：所謂動態(tài)系統(tǒng)，就是運(yùn)動狀態(tài)按確定規(guī)律或確定統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時間演化的一類系統(tǒng)——動力學(xué)系統(tǒng)。系統(tǒng)變量可區(qū)分為三類形式系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述動態(tài)系統(tǒng)的分類從機(jī)制的角度

從特性的角度

從作用時間類型的角度

uxy連續(xù)系統(tǒng)按其參數(shù)的空間分布類型

本書中僅限于研究線性系統(tǒng)和集中參數(shù)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論所研究的主體，其行為有各類變量間的關(guān)系來表征。第5頁/共308頁線性系統(tǒng)理論的研究對象為線性系統(tǒng)，其模型方程具有線性屬性即滿足疊加原理。若表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為L系統(tǒng)模型是對系統(tǒng)或其部分屬性的一個簡化描述①系統(tǒng)模型的作用：仿真、預(yù)測預(yù)報(bào)、綜合和設(shè)計(jì)控制器②模型類型的多樣性：用數(shù)學(xué)模型描述、用文字、圖表、數(shù)據(jù)或計(jì)算機(jī)程序表示③數(shù)學(xué)模型的基本性：著重研究可用數(shù)學(xué)模型描述的一類系統(tǒng)④建立數(shù)學(xué)模型的途徑：解析、辨識⑤系統(tǒng)建模的準(zhǔn)則：折衷

線性系統(tǒng)理論研究對象是(線性的)模型系統(tǒng)，不是物理系統(tǒng)。線性系統(tǒng)系統(tǒng)模型第6頁/共308頁1.2線性系統(tǒng)理論的基本概貌

線性系統(tǒng)理論是一門以研究線性系統(tǒng)的分析與綜合的理論和方法為基本任務(wù)的學(xué)科。主要內(nèi)容:數(shù)學(xué)模型→分析理論→綜合理論發(fā)展過程:經(jīng)典線性系統(tǒng)理論→現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論主要學(xué)派:

狀態(tài)空間法幾何理論把對線性系統(tǒng)的研究轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間中的相應(yīng)幾何問題,并采用幾何語言來對系統(tǒng)進(jìn)行描述,分析和綜合代數(shù)理論把系統(tǒng)各組變量間的關(guān)系看作為是某些代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系,從而可以實(shí)現(xiàn)對線性系統(tǒng)描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之轉(zhuǎn)化為純粹的一些抽象代數(shù)問題多變量頻域方法

線性系統(tǒng)理論著重研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動規(guī)律和改變這種規(guī)律的可能性和方法，以建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間確定的和定量的關(guān)系。

第7頁/共308頁第一部分:線性系統(tǒng)時間域理論

第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間

線性系統(tǒng)時間域理論是以時間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述,直接在時間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運(yùn)動和特性的一種理論和方法系統(tǒng)動態(tài)過程的兩類數(shù)學(xué)描述第8頁/共308頁(1)系統(tǒng)的外部描述外部描述常被稱作為輸出—輸入描述例如.對SISO線性定常系統(tǒng):時間域的外部描述:復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述

狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式，需要由兩個數(shù)學(xué)方程表征——狀態(tài)方程和輸出方程。(3)外部描述和內(nèi)部描述的比較

一般的說外部描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述，不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測的部分。內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學(xué)特性。第9頁/共308頁狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義狀態(tài)變量組:狀態(tài)：

一個動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)定義為由其狀態(tài)變量組所組成的一個列向量一個動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量組定義為能完全表征其時間域行為的一個最小內(nèi)部變量組狀態(tài)空間：

狀態(tài)空間定義為狀態(tài)向量的一個集合，狀態(tài)空間的維數(shù)等同于狀態(tài)的維數(shù)幾點(diǎn)解釋

（1）狀態(tài)變量組對系統(tǒng)行為的完全表征性只要給定初始時刻t0的任意初始狀態(tài)變量組和t≥t0各時刻的任意輸入變量組那么系統(tǒng)的任何一個內(nèi)部變量在t≥t0各時刻的運(yùn)動行為也就隨之而完全確定第10頁/共308頁(2).狀態(tài)變量組最小性的物理特征(3).狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學(xué)特征(4).狀態(tài)變量組的不唯一性(5).系統(tǒng)任意兩個狀態(tài)變量組之間的關(guān)系(6)有窮維系統(tǒng)和無窮維系統(tǒng)(7)狀態(tài)空間的屬性狀態(tài)空間為建立在實(shí)數(shù)域R上的一個向量空間R

n第11頁/共308頁2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例

描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（動態(tài)方程或運(yùn)動方程），包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。選擇狀態(tài)變量第12頁/共308頁2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述以上方程可表為形如第13頁/共308頁機(jī)電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例上式可表為形如第14頁/共308頁連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)第15頁/共308頁連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖第16頁/共308頁離散時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述形式離散時間線性時不變系統(tǒng)離散時間線性時變系統(tǒng)第17頁/共308頁狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)一是:狀態(tài)方程形式上的差分型屬性二是:描述方程的線性屬性三是:變量取值時間的離散屬性離散時間線性系統(tǒng)的方塊圖第18頁/共308頁2.3.連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類

線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為向量函數(shù)若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個組成元為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)

若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)

對于線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng)第19頁/共308頁時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)若向量f,g不顯含時間變量t,即該系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)

若向量f,g顯含時間變量t,即該系統(tǒng)稱為時變系統(tǒng)

連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)

當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)

當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的不連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng).確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)

稱一個系統(tǒng)為確定性系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動,都是隨時間按確定的規(guī)律而變化的.

