2022年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)解析版試卷分類匯編總匯：解直角三角形

解直角三角形一、選擇題1.（2022?孝感，第8題3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為α，若AC=a，BD=b，則?ABCD的面積是（）A．a(chǎn)bsinαB．a(chǎn)bsinαC．a(chǎn)bcosαD．a(chǎn)bcosα考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形．分析：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DO于點(diǎn)E，進(jìn)而得出EC的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式求出即可．解答：解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DO于點(diǎn)E，∵在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為α，AC=a，BD=b，∴sinα=，∴EC=COsinα=asinα，∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα，∴?ABCD的面積是：absinα×2=absinα．故選；A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，得出EC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．2.（2022?泰州，第6題，3分）如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”．下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是（）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，考點(diǎn)：解直角三角形專題：新定義．分析：A、根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，不能構(gòu)成三角形，依此即可作出判定；B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、底邊上的高是=，可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定義，故選項(xiàng)正確．故選：D．點(diǎn)評(píng)：考查了解直角三角形，涉及三角形三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．3.（2022?揚(yáng)州，第8題，3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tan∠MCN=（）（第2題圖）A．B．C．D．﹣2考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理專題：計(jì)算題．分析：連接AC，通過(guò)三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求得CM的長(zhǎng)，連接MN，過(guò)M點(diǎn)作ME⊥ON于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設(shè)NF=x，表示出CF，根據(jù)勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN．解答：解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，連接MN，連接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC與Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，在Rt△BMC中，CM===2．∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等邊三角形，∴MN=AM=AN=2，過(guò)M點(diǎn)作ME⊥ON于E，設(shè)NE=x，則CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，∴ME==，∴tan∠MCN==故選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角函數(shù)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4.（2022?濱州，第11題3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，則BC的長(zhǎng)為（）A．6B．C．8D．考點(diǎn)：解直角三角形分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義來(lái)解決，由sinA==，得到BC==．解答：解：∵∠C=90°AB=10，∴sinA=，∴BC=AB×=10×=6．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形和勾股定理的應(yīng)用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，則sinA=，cosA=，tanA=．5.（2022?德州，第7題3分）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長(zhǎng)為（）A．4米B．6米C．12米D．24米考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．分析：先根據(jù)坡度的定義得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)．解答：解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米，∴BC=6米，根據(jù)勾股定理得：AB==6米，故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，勾股定理，難度適中．根據(jù)坡度的定義求出BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．二.填空題1．（2022?新疆，第13題5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，則AC=．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）考點(diǎn)：解直角三角形．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)正切的定義得到tanB=，然后把tan37°≈和BC=32代入計(jì)算即可．解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，所以tanB=，即tan37°=，所以AC=32?tan37°=32×=24．故答案為24．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．2．（2022?舟山，第12題4分）如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂B的仰角為α度，AC=7米，則樹(shù)高BC為米（用含α考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析：根據(jù)題意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函數(shù)即可求出BC的高度．解答：解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC?tanα=7tanα（米）．故答案為：7tanα．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解．3．（2022?浙江寧波，第17題4分）為解決停車難的問(wèn)題，在如圖一段長(zhǎng)56米的路段開(kāi)辟停車位，每個(gè)車位是長(zhǎng)5米寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個(gè)路段最多可以劃出17考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．分析：如圖，根據(jù)三角函數(shù)可求BC，CE，則BE=BC+CE可求，再根據(jù)三角函數(shù)可求EF，再根據(jù)停車位的個(gè)數(shù)=（56﹣BE）÷EF+1，列式計(jì)算即可求解．解答：解：如圖，BC=×sin45°=×≈1.54米CE=5×sin45°=5×≈3.5米BE=BC+CE≈，EF=÷sin45°=÷≈3.14米（56﹣）÷+1=÷+1≈16+1=17（個(gè)）．故這個(gè)路段最多可以劃出17個(gè)這樣的停車位．故答案為：17．點(diǎn)評(píng)：考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．4.（2022?株洲，第13題，3分）孔明同學(xué)在距某電視塔塔底水平距離500米處，看塔頂?shù)难鼋菫?0°（不考慮身高因素），則此塔高約為182米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈，sin70°≈，tan20°≈，tan（第1題圖）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析：作出圖形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長(zhǎng)度．解答：解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°∵=tan20°，∴BC=ACtan20°=500×=182（米）．故答案為：182．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解．5.（2022?泰州，第16題，3分）如圖，正方向ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q．若PQ=AE，則AP等于1或2cm．（第2題圖）考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)M為AE中點(diǎn)求出AM的長(zhǎng)，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進(jìn)而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng)，再利用對(duì)稱性確定出AP′的長(zhǎng)即可．