初中數(shù)學(xué)九年級上冊 特殊平行四邊形

第1頁（共1頁）九年級上第一章特殊平行四邊形培優(yōu)講義矩形菱形正方形的性質(zhì)和判定矩形菱形正方形性質(zhì)邊對邊平行且相等對邊平行，四邊相等對邊平行，四邊相等角四個角都是直角對角相等四個角都是直角對角線互相平分且相等互相垂直平分，且每條對角線平分一組對角互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角判定·有三個角是直角;·是平行四邊形且有一個角是直角;·是平行四邊形且兩條對角線相等.·四邊相等的四邊形；·是平行四邊形且有一組鄰邊相等；·是平行四邊形且兩條對角線互相垂直?！な蔷匦危矣幸唤M鄰邊相等；·是菱形，且有一個角是直角。對稱性既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形一.矩形矩形定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形或正方形).矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，矩形也是軸對稱圖形，對稱軸是通過對邊中點的直線，有兩條對稱軸；矩形的性質(zhì):(具有平行四邊形的一切特征)矩形性質(zhì)1:矩形的四個角都是直角．矩形性質(zhì)2:矩形的對角線相等且互相平分．如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．矩形的判定方法．矩形判定方法1：對角錢相等的平行四邊形是矩形．矩形判定方法2：有三個角是直角的四邊形是矩形．矩形判定方法3：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．矩形判定方法4：對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．二．菱形菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．【強調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等．菱形的性質(zhì)性質(zhì)1菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角；菱形的判定菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直．菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形．三．正方形正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：①有一組鄰邊相等的平行四邊形（菱形）②有一個角是直角的平行四邊形（矩形）正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸；因為正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對邊平行，四邊相等；角：四個角都是直角；對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．注意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì)．正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì)．正方形的判定方法：(1)有一個角是直角的菱形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三個要點：（1）是平行四邊形；（2）有一個角是直角；（3）有一組鄰邊相等．2、要確定一個四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形.1．菱形的兩條對角線長分別為6，8，則它的周長是（）A．5 B．10 C．20 D．24【解答】解：由于菱形的兩條對角線的長為6和8，∴菱形的邊長為：＝5，∴菱形的周長為：4×5＝20，故選：C．2．如圖，在菱形ABCD中，AC、BD相交于點O，E為AB的中點，且DE⊥AB，AC＝6，則菱形ABCD的面積是（）A．18 B．18 C．9 D．6【解答】解：∵E為AB的中點，DE⊥AB，∴AD＝DB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴AD＝DB＝AB，∴△ABD為等邊三角形．∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×6＝3，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴OB＝，∴BD＝2OB＝2，∴菱形ABCD的面積＝＝＝6，故選：D．3．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于點H，且DH與AC交于點G，AG＝cm，則GH的長為（）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC＝8cm，BD＝6cm，∴AO＝4cm，BO＝3cm，在Rt△AOB中，AB＝＝5cm，∵BD×AC＝AB×DH，∴DH＝cm，在Rt△DHB中，BH＝＝cm，則AH＝AB﹣BH＝cm，∴GH＝＝＝cm．故選：B．4．如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，且直線AC是其對稱軸，AB∥CD，則下列結(jié)論：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四邊形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中結(jié)論正確的序號是（）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【解答】解：因為l是四邊形ABCD的對稱軸，AB∥CD，則AD＝AB，∠1＝∠2，∠1＝∠4，則∠2＝∠4，∴AD＝DC，同理可得：AB＝AD＝BC＝DC，所以四邊形ABCD是菱形．根據(jù)菱形的性質(zhì)，可以得出以下結(jié)論：所以①AC⊥BD，正確；②AD∥BC，正確；③四邊形ABCD是菱形，正確；④在△ABD和△CDB中∵，∴△ABD≌△CDB（SSS），正確．故正確的結(jié)論是：①②③④．故選：B．5．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，下列條件中，不能使四邊形DBCE成為菱形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ABE＝90° D．