多元函數(shù)極限及其應(yīng)用

PAGEPAGEII東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院本科畢業(yè)論文（隸書四號(hào),居中,上空一行）多元函數(shù)極限及其應(yīng)用摘要微積分是研究函數(shù)微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支。研究微積分理論不僅具有重要的理論意義，而且也具有重要的應(yīng)用價(jià)值，而極限在微積分中占有舉足輕重的地位。但是極限技巧性強(qiáng)，靈活多變，初學(xué)者不易掌握，為此極限被稱為高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)難關(guān)。本文對(duì)極限的求法做了總結(jié)歸納，希望給初學(xué)者有一定的幫助。本文首先將極限分為一元函數(shù)極限和二元函數(shù)極限分別進(jìn)行闡述。對(duì)于一元函數(shù)極限概括了利用極限的定義、四則運(yùn)算、無(wú)窮小量分除法等求極限的十幾種方法;對(duì)于二元函數(shù)極限也系統(tǒng)地概括了變量代換、利用兩邊夾定理求極限等幾種方法，并都給出了相應(yīng)的例子。最后還陳述了求函數(shù)極限的幾個(gè)誤區(qū)。關(guān)鍵詞:二元函數(shù);極限;解題誤區(qū);求解方法;一元函數(shù)

AbstractCalculusandintegralwhichdealswiththedifferentialandintegralcalculusandtherelevantconceptanditsapplication,isoneoftheimportantmathematicbranches.Tostudythetheoryofcalculusoffunctionsnotonlyhasimportanttheoreticalsignificance,butalsohasimportantapplicationvalue.Limitationplaysadecisiveroleincalculusofdifferentialandintegral,buttheskillsofsolvinglimitationsarestrongandflexible,soitishardforbeginnerstomastersolimitationiscalledthefirstdifficultyinhighermathematics.Inthisdissertation,wesummarizethesolvingmethedsoflimitation,hopingitwillhelptothebeginners.Thisdissertationwillbedividedlimitintounitaryfunctionlimitandbinaryfunctionlimittoelaboraterespectively.Forunitaryfunctionlimit,weoutlineseveralwayssuchasusingthedefinitionoflimit,arithmetic,infinitesmallsub-divisionandsoon.Forbinaryfunctionlimit,wealsosystematicallysummarizeseveralmethods,forexample,variablesubstitution,forcingconvergencetheorermandsoon,andseparatelypresentthecorrespondingexamples.Atlast,weillustrateafewerrorsofcalculatingfunctionlimit.Keywords:Binaryfunction;Limit;Problem-solving;Solvingmethoderrors;Unitaryfunction

目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1前言 12一元函數(shù)極限 32.1一元函數(shù)極限的定義 32.2函數(shù)極限的一般性質(zhì) 32.3一元函數(shù)極限的求解方法 43多元函數(shù)極限 153.1多元函數(shù)極限的定義 153.2多元函數(shù)極限的求解方法 154函數(shù)極限的求解誤區(qū) 185小結(jié) 23參考文獻(xiàn) 24致謝 251前言微積分是研究函數(shù)微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，不僅與實(shí)際應(yīng)用有著緊密的聯(lián)系，而且在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等許多方面有著重要的應(yīng)用。因此，研究微積分理論不僅具有重要的理論意義，而且也具有重要的應(yīng)用價(jià)值。而極限在微積分中占有舉足輕重的地位，可以這么說(shuō)，很多概念比如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、各類積分、甚至無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂與否的判斷都以極限為基礎(chǔ)。