三垂線(xiàn)定理及逆定理的應(yīng)用課件

三垂線(xiàn)定理及逆定理的應(yīng)用例一：判斷下列命題是否正確（１）若一直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面的一條斜線(xiàn)，則該直線(xiàn)必垂直于斜線(xiàn)在平面上的射影。()（２）平面內(nèi)與這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直的直線(xiàn)互相平行。()（3）若兩條直線(xiàn)互相垂直，且其中的一條平行一個(gè)平面，另一條是這個(gè)平面的斜線(xiàn)，則這兩條直線(xiàn)在平面上的射影互相垂直。()

錯(cuò)誤正確正確ABDCCABD1111例二：在正方體中：猜想和具有什么特殊的位置關(guān)系？能否找到與具有這種關(guān)系的其他面對(duì)角線(xiàn)嗎？并簡(jiǎn)要證明。

證明：變題:是上一動(dòng)點(diǎn)，在平面上能否作一條過(guò)點(diǎn)的線(xiàn)段與垂直？是面內(nèi)一點(diǎn)，在平面上能否作一條過(guò)點(diǎn)的線(xiàn)段與垂直？ABCABCD1D111P..F分析：第一問(wèn)：顯見(jiàn)過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)即可。第二問(wèn)：找到在面內(nèi)的射影，過(guò)點(diǎn)作射影的垂線(xiàn)段即可。

.EOAPBCD例三：.EOAPBCDFNMPABCD.E

練習(xí)：已知，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)求證：MNABABDCCABD1111.PO思考：在正方體中，是的中點(diǎn)，為底面的中心。求證：分析：與異面，、既可為平面的斜線(xiàn)，也可為平面內(nèi)直線(xiàn)。關(guān)鍵在于平面的選擇,射影的確定。方法一：以為平面，則是平面的斜線(xiàn)，是平面內(nèi)直線(xiàn)。由條件可知：平面，則為在平面內(nèi)的射影。根據(jù)三垂線(xiàn)定理，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明即可。ABDCCABD1111.POM方法二：以為平面，是平面的斜線(xiàn)，是平面內(nèi)直線(xiàn)。由條件可知：平面，則是在平面內(nèi)的射影，再構(gòu)造出平面，找到在平面內(nèi)的射影。因此是在平面內(nèi)的射影，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明即可。1、不同平面的選擇，不同射影的確定，使圖形中構(gòu)造“一面四線(xiàn)”有難有易。2、在空間的任一平面內(nèi)，平幾的公理、定理仍然成立。在解證立幾問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用平幾知識(shí)是十分重要的。例一：在下列三個(gè)命題中，為真命題的共有（）

1、如果一條直線(xiàn)和一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則這條直線(xiàn)和這條斜線(xiàn)垂直

2、如果一條直線(xiàn)和一條斜線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)和斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直

3、如果一條直線(xiàn)和一條斜線(xiàn)垂直，也和這條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線(xiàn)在平面內(nèi)，或者和平面平行

A.O個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)B判斷命題的真假，應(yīng)嚴(yán)格按照三垂線(xiàn)定理及逆定理。ABCEF()A引入：道路旁有一條河，河對(duì)岸有一嘹望塔，高10米。利用測(cè)角儀和皮尺，設(shè)計(jì)一個(gè)合理的方案測(cè)出塔頂與道路的距離。ABlCD分析：將道路、塔、河岸抽象為線(xiàn)段或直線(xiàn)。塔頂與道路的距離是點(diǎn)A到L的垂線(xiàn)段長(zhǎng)，關(guān)鍵是垂足的確定。假設(shè)AC是距離，連結(jié)BC，由三垂線(xiàn)定理的逆定理：BCl。因此要確定垂足C，用測(cè)角儀測(cè)定BCl即可。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在RtABC中求AC.利用工具構(gòu)造RtBCD，求出BC，即得AC.ABCDO例二：四面體中，，求證：當(dāng)題中具備了（構(gòu)造后具備了）定理所需條件“一面四線(xiàn)”可用定理解題。三垂線(xiàn)定理證明異面垂直，逆定理證明共面垂直。分析：AD、BC是兩條異面直線(xiàn)。即證兩條異面直線(xiàn)垂直。根據(jù)三垂線(xiàn)定理，只需證明AD在平面BCD內(nèi)的射影和BC垂直。因此可作AO平面BCD于O點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明ODBC。連結(jié)BO、CO，根據(jù)三垂線(xiàn)定理的逆定理可證：BOCD，COBD，確定O是