人教A版高中數(shù)學(選擇性必修第一冊)同步講義第23講 2.5.2圓與圓的位置關(guān)系（原卷版）

第10講2.5.2圓與圓的位置關(guān)系課程標準學習目標①掌握兩圓位置關(guān)系的判定的代數(shù)方法與幾何方法。②會應用兩圓的位置關(guān)系求與兩圓有關(guān)的幾何量問題。通過本節(jié)課的學習，會判斷兩圓的位置關(guān)系，會求與兩圓位置有關(guān)的點的坐標、公共弦長及公共弦所在的直線方程，能求與兩圓位置關(guān)系相關(guān)的綜合問題.知識點01：圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓相交，有兩個公共點；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個公共點；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點.圖象位置關(guān)系圖象位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、圓與圓的位置關(guān)系的判定2.1幾何法設(shè)SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，兩圓的圓心距為SKIPIF1<0.①當SKIPIF1<0時，兩圓相交；②當SKIPIF1<0時，兩圓外切；③當SKIPIF1<0時，兩圓外離；④當SKIPIF1<0時，兩圓內(nèi)切；⑤當SKIPIF1<0時，兩圓內(nèi)含.2.2代數(shù)法設(shè)SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0:SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0消去“SKIPIF1<0”得到關(guān)于“SKIPIF1<0”的一元二次方程SKIPIF1<0，求出其SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與設(shè)設(shè)SKIPIF1<0相交②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與設(shè)設(shè)SKIPIF1<0相切（內(nèi)切或外切）③SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與設(shè)設(shè)SKIPIF1<0相離（內(nèi)含或外離）【即學即練1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）圓O：SKIPIF1<0與圓C:SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【詳解】圓SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心，半徑SKIPIF1<0的圓，圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0改寫成標準方程為SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心，半徑SKIPIF1<0的圓，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=3，所以兩圓外切，故選：SKIPIF1<0.知識點02：圓與圓的公共弦1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設(shè)SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0:SKIPIF1<0聯(lián)立作差得到：SKIPIF1<0即為兩圓共線方程3、公共弦長的求法代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．【即學即練2】（2022秋·高二課時練習）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，求兩圓的公共弦所在的直線方程（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】將兩個圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.知識點03：圓與圓的公切線1、公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．2、公切線的方程核心技巧：利用圓心到切線的距離SKIPIF1<0求解【即學即練3】（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑為5；圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑為3，所以兩圓的圓心距為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.知識點04：圓系方程(1)以SKIPIF1<0為圓心的同心圓圓系方程：SKIPIF1<0；(2)與圓SKIPIF1<0同心圓的圓系方程為SKIPIF1<0；(3)過直線與圓SKIPIF1<0交點的圓系方程為SKIPIF1<04過兩圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交點的圓系方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，此時圓系不含圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0）特別地，當SKIPIF1<0時，上述方程為一次方程.兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.【即學即練4】（2022秋·高二單元測試）求過兩圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的交點，且圓心在直線SKIPIF1<0上的圓的方程.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)圓的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圓心坐標為SKIPIF1<0，把圓心坐標SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求圓的方程為SKIPIF1<0．題型01判斷圓與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習）圓O：SKIPIF1<0與圓C:SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【典例3】（多選）（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中?？茧A段練習）已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切B．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切C．直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長為2D．若SKIPIF1<0分別為圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0上一點，則SKIPIF1<0的最大值為10【變式1】（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為（

）．A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離題型02求兩圓交點坐標【典例1】（2022·高二課前預習）圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的交點坐標為（