公元3世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽首先將極限思想應(yīng)用于實(shí)踐，利用計(jì)算圓的面積時(shí)建立的“割圓術(shù)”成功地創(chuàng)立了科學(xué)的求圓周率的方法。之后，牛頓和萊布尼茲在以無(wú)窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分時(shí)都接受了極限的思想。牛頓用路程的改變量與時(shí)間的改變量之比表示運(yùn)動(dòng)物體的平均速度，讓無(wú)限趨近于零，得到物體的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。后來(lái)牛頓意識(shí)到極限概念的重要性，并試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，但是無(wú)法澄清“似零非零”的模糊認(rèn)識(shí)。在18-19世紀(jì)中，數(shù)學(xué)家們提出了許多方案來(lái)定義極限，最終法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾明確了極限作為微積分的基本概念，并且提出了極限較明確的定義。雖然達(dá)朗貝爾所定義的極限已初步擺脫了幾何、力學(xué)的直觀原型，但是沒(méi)有把極限的概念公式化，這就使得極限的概念是描述性的、通俗的。此后，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，并指出:“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其它值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值(絕對(duì)值)無(wú)限地減小使之收斂到極限零，就說(shuō)這個(gè)變量成為無(wú)窮小”。柯西把無(wú)窮小視為以零為極限的變量，這就澄清了無(wú)窮小“似零非零”的模糊認(rèn)識(shí)，這就是說(shuō)，在變化過(guò)程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無(wú)限地接近于零。柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語(yǔ)，如“無(wú)限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒(méi)有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度。為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了含有數(shù)學(xué)語(yǔ)言的極限的定義。極限是微分的理論基礎(chǔ)，研究函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上就是研究各種類型的極限，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，因此對(duì)于極限的求解就顯得十分重要了。到目前為止，人們對(duì)極限的求解方法只是進(jìn)行了初步的總結(jié)。余長(zhǎng)安在文獻(xiàn)[1]中概括總結(jié)了函數(shù)極限常見(jiàn)的幾種求解方法，并且給出了相對(duì)應(yīng)的經(jīng)典例題;裴禮文在文獻(xiàn)[2]中總結(jié)了求極限(數(shù)列極限和函數(shù)極限)的方法與技巧;黎東在文獻(xiàn)[3]中不僅對(duì)一些人們常用的求函數(shù)的方法進(jìn)行了總結(jié)，還給出了一些特殊的解法，同時(shí)結(jié)合例題進(jìn)行了說(shuō)明解釋;張敏捷在文獻(xiàn)[4]中列舉了若干種求函數(shù)極限的特殊解法。雖然求解函數(shù)極限的方法有多種，但是極限技巧性強(qiáng)，靈活多變，初學(xué)者不易掌握，為此極限被稱為高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)難關(guān)。本文對(duì)極限的求法做了總結(jié)歸納，介紹了利用極限的定義、極限的四則運(yùn)算法則、化為已知重要極限、洛必達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小代換、夾逼準(zhǔn)則、函數(shù)的連續(xù)性、左右極限、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系等求函數(shù)極限的十幾種方法。

2一元函數(shù)極限2。1一元函數(shù)極限的定義定義2。1設(shè)函數(shù)在某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)。若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)為當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作或。若時(shí)，記作，稱為右極限;若時(shí)，記作，稱為左極限。左右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。定義2。2設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，為常數(shù)。