2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第二十八講函數(shù)的概念表示和定義域（原卷版）

第二十八講：函數(shù)的概念，表示和定義域【教學(xué)目標(biāo)】1.在初中用變量之間的依賴(lài)關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫(huà)函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念；；3.會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)；4.能正確使用區(qū)間表示數(shù)集；5.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域．【基礎(chǔ)知識(shí)】一、函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}注意點(diǎn)：(1)A，B是非空的實(shí)數(shù)集；(2)定義域是非空的實(shí)數(shù)集A，但函數(shù)的值域不一定是非空實(shí)數(shù)集B，而是集合B的子集；(3)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)元素x，在非空實(shí)數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對(duì)應(yīng)．(4)函數(shù)符號(hào)“y＝f(x)”是數(shù)學(xué)符號(hào)之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖象或表格，或其他的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(5)除f(x)外，有時(shí)還用g(x)，u(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號(hào)表示函數(shù)．二、區(qū)間的概念設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：區(qū)間數(shù)軸表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)注意點(diǎn)：(1)區(qū)間只能表示連續(xù)的數(shù)集，開(kāi)閉不能混淆；(2)用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特別注意實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)的區(qū)別；(3)區(qū)間是實(shí)數(shù)集的一種表示形式，集合的運(yùn)算仍然成立；(4)∞是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)．三、簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域（1）偶次根號(hào)下大于等于0；（2）分母不為0；（3）.四、同一函數(shù)（1）定義域相同；（2）解析式一致；（3）值域相等.【題型目錄】考點(diǎn)一：函數(shù)關(guān)系考點(diǎn)二：函數(shù)的概念考點(diǎn)三：函數(shù)的表示考點(diǎn)四：函數(shù)值的求解考點(diǎn)五：已知函數(shù)值求參考點(diǎn)六：區(qū)間的表示考點(diǎn)七：同一函數(shù)考點(diǎn)八：具體函數(shù)求定義域考點(diǎn)九：抽象函數(shù)求定義域考點(diǎn)十：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題求定義域考點(diǎn)十一：考點(diǎn)十一：已知定義域求參【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)關(guān)系變量之間存在固定的公式變化，且一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即為函數(shù)關(guān)系。例1．下列變量間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是（） A．勻速航行的輪船在2小時(shí)內(nèi)航行的路程 B．某地蔬菜的價(jià)格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系 C．正方形的面積S與其邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系 D．光照時(shí)間和蘋(píng)果的畝產(chǎn)量變式訓(xùn)練1．下列變量之間是函數(shù)關(guān)系的是（） A．某十字路口通過(guò)汽車(chē)的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系 B．家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間的關(guān)系 C．高速公路上行駛的汽車(chē)所行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系 D．某同學(xué)期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系變式訓(xùn)練2．下列變量間為函數(shù)關(guān)系的是（） A．勻速行駛的客車(chē)在2小時(shí)內(nèi)行駛的路程 B．某地蔬菜的價(jià)格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系 C．一只60瓦的白熾燈在7小時(shí)內(nèi)的耗電量與時(shí)間t的關(guān)系 D．生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系考點(diǎn)二：函數(shù)的概念兩個(gè)集合為非空集合，且必須滿(mǎn)足一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.例2．已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．1859年中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”翻譯成“函數(shù)”，沿用至今，書(shū)中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，1930年美國(guó)人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義.現(xiàn)給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，請(qǐng)由函數(shù)的定義判斷，其中能構(gòu)成從A到B的函數(shù)的是（） A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④變式訓(xùn)練2．設(shè)集合，.下列四個(gè)圖象中能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（） A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)變式訓(xùn)練3．函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則圖像可能是（） A． B． C． D．考點(diǎn)三：函數(shù)的表示函數(shù)的表示方法：列表法，圖象法，解析式法例3．下列表示關(guān)于的函數(shù)的是（） A． B． C． D．x1234y00－611變式訓(xùn)練1．下表給出了x與和的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)表格可知的值為（）x1234x123431424321 A．1 B．2 C．3 D．4變式訓(xùn)練2．下列四個(gè)式子中，是的函數(shù)的是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．下列圖形能表示函數(shù)的圖象的是（） A． B． C． D．