解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴tan30°=，即DE=cm，根據(jù)勾股定理得：AE==2cm，∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，∴AM=AE=cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，∵PN∥DC，∴∠PFA=∠DEA=60°，∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，∴AP===2cm；由對(duì)稱性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，綜上，AP等于1cm或2cm．故答案為：1或2．點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6.（2022?濟(jì)寧，第12題3分）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，則AB的長(zhǎng)為3+．考點(diǎn)：解直角三角形．分析：過(guò)C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據(jù)含30度角的直角三角形求出CD，根據(jù)勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：過(guò)C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案為：3+．點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．三.解答題1.（2022?安徽省,第18題8分）如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30°角，長(zhǎng)為20km；BC段與AB、CD段都垂直，長(zhǎng)為10km，CD段長(zhǎng)為30km，求兩高速公路間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用．分析： 過(guò)B點(diǎn)作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)求得BE，在Rt△BCF中，根據(jù)三角函數(shù)求得BF，在Rt△DFG中，根據(jù)三角函數(shù)求得FG，再根據(jù)EG=BE+BF+FG即可求解．解答： 解：過(guò)B點(diǎn)作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB?sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，CF=BF?sin30°=×=km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF?sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．故兩高速公路間的距離為（25+5）km．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．2.（2022?廣東，第20題7分）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，他們先在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角高度為60°（A、B、D三點(diǎn)在同一直線上）．請(qǐng)你根據(jù)他們測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹(shù)CD的高度（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：≈，≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用－仰角俯角問(wèn)題．分析：首先利用三角形的外角的性質(zhì)求得∠ABC的度數(shù)，得到BC的長(zhǎng)度，然后在直角△BDC中，利用三角函數(shù)即可求解．解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10×=5≈5×=（米）．答：這棵樹(shù)CD的高度為米．點(diǎn)評(píng)：本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．3.（2022?珠海，第17題7分）如圖，一艘漁船位于小島M的北偏東45°方向、距離小島180海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達(dá)位于小島南偏東60°方向的B處．（1）求漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離（結(jié)果用根號(hào)表示）；（2）若漁船以20海里/小時(shí)的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間（結(jié)果精確到小時(shí)）．（參考數(shù)據(jù)：≈，≈，≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)∠AME的度數(shù)求出∠AMD=∠MAD=45°，再根據(jù)AM的值求出和特殊角的三角函數(shù)值即可求出答案；（2）在Rt△DMB中，根據(jù)∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根據(jù)MD的值求出MB的值，最后根據(jù)路程÷速度=時(shí)間，即可得出答案．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°，∵AM=180海里，∴MD=AM?cos45°=90（海里），答：漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離是90海里；（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°，∵M(jìn)D=90海里，∴MB==60，∴60÷20=3=3×=≈（小時(shí)），答：漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間約為小時(shí)．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．4.（2022?廣西賀州，第24題8分）如圖，一艘海輪在A點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔C在它的北偏東42°方向上，它沿正東方向航行80海里后到達(dá)B處，此時(shí)燈塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離（結(jié)果精確到）；（2）求海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈，tan42°≈，tan35°≈，tan48°≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析：（1）過(guò)C作AB的垂線，設(shè)垂足為D，則CD的長(zhǎng)為海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離；（2）在Rt△BCD中，根據(jù)55°角的余弦值即可求出海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離．解答：解：（1）C作AB的垂線，設(shè)垂足為D，根據(jù)題意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，設(shè)CD的長(zhǎng)為x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，則AD=x?tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，則BD=x?tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x?tan42°+x?tan55°=80，解得：x≈，答：海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離是海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離是60海里．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：方向角問(wèn)題，具體就是在某點(diǎn)作出東南西北，即可轉(zhuǎn)化角度，也得到垂直的直線．5．(2022年四川資陽(yáng)，第19題8分)如圖，湖中的小島上有一標(biāo)志性建筑物，其底部為A，某人在岸邊的B處測(cè)得A在B的北偏東30°的方向上，然后沿岸邊直行4公里到達(dá)C處，再次測(cè)得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求這個(gè)標(biāo)志性建筑物底部A到岸邊BC的最短距離．考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析： 過(guò)A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，設(shè)AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出x的值，即為A到岸邊BC的最短距離．解答： 解：過(guò)A作AD⊥BC于D，則AD的長(zhǎng)度就是A到岸邊BC的最短距離．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，設(shè)AD=x，則CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．答：這個(gè)標(biāo)志性建筑物底部A到岸邊BC的最短距離為（6﹣2）公里．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．(2022年天津市，第22題10分)解放橋是天津市的標(biāo)志性建筑之一，是一座全鋼結(jié)構(gòu)的部分可開(kāi)啟的橋梁．