專題10拋物線及其方程（重難點突破）原卷版

專題10拋物線及其方程考點一：拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．知識點詮釋:（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值（2）定義中的隱含條件：焦點F不在準線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.（3）拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關(guān)系，在解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化.考點二：拋物線的標準方程拋物線標準方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，。知識點詮釋：①只有當拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應(yīng)的坐標軸上，且開口方向與一次項的系數(shù)的正負一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負方向（向下）③拋物線標準方程中一次項的系數(shù)是焦點的對應(yīng)坐標的4倍.④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程時，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標準方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點的位置或開口方向定型），然后求一次項的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.⑤在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應(yīng)寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況。考點三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)：拋物線標準方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標（x，y）的橫坐標滿足不等式x≥0；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線y2=2px（p＞0）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點：坐標原點拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標是（0，0）。拋物線標準方程幾何性質(zhì)的對比圖形標準方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準線方程焦半徑知識點詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；（2）標準方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應(yīng)找到相當于p的值，才易于確定焦點坐標和準線方程.重難點題型突破1拋物線的定義及應(yīng)用例1．(1)、（2020·福建省莆田市高三質(zhì)檢）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A為C上一點，且|AF|＝5，O為坐標原點，則△OAF的面積為（）A．2 B． C． D．4（2）、（23·24上·常州·期中）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，則點到軸的距離為（

）A． B． C．2 D．1【變式訓練11】、（23·24上·贛州·期中）已知是拋物線：的焦點，A是上的一點，若，則A的縱坐標為.【變式訓練12】．（河南省安陽一中2019屆期末）若拋物線y2＝2x上的一點M到坐標原點O的距離為eq\r(3)，則點M到該拋物線焦點的距離為________．重難點題型突破2拋物線的幾何性質(zhì)例2．（1）、（22·23上·宜春·期末）已知拋物線：，則拋物線的焦點坐標為．（2）、（23·24上·銀川·期中）如果拋物線的準線是直線，那么它的焦點坐標為（

）A． B． C． D．（3）、（22·23上·豐臺·開學考試）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式訓練21】、（23·24上·臺州·期中）準線方程為的拋物線的標準方程為.【變式訓練22】、（22·23上·貴陽·期中）拋物線的焦點到圓上點的距離的最大值為（

）A．6 B．2 C．5 D．8【變式訓練23】、（2022·安徽蚌埠·一模）已知點是拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于兩點，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9重難點題型突破3求拋物線的標準方程例3．（1）、（22·23上·津南·期末）準線為的拋物線的標準方程是（

）A． B．C． D．（2）、（22·23上·梅州·階段練習）設(shè)拋物線C：的焦點為F，點M在C上，，若以MF為直徑的圓過點，則C的方程為.【變式訓練31】、（23·24上·焦作·階段練習）頂點在原點，準線方程為的拋物線方程為（

）A． B． C． D．【變式訓練32】、（23·24上·浦東新·期中）拋物線的準線方程為．例4．（22·23下·和田·期中）（1）求焦距是，離心率等于的橢圓的標準方程；（2）求頂點在原點，對稱軸是軸，并經(jīng)過點的拋物線的標準方程.【變式訓練41】、（22·23·江蘇·假期作業(yè)）求適合下列條件的拋物線的標準方程和準線方程：(1)拋物線的焦點到準線的距離是3，而且焦點在軸的正半軸上；(2)拋物線的焦點是.重難點題型突破4直線與拋物線位置關(guān)系例5、（23·24上·云南·階段練習）已知拋物線：的焦點為，是上一點，其中，且．(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線與相交于P，Q兩點，若，求的值．【變式訓練51】、（23·24上·茂名·階段練習）已知拋物線：（）上的一點到準線的距離為1．(1)求拋物線的方程；(2)若正方形的三個頂點、、在拋物線上，求這種正方形面積的最小值．重難點題型突破5拋物線與其他圓錐曲線的綜合問題例6.（1）、（21·22上·玉林·期末）已知拋物線的焦點F在直線上，過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為．（2）、（23·24上·長沙·階段練習）（多選題）已知是拋物線的焦點，是上的兩點，為原點，則（

）A．若垂直的準線于點，且，則四邊形的周長為B．若，則的面積為C．若直線過點，則的最小值為D．若，則直線恒過定點【變式訓練61】、（21·22上·全國·階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為F，過點的直線l與拋物線交于，兩點（其中），連接并延長交拋物線于點C，記直線l的斜率為k，直線的斜率為，則.【變式訓練62】、（22·23·全國·專題練習）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交拋物線于點，則下列判斷不正確的是（

）A．若過點，則的準線方程為 B．若過點，則C．若，則 D．若，則點的坐標為1．（23·24上·鹽城·期中）拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．2．（23·24上·株洲·階段練習）焦點坐標為的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．3．（23·24·昆明·模擬預測）（多選題）在直角坐標系中，已知拋物線：的焦點為，過點的傾斜角為的直線與相交于，兩點，且點在第一象限，的面積是，則（

）A． B．C． D．4．（23·24上·南通·階段練習）過點向拋物線引兩條切線，切點分別為A，B，直線恒過的定點為.5．（23·24·全國·專題練習）已知點是曲線上任意一點，，連接并延長至，使得，求動點Q的軌跡方程．6．（23·24上·全國·課時練習）求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)頂點在原點，