人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊(cè))同步講義第36講 拓展五：圓錐曲線的方程（定值問題）（含解析）

第11講拓展五：圓錐曲線的方程（定值問題）一、知識(shí)點(diǎn)歸納在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值、角度等基本量與參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為③定值問題．對(duì)學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高,這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。常考題型：①與面積有關(guān)的定值問題；②與角度有關(guān)的定值問題；③與比值有關(guān)的定值問題；④與參數(shù)有關(guān)的定值問題；⑤與斜率有關(guān)的定值問題二、題型精講題型01圓錐曲線中的定點(diǎn)問題【典例1】（2023春·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，右頂點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判斷直線SKIPIF1<0是否經(jīng)過定點(diǎn)并說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點(diǎn)SKIPIF1<0,理由見解析【詳解】（1）由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）直線經(jīng)過定點(diǎn)SKIPIF1<0,理由如下，

若直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，則將直線方程代入橢圓方程消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，過定點(diǎn)SKIPIF1<0，不合題意，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，過定點(diǎn)SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0的斜率不存在，設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，顯然過點(diǎn)SKIPIF1<0綜上，直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點(diǎn)SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)為SKIPIF1<0.橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0并且與直線SKIPIF1<0相切.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)斜率存在且不為0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)（異于點(diǎn)SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0.則直線SKIPIF1<0是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請(qǐng)說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直線恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0.【詳解】（1）由題意可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為：SKIPIF1<0；

（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，由題意設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），即SKIPIF1<0時(shí)，不論SKIPIF1<0為何值都符合SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則直線恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0.

【典例3】（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的右頂點(diǎn)，且直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析，定點(diǎn)SKIPIF1<0．【詳解】（1）根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0．【典例4】（2023春·廣東佛山·高二石門中學(xué)校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0在第一象限上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0．(1)求拋物線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且以SKIPIF1<0為直徑的圓過點(diǎn)SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0軸，SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以拋物線方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且以SKIPIF1<0為直徑的圓過點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0恒過點(diǎn)SKIPIF1<0．

【變式1】（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：SKIPIF1<0經(jīng)過圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心，C的左焦點(diǎn)F到圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)的距離的最小值為SKIPIF1<0．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)F作斜率之積為－1的兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與C相交于A，B兩點(diǎn)，SKIPIF1<0與C相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，問：直線PQ是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，試說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直線PQ過定點(diǎn)SKIPIF1<0．【詳解】（1）圓SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入橢圓方程得SKIPIF1<0．設(shè)C的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（－c，0），則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）直線PQ過定點(diǎn)SKIPIF1<0，理由如下．由（1）知SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之積為－1，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率存在且不為0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)．設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．將點(diǎn)P坐標(biāo)中的k換成SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解得SKIPIF1<0，此時(shí)直線PQ的方程為SKIPIF1<0，恒過x軸上的點(diǎn)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直線PQ過定點(diǎn)SKIPIF1<0．綜上所述，直線PQ過定點(diǎn)SKIPIF1<0．【變式2】（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的離心率為SKIPIF1<0，右頂點(diǎn)SKIPIF1<0到漸近線的距離等于SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程.(2)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意，取漸近線SKIPIF1<0，右頂點(diǎn)SKIPIF1<0到該漸近線的距離SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）由題意知直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0的方程聯(lián)立，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0（顯然此時(shí)SKIPIF1<0），同理得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，過定點(diǎn)SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0的斜率不存在，易知直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，過左焦點(diǎn)SKIPIF1<0.綜上，直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0.

【變式3】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，SKIPIF1<0的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且SKIPIF1<0的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若SKIPIF1<0所在直線l的方程為SKIPIF1<0．(1)求拋物線S的方程；(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線S上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0．試說明動(dòng)直線SKIPIF1<0是否過定點(diǎn)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)過定點(diǎn)SKIPIF1<0【詳解】（1）解：設(shè)拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的重心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）解：當(dāng)動(dòng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以動(dòng)直線的方程為SKIPIF1<0，此時(shí)動(dòng)直線SKIPIF1<0恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0.當(dāng)動(dòng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，顯然SKIPIF1<0軸，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等腰直角三角形，由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，此時(shí)直線SKIPIF1<0也過定點(diǎn)SKIPIF1<0，綜上可得，動(dòng)直線SKIPIF1<0恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0.題型02圓錐曲線中的定值問題【典例1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0滿足直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，討論：直線SKIPIF1<0的斜率與直線SKIPIF1<0的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)是定值，0【詳解】（1）因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0.（2）直線SKIPIF1<0，代入橢圓SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由于直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，由于點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0SKIPIF1<0故直線SKIPIF1<0的斜率與直線SKIPIF1<0的斜率之和為0.

