北京市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中題含解析

Page14北京市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考試時(shí)間90分鐘一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.直線的傾斜角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由直線方程,可知直線斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故選．2.已知i為虛數(shù)單位，則（）A.1 B. C.i D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法和除法運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】.故選：C.3.在四面體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).設(shè),，，那么向量用基底可表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則，然后利用空間向量的基本定理，用表示向量即可.【詳解】點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，，又，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的基本定理，以及向量的中點(diǎn)公式，要求熟練掌握，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，采用排除法得出結(jié)論．【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，由于圓的半徑為，故排除A、B；再把原點(diǎn)代入，只有滿足，不滿足本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．5.已知直線的方程為，則直線（）A.恒過(guò)點(diǎn)且不垂直軸 B.恒過(guò)點(diǎn)且不垂直軸C.恒過(guò)點(diǎn)且不垂直軸 D.恒過(guò)點(diǎn)且不垂直軸【答案】D【解析】【分析】令求出，即可求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，再分和兩種情況討論，判斷直線與坐標(biāo)軸的關(guān)系，即可得解.【詳解】解：直線的方程為，令，可得，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線方程為，此時(shí)直線垂直軸，當(dāng)時(shí)直線方程為，，顯然直線不與軸垂直.故選：D6.已知點(diǎn)P是正方體的棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正方體的性質(zhì)可知所求為的最小值，又因?yàn)椋芍?dāng)點(diǎn)在處時(shí)，有最小值，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】解：由正方體的性質(zhì)可知：，則異面直線與所成的角為直線與直線所成的角，即或其補(bǔ)角.又因?yàn)槠矫?，所以，即求的最小?，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，.故選：A.7.已知直線和直線互相平行，則a的值是（）A.0 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行直接列方程求解即可.詳解】由題意可知，因?yàn)橹本€和直線互相平行，所以，解得，故選：B8.已知三棱錐中，兩兩垂直，且，則點(diǎn)P到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可根據(jù)等體積求解，即，根據(jù)三棱錐中，三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)為1，即可求得【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵兩兩垂直，且，∴，，∴，∵，即∴，∴，即點(diǎn)到平面的距離為，故選：C9.已知直線與圓交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)面積最大時(shí)，斜率k值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，當(dāng)，面積最大，分析可得此時(shí)圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式即得解.【詳解】由題意，圓，故圓心，半徑，，故當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)圓心到直線的距離，即，即，解得.故選：D10.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面上移動(dòng)，且滿足，則線段的長(zhǎng)度的最大值為()A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出a、b之間的關(guān)系，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求長(zhǎng)度的最大值．【詳解】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，則，，，，，則易求，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，可取到最大值9，線段的長(zhǎng)度的最大值為3．故選：B．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.11.已知空間向量，，若，則__________．【答案】3【解析】【詳解】，得．12.已知，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第____________象限．【答案】一【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故答案為：一13.已知，過(guò)點(diǎn)作直線與相切于點(diǎn)，則____________．【答案】【解析】【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】解：，即，所以圓心為，半徑，又，所以，所以.故答案為：14.若⊙與⊙相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是_________．【答案】4【解析】【詳解】依題意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.15.設(shè)直線，圓，若在圓C上存在兩點(diǎn)P，Q，在直線l上存在一點(diǎn)M，使得，則a的取值范圍是____________．【答案】.【解析】【分析】由切線對(duì)稱(chēng)性和圓的知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離小于或等于，再由點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于a的不等式求解.【詳解】圓的圓心，半徑為1，因?yàn)橹本€上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是圓C上兩點(diǎn)，當(dāng)分別與圓相切時(shí)，最大，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與圓心之間的距離最小時(shí)，即時(shí)，最大，圓心到直線的距離為，因?yàn)樵趫AC上存在兩點(diǎn)P，Q，在直線l上存在一點(diǎn)M，使得，所以當(dāng)時(shí)，滿足條件，此時(shí)，解得，所以a的取值范圍是，故答案為：.三、解答題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.16.已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2正方形，是正三角形，平面，O是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）顯然，由平面得，根據(jù)線面垂直判定得平面；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面法向量，代入線面角計(jì)算公式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭钦切?，O是的中點(diǎn)所以又平面，平面，所以又因?yàn)?，平面，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以正方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量由得，取，設(shè)直線與平面所成角，則，故直線與平面所成角的正弦值為.17.在平面直角坐標(biāo)系中，從下面的條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過(guò)點(diǎn)，與相交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．①是一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)；②圓心，且與直線相切．【答案】（1）（2）或【解析】分析】（1）選①，根據(jù)，求得圓心和半徑即可；選②根據(jù)與直線相切求得半徑即可；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，根據(jù)弦長(zhǎng)判斷；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，利用弦長(zhǎng)公式求解；【小問(wèn)1詳解】解：選①，因?yàn)?，所線段AB的中點(diǎn)為，則，所以以AB為直徑的圓的方程為；是一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)；選②因?yàn)閳A心，且與直線相切，所以圓的半徑為，所以圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離為，則，成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以直線方程為；綜上：直線的方程為：或.18.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若D為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成二面角（銳角）最?。俊敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)得到，再結(jié)合得到平面，利用線面垂直的性質(zhì)得到，再結(jié)合∥即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離；（3）設(shè)，用空間向量的方法求二面角得到，然后得到當(dāng)時(shí)，銳二面角最小.【小問(wèn)1詳解】∵為直棱柱，∴∥，平面，∵平面，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又∥，∴.【小問(wèn)2詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，點(diǎn)到平面的距離為，，令，則，，則，則.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，則，，，令，則，，則，由（1）得可以作為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面與平面所成二面角（銳角）為，則，當(dāng)時(shí)，最小，最大，最小，所以當(dāng)時(shí)，平面與平面所成二面角（銳角）最小.19.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A、B、C三個(gè)點(diǎn)的圓記為．（1）當(dāng)時(shí)，求三角形的面積；（2）求的方程；（3）問(wèn)是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（其坐標(biāo)與a，b的值無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】（1）（2）的方程為（3）過(guò)定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出，，所以三角形的面積為.（2）設(shè)出所求圓的一般方程，令得到的方程與是同一個(gè)方程；令得到的方程有一個(gè)根為，由此求得參數(shù)及的一般方程．（3）把方程里面的合并到一起，分別令的系數(shù)