數(shù)值分析課程設(shè)計

武漢理工大學(xué)《數(shù)值分析》課程設(shè)計說明書PAGE9附件1：學(xué)號：課程設(shè)計題目對求解方程實(shí)根的研究學(xué)院理學(xué)院專業(yè)信息與計算科學(xué)班級信計0801姓名指導(dǎo)教師2010年7月10日附件2：課程設(shè)計任務(wù)書學(xué)生姓名：專業(yè)班級：信計0801指導(dǎo)教師：工作單位：武漢理工大學(xué)題目:對求解方程實(shí)根的研究初始條件：每次把的零點(diǎn)所在小區(qū)間收縮一半，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步迫近函數(shù)的零點(diǎn)，以求得零點(diǎn)的近似值，這種方法叫做二分法.方程的求根通常分為兩個步驟,一是根的搜索,找出有根區(qū)間;二是根的精確化,求得根的足夠精確近似值.找出有根區(qū)間的方法通常采用定步長搜索法.用這一辦法可以粗略進(jìn)行根的隔離.要求完成的主要任務(wù):（包括課程設(shè)計工作量及其技術(shù)要求，以及說明書撰寫等具體要求）用二分法和牛頓迭代法(包括弦截法)編程求方程的實(shí)根，要求誤差不超過。輸出迭代次數(shù)，初始值和根的近似值；再構(gòu)造不同的迭代函數(shù)，用迭代法求解，并進(jìn)行比較。時間安排：選題:2天查資料:4天寫論文:4天指導(dǎo)教師簽名：年月日系主任（或責(zé)任教師）簽名：年月日對求解方程實(shí)根的研究摘要:本文主要通過借助求解方程實(shí)根,通過對二分法、牛頓迭代法、弦截法和不動點(diǎn)迭代法求解過程進(jìn)行比較研究，通過程序改進(jìn)得出分析結(jié)果，比較了各種迭代法求解方程實(shí)根的速度。Abstract:Thispaperbysolvingtheequationwithrealroots,bydichotomy,Newtoniteration,secantmethodandfixedpointiterationmethodforsolvingacomparativestudyoftheprocess,theresultsobtainedthroughprocessimprovement,andcompareddifferentDiegoSolvingequationsonbehalfofthespeedofrealroots.關(guān)鍵詞:程序,迭代,次數(shù),速度Keywords:program,iterative,frequency,speed引言:在科學(xué)研究和工程設(shè)計中,經(jīng)常會遇到的一大類問題是求解方程f(x)=0的實(shí)根.方程f(x)=0的根,亦稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).一般稍微復(fù)雜的3次以上的代數(shù)方程或超越方程,很難甚至無法求得精確解。本文將介紹常用的求解方程的近似根的幾種數(shù)值解法.主要通過借助求解方程實(shí)根,通過對二分法、牛頓迭代法、弦截法和不動點(diǎn)迭代法求解過程進(jìn)行比較研究，通過程序改進(jìn)得出分析結(jié)果，比較了各種迭代法求解方程實(shí)根的速度。本文介紹方程的迭代解法，它既可以用來求解代數(shù)方程，也可以用來解超越方程，并且僅限于求方程的實(shí)根。問題敘述:求解的解；通過編寫程序分別用二分法和牛頓迭代法(包括弦截法)求解方程，通過各種方法的比較，分析各方法求解方程的快慢程度。問題分析:由matlab畫圖命令，容易得到此方程解的范圍為（-1，2）；兩種迭代方法，在使用相同的誤差（0.0001）的情況下，得出matlab迭代次數(shù)，通過次數(shù)的比較得出求解速度快慢比較。(畫圖命令:fun.m的M文件:functiony=fun(x)y=sin(x)-x.^2./2;命令區(qū)間輸入:x=-10:0.01:10;plot(x,fun(x),’r’)holdonplot(x,zeros(size(x)))holdoffgrid)試驗(yàn)程序及注釋:3.3.1二分法程序:f=inline('sin(x)-x.^2./2');formatlong%數(shù)據(jù)顯示格式設(shè)為長型；a=-1;b=2;%求解區(qū)間；er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.0001;%誤差分析；whileer>er0x0=.5*(a+b);y0=f(x0);ifya*y0<0b=x0;%二分法求解程序；elsea=x0;ya=y0;enddisp([a,b]);er=b-a;k=k+1%顯示各個區(qū)間值和迭代次數(shù)；enddisp([a,b]);%顯示最后一個區(qū)間值；牛頓迭代法程序：f=inline('sin(x)-x.