BE平分∠DBC【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四邊形BCED為平行四邊形，A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤；B、∵BE⊥DC，∴對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故本選項正確；C、∵∠ABE＝90°，∴BD＝DE，∴鄰邊相等的平行四邊形為菱形，故本選項正確；D、∵BE平分∠DBC，∴對角線平分對角的平行四邊形為菱形，故本選項正確．故選：A．6．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，則菱形AECF的面積為（）A．1 B．2 C．2 D．4【解答】解：∵四邊形AECF是菱形，AB＝3，∴假設(shè)BE＝x，則AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，∵四邊形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3﹣x，解得：x＝1，∴CE＝2，利用勾股定理得出：BC2+BE2＝EC2，BC＝＝＝，又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，則菱形的面積是：AE?BC＝2．故選：C．7．如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，下列條件在，能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四邊形ABCD是平行四邊形，無法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯誤；B、AB∥CD，AD∥BC，得出四邊形ABCD是平行四邊形，無法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯誤；C、AC＝BD，AC⊥BD，無法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯誤；D、OA＝OB＝OC＝OD可以判斷四邊形ABCD是矩形．正確；故選：D．8．下列說法正確的有（）個①一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；②一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；③三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半；④兩條對角線相等的四邊形是矩形．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；正確，可以證明兩組對角分別相等．②一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；錯誤；③三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半；正確；④兩條對角線相等的四邊形是矩形．錯誤，應(yīng)該是兩條對角線相等的平行四邊形是矩形；故選：B．9．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則AM的最小值是（）A．2.5 B．2.4 C．2 D．3【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交點就是M點，∵當AP的值最小時，AM的值就最小，∴當AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最?。逜P×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AM＝，故選：B．10．如圖，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，則EC＝（）A． B． C． D．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，∴EF＝＝，∴CF＝3﹣＝，在Rt△CFE中，CE＝＝．故選：D．11．正方形ABCD中，點E、F分別在CD、BC邊上，△AEF是等邊三角形．以下結(jié)論：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分線是直線AC．正確結(jié)論個數(shù)有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°∵△AEF是等邊三角形∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°∵AD＝AB，AF＝AE∴△ABF≌△ADE∴BF＝DE∴BC﹣BF＝CD﹣DE∴CE＝CF故①正確∵CE＝CF，∠C＝90°∴EF＝CE，∠CEF＝45°∴AF＝CE，∵∠AED＝180°﹣∠CEF﹣∠AEF∴∠AED＝75°故②③正確∵AE＝AF，CE＝CF∴AC垂直平分EF故④正確故選：D．12．正方形具有而菱形不一定具有的特征有（）A．對角線互相垂直平分 B．內(nèi)角和為360° C．對角線相等 D．對角線平分內(nèi)角【解答】解：A、對角線互相垂直平分，正方形與菱形都具有，故本選項錯誤；B、內(nèi)角和為360°，正方形與菱形都具有，故本選項錯誤；C、正方形對角線相等，菱形對角線不相等，故本選項正確；D、對角線平分內(nèi)角，正方形與菱形都具有，故本選項錯誤．故選：C．13．如圖，在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四個判斷中，不正確的是（）A．四邊形AEDF是平行四邊形 B．如果AD＝EF，那么四邊形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠EAF，那么四邊形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形【解答】解：A、因為DE∥CA，DF∥BA，所以四邊形AEDF是平行四邊形．故A選項正確．B、如果AD＝EF，四邊形AEDF是平行四邊形，所以四邊形AEDF是矩形．故B選項正確．C、因為AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠FAD，∵∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因為四邊形AEDF是平行四邊形，所以是菱形．故C選項正確．D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四邊形AEDF是菱形，故D選項錯誤．