若對(duì)于任意給定的正數(shù)(無(wú)論它怎么小)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)為當(dāng)時(shí)以為極限。記做或。若我們把定義2.2中的改成()，則稱為函數(shù)當(dāng)取正值且無(wú)限增大(記作)時(shí)的極限，記作把定義2.2中的改成，則稱為函數(shù)當(dāng)取負(fù)值且絕對(duì)值無(wú)限增大(記作)時(shí)的極限，記作2.2函數(shù)極限的一般性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)在求函數(shù)極限中有很大的作用，下面給出當(dāng)時(shí)的性質(zhì)。定理2.1(唯一性)若極限存在，則此極限是唯一的。定理2.2(四則運(yùn)算法則)若，，則1);2);3)();4)(為常數(shù));5)。定理2.3(迫斂性)設(shè)在時(shí)有定義，且滿足:1)對(duì)任意的滿足時(shí)，有;2)，則。定理2.4設(shè)，，當(dāng)時(shí)，(1)若存在(或?yàn)闊o(wú)窮大量)，則=(或?yàn)闊o(wú)窮大量)。(2)若存在(或?yàn)闊o(wú)窮大量)，則=(或?yàn)闊o(wú)窮大量)。定理2.5函數(shù)都是時(shí)的無(wú)窮小，且滿足，，則當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于，即=。定理2.6(柯西準(zhǔn)則)設(shè)在時(shí)有定義。存在的充要條件是:任給，存在正數(shù)，使得對(duì)任何，，有2.3一元函數(shù)極限的求解方法在文獻(xiàn)[7-11]中提出了許多種關(guān)于一元函數(shù)極限的求解方法，本文在上述內(nèi)容的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納了下面幾種常見(jiàn)的極限求法。1利用定義求函數(shù)極限定義在數(shù)學(xué)分析中相當(dāng)重要，極限定義也如此。如果將極限定義理解透徹，很多題目就可以迎刃而解。下面就舉例介紹一下用定義求函數(shù)極限的方法。例2.1用極限的定義求解任給，取，則當(dāng)時(shí)，有，所以這是利用定義求極限的簡(jiǎn)單例子。但在平時(shí)的練習(xí)中，不可能遇到的題目都這么簡(jiǎn)單，往往需要一些處理方法，放縮法和含絕對(duì)值不等式是最常見(jiàn)的。具體的就留給讀者細(xì)細(xì)體會(huì)。這種方法適合于初學(xué)者，但是在平時(shí)的求極限過(guò)程中往往避免用定義來(lái)求。2利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求函數(shù)極限若，.根據(jù)定理2.2我們就可以計(jì)算出以下各種極限。(1)。(2).(3)(其中)。(4)(其中c為常數(shù)).上述性質(zhì)對(duì)于時(shí)也同樣成立。極限的四則運(yùn)算是求函數(shù)極限的基礎(chǔ)，也是求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的和差積商的極限常見(jiàn)的方法。要想學(xué)好函數(shù)極限的求法必須要先熟練掌握極限的四則運(yùn)算。例2.2求.解注意運(yùn)用極限的四則運(yùn)算的時(shí)候，必須注意適用條件。首先要保證各項(xiàng)極限都存在，如果遇到分式的話，分母極限不能為零。例如，因?yàn)闃O限不存在。3利用重要極限求函數(shù)極限所謂重要極限中最重要的有下面兩個(gè):(1)(2).這兩個(gè)極限是最常見(jiàn)最重要的極限，表達(dá)式(1)為自變量的正弦值與自變量的比的極限值。且極限過(guò)程趨勢(shì)為兩者缺一不可。對(duì)于表達(dá)式(2)是以以自變量的倒數(shù)為冪的，且底數(shù)還要加上1的等等都是我們應(yīng)該注意的。對(duì)于兩個(gè)重要極限我們?cè)趯W(xué)習(xí)運(yùn)用過(guò)程中要學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，最好還能自己總結(jié)概括。對(duì)于，，我們就可以進(jìn)行系統(tǒng)地推廣為(A);(B);(C)若則(D)若則除此之外，還有以下這幾個(gè)重要極限(3)(4)(5)這三個(gè)重要極限也是常用的?？傊?，我們要學(xué)會(huì)在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，提高自己的數(shù)學(xué)素質(zhì)，從而總結(jié)出更普遍、更系統(tǒng)的結(jié)論。例2.3求的函數(shù)極限。解 對(duì)這幾個(gè)重要極限的熟悉掌握就要我們努力學(xué)習(xí)和探索了，例題就不在一一列舉了。4利用洛比達(dá)法則求函數(shù)極限求“”或“”型未定式極限更常用的方法是用洛比達(dá)法則。定理2.7設(shè)(或)，(或);在的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，若，則.其中可以是有限數(shù)，也可以是。注意將換成或或也有相應(yīng)的洛比達(dá)法則，同時(shí)這些法則也成立。