2021屆陜西省西安市高考數(shù)學模擬試卷（2月份）（二模）附答案詳解

2021屆陜西省西安市高考數(shù)學模擬試卷（2月份）（二模）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4=｛對y=yj2x-1｝,集合8=｛%||%|工1｝那么集合AnB等于（）

A.陶工七志三能B.1圖|富E-舞

您

C.㈱T三需D.翻案癖殿

2.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點的坐標為（3,6）,則|z-24=（）

A.3B.4C.5D.6

3.在平面直角坐標系xOy中，已知刀=（一1/），加=（2,2）,若乙48。=90。，則t=（）

A.2B.4C.5D.8

4.設｛冊｝是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，出“｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且的=瓦，。2003=西003,則

必有（）

A.C11002>61002B.?1002=瓦002C.（11002—^1002D.CZ1002-^1002

5.要從10名女生與5名男生中選出6名學生組成課外活動小組，則符合按性別比例分層抽樣的概率

為（）

A片。；R「C；C「6D48

D*

A-~7TJ~7M-^15u,-

“35

6.函數(shù)/'（x）=cosx-sin（3*+*）的圖象大致為（）

D.

oX

7.已知雙曲線=%閾和瞅蒜::即喙的一個焦點到一條漸近線的距離為-5-;3為雙曲線的

半焦距長)，則雙曲線的離心率為()

C.誓D.系反

8.設函數(shù)/(x)=Asin^x+/(A>0,3>0,|租|<今與直線y=3的交點的橫坐標構成以zr為公差

的等差數(shù)列，且乂=%是/(x)圖象的一條對稱軸，則下列區(qū)間中是函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間的是

()

A.[y，5B.[-p0]C.[-y,-5D.[-Y--S

9.9、已知數(shù)列｛%｝的通項公式%=(-1廣1?(4〃-3),則前15項的和515為

A.29B.31C.-33D.61

10.從2019年12月底開始，新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎疫情不斷蔓廷，給全國人民帶來了重大損失，

如圖是我國2020年1月20日至2月10日，湖北內(nèi)外新增確診人數(shù)的折線統(tǒng)計圖，由圖可知，1月20

日至2月10日這幾天內(nèi)，下列選項中正確的是()

司北內(nèi)外津人收折足用

A.湖北新增確診人數(shù)逐日增加

B.全國新增確診人數(shù)呈增加的趨勢

C.2月4號全國患病人數(shù)達到最多

D.湖北地區(qū)新增確診人數(shù)的方差大于非湖北地區(qū)新增確診人數(shù)的方差

11.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和左視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是一個直徑為2

的圓，那么這個幾何體的體積為

4424

A.4兀D.——

33

12.已知函數(shù)/■(?=方7+%+2,若不等式/O-4X+1)+f(m-2X)>5對任意的x>0恒成立,

則實數(shù)m的最小值為()

A.V2-|B.V2-1C.芋D.f

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.多項式(X+1)(%-的系數(shù)為.(用數(shù)字作答);

14.如圖，在四棱錐P-2BCD中，PDJL平面ABCD,底面ABCD為正方形,

PD=AD=6,M,N分別為線段4c上的點，若4MBN=60°,則三

棱錐”-PNB體積的最小值為.

15.已知直線，過拋物線/=2py(p>0)的焦點，且交拋物線于4、8兩點，弦AB的中點坐標為(1,迎),

則|4B|等于.

16.已知/'(%)=2x(xeR)可以表示為一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)/i(x)之和，若不等式a-g(x)+

h(2x)>0對于久e[1,2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.己知在△4BC中，內(nèi)角A,B,C所對邊的邊長分別是a,b,c,若a,b,c滿足a?+c2-b2=V3ac.

(1)求角B;

(2)若b=2,乙4=105。，求c邊長.

18.玉山一中籃球體育測試要求學生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項測試，“立定投籃”和

“三步上籃”各有2次投籃機會，先進行“立定投籃”測試，如果合格才能參加“三步上籃”測

試.為了節(jié)約時間，每項測試只需且必須投中一次即為合格.小華同學“立定投籃”的命中率

為土“三步上籃”的命中率為|.假設小華不放棄任何一次投籃機會且每次投籃是否命中相互獨

立.

(1)求小華同學兩項測試均合格的概率；

(2)設測試過程中小華投籃次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

19.已知五邊形4BECD由一個直角梯形48CD與一個等邊三角形BCE構成，如圖1所示，ABVBC,

AB//CD,且=2CD.將梯形力BCD沿著BC折起，如圖2所示，且ABL平面BEC.