稱一個動態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng),或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動是隨機(jī)變量第20頁/共308頁2.4由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述

由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述對于單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng),其微分方程描述其傳遞函數(shù)描述可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為基本步驟：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組，確定對應(yīng)的參數(shù)矩陣組。第21頁/共308頁結(jié)論1給定單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=n,即系統(tǒng)為真情形第22頁/共308頁(2)m<n,即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形第23頁/共308頁結(jié)論2給定單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=0情形此時輸入輸出描述為:選取n個狀態(tài)變量第24頁/共308頁其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:第25頁/共308頁(2)m≠0情形此時輸入輸出描述為:第26頁/共308頁其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:其中第27頁/共308頁兩種狀態(tài)空間描述為:第28頁/共308頁結(jié)論3給定單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為：其極點(diǎn)即傳遞函數(shù)分母方程的根為兩兩互異實(shí)數(shù)，則對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導(dǎo)出：(1)m<n，即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為第29頁/共308頁(2)m=n，即系統(tǒng)為真情形令對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：第30頁/共308頁由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述例1

設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述解上圖等效為指定狀態(tài)變量組后，列寫變量間的關(guān)系方程：第31頁/共308頁寫成矩陣形式例2

設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式。第32頁/共308頁解可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下寫出變量之間的關(guān)系第33頁/共308頁寫成矩陣形式第34頁/共308頁也可以畫出結(jié)構(gòu)圖為e11e13e12e2e3可寫出系統(tǒng)的動態(tài)方程為第35頁/共308頁例3

設(shè)畫出結(jié)構(gòu)圖動態(tài)方程為注：由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述，其結(jié)果不唯一！但階次不變。第36頁/共308頁2.5線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)

特征多項(xiàng)式

連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)特征多項(xiàng)式均為實(shí)常數(shù)(2)特征方程式(3)凱萊-哈密爾頓（Caley-Hamilton）定理線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由特征值和特征向量所表征。第37頁/共308頁(4)最小多項(xiàng)式的各個元多項(xiàng)式之間互質(zhì)定義

(s)為系統(tǒng)矩陣A的最小多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式(s)也滿足凱萊-哈密爾頓定理，即(A)=0(5)系統(tǒng)矩陣的循環(huán)性

如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式

(s)和最小多項(xiàng)式(s)之間只存在常數(shù)類型的公因子k，即則稱系統(tǒng)矩陣A是循環(huán)的。(6)特征多項(xiàng)式的計(jì)算第38頁/共308頁①基于跡計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法②基于分解計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法第39頁/共308頁特征值(1)特征值的代數(shù)屬性系統(tǒng)特征值就是使特征矩陣(sI－A)降秩的所有s值(2)特征值集對n維線性時不變系統(tǒng)，有且僅有n個特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。(3)特征值的形態(tài)特征值的形態(tài)要么為實(shí)數(shù)，要么為共軛復(fù)數(shù)(4)特征值類型系統(tǒng)特征值可區(qū)分為“單特征值”和“重特征值”兩種類型連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)第40頁/共308頁(5)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)i

代表特征值集Λ中值為i

的特征值個數(shù)(6)特征值的幾何重?cái)?shù)(7)特征值重?cái)?shù)和類型的關(guān)系

對n維線性時不變系統(tǒng)，若i

∈A為單特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)i和幾何重?cái)?shù)i之間必有

對n維線性時不變系統(tǒng)，若i∈A為重特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)i和幾何重?cái)?shù)i之間必有第41頁/共308頁特征向量和廣義特征向量

n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，i為A的特征值(1)特征向量的幾何特性(2)特征向量的不唯一性(3)單特征值所屬特征向量的屬性對n維線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A的屬于特征值{1、2、…n}的相應(yīng)一組特征向量{1、2、…n}為線性無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)特征值{1、2、…n}為兩兩互異。特征向量：特征向量的屬性：第42頁/共308頁廣義特征向量

對n維線性時不變系統(tǒng)，設(shè)i為n×n維系統(tǒng)矩陣A的一個i重特征值(i=1,2,..,,ij

,ij)，則廣義特征向量的基本屬性：

對n維線性時不變系統(tǒng)，設(shè)1為系統(tǒng)矩陣A的屬于i重特征值i的k級廣義右特征向量，按以下方法定義的k個特征向量必為線性無關(guān)：（1）廣義特征向量鏈第43頁/共308頁

對n維線性時不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)矩陣A的特征值i

的代數(shù)重?cái)?shù)為i，則A的屬于i

的廣義右特征向量組由i

個線性無關(guān)n1維非零向量組成(i=1,2,..,,ij,ij)。稱此組特征向量為i的長度為k的廣義右特征向量鏈（2）確定廣義特征向量組的算法第44頁/共308頁右廣義特征向量組的算法：A的屬于i重特征值i