（Ⅰ）如圖①，已知解放橋可開(kāi)啟部分的橋面的跨度AB等于47m，從AB的中點(diǎn)C處開(kāi)啟，則AC開(kāi)啟至A′C′的位置時(shí)，A′C′的長(zhǎng)為m；（Ⅱ）如圖②，某校數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量解放橋的全長(zhǎng)PQ，在觀景平臺(tái)M處測(cè)得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在觀景平臺(tái)N處測(cè)得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放橋的全長(zhǎng)PQ（tan54°≈，tan73°≈，結(jié)果保留整數(shù)）．考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用．專題： 應(yīng)用題．分析： （1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出A′C′的長(zhǎng)；（2）設(shè)PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得關(guān)于x的方程，解出即可．解答： 解：（I）∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴A'C'=AB=．（II）設(shè)PQ=x，在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==，∴MQ=，在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==，∴NQ=，∵M(jìn)N=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，解得：x≈97．答：解放橋的全長(zhǎng)約為97m．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練銳角三角函數(shù)的定義，難度一般．7．（2022年云南省，第21題6分）如圖，小明在M處用高1米（DM=1米）的測(cè)角儀測(cè)得旗桿AB的頂端B的仰角為30°，再向旗桿方向前進(jìn)10米到F處，又測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，請(qǐng)求出旗桿AB考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題分析： 首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造三角關(guān)系，進(jìn)而可求出答案．解答： 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米答：旗桿AB的高度大約是10米．點(diǎn)評(píng)： 主要考查解直角三角形的應(yīng)用，本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．8．（2022?四川自貢，第18題8分）如圖，某學(xué)校新建了一座吳玉章雕塑，小林站在距離雕塑米的A處自B點(diǎn)看雕塑頭頂D的仰角為45°，看雕塑底部C的仰角為30°，求塑像CD的高度．（最后結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題分析：首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△DEB、△CEB，再利用其公共邊BE求得DE、CE，再根據(jù)CD=DE﹣CE計(jì)算即可求出答案．解答：解：在Rt△DEB中，DE=BE?tan45°=米，在Rt△CEB中，CE=BE?tan30°=米，則CD=DE﹣CE=﹣≈米．故塑像CD的高度大約為米．點(diǎn)評(píng)：本題考查解直角三角形的知識(shí)．要先將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型．分別在兩個(gè)不同的三角形中，借助三角函數(shù)的知識(shí)，研究角和邊的關(guān)系．9．（2022·云南昆明，第20題6分）如圖，在數(shù)學(xué)實(shí)踐課中，小明為了測(cè)量學(xué)校旗桿CD的高度，在地面A處放置高度為米的測(cè)角儀AB，測(cè)得旗桿頂端D的仰角為32°，AC為22米，求旗桿CD的高度.（結(jié)果精確到米.參考數(shù)據(jù)：sin32°=，cos32°=，tan32°=）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題。分析：根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為直角三角形中的有關(guān)量，然后選擇合適的邊角關(guān)系求得長(zhǎng)度即可．解答：解：過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E（如圖），在Rt△DEB中，，（米），（米）（米）答：旗桿CD的高度為米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用仰俯角的定義將題目中的相關(guān)量轉(zhuǎn)化為直角三角形BDE中的有關(guān)元素．10．（2022?浙江寧波，第21題8分）如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過(guò)C地，圖中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．（1）求改直的公路AB的長(zhǎng)；（2）問(wèn)公路改直后比原來(lái)縮短了多少千米？（sin25°≈，cos25°≈，sin37°≈，tan37°≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用分析：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根據(jù)三角函數(shù)求得CH，AH，在Rt△BCH中，根據(jù)三角函數(shù)求得BH，再根據(jù)AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根據(jù)三角函數(shù)求得BC，再根據(jù)AC+BC﹣AB列式計(jì)算即可求解．解答：解：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×=4.2千米AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×=千米，在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=÷tan37°≈÷=5.6千米∴AB=AH+BH=+=千米．故改直的公路AB的長(zhǎng)14.7千米（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=÷sin37°≈÷=7千米則AC+BC﹣AB=10+7﹣=2.3千米答：公路改直后比原來(lái)縮短了2.3千米點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．11.（2022?益陽(yáng)，第18題，8分）“中國(guó)﹣益陽(yáng)”網(wǎng)上消息，益陽(yáng)市為了改善市區(qū)交通狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測(cè)量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測(cè)得如下數(shù)據(jù)：∠BAD=°，∠BCA=°，CD=82米．求AB的長(zhǎng)（精確到0.1參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈，°≈；°≈，°≈，°≈．（第1題圖）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．分析：設(shè)AD=x米，則AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB=（x+82），在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB=4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解．解答：解：設(shè)AD=x米，則AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC?tan∠BCA=（x+82）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD?tan∠BDA=4x．∴（x+82）=4x，解得x=．∴AB=4x=4×≈．答：AB的長(zhǎng)約為546.7米點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．12.（2022?益陽(yáng)，第21題，12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，點(diǎn)P沿線段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第2題圖）考點(diǎn)：相似形綜合題．分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，根據(jù)CE=BC?sin∠B求出CE，再根據(jù)AD=CE即可求出AD；（2）若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似，則△PCB必有一個(gè)角是直角．分兩種情況討論：①當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，求出AP，再根據(jù)在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，從而得到△ADP∽△CPB，②當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，求出AP=3，根據(jù)≠且≠，得出△PCB與△ADP不相似．（3）先求出S1=x?，再分兩種情況討論：①當(dāng)2＜x＜10時(shí)，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣x+，最后根據(jù)S1=x?BM2代入計(jì)算即可．②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S2=x（x2﹣x+），最后根據(jù)S=S1+S2=x（x﹣）2+x即可得出S的最小值．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∵∠B=60°，BC=4，∴CE=BC?sin∠B=4×=2，∴AD=CE=2．（2）存在．