洛比達(dá)法則可用語(yǔ)言簡(jiǎn)單而又直接的描述成如下形式:假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值(或無(wú)窮大)時(shí)，函數(shù)和滿足:(1)和的極限都是0或都是無(wú)窮大;(2)和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為0;(3)存在(或是無(wú)窮大)，則極限也一定存在，且等于，即=。說(shuō)明用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件(1)是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“”型或“”型;條件(2)一般都滿足，而條件(3)則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足;應(yīng)用洛比達(dá)法則，要分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。當(dāng)不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、后面的等價(jià)無(wú)窮小代換等方法。一般情況下，對(duì)于“”、“”、“”、“”、“”、“”型都可以直接或間接地使用洛比達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于“”型、“”型的可以直接使用洛比達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算，而對(duì)于“”型，我們只要進(jìn)行簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化就可以轉(zhuǎn)化成“”型、“”型再進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于“”、“”、“”型，我們可以用對(duì)數(shù)的性質(zhì)把它化成“”型，就全當(dāng)求“”型。例2.4求下列函數(shù)極限。(1)。(2).(3)。(4).解(1)原式==。此題連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限得出答案。(2)原式.(3)因?yàn)橐虼?，原?。(4)因?yàn)橐虼?，原?。5利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)極限當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮小(即極限為0)，且相互等價(jià)，即有;。說(shuō)明當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成時(shí)()，仍有上面的等價(jià)關(guān)系成立，例如:當(dāng)時(shí)，;利用“無(wú)窮小乘以有界量仍是無(wú)窮小量”求極限是常用方法。無(wú)窮小代換有以下性質(zhì):如果函數(shù)都是時(shí)的無(wú)窮小，且，，則當(dāng)存在時(shí)，也存在并且等于，也可以表示為=。例2.5求下列函數(shù)極限。(1)。(2).解(1)當(dāng)時(shí)，，，則原式=。(2)這是“”型，我們就利用無(wú)窮小代換及羅比達(dá)法則來(lái)求其極限。當(dāng)時(shí)，有，所以，原式。6利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)極限若函數(shù)滿足上述定理2.3的條件，且函數(shù)本身的極限不易直接求出時(shí)，可考慮將求極限的變量做適當(dāng)?shù)梅糯蠛涂s小，使放大、縮小后的極限較易求得，并且兩者的極限相同。即求得原極限的值。例2.6求()。解當(dāng)時(shí)，存在唯一的正整數(shù)，使，于是當(dāng)時(shí)，有，.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，有，，所以=0。7利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限一些函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，因此求這類函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)處的極限，可以根據(jù)以下性質(zhì)來(lái)求極限(對(duì)于等情況都適用)。(i)若在處連續(xù)，則;(ii)若是復(fù)合函數(shù)，有且在處連續(xù)，則。例2.7求.解由于在定義域內(nèi)都連續(xù)，所以8分別利用左右極限求得函數(shù)極限在文獻(xiàn)介紹了用左右極限求函數(shù)極限的方法。求分段函數(shù)在連接點(diǎn)處的極限，要分別求左、右極限求得函數(shù)極限。即對(duì)于分段函數(shù)考察是否存在就要分別求與。若與相等，則可得;若與不相等，則不存在.例2.8設(shè)=求及.解因?yàn)椋?，所以。又因?yàn)?，，由于，所以不存?9利用利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系求函數(shù)極限無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系如下:(1)若，則;(2)若且，則.