的右廣義特征向量組可按如下步驟確定。Step1：計(jì)算直到

。設(shè)：n=10，I=8，m0=4并設(shè)：0=0，1=3，2=6，3=7，4=8Step2：確定廣義特征向量組的分塊表?；驹瓌t為：表的列數(shù)＝廣義特征向量組分塊數(shù)＝m0=4表的“列j”＝“分塊j”，j=1，，m0，

m0=4列j即分塊j中特征向量個數(shù)＝，j=1，，m0，

m0=4列j即分塊j內(nèi)特征向量按由下而上排列第45頁/共308頁列1分塊1列2分塊2列3分塊3列4分塊4特征向量數(shù)4-3=1特征向量數(shù)3-2=1特征向量數(shù)2-1=3特征向量數(shù)1-0=3行1行2行3A的屬于i重特征值i

的右廣義特征向量組分塊表Step3：定義表中的獨(dú)立型特征向量和導(dǎo)出型特征向量第46頁/共308頁Step4：確定獨(dú)立型特征向量i1，i2，i3Step5：確定導(dǎo)出型特征向量第47頁/共308頁Step6：對A的屬于i重特征值i的右廣義特征向量組，確定廣義特征向量鏈。其中廣義特征向量鏈的數(shù)目=分塊表中行的數(shù)目=3

廣義特征向量鏈=分塊表中行的特征向量組3個廣義特征向量鏈為（3）不同廣義特征向量組間的關(guān)系

對n維線性時不變系統(tǒng)，設(shè)i為n×n系統(tǒng)矩陣A的一個i重特征值，i=1,2,..,,ij,ij，則A的屬于不同特征值的個廣義特征向量組間必線性無關(guān)。第48頁/共308頁結(jié)論4

特征值為兩兩互異的情形2.6狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形對n個特征值{1、2、…n}兩兩互異的n維線性時不變系統(tǒng)，基于n個特征向量構(gòu)造變換陣p=[1、

2、…

n]，則狀態(tài)方程可通過線性非奇異變換而化為約當(dāng)規(guī)范形。

約當(dāng)規(guī)范形被廣泛應(yīng)用于線性時不變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的分析。任意線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程都可以通過線性非奇異變換化為約當(dāng)規(guī)范形。特征向量T-1AT，對角規(guī)范型系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)完全解耦第49頁/共308頁若A陣為友矩陣形式(能控規(guī)范性)則P陣是一個范德蒙德(Vandermonde)矩陣，為當(dāng)出現(xiàn)復(fù)數(shù)特征值時，可以當(dāng)作互異情況考慮，但必包含共扼復(fù)數(shù)元，在系統(tǒng)分析與綜合中，需作實(shí)數(shù)化處理。第50頁/共308頁[例]試將下列狀態(tài)方程變換為約當(dāng)規(guī)范形解：A的特征值可由－A＝0求出對應(yīng)于1＝－1的特征矢量特征矢量不唯一!第51頁/共308頁同理可以算出則變換矩陣P為

狀態(tài)方程變換為約當(dāng)規(guī)范形第52頁/共308頁結(jié)論5

特征值包含重值的情形對包含重特征值的n維線性時不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的特征值那么，基于相應(yīng)于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣Q，令可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范形：具有準(zhǔn)對角線的形式第53頁/共308頁其中，Ji為相應(yīng)于特征值i的約當(dāng)塊：例：P61重特征值情形的約當(dāng)規(guī)范形是一個“嵌套式”的對角塊陣，外層，中層，內(nèi)層系統(tǒng)狀態(tài)可實(shí)現(xiàn)可能的最簡耦合。當(dāng)系統(tǒng)矩陣A所有的特征值I的i=i，約當(dāng)規(guī)范形為對角線矩陣。第54頁/共308頁2.7由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣定義：單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系：稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。其中第55頁/共308頁(1)G(s)的函數(shù)屬性傳遞函數(shù)矩陣G(s)在函數(shù)屬性上是復(fù)變量s的q×p有理分式矩陣。(2)G(s)的真性和嚴(yán)真性當(dāng)且僅當(dāng)G(s)是真或嚴(yán)真時，G(s)才是物理上可實(shí)現(xiàn)的(3)G(s)的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式(4)G(s)的極點(diǎn)G(s)的極點(diǎn)定義為方程式的根第56頁/共308頁(5)G(s)的循環(huán)性若稱G(s)是循環(huán)的(6)G(s)正則性和奇異性G(s)基于(A,B,C,D)的表達(dá)式考慮連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)則設(shè)G(s)的首一化特征多項(xiàng)式為G(s)，A的特征多項(xiàng)式為(s)，若必有若系統(tǒng)能控能觀測，則表G(s)的極點(diǎn)集合ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，則ΛG?Λ；若系統(tǒng)能控能觀測，則ΛG=Λ

。第57頁/共308頁結(jié)論7

G(s)的實(shí)用計(jì)算關(guān)系式令則第58頁/共308頁2.8線性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性坐標(biāo)變換的實(shí)質(zhì)是把系統(tǒng)在空間一個坐標(biāo)系上的表征化為另一個坐標(biāo)系上的表征。線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為引入坐標(biāo)變換則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為結(jié)論8

坐標(biāo)變換是狀態(tài)空間方法分析和綜合中廣為采用的一種基本手段——突出系統(tǒng)的某些特性或特征，或是簡化系統(tǒng)分析和綜合的計(jì)算過程。線性時不變系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性第59頁/共308頁結(jié)論9

線性時不變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換，其傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異變換下保持不變。定義：稱具有相同輸入和輸出的兩個同維線性時不變系統(tǒng)代數(shù)等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們的系數(shù)矩陣之間滿足狀態(tài)空間描述坐標(biāo)變換中給出的關(guān)系。