若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似，則△PCB必有一個(gè)角是直角．①當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，∴∠DPA=60°，∴∠DPA=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP與△CPB相似，此時(shí)x=2．②∵當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．則≠且≠，此時(shí)△PCB與△ADP不相似．（3）如圖，因?yàn)镽t△ADP外接圓的直徑為斜邊PD，則S1=x?（）2=x?，①當(dāng)2＜x＜10時(shí)，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM．則BM為△PCB外接圓的半徑．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN?tan∠MGN=（x﹣1）．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x?BM2=x（x2﹣x+）．②∵當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S2=x（x2﹣x+）也成立，∴S=S1+S2=x?+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．∴當(dāng)x=時(shí)，S=S1+S2取得最小值x．點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的最值、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形構(gòu)造相似三角形，注意分類討論．13.（2022?株洲，第17題，4分）計(jì)算：+（π﹣3）0﹣tan45°．考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．分析：原式第一項(xiàng)利用平方根定義化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果．解答：解：原式=4+1﹣1=4．點(diǎn)評(píng)：此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．14.（2022?株洲，第22題，8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（AF＞BF）．（1）求證：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義分析：（1）根據(jù)角的平分線的性質(zhì)可求得CE=EF，然后根據(jù)直角三角形的判定定理求得三角形全等．（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據(jù)勾股定理可求得，tan∠B==，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===；解答：（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE=EF，在Rt△ACE與Rt△AFE中，，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，∴AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，∴BC===m，∴在RT△ABC中，tan∠B===，在RT△EFB中，EF=BF?tan∠B=，∴CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===；∴tan∠CAE=．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的判定、性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)已知條件表示出線段的值是解本題的關(guān)鍵．15.（2022?株洲，第23題，8分）如圖，PQ為圓O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長(zhǎng)線上，OQ=QB=1，動(dòng)點(diǎn)A在圓O的上半圓運(yùn)動(dòng)（含P、Q兩點(diǎn)），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，求△ABC的面積（圖1）；（2）設(shè)∠AOB=α，當(dāng)線段AB、與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，求α的范圍（圖2，直接寫(xiě)出答案）；（3）當(dāng)線段AB與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)A、M時(shí)，如果AO⊥PM于點(diǎn)N，求CM的長(zhǎng)度（圖3）．（第5題圖）考點(diǎn)：圓的綜合題；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值．分析：（1）連接OA，如下圖1，根據(jù)條件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面積．（2）如下圖2，首先考慮臨界位置：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時(shí)，線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=0°；當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=60°．從而定出α的范圍．（3）設(shè)AO與PM的交點(diǎn)為D，連接MQ，如下圖3，易證AO∥MQ，從而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，從而可以求出MQ、OD，進(jìn)而求出PD、DM、AM、CM的值．解答：解：（1）連接OA，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，如圖1所示．∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AB．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB?sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC?BH=××=．∴△ABC的面積為．（2）①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時(shí)，線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)α=0°；②當(dāng)線段A1B所在的直線與圓O相切時(shí)，如圖2所示，線段A1B與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴當(dāng)線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，α的范圍為：0°≤α≤60°．（3）連接MQ，如圖3所示．∵PQ是⊙O的直徑，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB．∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=．∴DM=．∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥AB．∵AM=，∴BM=，AB=．∴AC=．∴CM===．∴CM的長(zhǎng)度為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、直線與圓相切、勾股定理、特殊三角函數(shù)值等知識(shí)，考查了用臨界值法求角的取值范圍，綜合性較強(qiáng)．16．（2022年江蘇南京，第23題）如圖，梯子斜靠在與地面垂直（垂足為O）的墻上，當(dāng)梯子位于AB位置時(shí)，它與地面所成的角∠ABO=60°；當(dāng)梯子底端向右滑動(dòng)1m（即BD=1m）到達(dá)CD位置時(shí)，它與地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin51°18′≈，cos51°18′≈，tan51°18′≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用分析：設(shè)梯子的長(zhǎng)為xm．在Rt△ABO中，根據(jù)三角函數(shù)得到OB，在Rt△CDO中，根據(jù)三角函數(shù)得到OD，再根據(jù)BD=OD﹣OB，得到關(guān)于x的方程，解方程即可求解．解答：設(shè)梯子的長(zhǎng)為xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB?cos∠ABO=x?cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD?cos∠CDO=x?cos51°18′≈．∵BD=OD﹣OB，∴﹣x=1，解得x=8．故梯子的長(zhǎng)是8米點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．17.（2022?泰州，第22題，10分）圖①、②分別是某種型號(hào)跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖，已知踏板CD長(zhǎng)為，CD與地面DE的夾角∠CDE為12°，支架AC長(zhǎng)為，∠ACD為80°，求跑步機(jī)手柄的一端A的高度h（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：sin12°=cos78°≈，sin68°=cos22°≈，tan68°≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用分析：過(guò)C點(diǎn)作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根據(jù)三角函數(shù)可求CF，在Rt△CDG中，根據(jù)三角函數(shù)可求CG，再根據(jù)FG=FC+CG即可求解．解答：解：過(guò)C點(diǎn)作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD與地面DE的夾角∠CDE為12°，∠ACD為80°，∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC?sin∠CAF≈，在Rt△CDG中，CG=CD?sin∠CDE≈，∴FG=FC+CG≈．