16.1 二次根式（原卷版）

16.1二次根式理解二次根式的概念，理解使二次根式有意義的條件;會根據(jù)二次根式有意義的條件求被開方數(shù)中字母的取值范圍.理解二次根式的基本性質(zhì)，知道等式成立的條件;會利用二次根式的性質(zhì)化簡簡單的二次根式.理解與的關(guān)系，能運用等式＝解決有關(guān)問題.知識點一二次根式的概念二次根式的概念代數(shù)式叫做二次根式，讀作“根號a”，其中a是被開方數(shù).例如，，都是二次根式.[注意]例如可寫成，但不能寫成.通常把形如的式子也叫做二次根式，如，，，也是二次根式.注意：表示與是相乘的關(guān)系，當(dāng)是分?jǐn)?shù)時，只能是真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，不能寫成帶分?jǐn)?shù)或小數(shù)的形式.2.二次根式的特征（1）必須含有平方根“”，“”的根指數(shù)是2；[根指數(shù)2一般省略不寫]（2）被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，如和都不是二次根式.問題：如何證明不是二次根式？解：∵，∴，∴∴無意義即不是二次根式.即學(xué)即練下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2，33，1x，x（x>0），0，42，-2，知識點二二次根式有無意義的條件分類條件符號語言有意義被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)無意義被開方數(shù)是負(fù)數(shù)本知識點一般用于求被開方數(shù)中的字母的取值范圍較多。二次根式有意義的條件：要使二次根式有意義,必須使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),據(jù)此建立不等式(組)求解,不要錯誤地認(rèn)為二次根式中所含字母為非負(fù)數(shù);若式子中含有多個二次根式，則字母的取值必須使各個被開方數(shù)同時為非負(fù)數(shù);若式子中含有分母，則字母的取值必須使分母不為零.即學(xué)即練設(shè)x是實數(shù)，當(dāng)x滿足什么條件時，下列各式有意義？(1)5+xx+4(2)11-(3)2x+6-3知識點三二次根式的性質(zhì)二次根式的雙重非負(fù)性具有雙重非負(fù)性：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)本身也是非負(fù)數(shù)初中階段非負(fù)性的三種表達(dá)式：初中階段非負(fù)性的三種表達(dá)式：偶次方非負(fù)，常以二次方居多：絕對值非負(fù)：算術(shù)平方根非負(fù)：即學(xué)即練已知a+b-1+2a+b-2=0，則(a-b)2023A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023若幾個非負(fù)式的和為0，則這幾個非負(fù)式都為0，常見形式如下：若幾個非負(fù)式的和為0，則這幾個非負(fù)式都為0，常見形式如下：（1）若則；（2）若則；（3）若則；問題：為什么說只能是都為0？因為非負(fù)數(shù)要么是0要么是正數(shù)，組合情況有3種：（1）0+正≠0（2）正+正≠0（3）0+0=0，綜上所述，只有同時為0時，結(jié)果才能為0.2.二次根式的性質(zhì)1：一個非負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身；對于實數(shù)，一般來說，由，得，其中.利用二次根式的性質(zhì)1，可知，所以.注意：性質(zhì)表示一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值.的值不一定等于.3.二次根式的性質(zhì)2：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.反之，一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式,即.（1）與的區(qū)別與聯(lián)系：類別區(qū)別表示的意義表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方表示數(shù)的平方的算術(shù)平方根運算順序先開方，后平方先平方，后開方的取值為任意實數(shù)化簡結(jié)果＝聯(lián)系（1）結(jié)果都是非負(fù)數(shù)（2）當(dāng)時，＝（2）不同類型的二次根式化簡類型方法先利用積的平方等于平方的積，即化為的形式，再化簡.先利用化為的形式后再化簡.4.二次根式的性質(zhì)3：（1）和可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足，實際上，是限制性質(zhì)3右邊的，對于性質(zhì)3的左邊，只需要即可.（2）若一個二次根式的被開方數(shù)中有的因式是完全平方式，則可以利用及將這些因式“開方”出來，從而將二次根式化簡.5.二次根式的性質(zhì)4：性質(zhì)4中的和必須滿足.是限制性質(zhì)4右邊的，對于性質(zhì)4的左邊，只要且即可.例如計算，不能寫成，而應(yīng)該寫成.性質(zhì)3和4兩個等式中，左邊是以兩個數(shù)的積（或商）為被開方數(shù)的二次根式，右邊是分別以這兩個數(shù)為被開方數(shù)的兩個二次根式的積（或商），在二次根式的運算或變換中，可以據(jù)此從左到右或從右到左進(jìn)行轉(zhuǎn)化.性質(zhì)3和4兩個等式中，左邊是以兩個數(shù)的積（或商）為被開方數(shù)的二次根式，右邊是分別以這兩個數(shù)為被開方數(shù)的兩個二次根式的積（或商），在二次根式的運算或變換中，可以據(jù)此從左到右或從右到左進(jìn)行轉(zhuǎn)化.即學(xué)即練（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習(xí)）若60n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（

