專(zhuān)題10拋物線(xiàn)及其方程（重難點(diǎn)突破）原卷版

專(zhuān)題10拋物線(xiàn)及其方程考點(diǎn)一：拋物線(xiàn)的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．知識(shí)點(diǎn)詮釋:（1）上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線(xiàn)；一個(gè)定值（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線(xiàn)上，若F在上，拋物線(xiàn)變?yōu)檫^(guò)F且垂直與的一條直線(xiàn).（3）拋物線(xiàn)定義建立了拋物線(xiàn)上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線(xiàn)的定義聯(lián)系起來(lái)，將拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離互化，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.考點(diǎn)二：拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線(xiàn)方程的的四種形式，，，。知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)孩僦挥挟?dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開(kāi)口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線(xiàn)的一次項(xiàng)為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向負(fù)方向（向下）③拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍.④從方程形式看，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開(kāi)口方向定型），然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論.⑤在求拋物線(xiàn)方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫(xiě)出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)，不要遺漏某一種情況?？键c(diǎn)三：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）在y軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線(xiàn)向右上方和右下方無(wú)限延伸。拋物線(xiàn)是無(wú)界曲線(xiàn)。對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線(xiàn)的軸。拋物線(xiàn)只有一條對(duì)稱(chēng)軸。頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)。拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）。拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對(duì)比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點(diǎn)O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率e=1準(zhǔn)線(xiàn)方程焦半徑知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）與橢圓、雙曲線(xiàn)不同，拋物線(xiàn)只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱(chēng)軸，一條準(zhǔn)線(xiàn)；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離；p＞0恰恰說(shuō)明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線(xiàn)上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程.重難點(diǎn)題型突破1拋物線(xiàn)的定義及應(yīng)用例1．(1)、（2020·福建省莆田市高三質(zhì)檢）已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，A為C上一點(diǎn)，且|AF|＝5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAF的面積為（）A．2 B． C． D．4（2）、（23·24上·常州·期中）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C．2 D．1【變式訓(xùn)練11】、（23·24上·贛州·期中）已知是拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，A是上的一點(diǎn)，若，則A的縱坐標(biāo)為.【變式訓(xùn)練12】．（河南省安陽(yáng)一中2019屆期末）若拋物線(xiàn)y2＝2x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為eq\r(3)，則點(diǎn)M到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_______．重難點(diǎn)題型突破2拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)例2．（1）、（22·23上·宜春·期末）已知拋物線(xiàn)：，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）、（23·24上·銀川·期中）如果拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)是直線(xiàn)，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．（3）、（22·23上·豐臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線(xiàn)的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式訓(xùn)練21】、（23·24上·臺(tái)州·期中）準(zhǔn)線(xiàn)方程為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式訓(xùn)練22】、（22·23上·貴陽(yáng)·期中）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．6 B．2 C．5 D．8【變式訓(xùn)練23】、（2022·安徽蚌埠·一模）已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9重難點(diǎn)題型突破3求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．（1）、（22·23上·津南·期末）準(zhǔn)線(xiàn)為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．（2）、（22·23上·梅州·階段練習(xí)）設(shè)拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則C的方程為.【變式訓(xùn)練31】、（23·24上·焦作·階段練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為的拋物線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練32】、（23·24上·浦東新·期中）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為．例4．（22·23下·和田·期中）（1）求焦距是，離心率等于的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式訓(xùn)練41】、（22·23·江蘇·假期作業(yè)）求適合下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程：(1)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是3，而且焦點(diǎn)在軸的正半軸上；(2)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是.重難點(diǎn)題型突破4直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系例5、（23·24上·云南·階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，其中，且．(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于P，Q兩點(diǎn)，若，求的值．【變式訓(xùn)練51】、（23·24上·茂名·階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)：（）上的一點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1．(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)若正方形的三個(gè)頂點(diǎn)、、在拋物線(xiàn)上，求這種正方形面積的最小值．重難點(diǎn)題型突破5拋物線(xiàn)與其他圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題例6.（1）、（21·22上·玉林·期末）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△的面積是△面積的4倍，則直線(xiàn)l的方程為．（2）、（23·24上·長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）（多選題）已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則（

）A．若垂直的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，且，則四邊形的周長(zhǎng)為B．若，則的面積為C．若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則的最小值為D．若，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)【變式訓(xùn)練61】、（21·22上·全國(guó)·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（其中），連接并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，記直線(xiàn)l的斜率為k，直線(xiàn)的斜率為，則.【變式訓(xùn)練62】、（22·23·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，則下列判斷不正確的是（

）A．若過(guò)點(diǎn)，則的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 B．若過(guò)點(diǎn)，則C．若，則 D．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為1．（23·24上·鹽城·期中）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（

）A． B． C． D．2．（23·24上·株洲·階段練習(xí)）焦點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．3．（23·24·昆明·模擬預(yù)測(cè)）（多選題）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的傾斜角為的直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，的面積是，則（

）A． B．C． D．4．（23·24上·南通·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)向拋物線(xiàn)引兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)為.5．（23·24·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)至，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．6．（23·24上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，