）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【典例2】（2022秋·貴州遵義·高二遵義一中?？茧A段練習）圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則線段SKIPIF1<0的垂直平分線的方程是______.【變式1】（2023秋·青海西寧·高二?？计谀﹫ASKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點坐標為______.【變式2】（2022·高二課時練習）圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的交點坐標為___________.題型03由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)【典例1】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有公共點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎獌蓤ASKIPIF1<0和SKIPIF1<0恰有三條公切線，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中學?？既＃┤魣ASKIPIF1<0和SKIPIF1<0有且僅有一條公切線，則SKIPIF1<0______；此公切線的方程為______【變式1】（2023秋·高二課時練習）若兩圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0相交，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【變式2】（2023秋·高一單元測試）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，則SKIPIF1<0的最小值為_______題型04由圓與圓的位置關(guān)系確定圓的方程【典例1】（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0的方程為__________.【典例2】（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預測）已知圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圓心都在坐標原點，半徑分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0．若圓SKIPIF1<0的圓心在SKIPIF1<0軸正半軸上，且與圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均內(nèi)切，則圓C的標準方程為_________．【典例3】（2023春·江西宜春·高二統(tǒng)考階段練習）已知圓SKIPIF1<0(1)若直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，且與圓SKIPIF1<0相切，求直線SKIPIF1<0的方程；(2)若圓SKIPIF1<0的半徑為3，圓心在直線SKIPIF1<0上，且與圓SKIPIF1<0外切，求圓SKIPIF1<0的方程．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）經(jīng)過點SKIPIF1<0以及圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的圓的方程為______．【變式2】（2023·高二課時練習）已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，求過兩圓交點，且面積最小的圓的方程．題型05相交圓的公共弦方程【典例1】（2023·河南·統(tǒng)考二模）若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦SKIPIF1<0的長為1，則直線SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，切點為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0最小時，直線SKIPIF1<0的方程為__________.【變式1】（2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0過圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.【變式2】（2023·天津和平·耀華中學?？级＃﹫ASKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在的直線方程為______．題型06兩圓的公共弦長【典例1】（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若兩圓相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0______【典例2】（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）已知兩圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)SKIPIF1<0取何值時兩圓外切？(2)當SKIPIF1<0時，求兩圓的公共弦所在直線SKIPIF1<0的方程和公共弦的長．【變式1】（2023春·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有兩個公共點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·浙江·高三專題練習）已知圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點.若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為___________.題型07圓的公切線條數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習）圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【典例3】（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有兩條公共的切線，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中學校考開學考試）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恰好有4條公切線，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有且僅有3條公切線，則SKIPIF1<0=（

）A．14 B．28 C．9 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023秋·上海楊浦·高二復旦附中校考期末）兩個圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恰有三條公切線，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．－6【變式3】（2023·全國·模擬預測）已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，則同時與圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0相切的直線有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．0條【變式4】（2023春·青海西寧·高二校考開學考試）圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公切線條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型08圓的公切線方程【典例1】（多選）（2023·高二課時練習）已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，則下列是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩圓公切線的直線方程為（

）A．y＝0 B．3x－4y＝0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有兩條公切線，則滿足題意的一個SKIPIF1<0的取值為____；此時公切線的方程為__________.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）寫出與圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0都相切的一條直線的方程___________.【變式1】（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相內(nèi)切，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公切線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考模擬預測）寫出與圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0都相切的一條直線的方程___________.題型09圓的公切線長【典例1】（2022秋·廣東云浮·高二?？计谥校┮阎獔ASKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.(1)判斷圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.(2)求兩圓的公切線長.【變式1】（2022·高二課時練習）求圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的內(nèi)公切線所在直線方程及內(nèi)公切線的長．A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中學?？茧A段練習）設(shè)圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于A，B兩點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023秋·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）與兩圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的直線有（

）條A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谀┮阎獔ASKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有兩個交點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023秋·高一單元測試）已知點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的一點，過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線，則切線長的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知點P為直線SKIPIF1<0上的一點，M，N分別為圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．17．（2023·全國·高三專題練習）圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023秋·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的一點，過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線，切點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0最小時，直線SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2023秋·高一單元測試）點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，則（

）A．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0C．兩個圓心所在的直線斜率為SKIPIF1<0D．兩個圓公共弦所在直線的方程為SKIPIF1<010．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中?？茧A段練習）已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切B．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切C．直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長為2D．若SKIPIF1<0分別為圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0上一點，則SKIPIF1<0的最大值為10三、填空題11．（2023秋·高一單元測試）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，則SKIPIF1<0的最小值為_______12．（2023·天津·高三專題練習）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，此時直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截的弦長為__________．四、解答題13．（2023秋·高二課時練習）如圖，已知點A、B的坐標分別是SKIPIF1<0，點C為線段AB上任一點，P、Q分別以AC和BC為直徑的兩圓SKIPIF1<0的外公切線的切點，求線段PQ的中點的軌跡方程.

14．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0(1)求證：圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；(3)求經(jīng)過兩圓交點，且圓心在直線SKIPIF1<0上的圓的方程．B能力提升1．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）已知圓SKIPIF1<0和兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若圓C上至少存在一點P，使得SKIPIF1<0，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·浙江嘉興·?？寄M預測）已知動直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交所得的弦長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值與最小值之差為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．23．（2023·北京通州·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系內(nèi)，點O是坐標原點，動點B，C滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A為線段SKIPIF1<0中點，P為圓SKIPIF1<0任意一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF