第5關(guān) 以數(shù)字及圖形規(guī)律探究問(wèn)題為背景的選擇填空題【有答案】

第5關(guān)以數(shù)字及圖形規(guī)律探究問(wèn)題為背景的選擇填空題【考查知識(shí)點(diǎn)】探索規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律。這種類(lèi)題型的題目主要考查了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，也考察了初中數(shù)學(xué)中的各種數(shù)學(xué)思想。【解題思路】掌握探究規(guī)律的方法，可以通過(guò)具體到抽象、特殊到一般的方法，有時(shí)通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想，還要充分利用已知條件或圖形特征進(jìn)行透徹分析，從中找出隱含的規(guī)律；恰當(dāng)合理的聯(lián)想、猜想，從簡(jiǎn)單的、局部的特殊情況到一般情況是基本思路，經(jīng)過(guò)歸納、提煉、加工，尋找出一般性規(guī)律，從而求解問(wèn)題。解決規(guī)律探究性問(wèn)題常常利用特殊值(特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等)進(jìn)行歸納、概括,從特殊到一般,從而得出規(guī)律(符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的數(shù)學(xué)結(jié)論),然后驗(yàn)證或應(yīng)用這一規(guī)律解題即可.解答時(shí)對(duì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力具有很高的要求.【典型例題】【例1】（2019·湖北中考真題）觀察下列一組數(shù)的排列規(guī)律：…那么，這一組數(shù)的第2019個(gè)數(shù)是_____.【答案】【解析】數(shù)據(jù)可分組觀察，每組中的數(shù)據(jù)數(shù)為組數(shù)，每組中分子為組中的序數(shù)號(hào)，分母為2n+1(n為組數(shù))，根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算即可得答案.【詳解】觀察數(shù)據(jù)可得：第一組：=，第二組：=，=，第三組：，，，第四組：，，，，第五組：，，，，，……第n組：，，……∴每組中的數(shù)據(jù)數(shù)為組數(shù)，每組中分子為組中的序數(shù)號(hào)，分母為2n+1(n為組數(shù))，設(shè)有n組分?jǐn)?shù)和x個(gè)分?jǐn)?shù)的和為2019，∴+x=2019，∵n為整數(shù)，=2016，=2080，∴n=63，x=3，∴第2019個(gè)數(shù)是第64組第3個(gè)數(shù)，∴第2019個(gè)數(shù)為.故答案為：【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類(lèi)問(wèn)題，把數(shù)據(jù)的分子、分母分別找出規(guī)律是解題關(guān)鍵.【例2】（2019·遼寧中考真題）如圖，直線l1的解析式是，直線l2的解析式是，點(diǎn)A1在l1上，A1的橫坐標(biāo)為，作交l2于點(diǎn)B1，點(diǎn)B2在l2上，以B1A1，B1B2為鄰邊在直線l1，l2間作菱形A1B1B2C1，分別以點(diǎn)A1，B2為圓心，以A1B1為半徑畫(huà)弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，記扇形B1A1C1與扇形B1B2C1重疊部分的面積為S1；延長(zhǎng)B2C1交l1于點(diǎn)A2，點(diǎn)B3在l2上，以B2A2，B2B3為鄰邊在l1，l2間作菱形A2B2B3C2，分別以點(diǎn)A2，B3為圓心，以A2B2為半徑畫(huà)弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，記扇形B2A2C2與扇形B2B3C2重疊部分的面積為S2……按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，則________．（用含有正整數(shù)n的式子表示）【答案】【解析】過(guò)A1作軸于D，連接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，根據(jù)已知條件得到點(diǎn)，求得，，根據(jù)勾股定理得到，求得，得到，求得，推出是等邊三角形，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】過(guò)A1作軸于D，連接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，∵點(diǎn)A1在l1上，A1的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)，∴，，∴，∴在中，，∴，∵直線l2的解析式是，∴，∴，∴，∵交l2于點(diǎn)B1，∴，∴，∴，∵四邊形A1B1B2C1是菱形，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，，同理，，，…∴．故答案為：．【名師點(diǎn)睛】本題考查了扇形的計(jì)算，規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，菱形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【例3】（2019·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，有一條折線，它是由過(guò)，，組成的折線依次平移8，16，24，…個(gè)單位得到的，直線與此折線有（且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)，則的值為_(kāi)____．【答案】【解析】觀察可得，由直線與此折線恰有（且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)，得點(diǎn)在直線上，故.【詳解】∵，，，，…，∴．