故跑步機(jī)手柄的一端A的高度約為．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．18．（2022?呼和浩特，第18題6分）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用－方向角問(wèn)題．分析：首先根據(jù)題意得出∠MPA=∠A=65°，以及∠DBP=∠DPB=45°，再利用解直角三角形求出即可．解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．由題意知∠DPB=∠DBP=45°．在Rt△PBD中，sin45°==，∴PB=PD．∵點(diǎn)A在點(diǎn)P的北偏東65°方向上，∴∠APD=25°．在Rt△PAD中，cos25°=．∴PD=PAcos25°=80cos25°，∴PB=80cos25°．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義得出相關(guān)角度是解決本題的關(guān)鍵．解直角三角形一、選擇題1.（2022?浙江杭州，第3題，3分）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，則AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°考點(diǎn)：解直角三角形分析：利用直角三角形兩銳角互余求得∠B的度數(shù)，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC?tanB=3tan50°．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．2.（2022?浙江杭州，第10題，3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在射線AD，射線BC上．若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，AC與BD相交于點(diǎn)G，則（）A．1+tan∠ADB=B．2BC=5CFC．∠AEB+22°=∠DEFD．4cos∠AGB=考點(diǎn)：軸對(duì)稱的性質(zhì)；解直角三角形．分析：連接CE，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)軸對(duì)稱性可得AB=AE，并設(shè)為1，利用勾股定理列式求出BE，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．解答：解：如圖，連接CE，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)O，由軸對(duì)稱性得，AB=AE，設(shè)為1，則BE==，∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+，∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，∴四邊形ABCE是正方形，∴BC=AB=1，1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故A選項(xiàng)結(jié)論正確；CF=BF﹣BC=﹣1，∴2BC=2×1=2，5CF=5（﹣1），∴2BC≠5CF，故B選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；∠AEB+22°=45°+22°=67°，在Rt△ABD中，BD===，sin∠DEF===，∴∠DEF≠67°，故C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；由勾股定理得，OE2=（）2﹣（）2=，∴OE=，∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EGB+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF，∴4cos∠AGB===，故D選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，設(shè)出邊長(zhǎng)為1可使求解過(guò)程更容易理解．3.（2022?江蘇蘇州,第9題3分）如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為（）A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題分析：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，則AB=AD=2．解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為2km．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4.（2022?山東臨沂,第13題3分）如圖，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)B處望見(jiàn)一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西15°方向的A處，若漁船沿北偏西75°方向以40海里/小時(shí)的速度航行，航行半小時(shí)后到達(dá)C處，在C處觀測(cè)到B在C的北偏東60°方向上，則B、C之間的距離為（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題分析：如圖，根據(jù)題意易求△ABC是等腰直角三角形，通過(guò)解該直角三角形來(lái)求BC的長(zhǎng)度．解答：解：如圖，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，∴BC=20海里．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．解題的難點(diǎn)是推知△ABC是等腰直角三角形．5．（2022?四川涼山州，第5題，4分）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，則坡面AB的長(zhǎng)度是（A．15B．20mC．20D．10m考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用－坡度坡角問(wèn)題分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及鉛直高度BC的值，通過(guò)解直角三角形即可求出斜面AB的長(zhǎng)．解答：解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20m．故選C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力，熟練運(yùn)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．2.3.4.5.6.7.8.二、填空題1.（2022?上海，第12題4分）已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1：，如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為26米．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題專題：應(yīng)用題．分析：首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=1：，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案為：26．點(diǎn)評(píng)：此題考查了坡度坡角問(wèn)題．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意理解坡度的定義．2.（2022?山東濰坊，第17題3分）如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2米的CD和EF，兩標(biāo)桿相隔52米，并且建筑物AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿CD后退2米到點(diǎn)G處，在G處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿FE后退4米到點(diǎn)H處，在H處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上，則建筑物的高是米．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用－仰角俯角問(wèn)題．分析：根據(jù)AB∥CD∥FE，可得△ABG∽△CDG，△ABH∽△EFH，可得CD:AB=DG:BG,EF:AB=FH:BH，即可求得AB的值，即可解題．解答：∵△ABG∽△CDG，∴CD:AB=DG:BG∵CD=DG=2，AB=BG∵△ABH∽△EFH，∴EF:AB=FH:BH，∵EF=2，F(xiàn)H=4∴BH=2AB∴BH=2BG=2GH∵GH=DH－DG=DF=FH－DG=52－2+4=54，∴AB=BG=GH=54.故答案為：54點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了平行線定理，本題中列出關(guān)于GH、BH的關(guān)系式并求解是解題的關(guān)鍵．3．（2022?湖南懷化，第13題，3分）如圖，小明爬一土坡，他從A處爬到B處所走的直線距離AB=4米，此時(shí)，他離地面高度為h=2米，則這個(gè)土坡的坡角∠A=30°．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．分析：直接利用正弦函數(shù)的定義求解即可．解答：解：由題意得：AB=4米，BC=2米，在Rt△ABC中，sinA===，故∠A=30°，故答案為：30．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，牢記正弦函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．落千丈4．（2022?四川內(nèi)江，第23題，6分）如圖，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于點(diǎn)C．若OC=2，則PC的長(zhǎng)是．考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：延長(zhǎng)CP，與OA交于點(diǎn)Q，過(guò)P作PD⊥OA，利用角平分線定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出QC的長(zhǎng)，在直角三角形QDP中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的長(zhǎng)即可．