^2./2');formatlong%數(shù)據(jù)顯示格式設(shè)為長型；b=-1;a=2;k=0;%求解區(qū)間；y0=f(b);y=f(a);whileabs(b-a)>0.0001t=a-y*(a-b)/(y-y0);b=a;y0=y;%牛頓迭代法求解程序；a=t;y=f(a);k=k+1;disp([b,a]);k%顯示各個區(qū)間值和迭代次數(shù)；enddisp([b,a]);%顯示最后一個區(qū)間值；3.3.3弦截法程序:f=inline('sin(x)-x.^2./2');formatlong%數(shù)據(jù)顯示格式設(shè)為長型；b=-1;a=2;%求解區(qū)間；x(1)=b;x(2)=a;fork=2:10x(k+1)=x(k)-f(x(k))*(x(k)-x(k-1))/(f(x(k))-f(x(k-1)));%弦截法求解程序；ifabs(x(k+1)-x(k))<0.0001breakenddisp([x(k),x(k+1)]);k%顯示各個區(qū)間值和迭代次數(shù)；enddisp([x(k),x(k+1)]);%顯示最后一個區(qū)間值；3.3.4其他迭代程序(不動點(diǎn)迭代):n=0;eps=1.0e-4;x=-1.0;whileabs(x-sqrt(2*sin(x)))>epsx=sqrt(2*sin(x));n=n+1;x,nend4實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果及分析表1：二分法程序結(jié)果迭代次數(shù)區(qū)間值：a區(qū)間值：b1-0.250000000000000.500000000000002-0.250000000000000.125000000000003-0.062500000000000.125000000000004-0.062500000000000.03125000000000…………121.0e-003*-0.244140625000001.0e-003*-0.24414062500000131.0e-003*-0.061035156250001.0e-003*0.12207031250000141.0e-004*-0.610351562500001.0e-004*0.30517578125000151.0e-004*-0.610351562500001.0e-004*0.30517578125000表2：牛頓迭代法程序結(jié)果迭代次數(shù)區(qū)間值：b區(qū)間值：a115.048324939363361.8723859260977421.872385926097741.77834639819728…..…..71.404431531185471.4044148394434281.404431531185471.40441483944342表3：弦截法程序結(jié)果迭代次數(shù)區(qū)間值：b區(qū)間值：a215.048324939363361.8723859260977431.872385926097741.77834639819728…..…..71.405562017828871.4044315311854781.404431531185471.40441483944342表4：不動點(diǎn)迭代法程序結(jié)果迭代次數(shù)X的值10+1.29728253268738i21.30116594125018+1.30116594125018i…..71.40439380746494-0.00012381044607i81.40441235101789-0.00001460213767i實(shí)驗(yàn)結(jié)論:通過比較明顯可以看出二分法迭代15次,牛頓迭代法的第7,8次結(jié)果一樣,說明其實(shí)際迭代次數(shù)為7次;弦截法迭代8次,其結(jié)果與牛頓法第7次結(jié)果一致;不動點(diǎn)迭代8次,求出的是近似值,而非近似區(qū)間.綜合比較,不難發(fā)現(xiàn)牛頓法收斂速度最快.弦截法比牛頓迭代法收斂速度較慢，但它的計算量比牛頓迭代法小。參考文獻(xiàn):[1]陳曉江,黃樟燦.數(shù)值分析[M].科學(xué)出版社,2010.[2]王正東.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].科學(xué)出版社,2004[3]張韻華．?dāng)?shù)值計算方法解題指導(dǎo)[M].高等教育出版社,2003．本科生課程設(shè)計成績評定表姓名性別專業(yè)、班級信計080