例2.9求.解由于，則.10利用泰勒公式求函數(shù)極限對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便.例2.10求.解利用文獻(xiàn)[6]中的泰勒公式，當(dāng)，有，于是===.11利用拉格朗日中值定理求函數(shù)極限根據(jù)文獻(xiàn)中的拉格朗日中值定理，我們可以求一些函數(shù)極限.例2.11求.解令，對(duì)它應(yīng)用拉格朗日中值定理得，即。因?yàn)檫B續(xù)，所以，從而有.12利用無(wú)窮小分除法求函數(shù)極限此種方法與約分法極為相似，只不過(guò)約分因子為零因子.例2.12求.解.13利用無(wú)窮大分除法求函數(shù)極限此種方法對(duì)于型多項(xiàng)式比較適應(yīng)，以分母中自變量的最高次冪除分子，分母，以分出無(wú)窮小，然后再求極限.例2.13求.解注意此法可總結(jié)為:當(dāng)時(shí)，以后遇到這種形式直接代入即可.14利用導(dǎo)數(shù)定義求某些函數(shù)的極限例2.14求證:若存在，則證明注意到我們有例2.15求解原式15利用通分法求某些函數(shù)的極限這是一種求簡(jiǎn)單函數(shù)極限的方法，適用于型.例2.16求.解原式===.16利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求函數(shù)極限級(jí)數(shù)收斂的必要條件是:若級(jí)數(shù)收斂，則。因此，對(duì)某些極限，可將函數(shù)作為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。只須證明此級(jí)數(shù)收斂，便有例2.17求解令，則，因?yàn)椋?。即收斂，所?7利用只保留最大量的原則求函數(shù)極限對(duì)于“”型，求其極限時(shí)，遵循一個(gè)原則，那就是分子分母只保留最大量的項(xiàng)。當(dāng)遇到時(shí)，按量級(jí)的降序是:;當(dāng)遇到有限量時(shí)，按量級(jí)的降序則是:.例2.18求(1)(2).解(1)原式(2)原式上面兩例屬于極限問(wèn)題中的特例，常常不好解釋，實(shí)際上它滿足保留最大量原則.18利用極限性質(zhì)，將極限(非零)確定的因子首先算出例2.19求解原式

3多元函數(shù)極限3.1多元函數(shù)極限的定義定義3.1設(shè)函數(shù)在以為聚點(diǎn)的集合上有定義，若對(duì)任何的存在，使得只要及[其中為和二點(diǎn)間的距離]，則，我們就說(shuō)特別地，當(dāng)時(shí)，可以得到在對(duì)于不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也可簡(jiǎn)單地寫作當(dāng)分別用坐標(biāo)表示時(shí)，也常寫作注意二元函數(shù)極限有時(shí)也稱二重極限。它與一元函數(shù)極限存在著一定的差別，在二元函數(shù)極限中自變量趨于點(diǎn)的方向的任意性及方式的多樣性，這是一元函數(shù)與二元函數(shù)極限的主要區(qū)別，也是造成二元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念間關(guān)系有別于一元函數(shù)相關(guān)概念間關(guān)系的根源.3.2多元函數(shù)極限的求解方法類似于一元函數(shù)的常見(jiàn)求法，多元函數(shù)也有相似的求法，其中包括部分解法在文獻(xiàn)[13-15]中被提及到。在這里就簡(jiǎn)單介紹一下(以二元函數(shù)為例).1利用定義求極限例3.1求.解因?yàn)椋杂谑菍?duì)任意的，存在，當(dāng)有即2利用函數(shù)的連續(xù)性求極限定義3.2(二元函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，(它或者是的聚點(diǎn)，或者是的孤立點(diǎn))。對(duì)于任給的正數(shù)，總存在相應(yīng)的正數(shù)，只要就有，則稱關(guān)于集合D在點(diǎn)連續(xù)。在不至于誤解的情況下，也稱在點(diǎn)連續(xù).例3.2求.解因?yàn)樵谑沁B續(xù)的，所以3利用兩邊夾定理求極限例3.3求.解因?yàn)?，而，所?4利用重要極限求極限例3.4求.解，而，所以，原式.5利用有理化的方法求極限例3.5求解分子分母同乘以，即得6利用無(wú)窮小與有界變量的乘積仍為無(wú)窮小求極限例3.6求解因?yàn)?，所以，原?利用極限的四則運(yùn)算定理、無(wú)窮小的運(yùn)算定理、無(wú)窮小于無(wú)窮大的關(guān)系求極限例3.7求解由，得，故.同理，于是，原式8利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限例3.8求解因?yàn)闀r(shí)所以故原式9利用換元法求極限運(yùn)用換元的形式求極限的方法中最為主要的是整體代換或三角代換，特別是當(dāng)遇到時(shí)，我們可以設(shè)，相當(dāng)于。通過(guò)變量代換可以將某些二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為—元函數(shù)的極限，從而二元函數(shù)的極限變得簡(jiǎn)單。例3.9求解設(shè)因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，則原式例3.10求.解.10利用取對(duì)數(shù)法求極限例3.11求解設(shè)則而令有所以，原式

