專題1.2 三角形的高、中線、角平分線【七大題型】（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題1.2三角形的高、中線、角平分線【七大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形的高、中線、角平分線的概念辨析】 1【題型2畫三角形的高】 2【題型3“同高底共線”三角形的有關(guān)計算】 3【題型4根據(jù)網(wǎng)格求三角形的面積】 4【題型5應(yīng)用三角形的中線等分面積解決問題】 6【題型6三角形的中線與周長的計算】 7【題型7三角形邊、角、線有關(guān)的探究題】 7【知識點三角形的角平分線、中線和高】(1)從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．【題型1三角形的高、中線、角平分線的概念辨析】【例1】（2023春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD，AE，AF分別是△ABC的中線、角平分線、高線，下列結(jié)論中錯誤的是（

）

A．CD=12BCC．∠C+∠CAF=90° D．AE=AC【變式1-1】（2023春·八年級單元測試）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和AB邊上的高線C．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、AB邊上的中線和高線【變式1-2】（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）下列說法中，正確的個數(shù)是（

）①三角形的三條高線交于一點；②三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點；③直角三角形只有一條高；④三角形三個內(nèi)角的角平分線交于一點．A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，∠1=∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于點E，F(xiàn)為AB上一點，且CF⊥AD于點H，下列判斷中，正確的個數(shù)是（

）①BG是△ABD的邊AD上的中線；②AD既是△ABC的角平分線，也是△ABE的角平分線；③CH既是△ACD的邊AD上的高，也是△ACH的邊AH上的高．A．0 B．1 C．2 D．3【題型2畫三角形的高】【例2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠A是鈍角，下列圖中畫BC邊上的高線正確的是（

）

B．

C．

D．

【變式2-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D所示，△ABC中AB邊上的高是（

）

A．BD B．AE C．BE D．CF【變式2-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A． B． C．D．【變式2-3】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，AD⊥BC，EC⊥BC，CF⊥AB，點D，C，F(xiàn)是垂足，下列說法錯誤的是（

）A．△ABD中，AD是BD邊上的高 B．△ABD中，EC是BD邊上的高C．△CEB中，EC是BC邊上的高 D．△CEB中，F(xiàn)C是BE邊上的高【題型3“同高底共線”三角形的有關(guān)計算】【例3】（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)校考期末）如圖，在△ABC中，D為AC上一點，E為AB上一點，BE=2AE，連接BD，CE交于點F．若S△BEF=S△DFC，S△ABC=18

A．3 B．6 C．9 D．12【變式3-1】（2023春·八年級單元測試）如圖，AD∥BC，△ABD的面積等于4，AD=2，BC=6，則△DCB的面積是【變式3-2】（2023春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，△ABC中，點D為AC邊上一點，滿足AD=3DC，連接BD，點E為BD中點，連接AE，若△AED的面積是3，則△ABC的面積是________．

【變式3-3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在三角形ABC中，AC=3AE，三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍，則陰影部分的面積占三角形ABC面積的______．【題型4根據(jù)網(wǎng)格求三角形的面積】【例4】（2023·北京昌平·二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，正方形網(wǎng)格邊長為1，點A，B，C均在格點上，則S△ABC=_________【變式4-1】（2023春·北京·八年級北京四中?？茧A段練習(xí)）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△ABC的面積__△DEF的面積．（填“＞”，“＝”或“＜”）．【變式4-2】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）畫圖題：在6×8的正方形網(wǎng)格上，完成下列問題．(1)已知圖1中△ABC各頂點都在網(wǎng)格格點上，過點A作BC邊上的中線AD．(2)在圖2中畫出面積是2的鈍角△AEF，各頂點都在格點上（畫出一種即可）．(3)在圖1中，若AC=5，直接寫出B點到AC的距離．【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┮阎簣D1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1．格中各有一個完全相同的三角形，請在圖1、圖2分別畫一條直線，滿足以下要求（1）直線與三角形的交點要經(jīng)過網(wǎng)格的格點（每個小正方形的頂點均為格點）（2）在圖1、圖2中分別用不同的方法將三角形分成兩個圖形其中一個是三角形另一個是四邊形，分割后的三角形的面積記為S1，四邊形的面積為S2，且【題型5應(yīng)用三角形的中線等分面積解決問題】【例5】（2023春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期中）如圖，BD是△ABC的中線，點E，F(xiàn)分別為BD，CE的中點，若△ABC的面積為12．則△AEF的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．6【變式5-1】（2023春·八年級單元測試）如圖，△ABC的中線AD、BE相交于點(1)圖中與△ABE面積相等是三角形有____個（不含△ABE）；(2)若△ABF的面積是4cm2，求四邊形【變式5-2】（2023春·上海·八年級假期作業(yè)）如圖，把△ABC的三邊BA、CB和AC分別向外延長一倍，將得到的點A'、B'、C'順次連接成△A'【變式5-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，AP1為△ABC的中線，△ABP1的面積記為S1；AP2為△AP1C的中線，△AP1P2的面積記為S2；AP3為△AP2C的中線，A．S-S2n-1 B．S-S2n【題型6三角形的中線與周長的計算】【例6】（人教版（2012）八年級上冊第十一章三角形檢測卷）如圖，△ABC的周長為27，AC=9，BC邊上的中線AE=6，△ABE的周長為19，求AB的長．

【變式6-1】（陜西省西安市曲江第一中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，BC邊上的中線AD將△ABC分成的兩個新三角形的周長差為5cm，AB與AC的和為11cm，則AC的長為【變式6-2】（云南省昆明市官渡區(qū)2020-2021學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知△ABC的周長為37cm，AD是BC邊上的中線，AC=2（1）如圖，當(dāng)AB=15cm時，求BD的長．（2）若AC=14cm，能否求出DC的長？為什么？【變式6-3】（廣東省廣州市南沙區(qū)實驗外語學(xué)校2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．【題型7三角形邊、角、線有關(guān)的探究題】【例7】（2023春·廣東廣州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的角平分線．DE∥AC，DE交AB于點E，DF∥AB，DF交AC于點F，圖中【變式7-1】（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，（1）請問DG與AB平行嗎？為什么？（2）若DG是∠ADC的角平分線，∠1＝30°，求∠B的度數(shù)．【變式7-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．（1）DE，DF，CG的長之間的等量關(guān)系是________；