代數(shù)等價(jià)的系統(tǒng)的基本特征是具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)特性，如特征多項(xiàng)式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測性等。

坐標(biāo)變換具有人為屬性，系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下如特征多項(xiàng)式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測性等的不變性反映了系統(tǒng)運(yùn)動核結(jié)構(gòu)的固有特性。

第60頁/共308頁結(jié)論10

線性時變系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性對線性時變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換P(t)為可逆且連續(xù)可微，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為第61頁/共308頁2.9組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣設(shè)子系統(tǒng)并聯(lián)

兩個子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)聯(lián)接的條件第62頁/共308頁并聯(lián)后子系統(tǒng)串聯(lián)

兩個子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)串聯(lián)聯(lián)接的條件是：串聯(lián)后第63頁/共308頁

子系統(tǒng)反饋聯(lián)接設(shè)兩個子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)輸出反饋聯(lián)接的條件是反饋聯(lián)接后第64頁/共308頁第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析3．1引言

數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)動分析的實(shí)質(zhì)就是求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。以解析形式或數(shù)值分析形式，建立系統(tǒng)狀態(tài)隨輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律。解的存在性和唯一性條件

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程如果系統(tǒng)矩陣A(t),B(t)的所有元在時間定義區(qū)間[t0,tα]上為時間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，輸入u(t)的所有元為時間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，那么狀態(tài)方程的解x(t)存在且唯一。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，上述條件可減弱為：①系統(tǒng)矩陣A(t)的各個元aij(t)在時間區(qū)間[t0,tα]上為絕對可積，即：當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)方程的解為存在和唯一，對系統(tǒng)的運(yùn)動分析才有意義。第65頁/共308頁③輸入u(t)的各個元uk(t)在時間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：條件②③可一步合并為要求B(t)、u(t)的各元在時間區(qū)間[t0,tα]上絕對可積。本章隨后各節(jié)中，均加設(shè)系統(tǒng)滿足上述解的存在性和唯一性條件。②輸入矩陣B(t)的各個元bij(t)在時間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：線性系統(tǒng)運(yùn)動＝零輸入響應(yīng)＋零初態(tài)響應(yīng)第66頁/共308頁3．2連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的運(yùn)動分析

系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)令輸入u(t)=0而得到系統(tǒng)自治狀態(tài)方程結(jié)論1.系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的解，具有以下形式其中若初始時間取為t0≠0則連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的運(yùn)動分析是本章討論的重點(diǎn)

第67頁/共308頁設(shè)其解是t的向量冪級數(shù)則由對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等關(guān)系有式中x0，b1，…，bk，都是n維向量，且x(0)=b0，故定義：矩陣指數(shù)函數(shù)第68頁/共308頁矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

(4)

設(shè)A和F為兩個同維可交換方陣，即AF=FA則有第69頁/共308頁矩陣指數(shù)函數(shù)的算法

1：定義法2：特征值法1）若A的特征值為兩兩互異則

只能得到eAt的數(shù)值結(jié)果，難以獲得eAt解析表達(dá)式，但用計(jì)算機(jī)計(jì)算，具有編程簡單和算法迭代的優(yōu)點(diǎn)。P為變換A為約當(dāng)規(guī)范型的變換矩陣p=[v1、v2、…vn]其中v1、v2、…vn為A的n個特征向量。第70頁/共308頁2）若A的特征值出現(xiàn)重根其中則其中假設(shè)的i幾何重?cái)?shù)為1第71頁/共308頁例三個互異特征根1＝－1，2＝－2，3＝－3第72頁/共308頁例

三個重特征根1＝2＝3＝1，i=3，=2第73頁/共308頁3：有限項(xiàng)展開法設(shè)根1、2、…

n

為A的n個互異特征值若1為n重特征值第74頁/共308頁例

第75頁/共308頁4：預(yù)解矩陣法例:已知，求eAt解：第76頁/共308頁證明：其解為：系統(tǒng)的零初態(tài)響應(yīng)當(dāng)x(0)=0時，線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)方程系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，具有以下形式第77頁/共308頁系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動規(guī)律的基本表達(dá)式

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為其解為：對初始時刻t0=0情形有表達(dá)式第78頁/共308頁3.3連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：基本解陣

矩陣方程的解陣稱為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)的基本解陣。其中H為任意非奇異實(shí)常陣結(jié)論：(1)基本解陣不唯一

(2)由系統(tǒng)自治方程的任意n個線性無關(guān)解為列可構(gòu)成一個基本解陣。(3)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)的一個可能的基本解陣為第79頁/共308頁狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

矩陣方程的解陣(t-t0)

稱為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：1:連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本解陣定出2:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t-t0)

唯一，與基本解陣的選取無關(guān)。3:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式為基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式

第80頁/共308頁狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特性第81頁/共308頁3.5連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的運(yùn)動分析

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，矩陣方程：的解矩陣(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程的解矩陣(t)稱為基本解陣,其中H為任意非奇異實(shí)常值矩陣。線性時變系統(tǒng)的運(yùn)動不管是規(guī)律形態(tài)還是分析方法都要復(fù)雜得多，但運(yùn)動規(guī)律表達(dá)式形式上十分類似于線性時不變系統(tǒng)。第82頁/共308頁結(jié)論：①基本解陣不唯一②對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，其一個基本解陣可由系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的任意n個線性無關(guān)解為列構(gòu)成③對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，其一個基本解陣結(jié)論：①狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為唯一②狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式第83頁/共308頁狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)