4函數(shù)極限的求解誤區(qū)下面就介紹一下有關(guān)函數(shù)極限的幾個(gè)求解誤區(qū):(一)洛比達(dá)法則的運(yùn)用洛比達(dá)法則是一種常用的、有效的求極限的方法，可以求譬如“”、“”、“”、“”型等多種形式的極限。洛比達(dá)法則雖然是有效的求極限的方法，但不是萬(wàn)能的求極限的方法，也不是對(duì)任何函數(shù)在求極限中都適用。例4.1求.分析此題如果用洛比達(dá)法則，則，但當(dāng)時(shí)，的取值不確定，所以就得出此極限不存在，而原來(lái)極限卻是存在的。正確做法如下:對(duì)二元函數(shù)求極限時(shí)洛比達(dá)法則也是不能隨便運(yùn)用的，但對(duì)于二元函數(shù)我們有下列類似于洛比達(dá)法則的定理.定理4.1若二元函數(shù)滿足:(i)為有限點(diǎn);(ii);(iii)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)可微，且與不同時(shí)為零;(iv)，則(條件(ii)改為=時(shí)結(jié)論仍然成立).例4.2求.解由定理4.1可知(二)函數(shù)極限的逼近方式不同對(duì)一元函數(shù)而言，極限存在的充要條件是與同時(shí)成立。但對(duì)二元函數(shù)而言要復(fù)雜得多，也就是說(shuō)若動(dòng)點(diǎn)以平行于軸或以平行于軸兩條直線的方式趨于定點(diǎn)時(shí)有極限并且相等，也可以用以下方式表示:時(shí)，也不能保證。就即使是動(dòng)點(diǎn)以無(wú)窮多種方式趨近于定點(diǎn)時(shí)有極限并且相等，也不能保證其有極限。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在平面區(qū)域上趨于定點(diǎn)的方式是可以是任意的。下面以例題加以說(shuō)明.例4.3證明二元函數(shù)在原點(diǎn)不存在極限.證明若當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿著直線(為常數(shù))趨于原點(diǎn)時(shí)，有.由上式可知，極限值隨著直線的改變而改變;所以由定義可得，此函數(shù)在原點(diǎn)沒(méi)有極限.(三)二元函數(shù)極限與累次極限的區(qū)別定義4.2設(shè)是的聚點(diǎn)，是的聚點(diǎn)，二元函數(shù)在集合上有定義，若對(duì)每一個(gè)存在極限由于此極限一般與有關(guān)，因此記作而且進(jìn)一步存在極限則稱此極限為二元函數(shù)先對(duì)后對(duì)的累次極限，并記作.或可稱為二元函數(shù)先對(duì)后對(duì)的累次極限，簡(jiǎn)記作累次極限與二重極限是兩個(gè)不同的概念，它們的存在性沒(méi)有必然的蘊(yùn)含關(guān)系。下面兩個(gè)例子將說(shuō)明這一點(diǎn).例4.4設(shè)，求關(guān)于原點(diǎn)的二重極限與累次極限.解類似于例4.3的分析，當(dāng)時(shí)的二重極限不存在。但當(dāng)時(shí)有從而有同理可得即的兩個(gè)累次極限都存在而且相等.例4.5設(shè)求關(guān)于原點(diǎn)的二重極限與累次極限.解它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次極限分別為，因?yàn)椋岳鄞螛O限不存在.當(dāng)沿斜率不同的直線時(shí)，容易驗(yàn)證所得極限也不同，因此該函數(shù)的二重極限不存在.但是累次極限與二重極限之間蘊(yùn)含著某種特殊的關(guān)聯(lián).推論4.1若累次極限，和二重極限都存在，則三者相等.推論4.2若累次極限與存在但不相等，則二重極限必不存在.

5小結(jié)函數(shù)極限在微積分中占有舉足輕重的地位，也已成為數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一。由此可見(jiàn)，其求法的重要性就不言而喻了。本文主要對(duì)極限的求法做了總結(jié)歸納。首先將極限分為一元函數(shù)極限和二元函數(shù)極限分別進(jìn)行闡述。對(duì)于一元函數(shù)極限概括了利用極限的定義、極限的四則運(yùn)算法則、化為已知重要極限、洛必達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小代換、夾逼準(zhǔn)則、函數(shù)的連續(xù)性、左右極限、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系等求函數(shù)極限的十幾種方法;對(duì)于二元函數(shù)極限也系統(tǒng)地概括了變量代換、利用兩邊夾定理求極限等幾種方法，并都給出了相應(yīng)的例子。最后還陳述了求函數(shù)極限的幾個(gè)誤區(qū)，強(qiáng)調(diào)了洛必達(dá)法則使用條件及二重極限與累次極限的關(guān)系。

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