(I)求證：平面4BE平面4DE；

(II)若AB=BC,求二面角4-DE-B的余弦值.

20.已知橢圓C：捻+，=l(a>b>0)的上、下頂點分別為①，A2,左、右頂點分別為B2為

坐標原點，若直線4B2的斜率為-%△AiOB2的斜邊上的中線長為苧.

(1)求橢圓C的方程；

(2)P是橢圓C上異于A2,BI，外的任一點，直線P%,P4分別交工軸于點N，M，若直線07與

過點M,N的圓G相切，切點為7.證明：線段07的長為定值，并求出該定值.

21.已知函數(shù)/(汽)=Q%-1+仇X,其中。為常數(shù).

(1)當ae(-8,-＞時，若/Xx)在區(qū)間(0,e)上的最大值為一4,求a的值；

(2)當。=—：時，若函數(shù)g(x)=|/'(久)|一詈一落在零點，求實數(shù)b的取值范圍.

x=-2H—t

22.在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為:,(t是參數(shù)).以坐標原點為極點，以X軸

y=-2+-t

正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為P=4cos。.

(1)求G的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)若G，。2交于4B兩點,P點坐標為(一2,—2),求白+高的值.

23.已知函數(shù)/(%)=-2|.

(1)在坐標系內(nèi)畫出函數(shù)/(%)的大致圖象；

(2)若方程/(x)=m有兩個根，求實數(shù)m的取值集合;

(3)若方程/'(x)=m有三個根，求實數(shù)m的取值集合.

y.

K

?,7

-*O-

-uu

參考答案及解析

1.答案：A

解析：

本題考查了集合的基本運算，屬于基礎題.

A—{x\y—>j2x—1]={x|x>|),B-{x||x|<1]={x|—1<x<1},

二AnB={x*WxW1}.

故答案選A.

2.答案：C

解析：解：復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點的坐標為(3,6),貝Uz=3+6i,

所以z—2i=3+43

所以|z-2i|=5/32+42=5.

故選：C.

根據(jù)題意寫出復數(shù)z=3+6i,再求z-2t的模長.

本題考查了復數(shù)的概念與運算問題，是基礎題.

3.答案：C

解析：

本題考查平面向量的數(shù)量積與垂直的關系，屬基礎題.

解：-：0A=OB=(2,2).

.-.AB^'OB-OA=(3,2-1)

又?:Z.ABO=90°,

ABJLOB，

AB-OB=3x2+2x(2—t)=0

解得t=5

故選：C.

由向量的運算可得近的坐標，由N4BO=90?？傻枚?而=0,可得t的方程，解方程可得.

4.答案：C

解析：解：?；{即}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，{%}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且的=瓦,a2003=b2003

???由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質得：

a1002=J(a2003+al)'①

^1002=V^2003''②

②'倚'2+4al+4azoos-'

所以的002—瓦002?

故答案為：C.

利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質求解.

本題考查兩數(shù)大小的比較，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質的合理

運用.

5.答案：C

解析：試題分析：根據(jù)題意，要完成要從10名女生與5名男生中選出6名學生組成課外活動小組，那

么所有的情況是黑，那么則符合按性別比例分層抽樣的情況積為2：1,說明是4名男生，2名女生，

則其概率為"V?，故選C.

考點：組合數(shù)的應用

點評：主要是考查了組合數(shù)公式求解隨機事件的概率的應用，屬于基礎題。

6.答案：A

解析：解：/'(-X)=cos(-x)?sin(3*+6=cosx?sin(3*+2)=/(%),則函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，圖

象關于y軸對稱，排除C,D,

當x=l時，/(I)=coslsin^-<0,排除B,

故選：A.

先判斷函數(shù)是偶函數(shù)，然后判斷當x=1時的符號，利用排除法進行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，以及函數(shù)值的符號，利用排除

法是解決本題的關鍵，是基礎題.

7.答案：C

解析：不妨設它的一個焦點(c,0)到一條漸近線y=的距離為住c，

be

則------C

3

???色=立即：a=

c33

所以：w=

7

故選c

8.答案：D

解析：解：由題意可得，4=3,函數(shù)的周期為§=兀，

解得3=2,且4=3,

再由2x￡+@=Er+T，kEZ,解得9=+g結合|0|4士

oZoo

可得8=}

o

7T

???/(%)=3sin(2x+-).

令2/crr--<2%+-<2kn4-解得ATT--<x<k/r4-

36236

故函數(shù)的增區(qū)間為［而一三"+勺，k&z.

Jo

故區(qū)間曰是函數(shù)的減區(qū)間.

o3

故選：D.

由周期求得3的值，根據(jù)圖象的對稱性求出9的值，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性求

出函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間，從而得出結論.

本題主要考查由條件求函數(shù)y=Asin^x+伊)的解析式，正弦函數(shù)的圖象特征、正弦函數(shù)的單調性，

考查運算求解能力，是中檔題.

9.答案：A

解析：解：4=(-1廠-(4制-3)

二%,-4=(小廣(如+5)—(—1尸件一3)=(—1r8

故數(shù)列S.}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別是以8和-8為公差的等差數(shù)列

又，=L，=-5

￡=1+%+-+%)+(4+4+-+4)

=8x1+*勺x8+(-5)x7+7x(；Tx(-8)=29

選A

10.答案：D

解析：解：對于選項A：湖北新增確診人數(shù)有增有減，故選項4錯誤；

對于選項B：全國新增確診人數(shù)呈先增加后減少的趨勢，故選項8錯誤；

對于選項C：2月4號全國新增確診人數(shù)達到最多，并非患病人數(shù)達到最多，故選項C錯誤；

對于選項。：非湖北地區(qū)1月20日至2月10日這幾天內(nèi)新增確診人數(shù)相較于湖北地區(qū)新增確診人數(shù)的

波動性較小，變化比較平穩(wěn)，方差更小，故選項。正確，

故選：D.

觀察圖象根據(jù)點的波動逐項分析即可判斷出結果.

本題主要考查統(tǒng)計圖的實際應用，是基礎題.

11.答案：B

解析：由三視圖可知該幾何體是一個直徑為2,高為2的圓柱，所以，所求體積為汗xlx2=2不，故

選B.

12.答案:C

解析：解：由/(X)=丸+x+2,可設g(無)==x+=x+

xX

1l—2~1—20------------

由9(一乃+刎=一%+屋罰+”+而而=X

22+12(1+2%)

則g(-%)=-。(%)，即g(%)為奇函數(shù);

24n24*+(2-配2)2%+1

g'(久)=(2*+1)2>U可得g(x)在R上遞增.

(2義+1)2

不等式f⑺?4*+1)+/(m-2、)>5等價為[/(m-4X+1)-j]+[f(m-2X)-|]>0,

即為,4"+1)+g(m—2X)>0,可得g(m-4X4-1)>—g(m—2X)=g(為—m),

則有m-4X4-1>2X-m,化為m>J]在％>0恒成立，

4X+1

、nv2X-1t1,1V2-1

設2"T=t(t>°)，E=麗n=市<赤=▼，

當且僅當1=企，即％=10g2（l+夜）時取得等號,

所以m2與1,

即m的最小值為生1,

2

故選：C.

可設9（%）=/（乃一|，判斷9（x）的奇偶性和單調性，將原不等式化為[/（人鏟+1）-|]+[/（小—

2x）-|]>0,

即g（m-4x+l）+g（m-2x）20,然后得到m?#+122*-zn,再運用參數(shù)分離得到最小值.

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷和運用，以及函數(shù)恒成立問題解法，考查轉化思想和運算能

力，屬于中檔題.

13.答案:-5

解析：

本題考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，找出展開式中含"的項是

解題的關鍵，屬于中檔題.

解：：(x+l)(x-I)6=(x+l)(C°x6+CgX5(-l)+Cg%4(-1)2+CfiX3(-l)3)+CgX2(-l)4+

*1(-1)5+*。(-17),

故"的系數(shù)為/(一1尸+C式—1)2=-5,

故答案為-5.

14.答案：12遍

解析：解：由題意知，VM_PNB=VP_MNB=3X6XSAMNB=2X3SE6G°?BM-BN=曰BM-BN，

過B作BH1AC于H,如圖：

不妨設乙MBH=a,乙NBH=￡,

由BH=3應知，UM_PNB=?X建=a+"g,

2cosacospcosacosp3

,,9V39V3

VM-PNB=JT''后

cosacos(L)cosa(^cosa+^.sina)

_9V3_9A/3

12遍.1+cos2a.V3.

2cos'?a+-^-sinacosa------F-^-smzQa

=N12痘，當且僅當2a+W=*即。=刎，取等號?

-sm(2a+-)+-626

故答案為：1275.