故選：D．14．在四邊形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，能判定這個四邊形為正方形的是（）A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD【解答】解：因為對角線相等，且互相垂直平分的四邊形是正方形，故選D．15．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E、F、G分別在邊AB、AD、CD上，EG與BF交于點I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，則DI的最小值等于（）A．+3 B．2﹣2 C．2﹣ D．2+3【解答】解：如圖，過點E作EM⊥CD于點M，取BE的中點O，連接OI、OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，∴四邊形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，∵BF＝EG，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，∵AB∥CD∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB∵∠ABF+∠AFB＝90°∴∠ABF+∠BEG＝90°∴∠EIF＝90°，∴BF⊥EG；∵△EIB是直角三角形，∴OI＝BE，∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，∵OD﹣OI≤DI，∴當O、D、I共線時，DI有最小值，∵IO＝BE＝2，∴OD＝＝2，∴ID＝2﹣2，即DI的最小值為2﹣2，故選：B．16．如圖，平面內(nèi)三點A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC為對角線作正方形BDCE，連接AD，則AD的最大值是（）A．5 B．7 C．7 D．【解答】解：如圖將△BDA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM．由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∴當AM的值最大時，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值為7，∴AD的最大值為，故選：D．17．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點．若AM＝，則線段BN的長為（）A． B． C．2 D．1【解答】解：作MH⊥AC于H，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH為等腰直角三角形，∵AM＝，∴AH＝MH＝1，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝45°，∠MBC＝90°∴∠ACM＝∠BCM＝22.5°，BM＝MH＝1，∵∠BAC＝45°，∴∠BMC＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠BNM＝∠ONC＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM＝1，故選：D．18．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，則∠AOF＝90度．【解答】證明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，∵AD是△ABC的角平分線，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE．∴?AEDF為菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．故答案為：90．19．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．D是AC的中點，DE⊥AC，AE∥BD，若BC＝4，AE＝5，則四邊形ACBE的周長是18．【解答】解：∵AE∥BD，∴∠CDB＝∠DAE，∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴DE∥BC，∵D為AC中點，∴AD＝CD，在△ADE和△DCB中∵，∴△ADE≌△DCB（ASA），∴DE＝BC＝4，在Rt△DCB中，BC＝4，BD＝5，由勾股定理得：DC＝3，∴AD＝DC＝3，∵ED＝BC，DE∥BC，∴四邊形DEBC是平行四邊形，∴CD＝BE＝3，∴四邊形ACBE的周長是AC+BC+BE+AE＝3+3+4+3+5＝18，故答案為：18．20．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了五組條件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正確的是①②③⑤（填寫序號）．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是正方形，①正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB⊥AD，∴四邊形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是正方形，②正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB⊥AD，∴四邊形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，③正確；④AB＝BD，且AB⊥BD，無法得出四邊形ABCD是正方形，故④錯誤；∵四邊形ABCD是平行四邊形，OB＝OC，∴四邊形ABCD是矩形，又∵OB⊥OC，∴四邊形ABCD是正方形，⑤正確；故答案為：①②③⑤．21．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四種說法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是正方形．其中，正確的有①②③④（只填寫序號）【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，故①正確；∵四邊形AEDF是平行四邊形，∠BAC＝90°，∴四邊形AEDF是矩形，故②正確；∵AD平分∠BAC，四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，故③正確；∵若AD平分∠BAC，則平行四邊形AEDF是菱形，∴若∠BAC＝90°，則平行四邊形AEDF是正方形，故④正確．