第84頁/共308頁系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

結(jié)論：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的解狀態(tài)運(yùn)動計(jì)算上的困難對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，一般難以確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解析表達(dá)式，主要用于理論分析中?？捎脭?shù)值方法求解。

線性系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動表達(dá)式在形式上的統(tǒng)一性。第85頁/共308頁3.6連續(xù)時間線性系統(tǒng)的時間離散化基本約定：

1）對采樣方式的約定采樣方式取為以常數(shù)T為周期的等間隔采樣，采樣時間寬度△比采樣周期T小得多。2）對采樣周期T大小的約定滿足Shamnon采樣定理給出的條件3）對保持方式的約定零階保持方式

無論是采用數(shù)字計(jì)算機(jī)分析連續(xù)時間系統(tǒng)運(yùn)動行為，還是采用離散控制裝置控制連續(xù)時間受控系統(tǒng)，都會遇到將連續(xù)時間系統(tǒng)化為離散時間系統(tǒng)的問題。第86頁/共308頁基本結(jié)論：

給定連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)則其在基本約定下的時間離散化描述為其中第87頁/共308頁結(jié)論：

給定連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)則其在基本約定下的時間離散化描述為其中結(jié)論：①時間離散化屬性：時間離散化不改變系統(tǒng)的時變或時不變屬性②離散化系統(tǒng)屬性：不管系統(tǒng)矩陣A(t)或A是非奇異或奇異，其離散化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣G(k)和G必為非奇異。第88頁/共308頁例：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)采樣周期T=1秒，試求其離散化狀態(tài)方程。解

第89頁/共308頁3.7離散時間線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析

不管是時變差分方程，還是時不變差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系統(tǒng)狀態(tài)方程，利用給定的或定出的上一采樣時刻狀態(tài)值，迭代地定出下一個采樣時刻的系統(tǒng)狀態(tài)。定義：矩陣方程(k+1)=G(k)(k,m),(m,m)=I的解陣(k,m)稱為離散時間線性時變系統(tǒng)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程(k+1)=G(k),(0)=I的解陣(k),稱為離散時間線性時不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：離散時間線性時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

(k,m)=G(k-1)G(k-2)…G(m)

離散時間線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：結(jié)論：①(k,m)非奇異G(i),i=m,m+1,…k-1均為非奇異②(k)非奇異G非奇異③對連續(xù)時間線性系統(tǒng)的時間離散化系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必為非奇異。第90頁/共308頁結(jié)論：對離散時間線性時變系統(tǒng)，其解為：對離散時間線性時不變系統(tǒng)，其解為定義：對離散時間線性時不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)x(0)=x0

y(k)=Cx(k)+Du(k)結(jié)論：離散時間線性時不變系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)矩陣為第91頁/共308頁第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性4．1能控性和能觀測性的定義能控性和能觀測性是從控制和觀測角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個基本特性。不完全能控但能觀測不能控不能觀測電路第92頁/共308頁狀態(tài)能控性，能達(dá)性定義對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)如果存在一個時刻以及一個無約束的容許控制u(t),使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)X0在t0時刻為能控。如果存在一個時刻t1∈J,t1>t0,以及一個無約束的容許控制u(t),t∈[t0,t1],使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf≠0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時刻為能達(dá)。注意：

對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價(jià)；對離散時間線性系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣G為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價(jià)；對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價(jià)。第93頁/共308頁定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)和指定初始時刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0∈J都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能控/能達(dá)。定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)和指定初始時刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非空狀態(tài)集合在時刻t0∈J為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能控/能達(dá)。定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時刻t0∈J均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達(dá)。注：從工程實(shí)際角度考慮，一個實(shí)際系統(tǒng)為能控/能達(dá)的概率幾乎等于1。系統(tǒng)能控性，能達(dá)性定義

第94頁/共308頁能觀測性定義和指定初始時刻t0∈J,如果存在一個時刻t1∈J，t1>t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，則稱非零狀態(tài)x0在時刻t0為不能觀測；對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)

如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0都不為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能觀測；如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非零狀態(tài)集合在時刻t0為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能觀測；如果系統(tǒng)對任意時刻均為完全能觀測，即能觀測性與初始時刻t0的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測。第95頁/共308頁該系統(tǒng)是不完全能觀測的由于可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是等價(jià)的。注：從工程實(shí)際角度考慮，一個實(shí)際系統(tǒng)為能觀測的概率幾乎等于1。其解為；第96頁/共308頁4．2連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)

結(jié)論1：(格拉姆矩陣判據(jù))線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣為非奇異矩陣。證明：

充分性為非奇異時，系統(tǒng)能控說明系統(tǒng)是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。

由于時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求解困難，故能控性格拉姆矩陣判據(jù)的意義主要在于理論分析中的應(yīng)用。第97頁/共308頁結(jié)論3：n維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設(shè)A(t),B(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時刻t0∈J完全能控的一個充分條件為，存在一個有限時刻t1∈J，t1>t0，,使能控性秩判據(jù)結(jié)論2：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)：完全能控的充分必要條件是，存在時刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。(格拉姆矩陣判據(jù))主要在于理論分析和推導(dǎo)中的應(yīng)用。第98頁/共308頁結(jié)論4