設NMBH=a,乙NBH=0,根據(jù)三角函數(shù)關系得到a+/?=由等積法結合三棱錐的體積公式及

三角函數(shù)的輔助角公式進行求解即可.

本題主要考查空間三棱錐的體積的計算，利用三角函數(shù)法，結合三角函數(shù)輔助角公式以及三角函數(shù)

的有界性是解決本題的關鍵.綜合性較強，難度較大.

15.答案：3企

解析：

本題是直線被圓錐曲線所截，求弦長問題，一般可以由公式：|4B|=7^中?|比1-％2|求得；線段

中點坐標通常與根與系數(shù)的關系相聯(lián)系，從而簡化解題過程.但對于過焦點的弦長注意圓錐曲線定

義的應用.

設AQi.yi),B(x2ly2),運用中點坐標公式可得%+&=2,yr+y2=2/2,設出直線方程代入拋

物線的方程，消去y,運用韋達定理，解方程可得p,利用弦長公式力+為+P求出AB的長.

解：拋物線/=2py的焦點F(04)，準線方程為y=*,

設4(石,%),S(x2,y2)>

弦AB的中點坐標為(1,V2),

則空=1,即與+切=2,

^BPyx+y2=2V2,

設過尸(0段)的直線方程為y=kx+M

代入拋物線的方程，可得/—2p/cx-p2=o,

即有與刀2=寸2,

則好+xI=2P(%+y2)=4&p,

2

即有Qi+x2)—2XXX2=4+2P2=4V2p>

解得p=V2>

由拋物線的定義可得=yi+丫2+P=2V2+V2=3A/2.

故答案為：3A/2.

16.答案：a>

解析：解：/(%)=2%可以表示成一個奇函數(shù)。(%)與一個偶函數(shù)h(%)之和

???g(x)+九(%)=2*①,g(-%)+九(―％)=—g(x)+九(%)=2r②

①②聯(lián)立可得，ft(x)=1(2x+2-x),^(x)=j(2x-2-x),

ag(x)+h(2x)>0對于％e[1,2]恒成立

a>一窩對于Xe[L2]恒成立

a>一等君=~(2X-2-x)+(2-x-2、)對于xe[1,2]恒成立

t=2x-2-x,%W[1,2],tW,第則t+1在

t=I，時，則t+：=

zto

、17

a>；

-—o

故答案為QN

由題意可得g(%)+h(x)=2X,根據(jù)函數(shù)奇偶性,推出方程g(-%)+h(-x)=-g(x)+h(x)=2T從

而可得以為和g(x)的解析式，再代入不等式a-9(%)+九(2%)>0,利用常數(shù)分離法進行求解

本題主要考查了奇偶函數(shù)的定義的應用，函數(shù)的恒成立的問題，常會轉化為求函數(shù)的最值問題，體

現(xiàn)了轉化思想的應用.

17.答案：解：⑴???盧+—/=V3ac,

???B為三角形內(nèi)角，

???B=30。；

(2)???44=105°,Z,B=30°,

???ZC=45°,

由正弦定理得：^=就守

解得：C=2^2.

解析：(1)利用余弦定理表示出COSB,把已知等式代入求出COSB的值，即可確定出B的度數(shù);

(2)由4與B的度數(shù)求出C的度數(shù)，根據(jù)sinB,sinC,以及b的值，利用正弦定理求出c的值即可.

此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關鍵.

18.答案：解：(1)小華同學“立定投籃”合格的概率為1—G)2=：,

“三步上籃”合格的概率為1一?2=

則小華同學兩項測試均合格的概率為:Xg=|.

493

(2)由題意，隨機變量X所有可能取值為2,3,4,

p(X=2)=|X|+(|)2=/

p(X=3)=|X|+(|)2X|=i

P（X=4）=C）2X；*

???隨機變量X的分布列為:

X234

711

p

12312

數(shù)學期望為EX=2x^+3x|+4xi=1.

解析：(1)先求出小華同學“立定投籃”合格的概率，再求出“三步上籃”合格的概率，由此能求出

小華同學兩項測試均合格的概率.

(2)隨機變量X所有可能取值為2,3,4,分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)

學期望.

本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法等基礎知識，考查運算求解

能力，是中檔題.

19.答案：(I)證明：取8E的中點尸，AE的中點G,連接FG、GD、CF,

則DCSAB,

2-2

...CD〃GF，二四邊形CFGD為平行四邊形，

CF//DG.

vABL平面BEC,

???AB1CF.

vCF1BE,ABCBE=B,

???CF_L平面ABE.