∵直線與此折線恰有（且為整數(shù)）個(gè)交點(diǎn)，∴點(diǎn)在直線上，∴，解得：．故答案為：．【名師點(diǎn)睛】一次函數(shù)圖象和點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律.數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題，尋找規(guī)律是關(guān)鍵.【例4】（2018·內(nèi)蒙古中考真題）觀察下列一組由★排列的“星陣”，按圖中規(guī)律，第n個(gè)“星陣”中的★的個(gè)數(shù)是__．【答案】【解析】排列組成的圖形都是三角形．第一個(gè)圖形中有2+1×2=4個(gè)★，第二個(gè)圖形中有2+2×3=8個(gè)★，第三個(gè)圖形中有2+3×4=14個(gè)★，…，繼而可求出第n個(gè)圖形中★的個(gè)數(shù)．【詳解】∵第一個(gè)圖形有2+1×2=4個(gè)，第二個(gè)圖形有2+2×3=8個(gè)，第三個(gè)圖形有2+3×4=14個(gè)，第四個(gè)圖形有2+4×5=22個(gè)，…∴第n個(gè)圖形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．故答案為：n2+n+2．【名師點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的圖形變化問(wèn)題，解決此類(lèi)探究性問(wèn)題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．【例5】（2018·山東中考真題）將從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行252423222120191817…則2018在第_____行．【答案】45【解析】分析可得各行最大數(shù)依次為1、4、9、16、25，可得每行的最大數(shù)為行數(shù)的平方，接下來(lái)求得2018兩邊的平方數(shù)，再結(jié)合結(jié)論即可得到答案.【詳解】觀察可知：各行最大數(shù)依次為1、4、9、16、25，可得每行的最大數(shù)為行數(shù)的平方.因?yàn)?936＜2018＜2025，所以2018是第45行的數(shù).故答案為45.【名師點(diǎn)睛】本題屬于探究規(guī)律類(lèi)題目，解答本題需掌握題目中數(shù)的排列規(guī)律，考慮從最大數(shù)與行數(shù)入手.【方法歸納】1.圖形循環(huán)類(lèi)問(wèn)題,只要找到所求值在第幾個(gè)循環(huán),便可找出答案,一般難度不大;圖形的變化規(guī)律計(jì)算問(wèn)題,關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形,通過(guò)觀察思考,歸納總結(jié)出規(guī)律,再利用規(guī)律解決問(wèn)題,難度一般偏大,屬于難題.2.對(duì)于數(shù)式規(guī)律型問(wèn)題,關(guān)鍵是根據(jù)已知的式子或數(shù)得出前后算式或前后數(shù)之間的變化關(guān)系和規(guī)律,然后再利用這個(gè)變化規(guī)律回到問(wèn)題中去解決問(wèn)題.3.對(duì)于坐標(biāo)變化規(guī)律問(wèn)題,解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是從點(diǎn)的變化中發(fā)現(xiàn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律.4.對(duì)于數(shù)形結(jié)合規(guī)律型問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.綜合其用勾股定理等知識(shí)點(diǎn)解出相應(yīng)的問(wèn)題.【針對(duì)練習(xí)】1．（2018·湖北中考真題）我們將如圖所示的兩種排列形式的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別稱(chēng)作“三角形數(shù)”（如1，3，6，10…）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16…），在小于200的數(shù)中，設(shè)最大的“三角形數(shù)”為m，最大的“正方形數(shù)”為n，則m+n的值為（）A．33 B．301 C．386 D．571【答案】C【詳解】由圖形知第n個(gè)三角形數(shù)為1+2+3+…+n=，第n個(gè)正方形數(shù)為n2，當(dāng)n=19時(shí)，=190＜200，當(dāng)n=20時(shí)，=210＞200，所以最大的三角形數(shù)m=190；當(dāng)n=14時(shí)，n2=196＜200，當(dāng)n=15時(shí)，n2=225＞200，所以最大的正方形數(shù)n=196，則m+n=386，故選C．2．（2019·山東中考真題）已知有理數(shù)，我們把稱(chēng)為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，-1的差倒數(shù)是．如果，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)……依此類(lèi)推，那么的值是（）A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5【答案】A【詳解】解：∵，∴，，，……∴這個(gè)數(shù)列以-2，，依次循環(huán)，且，∵，∴，故選：A．3．（2019·湖北中考真題）觀察等式：；；已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：、、、、、．若，用含的式子表示這組數(shù)的和是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a＋2a＋22a＋…＋250a＝a＋(2＋22＋…＋250)a，∵，，，…，∴2＋22＋…＋250＝251－2，∴250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a＋(2＋22＋…＋250)a＝a＋(251－2)a＝a＋(2a－2)a＝2a2－a，故選C.4．