（能控性秩判據(jù)）對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣滿秩，即rankQc=n結(jié)論5（能控性PBH秩判據(jù)）n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：

rank[sI-A，B]=n,sCC為復(fù)數(shù)域或rank[iI-A，B]=n，i為系統(tǒng)特征值結(jié)論6：（能控性PBH特征向量判據(jù)）

n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：矩陣A不存在與B所有列正交的非零左特征向量，即對矩陣A所有特征值i

，使同時滿足TA=i

T，T

B=0的左特征向量T

=0。主要在于理論分析中，特別是線性時不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。第99頁/共308頁結(jié)論7：（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對n維線性時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量。結(jié)論8：（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對n維線性時不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：①特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣中，該行元素不全為零。②特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣各行向量線性無關(guān)。注：1.能控性PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性時不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。

2.狀態(tài)向量的線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。第100頁/共308頁例

圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件解

選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：第101頁/共308頁即（R1R4=R2R3）時，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。例

系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組{bl11、bl12、bl13}線性無關(guān)以及{bl21}不為零向量。

系統(tǒng)能控第102頁/共308頁當(dāng)k＝n時，Qk為能控性判別矩陣。對完全能控連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)為：

＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)k

。結(jié)論9：對完全能控單輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則系統(tǒng)能控性指數(shù)＝n。能控性指數(shù)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)：定義：第103頁/共308頁結(jié)論10：對完全能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足如下估計(jì)：設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：第104頁/共308頁結(jié)論12：對完全能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，將Q表為：其中：1＋2

＋＋r＝n由于rankB=r，將Q中的n個線性無關(guān)列重新排列：能控性指數(shù)滿足：＝max{1，2

，，r}且稱{1，2

，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。BA-1B第105頁/共308頁4．3連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)

結(jié)論1：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣結(jié)論2：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是，存在時刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。第106頁/共308頁結(jié)論3：n維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設(shè)A(t),C(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時刻t0∈J完全能觀測的一個充分條件為，存在一個有限時刻t1∈J，t1>t0，,使第107頁/共308頁結(jié)論4

對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為能觀測性判別矩陣滿秩，即rankQo=n結(jié)論5n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：或?yàn)橄到y(tǒng)特征值C為復(fù)數(shù)域第108頁/共308頁結(jié)論7：對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。結(jié)論8：對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：特征值互異的約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。特征值相同的約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣中，各列向量線性無關(guān)。結(jié)論6：n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對矩陣A所有特征值，使同時滿足的右特征向量第109頁/共308頁定義：令完全能觀測n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)定義為＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)。結(jié)論9：對完全能觀測單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測性指數(shù)為＝n。結(jié)論10：對完全能觀測多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：對多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，設(shè)rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：第110頁/共308頁4.4離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)時變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)定義

離散時間線性時變系統(tǒng)如果對初始時刻h∈Jk和任意非零初始狀態(tài)X(h)=X0都存在時刻l∈Jk,l>h和對應(yīng)輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時刻l∈Jk達(dá)到原點(diǎn)，即有X(l)=0,則稱系統(tǒng)在時刻h完全能控；如果對初始時刻h和任意非零狀態(tài)Xl，都存在時刻l∈Jk,l>h和對應(yīng)輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)X(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運(yùn)動在時刻l∈Jk達(dá)到Xl，則稱系統(tǒng)在時刻h完全能達(dá)。結(jié)論1

離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異第111頁/共308頁結(jié)論2若系統(tǒng)矩陣G(k)對所有k∈[h,l-1]非奇異，則離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h∈Jk完全能控的充分必要條件為，存在時刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異若系統(tǒng)矩陣G(k)對一個或一些k∈[h,l-1]奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時刻h完全能控的一個充分條件。

若系統(tǒng)矩陣G(k)對所有k∈[h,l-1]非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。

若離散時間線性時變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。第112頁/共308頁時不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù)

結(jié)論3

離散時間線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時刻l>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時刻l

>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。第113頁/共308頁結(jié)論4n維離散時間線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣滿秩若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為rankQkc=n。若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n為系統(tǒng)完全能控的一個充分條件。結(jié)論5

對于單輸入離散時間線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時，可構(gòu)造如下一組輸入控制則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，通常稱這組控制為最小拍控制。

若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時間線性時不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。

若離散時間線性時不變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。第114頁/共308頁例

設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解

系統(tǒng)是能控的第115頁/共308頁

令

若令無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。第116頁/共308頁時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)結(jié)論6

離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h∈Jk完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻l∈Jk,l>h,使格蘭姆矩陣為非奇異時不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)

結(jié)論7

離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻l>0,使格蘭姆矩陣為非奇異第117頁/共308頁結(jié)論8n維離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為滿秩結(jié)論9

若單輸出離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài)

第118頁/共308頁4.5對偶性對于線性系統(tǒng)，能控性和能觀測性之間在概念和判據(jù)形式上存在對偶關(guān)系，實(shí)質(zhì)上反映了系統(tǒng)控制問題和系統(tǒng)估計(jì)問題的對偶。定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)其對偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)對偶系統(tǒng)其中，狀態(tài)X——n維行向量，協(xié)狀態(tài)——n維行向量輸入u——p維列向量，輸入——q維行向量輸出y——q維列向量，輸出——p維行向量第119頁/共308頁