???CF//DG,

DG_L平面ABE.

???DGu平面ADE,

平面4BE_L平面4DE.

(II)解：過E作E0J.8C于0.

"AB-.ABLEO.

?：ABCiBC=B,：.E01平面ABCD.

以。為坐標原點，0E、BC所在的直線分別為x軸、y軸，過。且平行于AB的直線為z軸建立如圖所示

的空間直角坐標系.

設48=BC=4,則4(0,—2,4),8(0,—2,0),D(0,2,2),E(2g,0,0),

：.~ED=(-273,2,2),~EA=(-273,-2,4),=(-273,-2,0).

設平面EAD的法向量為元=(x"i，zi),則有也更=°,即「2.—2%+%=°

(n-ED=01-2V3%1+2yl+2z1=0

取Zi=2得X[=V3.%=1，則記=(遍,1,2),

設平面BDE的法向量為沅=(x2,y2,z2),則理,受二°,即產(chǎn)/%2+2y2+2z?=0,

Im-EB=0(-2V3X2-2y2=0

取小=1,得=-V3,z2=2V3,則記=(1,-V3,2V3).

mn4V3V6

???cos<m,n>=----———

|m||n|272X44

又由圖可知，二面角4DEB的平面角為銳角,

.??二面角4-DE-B的余弦值為漁.

4

解析：（/）取BE的中點F,AE的中點G,證明CFL平面4BE,通過證明四邊形CDG尸是平形四邊形得

出CF〃DG,故。GJL平面4BE,于是平面ABEJL平面/WE；

（〃）建立空間坐標系，計算平面4DE和平面BDE的法向量，通過計算法向量的夾角得出二面角的大小.

本題考查了面面垂直的判定，空間向量與二面角的計算，屬于中檔題.

20.答案：解：（1）因為直線公%的斜率為一%

所以怒7?①

因為△①。與的斜邊上的中線長為日，且^公0B2是直角三角形,

又直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半,

所以工Va24-b2=或.②

2zJ

由①②，解得Q=2,b=1.

2

故所求橢圓C的方程為菅+y2=1.

（2）由⑴可知,4（0,1）,A2（0,-l）.

設點P（x（）,yo），則

直線P4：y-1=令y=0,得以=一^^；

直線P“2：y+l=^x,令y=0,得

設圓G的圓心為G（含一含）,h）,

2yo+1y。-1

設圓G的半徑為r,貝上=E（焉一渦）一焉］2+爐=；（焉+含）2+R甑2=［（焉一

渦）2+吐|。7『=|0阡—產(chǎn)=*篇—四）2+/12T焉+油）2—九2=善.

又點PQo，%）在橢圓C：9+y2=i上，則,+九=i.

所以好=4（1一%）.則。=4.

即|07|2=4.所以|07|=2.

即線段07的長度為定值2.

解析：⑴利用直線4祝的斜率為-也得到已知方程，利用△4。%的斜邊上的中線長為爭得到另

一個方程，求出a，。即可求橢圓C的方程.

（2）由（1）可知，4,4-設點。（%0，丫0），表示出N,M的坐標，設圓G的圓心為g（比為一言h）,設

圓G的半徑為r,通過點在圓上，推出|OG『=；（肅—渦/+h2.然后求出［0〃的表達式，利用點

PQo,y。）在橢圓上，化簡即可求出|。7|的值?

本題考查橢圓方程的求法，圓與橢圓的綜合應用，直線與圓、橢圓的位置關系，運算量大，容易出

錯.

21.答案：解：（1）（（乃=。+二=0,.?.x=-%

xa

???ae（-00,-i）,

???函數(shù)在（0,—》上單調遞增，在（―1+8）上單調遞減,

X=一即寸，函數(shù)取得最大值，

—1-1+ln(—)=-4,

???a=—e2.

(2)由題意，|/(%)|=W+?有實數(shù)根.

當。=—：時，/(%)=—；—1+伍工,/z(x)=

0<x<u時,f'(%)>0,x>u時,f(x)<0,

???/(%)的單調增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+8),

,e,f(x)mQX=f(e)=-1，

>

1/(-

等b

令I

n=-1-lnx

2則”(x)=

0<x<e時，h\x)>0,u>e時,h\x)<0>

/i(x)的單調增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+8),

-h(X)max=h(e)=|+p

???lf(x)|=等+?有實數(shù)根?

?1?h^ma