考點(diǎn)四：函數(shù)值的求解直接代入法求解函數(shù)值例4．已知，則（） A．2 B．0 C．1 D．4變式訓(xùn)練1．若，則__________．變式訓(xùn)練2．已知函數(shù)，則的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5變式訓(xùn)練3．已知，且，則（） A． B．10 C．9 D．11考點(diǎn)五：已知函數(shù)值求參帶入解析式，化簡(jiǎn)求解，注意根是否可以取值例5．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)＝________.變式訓(xùn)練1．（多選）已知函數(shù)，分別由下表給出：則方程的解可以表示為（）123434124323 A．1 B．2 C．3 D．4變式訓(xùn)練2．若集合，，其中，，.是從定義域到值域的一個(gè)函數(shù)，則的值為（） A． B．或 C． D．變式訓(xùn)練3．若函數(shù)，則_________．考點(diǎn)六：區(qū)間的表示例6．一般區(qū)間的表示設(shè)，且，規(guī)定如下:定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間______開(kāi)區(qū)間______半開(kāi)半閉區(qū)間______半開(kāi)半閉區(qū)間______變式訓(xùn)練1．用區(qū)間的方法表示下列集合：表示為_(kāi)____________；或?yàn)開(kāi)____________.變式訓(xùn)練2．區(qū)間及相關(guān)概念（1）區(qū)間的概念及記法設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且，我們規(guī)定：定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間_____開(kāi)區(qū)間_____半閉半開(kāi)區(qū)間_____半開(kāi)半閉區(qū)間_____（2）無(wú)窮大實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為_(kāi)__________，“”讀作“無(wú)窮大”，“”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“”讀作“正無(wú)窮大”．（3）特殊區(qū)間的表示定義區(qū)間數(shù)軸表示____________________考點(diǎn)七：同一函數(shù)同一函數(shù)要求：定義域相同，解析式一致，值域相等.例7．（多選）下列各組函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（） A．與 B．與 C．與 D．與變式訓(xùn)練1．（多選）與表示同一個(gè)函數(shù)的是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練2．（多選）下列各組函數(shù)中的與相等的有（） A．與 B．與 C．與 D．與變式訓(xùn)練3．（多選）下列的函數(shù)與表示的是同一個(gè)函數(shù)的是（） A．， B．， C．， D．，考點(diǎn)八：具體函數(shù)求定義域具體函數(shù)求解析式方法：（1）偶次根號(hào)下大于等于零；（2）分布不為零；（3）.例8．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A．且 B． C． D．且變式訓(xùn)練1．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A． B． C． D．變式訓(xùn)練2．已知集合，，則（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．函數(shù)的定義域是（） A． B． C． D．考點(diǎn)九：抽象函數(shù)求定義域抽象函數(shù)的定義域：（1）定義域單指的范圍；（2）內(nèi)的范圍相同.例9．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A． B． C． D．變式訓(xùn)練2．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（） A． B． C． D．考點(diǎn)十：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題求定義域例10．已知矩形的周長(zhǎng)為1，它的面積S與矩形的一條邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系中，定義域?yàn)椋ǎ?A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．已知矩形的周長(zhǎng)為定值，設(shè)它的一條邊長(zhǎng)為，則矩形面積的函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A． B． C． D．變式訓(xùn)練2．已知等腰三角形的周長(zhǎng)為40，設(shè)其底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為；則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長(zhǎng)為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為_(kāi)_____.考點(diǎn)十一：已知定義域求參根據(jù)定義域的范圍，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，然后進(jìn)行參數(shù)范圍的求解.例11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?求實(shí)數(shù)的取值范圍（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練2．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．“”是“函數(shù)的定義域?yàn)镽”的（） A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【課堂小結(jié)】1．知識(shí)清單：(1)函數(shù)的概念；(2)函數(shù)的三要素；(3)區(qū)間的表示；(4)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和求值；(5)判斷是否為同一個(gè)函數(shù)；(6)求抽象函數(shù)的定義域．2．方法歸納：定義法，圖象法，整體代換．3．常見(jiàn)誤區(qū)：函數(shù)概念的理解，整體代換的思想求抽象函數(shù)的定義域．【課后作業(yè)】1．下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（） A． B． C． D．2．下列四個(gè)圖形中，不是函數(shù)圖象的是（） A． B． C． D．3．（多選）以下從M到N的對(duì)應(yīng)關(guān)系表示函數(shù)的是（） A． B． C． D．5．中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書(shū)中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.已知集合，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（） A． B． C． D．6．已知函數(shù)，那么的值（） A．3 B．5 C．7 D.7．若集合，，則從集合到集合的不同映射的個(gè)數(shù)是（） A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?A． B． C． D．9．設(shè)集合，，則（） A． B． C． D．10．已知函數(shù)的定義域，值域，則（）． A． B． C． D．11．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋ǎ?A． B． C． D．12．已知函數(shù)，分別由下表給出：x123231x123321則方程的解為_(kāi)_______