2022年福建省廈門市翔安區(qū)初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷

2022年福建省廈門市翔安區(qū)初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有7題，每小題3分，共21分，每小題都有四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）1．（3分）計(jì)算：﹣2+3=（） A． 1 B． ﹣1 C． 5 D． ﹣5分析： 根據(jù)異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，再用較大的絕對值減去較小的絕對值，可得答案．解答： 解：﹣2+3=+（3﹣2）=1．故選：A．點(diǎn)評： 本題考查了有理數(shù)的加法，先確定和的符號，再進(jìn)行絕對值得運(yùn)算．2．（3分）四個(gè)幾何體中，三視圖都是相同圖形的是（）A． 長方體 B． 圓柱 C． 球 D． 三棱柱考點(diǎn)： 簡單幾何體的三視圖．分析： 主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．解答： 解：A、長方體的三視圖分別為長方形，長方形，正方形，不符合題意；B、圓柱的三視圖分別為長方形，長方形，圓，不符合題意；C、球的三視圖均為圓，正確；D、正三棱柱的主視圖為兩個(gè)長方形的組合體，左視圖為長方形，俯視圖為三角形，錯(cuò)誤，故選：C．點(diǎn)評： 本題考查了幾何體的三視圖，從正面看到的圖叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖．3．（3分）在函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是（） A． x≠2 B． x＞2 C． x≥2 D． x≠0考點(diǎn)： 函數(shù)自變量的取值范圍．分析： 根據(jù)分母不等于0列式計(jì)算即可得解．解答： 解：由題意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故選A．點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)．4．（3分）“明天下雨的概率為80%”這句話指的是（） A． 明天一定下雨 B． 明天80%的地區(qū)下雨，20%的地區(qū)不下雨 C． 明天下雨的可能性是80% D． 明天80%的時(shí)間下雨，20%的時(shí)間不下雨考點(diǎn)： 概率的意義．分析： 根據(jù)概率的意義找到正確選項(xiàng)即可．解答： 解：“明天下雨的概率為80%”說明明天下雨的可能性是80%，即P（A）=80%．故選C．點(diǎn)評： 關(guān)鍵是理解概率表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大?。嚎赡馨l(fā)生，也可能不發(fā)生．5．（3分）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則sin∠AOB=（） A． B． C． D． 2考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義．專題： 網(wǎng)格型．分析： 找出以∠AOB為內(nèi)角的直角三角形，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，即直角三角形中∠AOB的對邊與斜邊的比，就可以求出．解答： 解：如圖，作EF⊥OB，則EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=，∴sin∠AOB===．故選B．點(diǎn)評： 通過構(gòu)造直角三角形來求解，利用了銳角三角函數(shù)的定義．6．（3分）不等式組的解集是（） A． x＞﹣1 B． ﹣1＜x＜2 C． x＜2 D． x＜﹣1或x＞2考點(diǎn)： 解一元一次不等式組．分析： 分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答： 解：由①得，x＞﹣1，由②得，x＜2，∴原不等式組的解集是﹣1＜x＜2．故選B．點(diǎn)評： 主要考查了一元一次不等式解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．7．（3分）如圖，A，B的坐標(biāo)為（2，0），（0，1），若將線段AB平移至A1B1，則a+b的值為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5考點(diǎn)： 坐標(biāo)與圖形變化-平移．專題： 壓軸題．分析： 直接利用平移中點(diǎn)的變化規(guī)律求解即可．解答： 解：由B點(diǎn)平移前后的縱坐標(biāo)分別為1、2，可得B點(diǎn)向上平移了1個(gè)單位，由A點(diǎn)平移前后的橫坐標(biāo)分別是為2、3，可得A點(diǎn)向右平移了1個(gè)單位，由此得線段AB的平移的過程是：向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，所以點(diǎn)A、B均按此規(guī)律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，故a+b=2．故選：A．點(diǎn)評： 本題考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)、線段的平移規(guī)律，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同．平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．二、填空題（本大題有10小題，每小題4分，共40分）8．（4分）﹣的相反數(shù)是．考點(diǎn)： 相反數(shù)．分析： 求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“﹣”號．解答： 解：根據(jù)相反數(shù)的定義，﹣的相反數(shù)是．點(diǎn)評： 本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“﹣”號；一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．9．（4分）“節(jié)約光榮，浪費(fèi)可恥”，據(jù)統(tǒng)計(jì)我國每年浪費(fèi)糧食約8000000噸，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為8×106噸．考點(diǎn)： 科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．分析： 科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．解答： 解：將8000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：8×106．