解答：解：延長(zhǎng)CP，與OA交于點(diǎn)Q，過(guò)P作PD⊥OA，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，∴QC=OCtan30°=2×=，∠APD=30°，在Rt△QPD中，cos30°==，即PQ=DP=PC，∴QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=．故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5.6.7.8.三、解答題1.（2022?四川巴中，第27題9分）如圖，一水庫(kù)大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂BC寬6米，壩高20米，斜坡AB的坡度i=1：，斜坡CD的坡角為30°，求壩底AD的長(zhǎng)度．（精確到米，參考數(shù)據(jù)：≈，≈．提示：坡度等于坡面的鉛垂高度與水平長(zhǎng)度之比）°．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．分析：過(guò)梯形上底的兩個(gè)頂點(diǎn)向下底引垂線，得到兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形，利用相應(yīng)的性質(zhì)求解即可．解答：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形BCFE是矩形，由題意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i為1：，在Rt△ABE中，BE=20米，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈（米）．故壩底AD的長(zhǎng)度約為米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了坡度及坡角的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和矩形，注意理解坡度與坡角的定義．2.（2022?山東棗莊，第21題8分）如圖，一扇窗戶垂直打開(kāi)，即OM⊥OP，AC是長(zhǎng)度不變的滑動(dòng)支架，其中一端固定在窗戶的點(diǎn)A處，另一端在OP上滑動(dòng)，將窗戶OM按圖示方向想內(nèi)旋轉(zhuǎn)35°到達(dá)ON位置，此時(shí)，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)位置分別是點(diǎn)B、D．測(cè)量出∠ODB為25°，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離為30cm．（1）求B點(diǎn)到OP的距離；（2）求滑動(dòng)支架的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈，sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)分別表示出OE和DE，再根據(jù)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離為30cm可列方程求解；（2）在Rt△BDE中，根據(jù)三角函數(shù)即可得到滑動(dòng)支架的長(zhǎng)．解答：解：（1）在Rt△BOE中，OE=，在Rt△BDE中，DE=，則+=30，解得BE≈．故B點(diǎn)到OP的距離大約為；（2）在Rt△BDE中，BD=≈．故滑動(dòng)支架的長(zhǎng)．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．3.（2022?山東濰坊，第21題10分）如圖，某海域有兩個(gè)海拔均為200米的海島A和海島B，一勘測(cè)飛機(jī)在距離海平面垂直高度為1100米的空中飛行，飛行到點(diǎn)C處時(shí)測(cè)得正前方一海島頂端A的俯角是450，然后：沿平行于AB的方向水平飛行×104米到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得正前方另一海島頂端B的俯角是600，求兩海島間的距離AB．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用－仰角俯角問(wèn)題．分析：首先過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，易得四邊形ABFE為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得AB=EF，AE=BF．由題意可知：AE=BF=100米，CD=500米，然后分別在Rt△AEC與Rt△BFD中，利用三角函數(shù)即可求得CE與DF的長(zhǎng)，繼而求得島嶼兩端A、B的距離．解答：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF上CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則四邊形ABFE為矩形，所以AB=EF，AE=BF，由題意可知AE=BF=1100—200=900，CD=19900．∴在Rt△AEC中，∠C=450,AE=900,∴在Rt△BFD中，∠BDF=600，BF=900，BF=900∴∴AB=EF=CD+DF－CE=19900+－900=19000+答：兩海島之間的距離AB是(19000+300√3）米點(diǎn)評(píng)：此題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質(zhì)．注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4.（2022?山東煙臺(tái)，第21題7分）小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30°，AC長(zhǎng)米，釣竿AO的傾斜角是60°，其長(zhǎng)為3米，若AO與釣魚(yú)線OB的夾角為60°，求浮漂B與河堤下端C之間的距離．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．分析：延長(zhǎng)OA交BC于點(diǎn)D．先由傾斜角定義及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC?tan∠ACD=米，CD=2AD=3米，再證明△BOD是等邊三角形，得到BD=OD=OA+AD=米，然后根據(jù)BC=BD﹣CD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離．解答：延長(zhǎng)OA交BC于點(diǎn)D．∵AO的傾斜角是60°，∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=AC?tan∠ACD=?=（米），∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD是等邊三角形，∴BD=OD=OA+AD=3+=（米），∴BC=BD﹣CD=﹣3=（米）．答：浮漂B與河堤下端C之間的距離為米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，作出輔助線得到Rt△ACD是解題的關(guān)鍵．5．（2022?湖南懷化，第21題，10分）兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部（1）那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C．（不寫(xiě)已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）（2）設(shè)AB的垂直平分線交ME于點(diǎn)N，且MN=2（+1）km，在M處測(cè)得點(diǎn)C位于點(diǎn)M的北偏東60°方向，在N處測(cè)得點(diǎn)C位于點(diǎn)N的北偏西45°方向，求點(diǎn)C到公路ME的距離．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題；作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖分析：（1）到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C．（2）作CD⊥MN于點(diǎn)D，由題意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，分別在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的長(zhǎng)，從而求得CD的長(zhǎng)即可．解答：解：（1）答圖如圖：（2）作CD⊥MN于點(diǎn)D，由題意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，∵在Rt△CMD中，=tan∠CMN，∴MD==；∵在Rt△CND中，=tan∠CNM，∴ND==CD；∵M(jìn)N=2（+1）km，∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，解得：CD=2km．∴點(diǎn)C到公路ME的距離為2km．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用及尺規(guī)作圖，正確的作出圖形是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．6.（2022?湖南張家界，第21題，8分）如圖：我漁政310船在南海海面上沿正東方向勻速航行，在A點(diǎn)觀測(cè)到我漁船C在北偏東60°方向的我國(guó)某傳統(tǒng)漁場(chǎng)捕魚(yú)作業(yè)．若漁政310船航向不變，航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，觀測(cè)到我漁船C在東北方向上．問(wèn)：漁政310船再按原航向航行多長(zhǎng)時(shí)間，離漁船C的距離最近？（漁船C捕魚(yú)時(shí)移動(dòng)距離忽略不計(jì)，結(jié)果不取近似值．）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析：首先作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于D，則當(dāng)漁政310船航行到D處時(shí)，離漁政船C的距離最近，進(jìn)而表示出AB的長(zhǎng)，再利用速度不變得出等式求出即可．