（2018·重慶中考真題）下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個(gè)圖中有3張黑色正方形紙片，第②個(gè)圖中有5張黑色正方形紙片，第③個(gè)圖中有7張黑色正方形紙片，…，按此規(guī)律排列下去第⑥個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為（）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】B【詳解】觀察圖形知：第一個(gè)圖形有3個(gè)正方形，第二個(gè)有5=3+2×1個(gè)，第三個(gè)圖形有7=3+2×2個(gè)，…故第⑥個(gè)圖形有3+2×5=13（個(gè)），故選B．5．（2017·江蘇中考真題）如圖所示，一動(dòng)點(diǎn)從半徑為2的上的點(diǎn)出發(fā)，沿著射線方向運(yùn)動(dòng)到上的點(diǎn)處，再向左沿著與射線夾角為的方向運(yùn)動(dòng)到上的點(diǎn)處；接著又從點(diǎn)出發(fā)，沿著射線方向運(yùn)動(dòng)到上的點(diǎn)處，再向左沿著與射線夾角為的方向運(yùn)動(dòng)到上的點(diǎn)處；…按此規(guī)律運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，則點(diǎn)與點(diǎn)間的距離是()A．4 B． C． D．0【答案】A【詳解】根據(jù)題意可知每六次循環(huán)一次，可知2017÷6=331……1，所以第2017次為A1位置，由此可知其到A0的距離正好等于直徑的長(zhǎng)4.故選：A6．（2018·山東中考真題）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)（n）=3n+1；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，F(xiàn)（n）=（其中k是使F（n）為奇數(shù)的正整數(shù)）……，兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行，例如，取n=24，則：若n=13，則第2018次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（）A．1 B．4 C．2018 D．42018【答案】A【詳解】若n=13，第1次結(jié)果為：3n+1=40，第2次結(jié)果是：，第3次結(jié)果為：3n+1=16，第4次結(jié)果為：=1，第5次結(jié)果為：4，第6次結(jié)果為：1，…可以看出，從第四次開(kāi)始，結(jié)果就只是1，4兩個(gè)數(shù)輪流出現(xiàn)，且當(dāng)次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是1；次數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果是4，而2018次是偶數(shù)，因此最后結(jié)果是1，故選A．7．（2019·四川中考真題）如圖，過(guò)點(diǎn)作y軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線l的垂線，交y軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)，…，這樣依次下去，得到，，，…，其面積分別記為，，，…，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，∵點(diǎn)在直線上，∴，，∴，∴，∴，得出，∴，∴，，∵，∵，∴，∴，∴故選D．8．（2019·甘肅中考真題）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個(gè)圖形中共有_____個(gè)〇．【答案】6058【詳解】由圖可得，第1個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：，第2個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：，第3個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：，第4個(gè)圖象中〇的個(gè)數(shù)為：，……∴第2019個(gè)圖形中共有：個(gè)〇，故答案為：6058．9．（2019·山東中考真題）如圖，在以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形紙片中，將角折起，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）處，折痕是．如圖，當(dāng)時(shí)，；如圖，當(dāng)時(shí)，；如圖，當(dāng)時(shí)，；……依此類(lèi)推，當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)，_____．【答案】【詳解】觀察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，分母與勾股數(shù)有關(guān)系，分別是勾股數(shù)3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中間一個(gè)．∴.故答案為．10．（2019·貴州中考真題）將從1開(kāi)始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，例如位于第3行、第4列的數(shù)是12，則位于第45行、第8列的數(shù)是__________．【答案】2018【詳解】觀察圖表可知：第n行第一個(gè)數(shù)是n2，∴第45行第一個(gè)數(shù)是2025，∴第45行、第8列的數(shù)是2025﹣7=2018，故答案為2018．11．（2019·山東中考真題）觀察下列各式：，，，請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：，其結(jié)果為_(kāi)___．【答案】．【詳解】，故答案為：．12．