材料力學(xué)：能量法

材料力學(xué)：能量法概述應(yīng)變能

余能卡氏定理用能量法解超靜定問題2023最新整理收集do

something能量方法：利用功能原理Ve=W來求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。

§3-1概述可變形固體在受外力作用而變形時，外力和內(nèi)力均將作功。對于彈性體，外力在相應(yīng)位移上作的功，在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能。

Ve=W1.線彈性條件下，通過外力功求應(yīng)變能§3-2應(yīng)變能?余能常力作功：常力P沿其方向線位移

上所作的功

一、應(yīng)變能變力作功：在線彈性范圍內(nèi)，外力P與位移

間呈線性關(guān)系。(靜荷載為變力）軸向拉（壓）桿外力作功P

oP

P基本變形在彈性范圍內(nèi)變形量與外力(內(nèi)力)均呈線性關(guān)系彎曲

扭轉(zhuǎn)

軸向拉，壓（FN為軸力）（

為相對扭轉(zhuǎn)角，T

為扭矩）（

為轉(zhuǎn)角，M

為彎矩）由Ve=W,可得以下變形能表達式（2）扭轉(zhuǎn)桿內(nèi)的變形能（1）軸向拉壓桿內(nèi)的變形能（3）彎曲梁內(nèi)的變形能（略去剪力的影響）

（3）組合變形的變形能P2、非線性彈性體，通過比能求應(yīng)變能

Po

1P1拉桿的材料是非線性彈性體，當(dāng)外力由0逐漸增大到P1時，桿端位移就由0逐漸增到

1。dP外力作功為P

Po

1P1從拉桿中取出一個各邊為單位長的單元體，

l=

1=

作用在單元體上，下兩表面的力為P=

1

1=

其伸長量ppP

1

1

該單元體上外力作功為

l=

P=

pp單位體積的應(yīng)變能即比能為

1

1

pp若取單元體的邊長為dx、dy、dz，則該單元體的應(yīng)變能為dVe=vedxdydz令dxdydz=dV則整個拉桿內(nèi)的應(yīng)變能為拉桿整個體積內(nèi)各點的ve為常量，故有扭轉(zhuǎn)桿

拉壓桿

在線彈性范圍內(nèi)d解：[法1]運用扭轉(zhuǎn)變形能公式例題：

在線彈性范圍內(nèi)工作的桿，

已知：m、G、l、d

。

求：在加載過程中所積蓄的應(yīng)變能Ve。[法2]由比能求應(yīng)變能

dd例題：已知：圖示抗彎剛度為EI的簡支梁，受均布荷載q作用。求：應(yīng)變能qABly解：[法1]運用功能原理求應(yīng)變能撓曲線方程xdxqABlywxdxqABlyw[法2]運用彎曲變形能公式qABlyx例題：水平桿系如圖所示，兩桿的長度均為l,橫截面面積

為A，彈性模量為E，且均為線彈性。試計算在P1作用下的應(yīng)變能。lla1Ada1P1解：外力作用下，兩桿件伸長，沿P1方向下移δ，則lla1Ada1P1？由A點平衡得

lla1Ada1P1FNFNPlla1Ada1P1FNFNP略去高階微量dlla1Ada1P1FNFNPdP與成非線性關(guān)系該問題屬于幾何非線性彈性問題由于P與δ的非線性關(guān)系,求能量需用積分。二.余能1、非線性彈性材料（拉桿）P

余功公式=矩形面積+P

dPP

dP余能公式單位體積的余能2、線彈性材料的幾何線性問題

dPP

ααBDεσ1P例題：已知兩桿的長度均為l、橫截面面積均為A、材料單軸拉伸時的

σ~ε曲線如圖所示。求：荷載P1作用下的余能Vc

ααBDεσ1P解：本題已知材料應(yīng)力應(yīng)變間的關(guān)系，故先求單位體積的余能。由于軸向拉伸桿內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)相同，因此εααBD1P例題：拉桿在線彈性范圍內(nèi)工作?？估瓌偠菶I，受到

