2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學模擬試題理

第4頁共10頁2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）理科數(shù)學選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。已知集合，則（）

A． B．C． D．，∴，，選A如圖，正方形內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）

A． B． C． D．設正方形邊長為，則圓半徑為,則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為,則此點取自黑色部分的概率為故選B設有下面四個命題（）

：若復數(shù)滿足，則；：若復數(shù)滿足，則；

：若復數(shù)滿足，則；：若復數(shù)，則．

A．B． C． D．設，則，得到，所以.故正確；

若，滿足，而，不滿足，故不正確；

若，，則，滿足，而它們實部不相等，不是共軛復數(shù)，故不正確；

實數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故正確；記為等差數(shù)列的前項和，若，則的公差為（）

A．1 B．2 C．4 D．8

聯(lián)立求得得,選C函數(shù)在單調遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）

A． B． C． D．因為為奇函數(shù)，所以，于是等價于|

又在單調遞減故選D展開式中的系數(shù)為

A． B． C． D．對的項系數(shù)為

對的項系數(shù)為，∴的系數(shù)為故選C某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個面中有若干是梯形，這些梯形的面積之和為

A． B．C．D．由三視圖可畫出立體圖,該立體圖平面內只有兩個相同的梯形的面

,故選B右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)，那么在和兩個空白框中，可以分別填入

A．和 B．和

C．和 D．和因為要求大于1000時輸出，且框圖中在“否”時輸出

∴“”中不能輸入

排除A、B

又要求為偶數(shù)，且初始值為0，

“”中依次加2可保證其為偶故選D已知曲線，，則下面結論正確的是（）A．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線，

首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導公式處理．

．橫坐標變換需將變成，

即

．

注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號外面，這時平移至，

根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．已知為拋物線：的交點，過作兩條互相垂直，，直線與交于、兩點，直線與交于，兩點，的最小值為（）

A． B．C． D．

設傾斜角為．作垂直準線，垂直軸易知

同理，

又與垂直，即的傾斜角為

而，即．

，當取等號即最小值為，故選A設，，為正數(shù)，且，則（）

A． B． C． D．取對數(shù)：.則，故選D幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件，為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，在接下來的三項式，，，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項和為的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（）

A． B． C． D．設首項為第1組，接下來兩項為第2組，再接下來三項為第3組，以此類推．

設第組的項數(shù)為，則組的項數(shù)和為

由題，，令→且，即出現(xiàn)在第13組之后

第組的和為,組總共的和為

若要使前項和為2的整數(shù)冪，則項的和應與互為相反數(shù)

即,,→則填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知向量，的夾角為，，，則________

∴設，滿足約束條件，則的最小值為_______．不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由得，求的最小值，即求直線的縱截距的最大值

當直線過圖中點時，縱截距最大.由解得點坐標為，此時已知雙曲線，（，）的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為_______．如圖，，,∵，∴，∴又∵，∴，解得∴如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，、、為元上的點，，，分別是一，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱錐．當?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_______．由題，連接，交與點，由題，，即的長度與的長度或成正比

設，則，三棱錐的高

則

令，，

令，即，則則

體積最大值為的內角，，的對邊分別為，，，已知的面積為．

（1）求；（2）若，，求的周長．本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎知識的綜合應用.

（1）面積.且

由正弦定理得，由得.

（2）由（1）得，

又

，，由余弦定理得①

由正弦定理得，②

由①②得，即周長為（12分）如圖，在四棱錐中，中，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．（1）證明：∵∴，

又∵，∴又∵，、平面

∴平面，又平面∴平面平面

（2）取中點，中點，連接，∵

∴四邊形為平行四邊形∴

由（1）知，平面

∴平面，又、平面∴，

又∵，∴∴、、兩兩垂直

∴以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

設，∴、、、，

∴、、

設為平面的法向量由，得

令，則，，可得平面的一個法向量

∵，∴又知平面，平面

∴，又∴平面

即是平面的一個法向量，∴

由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為

為了抽檢某種零件的一條生產線的生產過程，實驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產經(jīng)驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布．

（1）假設生產狀態(tài)正常，記表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學期望；

（2）一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．

（I）試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性：

（II）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．

用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查，剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到）．

附：若隨機變量服從正態(tài)分布,則．

，．（1）由題可知尺寸落在之內的概率為，落在之外的概率為．

由題可知

（2）（i）尺寸落在之外的概率為，由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產過程的方法合理．

（ii）

，需對當天的生產過程檢查．

因此剔除

剔除數(shù)據(jù)之后：．

已知橢圓：，四點，，，中恰有三點在橢圓上．

（1）求的方程；

（2）設直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點，若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點．（1）根據(jù)橢圓對稱性，必過、又橫坐標為1，橢圓必不過，所以過三點

將代入橢圓方程得，解得，

∴橢圓的方程為：．

（2）當斜率不存在時，設

得，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足．

當斜率存在時，設

聯(lián)立，整理得

，則

又，此時，存在使得成立．∴直線的方程為,當時，,所以過定點．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．（1）由于

故

當時，，．從而恒成立．

在上單調遞減

當時，令，從而，得．單調減極小值單調增綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增（2）由（1）知，當時，在上單調減，故在上至多一個零點，不滿足條件．

當時，．令．

令，則．從而在上單調增，而．故當時，．當時．當時

若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件．

若，則，故僅有一個實根，不滿足條件．

若，則，注意到．．

故在上有一個實根，而又．

且．

故在上有一個實根．

又在上單調減，在單調增，故在上至多兩個實根．

又在及上均至少有一個實數(shù)根，故在上恰有兩個實根．

綜上，．[選修4-4：坐標系與參考方程]

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）若，求與的交點坐標；（2）若上的點到距離的最大值為，求．（1）時，直線的方程為．曲線的標準方程是，

聯(lián)立方程，解得：或，則與交點坐標是和

（2）直線一般式方程是．設曲線上點．

則