解答：解：作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于D，則當(dāng)漁政310船航行到D處時(shí)，離漁政船C的距離最近，設(shè)CD長(zhǎng)為x，在Rt△ACD中，∵∠ACD=60°，tan∠ACD=，∴AD=x，在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，∴BD=CD=x，∴AB=AD﹣BD=x﹣x=（﹣1）x，設(shè)漁政船從B航行到D需要t小時(shí)，則=，∴=，∴（﹣1）t=，解得：t=，∴t=，答：漁政310船再按原航向航行小時(shí)后，離漁船C的距離最近．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了方向角問(wèn)題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用漁政船速度不變得出等式是解題關(guān)鍵．7.（2022?江西撫州，第21題，9分）如圖1所示的晾衣架，支架主視圖的基本圖形是菱形，其示意圖如圖2.晾衣架伸縮時(shí)，點(diǎn)在射線上滑動(dòng)，∠的大小也隨之發(fā)生變化.已知每個(gè)菱形邊長(zhǎng)均等于20cm,且=20cm.圖圖1圖2=1\*GB2⑴當(dāng)∠=60°時(shí)，求兩點(diǎn)間的距離；=2\*GB2⑵當(dāng)∠由60°變?yōu)?20°時(shí)，點(diǎn)向左移動(dòng)了多少cm?(結(jié)果精確到0.1cm)=3\*GB2⑶設(shè)cm,當(dāng)∠的變化范圍為60°~120°(包括端點(diǎn)值)時(shí)，求的取值范圍.(結(jié)果精確到0.1cm)(參考數(shù)據(jù)，可使用科學(xué)計(jì)算器)解析：(1)如圖1，∵每個(gè)菱形的邊長(zhǎng)都是20㎝，且DE=20㎝,∴CE=DE,∵∠CED=60°，∴⊿CED是等邊三角形，∴CD=20cm,∴C、D兩點(diǎn)之間的距離是20cm.(2)如圖2，作EH⊥CD于H,在⊿CED中，CE=DE，∠CED=120°∴∠ECD=30°,∴EH=CE=10,∴CH=10,∴CD=20,∴點(diǎn)C向左移動(dòng)了(20－20),∴點(diǎn)A向左移動(dòng)了(20－20)×3≈43.9cm.(3)如圖1，當(dāng)∠CED=60°時(shí)，∵ED=EG,∠CGD=30°，在Rt⊿CGD中，，∵CG=40,∴DG=20≈；如圖2，當(dāng)∠CED=120°時(shí)，∠CGD=60°,∴DG=CG=20,∴20≤≤.8．（2022?山東聊城，第21題，8分）如圖，美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過(guò)，沿河兩岸的濱河大道和風(fēng)景帶稱為我市的一道新景觀．在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A，B兩點(diǎn)處，利用測(cè)角儀分別對(duì)東岸的觀景臺(tái)D進(jìn)行了測(cè)量，分別測(cè)得∠DAC=60°，∠DBC=75°．又已知AB=100米，求觀景臺(tái)D到徒駭河西岸AC的距離約為多少米（精確到1米）．（tan60°≈，tan75°≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．分析：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．通過(guò)解Rt△EAD和Rt△EBD分別求得AE、BE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)圖示知：AB=AE﹣BE﹣100，把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入列出關(guān)于ED的方程﹣=100．通過(guò)解該方程求得ED的長(zhǎng)度．解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．∵在Rt△EAD中，∠DAE=60°，∴tan60°=，∴AE=同理，在Rt△EBD中，得到EB=．又∵AB=100米，∴AE﹣EB=100米，即﹣=100．則ED=≈≈323（米）．答：觀景臺(tái)D到徒駭河西岸AC的距離約為323米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．主要是正切概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．9.(2022年貴州黔東南)黔東南州22．（10分）某校九年級(jí)某班開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，小明和小軍合作用一副三角板測(cè)量學(xué)校的旗桿，小明站在B點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為45°，小軍站在點(diǎn)D測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為30°，已知小明和小軍相距（BD）6米，小明的身高（AB）米，小軍的身高（CD）米，求旗桿的高EF的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：≈，≈）考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析： 過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EF于N，則MN=．由小明站在B點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端E點(diǎn)的仰角為45°，可得△AEM是等腰直角三角形，繼而得出得出AM=ME，設(shè)AM=ME=xm，則CN=（x+6）m，EN=（x﹣）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN==，代入CN、EN解方程求出x的值，繼而可求得旗桿的高EF．解答： 解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EF于N，∴MN=，∵∠EAM=45°，∴AM=ME，設(shè)AM=ME=xm，則CN=（x+6）m，EN=（x﹣）m，∵∠ECN=30°，∴tan∠ECN===，解得：x≈，則EF=EM+MF≈+=（m）．答：旗桿的高EF為．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形的問(wèn)題．該題是一個(gè)比較常規(guī)的解直角三角形問(wèn)題，建立模型比較簡(jiǎn)單，但求解過(guò)程中涉及到根式和小數(shù)，算起來(lái)麻煩一些．10.（2022?遵義21．（8分））如圖，一樓房AB后有一假山，其坡度為i=1：，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，測(cè)得假山坡腳C與樓房水平距離BC=25米，與亭子距離CE=20米，小麗從樓房頂測(cè)得E點(diǎn)的俯角為45°，求樓房AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．專題：應(yīng)用題．分析：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC的延長(zhǎng)線于F，EH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)CE=20米，坡度為i=1：，分別求出EF、CF的長(zhǎng)度，在Rt△AEH中求出AH，繼而可得樓房AB的高．解答：解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC的延長(zhǎng)線于F，EH⊥AB于點(diǎn)H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：樓房AB的高為（35+10）米．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知識(shí)，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．11.（2022?十堰15．（3分））如圖，輪船在A處觀測(cè)燈塔C位于北偏西70°方向上，輪船從A處以每小時(shí)20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行，1小時(shí)后到達(dá)碼頭B處，此時(shí)，觀測(cè)燈塔C位于北偏西25°方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是24海里．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈，≈，≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析：作BD⊥AC于點(diǎn)D，在直角△ABD中，利用三角函數(shù)求得BD的長(zhǎng)，然后在直角△BCD中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長(zhǎng)．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于點(diǎn)D．則∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣35°=45°．在直角△ABD中，BD=AB?sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．在直角△BCD中，∠CBD=45°，則BC=BD=10×=10≈10×=24（海里）．故答案是：24．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了方向角含義，正確求得∠CBD以及∠CAB的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．12.（2022?婁底22．（8分））如圖，有小島A和小島B，輪船以45km/h的速度由C向東航行，在C處測(cè)得A的方位角為北偏東60°，測(cè)得B的方位角為南偏東45°，輪船航行2小時(shí)后到達(dá)小島B處，在B處測(cè)得小島A在小島B的正北方向．