P1，P2兩個力作用。(1)若先在B截面加P1

，然后在C截面加P2；(2)若先在C截面加P2

，然后B截面加P1。分別計算兩種加力方法拉桿的應(yīng)變能。ABCabP1P2(1)先在B截面加P1，然后在C截面加P2ABCabP1

在B

截面加P1，B截面的位移為外力作功為

再在C上加

P2P2C截面的位移為P2

作功為

在加P2

后，B截面又有位移在加P2過程中P1作功（常力作功）所以應(yīng)變能為ABCabP1P2ABCabP1P2(2)若先在C截面加P2

，然后B截面加P1。

在C截面加P2

后，P2

作功

在B截面加P1后，P1作功ABCabP1P2

加

P1引起C截面的位移在加P1

過程中P2作功（常力作功）注意：(1)計算外力作功時，注意變力作功與常力作功的區(qū)別。(2)應(yīng)變能Ve

只與外力的最終值有關(guān)，而與加載過程和加載次序無關(guān)?！?4-3卡式定理設(shè)梁上有n個荷載P1，P2，，Pn（簡單加載）與之相應(yīng)的位移為

1，2，，

n一、卡式第一定理

梁內(nèi)應(yīng)變能在數(shù)值上就等于外力功外力作總功等于每個集中力在加載過程中所作功的總和上式表示梁內(nèi)應(yīng)變能Ve

是其上所有荷載相應(yīng)的最后位移

i

的函數(shù)假設(shè)與第i個荷載相應(yīng)的位移有一微小的增量d

i梁內(nèi)應(yīng)變能的變化為為應(yīng)變能對于位移

i

的變化率只有與Pi

相應(yīng)的位移有一微小增量，而與其余各荷載相應(yīng)的位移保持不變。只有Pi在微小位移d

i

上作了外力功梁外力功的變化為外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能得到即卡氏第一定理一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移

i

為Pi的作用點相應(yīng)于Pi

的位移。Pi為廣義力，

i為與Pi相應(yīng)的廣義位移。例題：已知圖示懸臂梁，抗彎剛度EI，自由端轉(zhuǎn)角θ

求：自由端力偶m。

解：梁內(nèi)任一點的線應(yīng)變?yōu)橛蓤D可得m梁內(nèi)任一點的比能為梁的應(yīng)變能為mm梁的應(yīng)變能為例題：已知平面桁架受力如圖。兩桿的橫截面面積均為A，兩桿的E相同，且均處于線彈性范圍內(nèi)。求：B點水平位移與鉛垂位移。若B只發(fā)生水平位移

1解：若B只發(fā)生鉛垂位移

2桁架的應(yīng)變能當(dāng)水平位移與鉛垂位移同時發(fā)生時由卡式第一定理設(shè)梁上有n個荷載P1，P2，，Pn（簡單加載）與之相應(yīng)的位移為

1，2，，

n二、卡氏第二定理梁內(nèi)余能為外力的總余功等與每個集中荷載余功之和每個集中荷載余能假設(shè)第i

個荷載有一微小增量dPi，其余荷載及所有荷載的位移均維持常量不變，外力總余功的相應(yīng)改變量為由于Pi改變了dPi，梁內(nèi)余能的改變量為外力余功在數(shù)值上等于彈性桿的余能則有上式為余能定理線彈性桿件或桿系中，應(yīng)變能與余能在數(shù)值上相等則有上式為卡氏第二定理(1)卡氏第一定理與余能定理兩定理均適用于線性或非線性彈性桿件及桿系。說明(2)卡氏第二定理與余能定理

卡氏第二定理只適用于線性彈性體。

(3)Pi為廣義力，

i為相應(yīng)的位移。一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移(4)卡氏第二定理的應(yīng)用

軸向拉、壓

扭轉(zhuǎn)

彎曲

平面桁架

組合變形

例題：

已知：如圖所示懸臂梁受力情況，抗彎剛度EI

求：自由端的撓度（用卡氏第二定理）解：因自由端沒有與所求位移對應(yīng)的集中力，需加一虛設(shè)外力P

由卡氏第二定理

例題：外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI。梁材料為線彈性體。求梁C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。ABCPmla解：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：()BC：

例題：外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI。梁材料為線彈性體。求梁C截面和D截面的撓度。解：ABCPaPDaa法一:AC：CB：BD：ABCPaPDaaAC：CB：BD：ABCPaPDaa法二:AC：ABCPaPDaaCB：ABCPaPDaaBD：ABCPaPDaaABCPaPDaaABCPaPDaa第二種方法是正確的ABCPaPDaa例題：已知開口圓環(huán)受力如圖，材料為線彈性，抗彎剛度EI