顯然，是一個p維輸入q維輸出的n階系統(tǒng)，其對偶系統(tǒng)d是一個q維輸入p維輸出的n階系統(tǒng)。d

系統(tǒng)矩陣＝系統(tǒng)矩陣的轉(zhuǎn)秩d

輸入矩陣＝輸出矩陣的轉(zhuǎn)秩d輸出矩陣＝輸入矩陣的轉(zhuǎn)秩對偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：1.線性屬性和時變屬性2.系數(shù)矩陣的對偶性3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的對偶性互為轉(zhuǎn)秩逆！第120頁/共308頁

互為對偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。TTTATCTBTd原構(gòu)系統(tǒng)與其對偶系統(tǒng)具有相同屬性。4.方塊圖對偶屬性第121頁/共308頁結(jié)論:

設(shè)Σ為原構(gòu)線性系統(tǒng),Σd為對偶線性系統(tǒng),則有Σ完全能控Σd完全能觀測Σ完全能觀測Σd

完全能控線性時不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣互為對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同。對偶性原理第122頁/共308頁Σ完全能控Σd完全能觀測

根據(jù)這一原理，一個系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測）的特性，可以轉(zhuǎn)化為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。對偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)導(dǎo)出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)最優(yōu)控制問題和最佳估計(jì)問題基本結(jié)論間的對于關(guān)系。第123頁/共308頁4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測性的條件

設(shè)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)對應(yīng)的時間離散化系統(tǒng)其中G=eAT

H=A的特征值結(jié)論1：如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測），則對任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測）的。本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的。將線性連續(xù)系統(tǒng)化為線性離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和控制，是現(xiàn)今系統(tǒng)與控制理論中常為采用的一種模式。第124頁/共308頁結(jié)論2

：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測）的必要條件是：不是A的特征值。其中l(wèi)為非零整數(shù)結(jié)論3:對時間離散化系統(tǒng)，使采樣周期T的值，對滿足Re[i－j]=0的一切特征值，成立則時間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eATB為行線性無關(guān)結(jié)論4:連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其時間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測的一個充分條件為，采樣周期T滿足如下條件：對A的任意兩個特征值1、2，不存在非零整數(shù)l

，使成立對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。第125頁/共308頁4.7能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

結(jié)論1:單輸入單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。例設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由于存在零、極點(diǎn)對消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的。結(jié)論2:多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能控的充分必要條件是：狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)。結(jié)論3：多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態(tài)向量X(0)之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)。第126頁/共308頁4．8能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：SISO情形

由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也不是唯一的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間描述化成相應(yīng)的幾種規(guī)范形式：如約當(dāng)規(guī)范型，對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控規(guī)范型對于狀態(tài)反饋來說比較方便，而能觀測規(guī)范型則對于狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)及系統(tǒng)辯識比較方便。無論選用哪種規(guī)范形，其實(shí)質(zhì)都是對系統(tǒng)狀態(tài)空間描述進(jìn)行非奇異線性變換，其關(guān)鍵在于尋找相應(yīng)的變換矩陣。本節(jié)以線性時不變SISO系統(tǒng)為對象，討論能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形的基本形式和變換矩陣的構(gòu)造方法。第127頁/共308頁線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為能控性能觀測性在線性非奇異變換下的屬性引入坐標(biāo)變換，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為第128頁/共308頁結(jié)論1：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性和能觀測性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測性指數(shù)也保持不變。能控規(guī)范形結(jié)論2：對完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)第129頁/共308頁則通過變換矩陣或第130頁/共308頁可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即導(dǎo)出：注：1.能控規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)｛0，1，…，n-1｝

聯(lián)系起來，對于系統(tǒng)綜合與仿真研究很方便。

2.完全能控的任意兩個代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能控規(guī)范形。

3.一個單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能控。

4.單輸入系統(tǒng)具有唯一的能控規(guī)范形。無特殊形式第131頁/共308頁結(jié)論3：對完全能觀測的n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其能觀測規(guī)范形可基于線性非奇異變換導(dǎo)出其中第132頁/共308頁注：1.能觀測規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)｛0，1，…，n-1｝

聯(lián)系起來，對于綜合系統(tǒng)的觀測器很方便。

2.完全能觀測的任意兩個代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能觀測規(guī)范形。

3.一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能觀測。

4.單輸出系統(tǒng)具有唯一的能觀測規(guī)范形。無特殊形式第133頁/共308頁例：已知線性時不變能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試化為能控規(guī)范型。解：第134頁/共308頁4．9能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形MIMO情形

多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型，相比于單輸入單輸出情形，無論規(guī)范形式還是構(gòu)造方法都要復(fù)雜一些。

1.規(guī)范形式的不唯一性

2.構(gòu)造變換矩陣的復(fù)雜性本節(jié)僅討論應(yīng)用較廣的龍伯格規(guī)范形。搜索線性無關(guān)的行或列的方法多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣從Qc或Qo中找出n個線性無關(guān)的列或行，通常需經(jīng)過一個搜索過程。nnpnqn第135頁/共308頁考察n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)能控性判別矩陣為若系統(tǒng)完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n個線性無關(guān)。nnp1.搜索Qc中的n個線性無關(guān)的列向量的“列向搜索方案”用格柵圖的方法在Qc中搜索n個線性無關(guān)的列向量。第136頁/共308頁格柵圖b1b2b3b4A0A1A2A3A4A5BABA2BA3BA4BA5Bn＝61