故答案為：8×106．點(diǎn)評： 此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．10．（4分）拋物線y=（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．分析： 直接利用頂點(diǎn)式的特點(diǎn)可求頂點(diǎn)坐標(biāo)．解答： 解：因?yàn)閥=（x﹣1）2+2是拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．點(diǎn)評： 主要考查了求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法．11．（4分）如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC中AB、AC邊的中點(diǎn)，已知DE=3，則BC=6．考點(diǎn)： 三角形中位線定理．分析： 根據(jù)三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半可知，ED=BC，進(jìn)而由DE的值求得BC．解答： 解：∵D，E分別是△ABC的邊AC和AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∵DE=2，∴BC=2DE=6．故答案是：6．點(diǎn)評： 本題主要考查三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．12．（4分）已知反比例函數(shù)y=（x＞0），請你補(bǔ)充一個(gè)條件k=1（答案不唯一），使y的值隨著x值的增大而減?。键c(diǎn)： 反比例函數(shù)的性質(zhì)．專題： 開放型．分析： 本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．解答： 解：由于x＞0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，y的值隨著x值的增大而減小時(shí)，k＞0，可取k=1，k=2，k=3等．點(diǎn)評： 定義：一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)．因?yàn)閥=是一個(gè)分式，所以自變量x的取值范圍是x≠0．而y=有時(shí)也被寫成xy=k或y=kx﹣1．性質(zhì)：①當(dāng)k＞0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限．②當(dāng)k＞0時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k＜0時(shí)，在同一個(gè)象限，y隨x的增大而增大．k＞0時(shí)，函數(shù)在x＜0上為減函數(shù)、在x＞0上同為減函數(shù)；k＜0時(shí)，函數(shù)在x＜0上為增函數(shù)、在x＞0上同為增函數(shù)．定義域?yàn)閤≠0；值域?yàn)閥≠0．③因?yàn)樵趛=（k≠0）中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交．④在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1=S2=|k|．⑤反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=x，y=﹣x（即第一、三象限，第二、四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)．13．（4分））某市6月2日至8日的每日最高溫度如圖，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29℃．考點(diǎn)： 中位數(shù)；折線統(tǒng)計(jì)圖．分析： 先根據(jù)圖表寫出2日到8日的氣溫，然后根據(jù)中位數(shù)的概念求解．解答： 解：2日到8日的氣溫為：27，30，28，29，30，29，30，這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：27，28，29，29，30，30，30，則中位數(shù)為：29℃．故答案為：29℃．點(diǎn)評： 本題考查了中位數(shù)的知識：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．14．（4分）已知m2﹣n2=6，m+n=3，則m﹣n的值是2．考點(diǎn)： 平方差公式．分析： 直接利用平方差公式求出即可．解答： 解：∵m2﹣n2=6，m+n=3，∴（m﹣n）（m+n）=6，則m﹣n的值是2．故答案為：2．點(diǎn)評： 此題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練利用公式法求出是解題關(guān)鍵．15．（4分）某市按以下規(guī)定收取每月的水費(fèi)：用水量不超過6噸，按每噸元收費(fèi)；如果超過6噸，未超過部分仍按每噸元收取，而超過部分則按每噸2元收費(fèi)．如果某用戶5月份水費(fèi)平均為每噸元，那么該用戶5月份實(shí)際用水8噸．考點(diǎn)： 一元一次方程的應(yīng)用．分析： 水費(fèi)平均為每噸元大于元，說明本月用水超過了6噸，那么標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)的水費(fèi)加上超出部分就是實(shí)際水費(fèi)．根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系列出方程求解．解答： 解：設(shè)該用戶5月份實(shí)際用水x噸，則×6+（x﹣6）×2=，+2x﹣12=，=，x=8．答：該用戶5月份實(shí)際用水8噸．故答案為8．點(diǎn)評： 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P為AB邊上（不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，則線段EF的最小值是．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理．分析： 連接CP，利用勾股定理列式求出AB，判斷出四邊形CFPE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得EF=CP，再根據(jù)垂線段最短可得CP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解即可．解答： 解：如圖，連接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四邊形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂線段最短可得CP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，此時(shí)，S△ABC=BC?AC=AB?CP，即×4×3=×5?CP，解得CP=．故答案為：．