求：圓環(huán)的張開位移△（不計剪力及軸力的影響）。例14-12

使曲率減小為正解：由卡氏第二定理qABCll例題：抗彎剛度均為EI的靜定組合梁ABC，受力如圖所示。梁材料為線彈性體，不計剪應(yīng)變對梁變形的影響。用卡氏第二定理求梁中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。qABCllqABCll解：在B

兩側(cè)虛設(shè)一對外力偶。約束反力如圖所示qABCllxxAB：BC:AB:BC:()例題：剛架結(jié)構(gòu)如圖所示。彈性模量EI已知。材料為線彈性。不考慮軸力和剪力的影響，計算C截面的轉(zhuǎn)角和D截面的水平位移。ABCDaa2am解在C截面虛設(shè)一力偶mc,

在D截面虛設(shè)一水平力P。mcPRHVABCDaa2ammcPRHVxCD:ABCDaa2ammcPRHVxCB:ABCDaa2ammcPRHVxAB:M(x)=PxCD:CB:AB:M(x)=PxABCDaa2ammcPRHVCD:CB:AB:M(x)=Px()ABCDaa2ammcP例題：各桿抗彎剛度均為EI的Z字形平面剛架受集中力P作用。桿的材料是線彈性的，不計剪力和軸力對變形的影響。求端面A的線位移和轉(zhuǎn)角。ABCDP3a4a

ABCDP3a4a

CABDP

解：在A端虛設(shè)水平力Px

和外力偶mA

。ABCDP

xAB：ABCDP

BC：3a4axABCDP

xCD：4aABCDP

AB：BC：CD：AB：BC：CD：ABCDP

AB：BC：CD：（）ABCDP

例題：各桿的抗拉（壓）剛度均為EA的正方形平面桁架受水平力P作用。桿的材料為線彈性。求結(jié)點C的水平和鉛垂位移。llABcDPQllABcDPQ桿件Q=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P000000000Q=0Q=0llABcDPQ例題：求A截面的鉛垂位移。略去剪力影響ABCDPll/22l/3EAEIABCDPll/22l/3EAEI解：AB為彎曲變形CD為軸向拉伸取AB為研究對象ACBFNABCDPll/22l/3EAEICD桿ACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁AC：xCB:xPACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁CD桿例題：圓截面桿ABC，（

ABC=900）位于水平平面內(nèi)，已知桿截面直徑d及材料的彈性常數(shù)E,G。求C截面處的鉛垂位移。不計剪力的影響。ABCllqABCllqBC：彎曲變形xPABlClqAB為彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形xPABlQm（扭轉(zhuǎn)變形）（彎曲變形）ABlClqxPABlQmxABlClqxPxBC：彎曲變形AB：彎扭組合變形P=0ABlClqxPxP=0例題：圖示剛架各段的抗彎剛度均為EI。不計軸力和剪力的影響。用卡氏第二定理求截面D的水平位移

D和轉(zhuǎn)角

D。ABCDPPll2l解：在點虛設(shè)一力偶矩mmCD：彎曲變形P1ABCDPPll2lxABCPP1ABCP將力P向C簡化得：力P（產(chǎn)生拉伸變形）將m向C簡化得：m（產(chǎn)生彎曲變形）2Plm力偶矩2Pl（產(chǎn)生彎曲變形）DPll2lmABCPP1ABCABCPP1ABCP2PlmDPll2lmABCPP1ABCAC

產(chǎn)生拉伸與彎曲的組合變形。橫截面上的內(nèi)力有軸力和彎矩。但是軸力不計，因此橫截面上的內(nèi)力只計彎矩。ABCDPPll2lmxP1P2PlmxBC段：BA段：xABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=PABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=P§3-4用能量法解超靜定問題例題：已知兩桿抗彎剛度均為EI。不計剪力和軸力對剛架變形的影響。求支座反力。q=10KN/m，m=50KN.m。ABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqmABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqm解：變形相容條件是在B

點處的撓度為零。XABCDa=50mmqmM(x)=Xxxx