（2019·浙江中考真題）砸“金蛋”游戲：把210個(gè)“金蛋”連續(xù)編號(hào)為1，2，3，…，210，接著把編號(hào)是3的整數(shù)倍的“金蛋”全部砸碎；然后將剩下的“金蛋”重新連續(xù)編號(hào)為1，2，3，…，接著把編號(hào)是3的整數(shù)倍的“金蛋”全部砸碎……按照這樣的方法操作，直到無(wú)編號(hào)是3的整數(shù)倍的“金蛋”為止．操作過(guò)程中砸碎編號(hào)是“66”的“金蛋”共_____個(gè)．【答案】3【詳解】∵，∴第一次砸碎3的倍數(shù)的金蛋個(gè)數(shù)為70個(gè)，剩下個(gè)金蛋，重新編號(hào)為1，2，3，…，140；∵，∴第二次砸碎3的倍數(shù)的金蛋個(gè)數(shù)為46個(gè)，剩下個(gè)金蛋，重新編號(hào)為1，2，3，…，94；∵，∴第三次砸碎3的倍數(shù)的金蛋個(gè)數(shù)為31個(gè)，剩下個(gè)金蛋，∵，∴砸三次后，就不再存在編號(hào)為66的金蛋，故操作過(guò)程中砸碎編號(hào)是“66”的“金蛋”共有3個(gè)．故答案為：3．13．（2018·湖北中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱(chēng)之為“楊輝三角”，從圖中取一列數(shù)：1，3，6，10，…，記，，，，…，那么的值是__________．【答案】11【詳解】由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=1+2+3+…+n=，∴a10==55、a11==66，則a4+a11-2a10+10=10+66-2×55+10=-24，故答案為-24．14．（2019·湖南中考真題）探索與發(fā)現(xiàn)：下面是用分?jǐn)?shù)（數(shù)字表示面積）砌成的“分?jǐn)?shù)墻”，則整面“分?jǐn)?shù)墻”的總面積是_____．【答案】n-1【詳解】由題意“分?jǐn)?shù)墻”的總面積，故答案為．15．（2017·湖北中考真題）觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第9個(gè)圖形中共有______個(gè)點(diǎn).【答案】135【詳解】仔細(xì)觀察圖形：第一個(gè)圖形有3=3×1=3個(gè)點(diǎn)，第二個(gè)圖形有3+6=3×（1+2）=9個(gè)點(diǎn)；第三個(gè)圖形有3+6+9=3×（1+2+3）=18個(gè)點(diǎn)；…第n個(gè)圖形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=個(gè)點(diǎn)；當(dāng)n=9時(shí)，=135個(gè)點(diǎn)，故答案為135．16．（2019·貴州中考真題）下面擺放的圖案，從第個(gè)起，每一個(gè)都是前一個(gè)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，第個(gè)圖案與第個(gè)至第個(gè)中的第___個(gè)箭頭方向相同（填序號(hào)）．【答案】3.【詳解】解：，故第個(gè)圖案中的指針指向與第個(gè)圖案相同，故答案為：17．（2018·浙江中考真題）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的規(guī)律，則a+b=_____.【答案】109【詳解】∵2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，10+=102×，∴a=10，b=102-1=99，∴a+b=10+99=109，故答案為109.18．（2019·山東中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，如圖所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，點(diǎn)，，，，…在直線上，點(diǎn)，，，,…在軸正半軸上，則前個(gè)正方形對(duì)角線的和是_____.【答案】【詳解】解：根據(jù)根據(jù)題意可得,,,所以可得正方形的對(duì)角線為正方形的對(duì)角線為正方形的對(duì)角線為正方形的對(duì)角線為正方形的對(duì)角線為所以前個(gè)正方形對(duì)角線的和為=故答案為.19．（2017·山東中考真題）某廣場(chǎng)用同一種如圖所示的地磚拼圖案.第一次拼成形如圖1所示的圖案，第二次拼成形如圖2所示的圖案，第三次拼成形如圖3的圖案，第四次拼成形如圖4的圖案……按照只有的規(guī)律進(jìn)行下去，第次拼成的圖案用地磚塊.【答案】2n2+2n【詳解】第一次拼成形如圖1所示的圖案共有4塊地磚，4=2×（1×2），第二拼成形如圖2所示的圖案共有12塊地磚，12=2×（2×3），第三次拼成形如圖3所示的圖案共有24塊地磚，24=2×（3×4），第四次拼成形如圖4所示的圖案共有40塊地磚，40=2×（4×5），…第n次拼成形如圖1所示的圖案共有2×n（n+1）=2n2+2n塊地磚，故答案為2n2+2n．20．（2019·湖北中考真題）將被3整除余數(shù)為1的正整數(shù)，按照下列規(guī)律排成一個(gè)三角形數(shù)陣則第20行第19個(gè)數(shù)是_____________________【答案】625【詳解】由圖可得，第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)，…，則前20行的數(shù)字有：1+2+3+…+19+20=210個(gè)數(shù)，∴第20行第20個(gè)數(shù)是：1+3（210-1）=628，∴第20行第19個(gè)數(shù)是：628-3=625，故答案為：625．21．（2019·西藏中考真題）觀察下列式子第個(gè)式子：第個(gè)式子：第個(gè)式子：……請(qǐng)寫(xiě)出第個(gè)式子：_____．【答案】．【詳解】第個(gè)式子：，即，第個(gè)式子：，即，第個(gè)式子：，即，……第個(gè)等式為：．故答案為．22．（2019·廣西中考真題），…，是一列數(shù)，已知第1個(gè)數(shù)，第5個(gè)數(shù)，且任意三個(gè)相鄰的數(shù)之和為15，則第2019個(gè)數(shù)的值是___．【答案】6．【詳解】解：由任意三個(gè)相鄰數(shù)之和都是15可知：，，，…，可以推出：，，，所以，則