2

3搜索到1＋

2＋

3＝n停止。1＝3，

2＝2，

3＝1，l＝3Qc中的6個線性無關(guān)的列:b1,Ab1,A2b1;b2,Ab2;b3

第137頁/共308頁b1b2b3b4A0A1A2A3A4A51

2

31＝3，2＝1，

3＝22.搜索Qc中的n個線性無關(guān)的列向量的“行向搜索方案”rankB=r<pn＝6，p＝4，r＝3搜索到1＋2＋

3＝n停止。{1,2,3}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。Qc中的6個線性無關(guān)的列:b1,Ab1,A2b1;b2;b3,

Ab3BABA2BA3BA4BA5B第138頁/共308頁龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點(diǎn)配置綜合問題中有著廣泛的用途?？疾焱耆芸氐膎維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)能控性判別矩陣為rankB=r<p采用“行向搜索方案”，在Qc中找出n個線性無關(guān)的列向量，并組成非奇異矩陣：其中{1，2

，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且1＋2

＋＋r＝n第139頁/共308頁構(gòu)造變換矩陣S{1，2

，，r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且1＋2

＋＋r＝n第140頁/共308頁對于完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)rankB=r<p基于線性非奇異變換，可導(dǎo)出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范形第141頁/共308頁無特殊形式r列P-r列第142頁/共308頁例：已知完全能控的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)試將其變換為龍伯格能控規(guī)范形解：1.寫出能控性判別矩陣Qc采用“行向搜索方案”，在Qc中找出3個線性無關(guān)的列向量b1b2Ab1Ab2A2b1A2b2b1b2A0A1A21

21＝2，2＝1rankB=r=p=2Qc中3個線性無關(guān)的列向量為b1，b2

，Ab1第143頁/共308頁由Qc中找出的3個線性無關(guān)的列向量組成非奇異矩陣：1＝2，2＝1第144頁/共308頁龍伯格能控規(guī)范形為：第145頁/共308頁4.10連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)按能控性分解

設(shè)不完全能控n維多輸入多數(shù)出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為

在Qc中采用“行向搜索方案”或“列向搜索方案”搜索出k個線性無關(guān)列q1,q2，…，qk

；其次，在除Qc外的n維狀態(tài)空間中，任意選取n-k個線性無關(guān)列qk+1,qk+2，…，qn

，構(gòu)成非奇異變換P-1

結(jié)構(gòu)分解的實(shí)質(zhì)是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測的系統(tǒng)分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，又可以深入揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述間的關(guān)系。能控性判別矩陣的秩第146頁/共308頁引入非奇異線性變換其中可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)按能控性的結(jié)構(gòu)分解：狀態(tài)向量的非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性及能控程度。第147頁/共308頁經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：由于

輸入u的作用，只能改變能控振型位置，不能改變不能控振型位置，這對系統(tǒng)分析和綜合具有重要意義。結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性。基于結(jié)構(gòu)分解式的能控性判據(jù)。

特征值為能控振型特征值為不能控振型第148頁/共308頁例：已知試按能控性進(jìn)行規(guī)范分解解：系統(tǒng)不完全能控，取能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為第149頁/共308頁系統(tǒng)按能觀測性分解

設(shè)不能觀測系統(tǒng)的動態(tài)方程為

其能觀測性矩陣Qo=[C,CA,CA2,…,CAn-1]T的秩為m<n，選出其中m個線性無關(guān)行，再加任意n-m個行，構(gòu)成非奇異變換F系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解對偶于系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解。第150頁/共308頁能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為第151頁/共308頁系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解是指，對不完全能控和不完全能觀測系統(tǒng)，同時按能控性和能觀測性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。但變換陣Tco的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐步分解的方法。

(1)先將系統(tǒng)按能控(能觀測)性分解；

(2)將不能控的子系統(tǒng)按能觀測(能控)性分解；

(3)將能控的子系統(tǒng)按能觀測(能控)性分解；

(4)綜合以上三次變換，導(dǎo)出系統(tǒng)同時按能控性和能觀測性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解的表達(dá)式?？赏ㄟ^非奇異變換，將原系統(tǒng)(A,B,C)變換為按能控性和能觀測性規(guī)范分解的系統(tǒng)（Aco,Bco,Cco）。第152頁/共308頁

設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不完全能控、不完全能觀測，可先對系統(tǒng)按能控性分解，即令kn-k再分別對k維能控子系統(tǒng)、n－k維不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解Fo1為kk維非奇異方陣，F(xiàn)o2為(n－k)(n－

k)維非奇異為方陣。第153頁/共308頁綜合以上三次變換，系統(tǒng)的動態(tài)方程為結(jié)構(gòu)分解形式惟一性和結(jié)果的不惟一性。第154頁/共308頁作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測部分。第155頁/共308頁u＋y＋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)規(guī)范分解方塊圖作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測部分。第156頁/共308頁例：設(shè)線性時不變系統(tǒng)如下，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。解：1.

系統(tǒng)能控性判別陣rankQc=2<n=3,所以系統(tǒng)是不完全能控的。取

其中q3是任意的，只要能保證P非奇異即可。2.按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解第157頁/共308頁變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：

顯然，不能控子空間是能觀測的，無需再進(jìn)行分解。