求小島A與小島B之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈，≈）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題分析：先過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于P，根據(jù)已知條件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根據(jù)輪船的速度和航行的時(shí)間求出BC的值，在Rt△PCB中，根據(jù)勾股定理求出BP=CP的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出AP的值，最后根據(jù)AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵輪船的速度是45km/h，輪船航行2小時(shí)，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45，∵∠CAP=60°，∴tan60°==，∴AP=15，∴AB=AP+PB=15+45=15×+45×≈100（km）．答：小島A與小島B之間的距離是100km．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．13.（(2022年河南)分）在中俄“海上聯(lián)合—2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測(cè)得潛艇C的俯角為300．位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B側(cè)得潛艇C的俯角為680.試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開(kāi)海平面的下潛深度.（結(jié)果保留整數(shù)。參考數(shù)據(jù):sin680≈,cos680≈,,tan680≈.≈解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.則AD即為潛艇C的下潛深度．根據(jù)題意得∠ACD=300，∠BCD=680．設(shè)AD=x.則BD＝BA十AD=1000＋x.在Rt△ACD中，CD=……………4分在Rt△BCD中，BD=CD·tan688∴1000+x=x·tan688…………………7分∴x=∴潛艇C離開(kāi)海平面的下潛深度約為308米?！?14.（2022?江蘇徐州,第25題8分）如圖，輪船從點(diǎn)A處出發(fā)，先航行至位于點(diǎn)A的南偏西15°且點(diǎn)A相距100km的點(diǎn)B處，再航行至位于點(diǎn)A的南偏東75°且與點(diǎn)B相距200km的點(diǎn)C處．（1）求點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離（精確到1km）；（2）確定點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)A的方向．（參考數(shù)據(jù)：≈，≈）考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析： （1）作輔助線，構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可；（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC為直角三角形；然后根據(jù)方向角的定義，即可確定點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)A的方向．解答： 解：（1）如右圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．由圖得，∠ABC=75°﹣10°=60°．在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=50．∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150．在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC==100≈173（km）．答：點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離約為173km．（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2022=40000，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．答：點(diǎn)C位于點(diǎn)A的南偏東75°方向．點(diǎn)評(píng)： 考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．15.（2022?江蘇鹽城,第23題10分）鹽城電視塔是我市標(biāo)志性建筑之一．如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，老師要求測(cè)電視塔的高度AB．小明在D處用高1.5m的測(cè)角儀CD，測(cè)得電視塔頂端A的仰角為30°，然后向電視塔前進(jìn)224m到達(dá)E處，又測(cè)得電視塔頂端A的仰角為60°．求電視塔的高度AB．（取，結(jié)果精確到0.1m）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題分析：設(shè)AG=x，分別在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)DE=224m，求出x的值，繼而可求出電視塔的高度AB．解答：解：設(shè)AG=x，在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==x，∴x﹣=224，解得：x≈．則AB=+=（米）．答：電視塔的高度AB約為195.3米點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解，注意利用兩個(gè)直角三角形的公共邊求解是解答此類題型的常用方法．16.(2022?年山東東營(yíng),第22題8分)熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球A處與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（≈，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析： 過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，在直角△ABD與直角△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得BD和CD，即可求解．解答： 解：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD?tan30°=120×=40m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD?tan60°=120×=120m，BC=40=≈277.1m．答：這棟樓高約為277.1m．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了仰角與俯角的計(jì)算，一般三角形的計(jì)算，常用的方法是利用作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算．17．（2022?四川遂寧，第22題，10分）如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：sin2A1+sin2B1=1；sin2A2+sin2B2=1；sin2A3+sin2B3=（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1．（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．考點(diǎn)：勾股定理；互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系；解直角三角形．分析：（1）由前面的結(jié)論，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=，sinB=，則sin2A+sin2B=，再根據(jù)勾股定理得到a2+b2=c2，從而證明sin2A+sin2B=1；（3）利用關(guān)系式sin2A+sin2B=1，結(jié)合已知條件sinA=，進(jìn)行求解．解答：解：（1）1．（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．∵sinA=，sinB=，∴sin2A+sin2B=，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴sinB==．點(diǎn)評(píng)：本題考查了在直角三角形中互為余角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡(jiǎn)單．18．（2022?四川瀘州，第22題，8分）海中兩個(gè)燈塔A、B，其中B位于A的正東方向上，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在點(diǎn)C處測(cè)得燈塔A在西北方向上，燈塔B在北偏東30°方向上，漁船不改變航向繼續(xù)向東航行30海里到達(dá)點(diǎn)D，這是測(cè)得燈塔A在北偏西60°方向上，求燈塔A、B間的距離．（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析：根據(jù)方向角的定義以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AN，NC的長(zhǎng)進(jìn)而求出BN即可得出答案．解答：解：如圖所示：由題意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥FD，垂足為F，則∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°，∴AF=FC=AN=NC，設(shè)AF=FC=x，∴tan30°===，解得：x=15（+1），∵tan30°=，∴=，解得：BN=15+5，∴AB=AN+BN=15（+1）+15+5=30+20，答：燈塔A、B間的距離為（30+20）海里．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了方向角以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，得出NC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．19．（2022?四川內(nèi)江，第20題，9分）“馬航事件”的發(fā)生引起了我國(guó)政府的高度重視，迅速派出了艦船和飛機(jī)到相關(guān)海域進(jìn)行搜尋．如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機(jī)觀測(cè)