【典例2】（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，記點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0恰有一個(gè)共點(diǎn)，且SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，因?yàn)榫€段SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由雙曲線的定義可知，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的雙曲線，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．

（2）設(shè)直線斜率為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0恰有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.不直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.同理可求SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)樵c(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，又漸近線方程為：SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的面積為定值，且定值為SKIPIF1<0.

【典例3】（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作射線SKIPIF1<0（點(diǎn)SKIPIF1<0位于直線SKIPIF1<0的右側(cè)）使得SKIPIF1<0，設(shè)線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0.(1)求動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)SKIPIF1<0的兩條射線分別與曲線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，請(qǐng)判斷直線SKIPIF1<0的斜率是否為定值以及其是否過定點(diǎn)，若斜率為定值，請(qǐng)計(jì)算出定值；若過定點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算出定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)是，定值1；定點(diǎn)SKIPIF1<0.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，由此可得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，可得點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，再結(jié)合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方程可得：SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，根據(jù)韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，結(jié)合條件可得：SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，結(jié)合直線SKIPIF1<0的方程可化簡(jiǎn)為：SKIPIF1<0，代入韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，通過分解因式可得SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0的斜率為定值SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）已知直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，過SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0的直線交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.(1)求曲線SKIPIF1<0的方程(2)設(shè)曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0.請(qǐng)判斷SKIPIF1<0的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)是，8【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0,

因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的垂直平分線，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡即曲線SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0的面積是定值，理由如下：

由題意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0的斜率不為0，可設(shè)直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，所以設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0的面積是定值，為SKIPIF1<0.【變式2】（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，其中點(diǎn)SKIPIF1<0為右焦點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作雙曲線漸近線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線SKIPIF1<0，在直線SKIPIF1<0上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0與雙曲線相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求證點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是定值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）解：由雙曲線SKIPIF1<0，可得焦點(diǎn)SKIPIF1<0，其中一條漸近線方程為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到漸近線的距離為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）解：由雙曲線SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由題意，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，可設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由點(diǎn)SKIPIF1<0共線，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.即點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為定值.

【變式3】（2023春·廣東·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點(diǎn)F為拋物線C：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為SKIPIF1<0的直線與C交于A，B兩點(diǎn)SKIPIF1<0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0作兩條斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，它們分別與拋物線C交于點(diǎn)P，Q和R，S.已知SKIPIF1<0，問：是否存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值?若存在，求SKIPIF1<0的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，SKIPIF1<0.【詳解】（1）拋物線C：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以拋物線C的方程為SKIPIF1<0.

（2）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值.依題意，直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值0.題型03圓錐曲線中的定直線問題【典例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程．(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），記直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，試問點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)點(diǎn)M在定直線SKIPIF1<0上【詳解】（1）設(shè)橢圓E的方程為SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故橢圓E的方程為SKIPIF1<0．（2）依題可設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線AP的方程為SKIPIF1<0，直線BQ的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0.故點(diǎn)M在定直線SKIPIF1<0上．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：SKIPIF1<0，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)l經(jīng)過C的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.(1)求C的方程；(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【詳解】（1）由已知C：SKIPIF1<0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，焦點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C：SKIPIF1<0.（2）設(shè)l的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.與雙曲線方程聯(lián)立得：SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②由①②得：SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，故存在定直線l：SKIPIF1<0滿足條件.【典例3】（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形對(duì)于拋物線SKIPIF1<0給出如下三個(gè)條件：?①焦點(diǎn)為SKIPIF1<0②準(zhǔn)線為SKIPIF1<0③與直線SKIPIF1<0相交所得弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0．(1)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0(2)已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中拋物線的阿基米德三角形，點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0在弦SKIPIF1<0兩端點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)，若直線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，試判斷點(diǎn)SKIPIF1<0是否在一條定直線上SKIPIF1<0如果是，求出定直線方程SKIPIF1<0如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上【詳解】（1）SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0，若選①，SKIPIF1<0拋物線方程為SKIPIF1<0，選②，由準(zhǔn)線為SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以拋物線方程為SKIPIF1<0.選③，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以拋物線方程為SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A，B為橢圓SKIPIF1<0左右兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)F是右焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．(1)求橢圓的方程．(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，直線CD與橢圓交于另一點(diǎn)E，判斷直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線SKIPIF1<0上【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴橢圓的方程為SKIPIF1<0．（2）由題設(shè)，直線DE斜率一定存在，設(shè)SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0．聯(lián)立橢圓方程，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴直線AD的方程為SKIPIF1<0，直線BE的方程為SKIPIF1<0．聯(lián)立得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線SKIPIF1<0上．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，其左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的左支上不同于SKIPIF1<