）A．15 B．5 C．4 D．3知識點四化簡二次根式化簡二次根式：把二次根式里被開方數(shù)所含的完全平方因式移到根號外，或者化去被開方數(shù)的分母的過程，稱為“化簡二次根式”.方法：方法舉例被開方數(shù)含有完全平方因式，可用它的非負(fù)平方根代替后移到根號外面化去被開方數(shù)的分母若被開方數(shù)含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)若被開方數(shù)是分式，應(yīng)先將分母化成平方的形式，再進(jìn)行開方運算被開方數(shù)是多項式的要先進(jìn)行因式分解化去分母的方法將分子和分母同乘一個不等于0的代數(shù)式，使得分母變?yōu)橥耆椒绞?，再將分母用它的正平方根代替后移到根號外作新的分?注意去根號時，若移到根號外面的式子是多項式，則該多項式是一個整體，必須添加括號.即學(xué)即練化簡：(1)12(2)-24x(3)6y題型一求二次根式的值例1（2023春·上海長寧·八年級上海市延安初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程m+x-2=4有實數(shù)解，那么m的取值范圍是舉一反三1（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┊?dāng)a=-1時，二次根式7-a的值是．舉一反三2（2023春·浙江溫州·八年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)x=2時，二次根式2x-3的值為．題型二二次根式有意義的條件例2（2023春·上海靜安·八年級統(tǒng)考期末）方程x+1x-1=0的根是舉一反三1（2023·上海寶山·校考階段練習(xí)）已知實數(shù)x、y滿足y=16-x2舉一反三2（2023春·安徽六安·八年級?？计谥校┤舸鷶?shù)式14-x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是舉一反三3（2023春·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）如果y=4-x+x-4+2，則舉一反三4（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）已知y=x-2022-2023-x+1，其中x為整數(shù)，則題型三二次根式的非負(fù)性的應(yīng)用例3已知：實數(shù)a，b滿足關(guān)系式(a-2)2舉一反三1（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期中）當(dāng)a=2022時，求a+a

(1)______的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因______；(3)當(dāng)a>3時，求a2舉一反三2（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若x-32=3-x，則x的值為舉一反三3（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）設(shè)x，y均為實數(shù)，且y=x2-3+3-題型四利用二次根式的性質(zhì)求字母的取值范圍例4（2022秋·上海靜安·八年級?？计谥校┮阎?-x-x2-8x+16舉一反三1（2022春·上?！て吣昙壭？计谥校┤魓2-8x+16=4-x，則x舉一反三2若化簡|1-x|-x2-8x+16的結(jié)果是2x-5，則題型五利用二次根式的性質(zhì)化簡例5（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）化簡：3-π2=舉一反三1（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學(xué)?？计谥校┗啠?2-5)2=舉一反三2（2022秋·上海虹口·八年級?？计谥校┮阎獂<0,y>0，則x2y化簡后為題型六二次根式的性質(zhì)與幾何問題例6（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知a，b，c滿足a-22(1)求a，b，c的值；(2)以a，b，c為邊能否組成一個三角形？若能，求出三角形的周長；若不能，請說明理由．舉一反三1設(shè)a、b、舉一反三2《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c2a2-題型七二次根式的性質(zhì)與最大（小）整數(shù)問題例7（2022秋·上海嘉定·八年級統(tǒng)考期中）已知20n是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為．舉一反三1（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）已知96n是整數(shù)，正整數(shù)n的最小值為．舉一反三2已知19-n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為．一、單選題1．（2023春·廣東廣州·八年級執(zhí)信中學(xué)?？计谥校┤?8n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．182．（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學(xué)附屬大境初級中學(xué)?？计谥校┮阎猘<0，則二次根式-a2bA．a(chǎn)b B．a(chǎn)-b C．-ab3．（2022秋·上海靜安·八年級上海市市西中學(xué)?？计谥校┮阎獂y<0，化簡二次根式-xy2yA．x B．-x C．-x D．4．（2022秋·上海寶山·八年級統(tǒng)考期末）如果y=3-2x+2x-3，則x+yA．32 B．1 C．23 D5．（2022秋·上海長寧·八年級上海市第三女子初級中學(xué)?？计谥校┊?dāng)b<0時，-b2aA．baa B．-baa C6．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┤?2-a2A．a(chǎn)≥12 B．0≤a≤12 C．7．（2022秋·上海寶山·八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（

）A．(-3)2=-3 B．32=3 C．8．（2022秋·上海虹口·八年級上外附中?？茧A段練習(xí)）如果2-3x2=2+3xA．-23≤x≤23 B．-23≤x≤0二、填空題1．已知x+5有意義，如果關(guān)于x的方程x+5+a=3沒有實數(shù)根，那么a的取值范圍是2．（2022秋·上海靜安·八年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)校考期中）已知m,x,y是兩兩不相等的實數(shù)，且滿足mx-m+my-m=3．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┗啠?0a24．（2021秋·上海·八年級上海市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)x、y滿足y＝1-2x+2x-1+9，則yx值是5．（2022秋·上海虹口·八年級上外附中校考階段練習(xí)）將x-6x36．（2022秋·上海寶山·八年級上海市泗塘中學(xué)?？计谥校┊?dāng)x時，代數(shù)式1x+37．（2022秋·上海靜安·八年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)校考期中）當(dāng)?shù)仁絰+21-x=x+21-x成立時，三、解答題1．（2022秋·上海