點(diǎn)評： 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于利用三角形的面積列出方程．17．（4分）如圖，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在OB上，若將△ABC沿AC折疊，使點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)D處，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，）．考點(diǎn)： 一次函數(shù)綜合題．專題： 壓軸題．分析： 利用三角形全等性質(zhì)．解答： 解：由題意得：A（﹣3，0），B（0，4）；∴OA=3，OB=4．那么可得AB=5．易得△ABC≌△ADC，∴AD=AB=5，∴OD=AD﹣OA=2．設(shè)OC為x．那么BC=CD=4﹣x．那么x2+22=（4﹣x）2，解得x=，∴C（0，）．點(diǎn)評： 本題用到的知識點(diǎn)為：翻折前后的三角形全等．三、解答題（本題有9題，共89分）18．（7分）|﹣1|﹣2÷+（﹣2）2．考點(diǎn)： 有理數(shù)的混合運(yùn)算．專題： 計(jì)算題．分析： 原式第一項(xiàng)利用絕對值的代數(shù)意義化簡，第二項(xiàng)利用除法法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算即可得到結(jié)果．解答： 解：原式=1﹣2×3+4=1﹣6﹢4=﹣1．點(diǎn)評： 此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．19．（7分）畫出如圖中的△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形．考點(diǎn)： 作圖-軸對稱變換．專題： 作圖題．分析： 根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的位置，然后與點(diǎn)A順次連接即可．解答： 解：△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△AB′C′如圖所示．點(diǎn)評： 本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．20．（7分）如圖，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C．考點(diǎn)： 三角形的外角性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．分析： 根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解．解答： 解：∵∠A=20°，∠E=35°，∴∠EFB=∠A+∠E=55°，∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=55°．點(diǎn)評： 此題考查了三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；兩條直線平行，則同位角相等．21．（6分）為了解“節(jié)約用水”活動(dòng)開展一個(gè)月來的成效，某單位隨機(jī)調(diào)查了20名職工家庭一個(gè)月來的節(jié)約用水情況，如下表所示：節(jié)約水量（噸） 1 2職工數(shù)（人） 10 5 4 1請你根據(jù)上表提供的信息估計(jì)該單位100位職工的家庭一個(gè)月大約能節(jié)約用水多少噸？考點(diǎn)： 用樣本估計(jì)總體；加權(quán)平均數(shù)．分析： 根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式求出樣本的平均數(shù)，再乘以100，即可得出答案．解答： 解：根據(jù)題意得：（×10+1×5+×4+2×1）÷20×100=×100=90（噸）．答：該單位100位職工家庭一個(gè)月大約節(jié)約用水90噸．點(diǎn)評： 此題考查了加權(quán)平均數(shù)和用樣本估計(jì)總體，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式求出樣本的平均數(shù)是本題的關(guān)鍵；用樣本估計(jì)整體讓整體×樣本的百分比即可．22．（6分）先化簡，再求值：（a+b）2+a（a﹣2b），其中a=1，b=．考點(diǎn)： 整式的混合運(yùn)算—化簡求值．分析： 先算乘法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可．解答： 解：（a+b）2+a（a﹣2b）=a2+2ab+b2+a2﹣2ab=2a2+b2，當(dāng)a=1，b=時(shí)，原式=2×12+（）2=4．點(diǎn)評： 本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算和化簡能力，題目比較典型，難度適中．23．（6分）如圖，已知DE是AC的垂直平分線，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周長．考點(diǎn)： 線段垂直平分線的性質(zhì)．分析： 先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，進(jìn)而可得出結(jié)論．解答： 解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周長=AB+BC=10+11=21（cm）．點(diǎn)評： 本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．24．（6分）在學(xué)習(xí)概率知識時(shí)，王老師布置了這樣一道題目：在一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中白球1個(gè)，黃球1個(gè)，紅球2個(gè)．要求同學(xué)按兩種規(guī)則摸球：①摸出一個(gè)球后放回，再摸出一個(gè)球；②一次性摸兩個(gè)球．那么，請你通過計(jì)算說明哪種方法摸到兩個(gè)紅球的概率較大？考點(diǎn)： 列表法與樹狀圖法．分析： 列舉出所有情況，看兩次都摸到紅球的情況占總情況的多少即可知道哪種方法摸到兩個(gè)紅球的概率較大．解答： 解：①：摸出一個(gè)球后放回，再摸出一個(gè)球時(shí)，，共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個(gè)都是紅球的占4種，所以兩次都摸到紅球的概率=；②一次性摸兩個(gè)球時(shí)，∴一共有12種情況，有2種情況兩次都摸到紅球，∴兩次都摸到紅球的概率是=．∵＞，∴兩次摸球的概率較大．點(diǎn)評： 本題考查了列表法與樹狀圖法，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比25．（6分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm．（1）求∠CBD的度數(shù)；（2）求下底AB的長．考點(diǎn)： 梯形；等腰三角形的性質(zhì)．分析： （1）求∠CBD的度數(shù)，根據(jù)BC=CD，得到∠CDB=∠ABD，根據(jù)AB∥CD，只要求出∠ABD的度數(shù)就可以．（2）Rt△ABD中，∠ABD=30°，則AB=2AD．解答： 解：（1）∵∠A=60°，BD⊥AD∴∠ABD=30°（2分）又∵AB∥CD∴∠CDB=∠ABD=30°（4分）∵BC=CD∴∠CBD=∠CDB=30°（5分）（2）∵∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABC=60°=∠A（7分）∴AD=BC=CD=2cm∴AB=2AD=4cm．（9分）點(diǎn)評： 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊對等角．26．（6分）為了預(yù)防流感，學(xué)校對教室進(jìn)行“藥熏消毒”．已知藥物燃燒階段，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時(shí)間x（min）成正比，燃燒后，y與x成反比（如圖），現(xiàn)測得藥物10min燃燒完，此時(shí)，教室內(nèi)每立方米空氣含藥量為16mg．已知每立方米空氣中含藥量低于4mg時(shí)對人體無害，那么從消毒開始經(jīng)多長時(shí)間后學(xué)生才能進(jìn)教室？考點(diǎn)： 反比例函數(shù)的應(yīng)用．分析： 由于當(dāng)每立方米空氣中含藥量低于16mg時(shí)，對人體方能無毒害作用，把y=16代入反比例函數(shù)解析式中即可求出從燃燒開始，經(jīng)多長時(shí)間學(xué)生才可以回教室．解答： 解：設(shè)燃燒后的函數(shù)解析式為y=，∵圖象經(jīng)過點(diǎn)（10，16），∴k=160，∴y=．由，得x=40∴從消毒開始要經(jīng)過40分鐘后學(xué)生才能進(jìn)教室．點(diǎn)評： 此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法即可求出它們的關(guān)系式．27．（6分）如圖，已知菱形AOBD的A、B、D三點(diǎn)在⊙O上，延長BO至點(diǎn)P，交⊙O于點(diǎn)C，且BP=3OB．求證：AP是⊙O的切線．考點(diǎn)： 切線的判定．專題： 證明題．分析： 連接OD、AO，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AO=OB=BD=DA，則可判斷△OAD和△OBD都為等邊三角形，所以∠AOD=∠BOD=60°，則∠AOP=60°，于是又可判斷△AOC為等邊三角形，所以AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，由PB=3BO得到CP=OC=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠P=∠CAP，然后利用三角形外角性質(zhì)有∠P+∠CAP=∠ACO=60°，得到∠CAP=30°，所以∠OAP=90°，最后利用切線的判定定理得到AP為⊙O的切線．解答： 證明：連接OD、AO，如圖，∵四邊形AOBD為菱形，∴AO=OB=BD=DA，∴△OAD和△OBD都為等邊三角形，∴∠AOD=∠BOD=60°，∴∠AOP=60°，又∵OA=OC，∴△AOC為等邊三角形，∴AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，∵PB=3BO，OC=OB，∴CP=OC=AC，∴∠P=∠CAP，∵∠P+∠CAP=∠ACO=60°，∴∠CAP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP為⊙O的切線．點(diǎn)評： 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．28．（6分）如圖，已知A（a，m）、B（2a，n）是反比例函數(shù)y=（k＞0）與一次函數(shù)y=﹣x+b圖象上的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)OA、OB，若已知1≤a≤2，則求S△OAB的取值范圍．考點(diǎn)： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．分析： 先根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出m=，n=，=﹣a+b，=﹣a+b，于是k=a2，再由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知S△OAC=S△OBD，那么S△OAB=S△OAC﹣S△OBD+S梯形ABDC=S梯形ABDC=2a2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．解答： 解：∵A（a，m）、B（2a，n）在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上，∴m=，n=，∵A（a，m）、B（2a，n）在一次函數(shù)y=﹣x+b圖象上，∴=﹣a+b，=﹣a+b，解得：k=a2，∴S△OAB=S△OAC﹣S△OBD+S梯形ABDC=S梯形ABDC=（+）（2a﹣a）=××a=k=×a2=2a2．當(dāng)1≤a≤2時(shí)，S△OAB=2a2，隨自變量的增大而增大，此時(shí)2≤S△OAB≤8．點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，梯形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．29．（10分）如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長至點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△ABF≌△ECF；（2）連接AC、BE，則當(dāng)∠AFC與∠D滿足什么條件時(shí)，四邊形ABEC是矩形？請說明理由．考點(diǎn)： 矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析： （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，CE=DC，易證得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，則可證得△ABF≌△ECF；（2）首先根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到四邊形ABEC是平行四邊形，然后證得FC=FE，利用對角線互相相等的四邊形是矩形判定四邊形ABEC是矩形．解答： 解：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴∠BAE=∠AEC，又∵CE=CD，∴AB=CE，在△ABF和△ECF中，，∴△ABF≌△ECF（AAS）；（2）當(dāng)∠AFC=2∠D時(shí)，四邊形ABEC是矩形．∵