故答案為：①②③④．22．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是3．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥DP交BC的延長線于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四邊形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四邊形ABCD的面積＝四邊形DPBE的面積＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案為：3．23．如圖，AC是四邊形ABCD的對角線，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB+45°，BC＝AB+，若AC＝CD，則邊AD的長為．【解答】解：作∠DCH＝∠ACB，并過D作DH⊥CH于H，延長HD交BA延長線于K，如圖所示：設(shè)∠DCH＝∠ACB＝x，∵AC＝CD，∴∠DAC＝∠ADC＝x+45°，∴∠ACD＝180°﹣2（x+45°）＝90°﹣2x，∴∠BCH＝90°，在△ABC和△DHC中，，∴△ABC≌△DHC（AAS），∴BC＝HC，AB＝DH，∴四邊形BCKH是正方形，∴∠K＝90°，BK＝HK，∴AK＝DK＝BC﹣AB＝，∴△ADK是等腰直角三角形，∴AD＝＝．故答案為：．24．如圖，在平行四邊形BFEC中，連接FC，并延長至點D，延長CF至點A，使DC＝AF，連接AB、DE．（1）求證：AB∥DE．（2）若平行四邊形BFEC是菱形，且∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，則CF＝3.6．【解答】（1）證明：∵四邊形BFEC為平行四邊形，∴BF∥CE，BF＝CE，∴∠BFC＝∠ECF，∴∠BFA＝∠ECD，在△AFB與△DCE中，，∴△AFB≌△DCE，（SAS），∴∠A＝∠D，∴AB∥DE；（2）解：過點B作BM⊥CF于點M，在Rt△ABC中，AC＝＝5，∵S△ABC＝AB?BC＝AC?BM，∴BM＝＝2.4，又∵四邊形BFEC為菱形，∴BF＝BC＝3，CF＝2FM，在Rt△BFM中，F(xiàn)M＝＝1.8，∴CF＝2×1.8＝3.6．故答案為：3.6．25．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點，BD是對角線．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，請證明四邊形BEDF是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，∵E、F分別為邊AB、CD的中點，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）證明：∵E、F分別為邊AB、CD的中點，∴DF＝DC，BE＝AB，又∵在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，DF＝BE，∴四邊形DEBF為平行四邊形，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴△DBC為直角三角形，又∵F為邊DC的中點，∴BF＝DC＝DF，又∵四邊形DEBF為平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形．26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點，點E，F(xiàn)分別在AD及其延長線上，且CE∥BF，連接BE，CF．（1）求證：四邊形EBFC是菱形；（2）若BD＝4，BE＝5，求四邊形EBFC的面積．【解答】（1）證明：∵D是BC邊的中點，∴BD＝CD，∵CE∥BF，∴∠DBF＝∠ECD，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（ASA），∴CE＝BF，又∵CE∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形；∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，又∵四邊形BFCE是平行四邊形，∴四邊形BFCE是菱形．（2）解：在Rt△BDE中，BE＝5，BD＝4，∴DE＝＝3，∵四邊形BECF是菱形，∴EF＝2DE＝6，BC＝2BD＝8，∴菱形BECF的面積＝×6×8＝24．27．如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，點E是菱形外一點，DE∥AC，CE∥BD．（1）求證：四邊形DECO是矩形；（2）連接AE交BD于點F，當∠ADB＝30°，DE＝2時，求AF的長度．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形DECO是平行四邊形，∴四邊形DECO是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝OC，∵四邊形DECO是矩形，∴DE＝OC，∵DE＝2，∴DE＝AO＝2，∵DE∥AC，∴∠OAF＝∠DEF，在△AFO和△EFD中∴△AFO≌△EFD（AAS），∴OF＝DF，在Rt△ADO中，tan∠ADB＝，∴＝，∴DO＝2，∴FO＝，∴AF＝＝＝．28．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC中點，AE∥BC，CE∥AD．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）過點D作DF⊥CE于點F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的長．【解答】（1）證明：∵AE∥DC，EC∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，點D是BC的中點，∴AD＝BD＝CD，∴平行四邊形ADCE是菱形；（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，∵AD∥CE，∴∠DCE＝60°，∵CD＝AD＝6，∴CE＝CD＝3，∵四邊形ADCE是菱形，∴CE＝CD＝6，∴EF＝3．29．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，BE⊥AB，垂足為B，BE＝CD連接CE，DE．（1）求證：四邊形CDBE是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝30°，求DE的長．【