數(shù)學命題教學設計課件

第五講

數(shù)學命題教學設計華東師大數(shù)學系李俊第五講

數(shù)學命題教學設計1數(shù)學命題（原理、規(guī)則）教學數(shù)學中的命題主要包括公理、定理、法則、公式，它們都是真命題。數(shù)學命題揭示了若干概念之間的聯(lián)系。學習數(shù)學命題，不僅是為了掌握這些數(shù)學命題，而且是為了能運用它們解決實際問題或為進一步學習做必要的準備。與概念教學一樣，也常常從具體例證開始。因為涉及幾個概念以及它們之間的聯(lián)系，所以學習層次和復雜程度會較概念學習高。數(shù)學命題（原理、規(guī)則）教學數(shù)學中的命題主要包括公理、定理、法2得出數(shù)學命題的一般順序已有知識→發(fā)現(xiàn)命題，教師并不直接給出命題，學生通過回顧已有知識，觀察、研究例證，推導或概括出命題，類似于概念的上位學習。教學中應注意聯(lián)系學生已有的知識，并為推導或概括鋪設難度適中的臺階。接受命題→例證檢核，教師先給出命題（可證明也可不證明），再通過例證引導學生理解命題的意義，類似于概念的下位學習。教學中應特別注意讓學生體會命題自然合理的一面。得出數(shù)學命題的一般順序已有知識→發(fā)現(xiàn)命題，教師并不直接給出命3數(shù)學命題學習的認知過程觀察例證發(fā)現(xiàn)命題接受命題例證檢核建構解決問題反饋證明/分析數(shù)學命題學習的認知過程觀察例證發(fā)現(xiàn)命題接受命題例證檢核建構解4命題教學的一般過程（1）發(fā)現(xiàn)或接受命題，為此，需要了解學生預備知識掌握情況；需要提供例證；需要引發(fā)認知沖突或營造問題情境。命題教學的一般過程（1）發(fā)現(xiàn)或接受命題，為此，需要了解學生預5變枯燥乏味為躍躍欲試合并同類項今天，我們來一個點名做題比賽，我給出一個多項式：對這個多項式，由一個同學給出x、y各一個值，讓另一個同學說出這個多項式的值，好嗎？如果回答正確，就可以再給出x、y各一個值，去考他想考的同學。生1：x=0.15，y=10，請生2回答。生2：……師：我來回答吧，是1.5，想知道我是怎么算出來的嗎？變枯燥乏味為躍躍欲試合并同類項6命題教學的一般過程（2）如需要證明，與學生一起研究證明方法，如不需要證明，則提供材料讓學生體會命題規(guī)定的合理性。命題教學的一般過程（2）如需要證明，與學生一起研究證明方法，7

一初中教師花90秒介紹計算法則，然后是大量的例題加習題想到雜技節(jié)目“拋盤子”“過了這個村就沒了那個店”怎么教？初中冪的除法m,n是正整數(shù)，m>n,則有一初中教師花90秒介紹計算法則，然后是大量的例題加習題想8如何就冪的除法講道理m,n是正整數(shù)，m>n,則有方法1：因為所以，一般地有……方法2：因為方法3：因為n個am-n個a還有什么？開放題如何就冪的除法講道理m,n是正整數(shù)，m>n,則有n個am-9命題教學的一般過程（3）認識命題的條件與結論，如在公式推導過程中對條件引起注意，通過對結論從結構、功能、性質、使用步驟等角度分析以加深印象和理解。（4）循序漸進地應用（正用到逆用）命題，將命題納入到已有的知識體系中去。命題教學的一般過程（3）認識命題的條件與結論，如在公式推導過10公式法解一元二次方程復習提問復習“直接開平方法”，如x2=4；(x-2)2=7；(x-2)2=-7這種解法的理論依據(jù)是什么？局限性是什么？方程2x2+7x-4=0怎么解？配方成能夠“直接開平方”，要求學生說明每一步的依據(jù)最關鍵是哪一步？它的運算依據(jù)是什么？公式法解一元二次方程復習提問11若把二次項的系數(shù)2改為3，-2，…一般地，改為a≠0，對方程ax2+7x-4=0會配方嗎？若把一次項系數(shù)7變?yōu)閎，把常數(shù)項-4變?yōu)閏，對方程2x2+bx-4=0，2x2+7x+c=0，ax2+bx+c=0會配方嗎？若把二次項的系數(shù)2改為3，-2，…一般地，改為a≠0，對方程12公式推導…與課本不一樣！公式推導與課本不一樣！13公式得出后的使用，要求說出a,b,c并解方程x2-3x+2=02x2=4-7xx2-2x+2=0小結使用公式法解方程的完整過程練習，達到熟練公式得出后的使用，要求說出a,b,c并解方程14一元二次方程應用例題1一塊長方形綠地的面積為1200平方米，并且長比寬多10米，那么長和寬各為多少米？練習1用100厘米長的鉛絲，彎成一個長方形的模型，分別在下列條件下，求相鄰兩邊的長（1）長方形的面積是525平方米（2）長方形的面積是625平方米（3）長方形的面積是700平方米練習2利用墻的一邊，用籬笆圍成一個長方形ABCD，總共用去籬笆35米，為了使這個長方形的面積為150平方米，AB和CD邊各應多少米？練習3利用長為22米的墻的一邊，用籬笆圍成一個長方形ABCD，中間用籬笆分割出兩個小長方形，總共用去籬笆36米，為了使這個長方形ABCD的面積為96平方米，AB和CD邊各應多少米？一元二次方程應用例題1一塊長方形綠地的面積為1200平方15命題教學的一般過程（5）引申和拓廣命題，問一問還有什么，使教學對有興趣繼續(xù)鉆研的學生具有開放性和啟發(fā)性。命題教學的一般過程（5）引申和拓廣命題，問一問還有什么，使教16小結公式是什么？讀法？根由方程的系數(shù)a,b,c完全確定，與未知數(shù)寫成什么字母無關。它回答了解方程的三個基本問題：有沒有解？多少解？解是什么。步驟？公式怎么來的？配方，推導過程前半部分是“配方法”，后半部分是“直接開方法”，開方的實質是把一個二次方程化歸為兩個一次方程。公式法具有通用性和簡單性。公式之外還有什么？有了系數(shù)a,b,c，就能求出相應的根或者指出根不存在，那么，根與這三個系數(shù)之間應該有確定的關系，是什么呢？下節(jié)課繼續(xù)研究。c=0，靈活；與其它方法的關聯(lián)；兩邊乘更高次數(shù)方程的求解；公式解小結c=0，靈活；與其它方法的關聯(lián)；兩邊乘更高次數(shù)方程的求解17數(shù)學命題教學的設計重點是什么(條件、范圍、結論）為什么（推導/合理性）如何用（簡單應用、逆用、變形等靈活應用）涉及例題和課堂練習的設計

引申和拓廣：還有什么數(shù)學命題教學的設計重點是什么(條件、范圍、結論）引申和拓廣18Harmin

InspiringActiveLearning：aHandbookforTeachers教學的革命:創(chuàng)新教育課程設計施教篇激勵篇組織課堂篇測試篇思考篇提供一套切實可行的教學策略營造一個有吸引力的課堂提高考試分數(shù)提高學習者的責任心減少不當行為便于新教師施教HarminInspiringActiveLearni19營造一個有吸引力的課堂在這種課堂上能夠觀察到以下五種高水準的品質尊嚴(Dignity)

自信、好學的精神面貌活力(Energy)參與、生機勃勃自我管理(Self-management)集體感(Community)共同學習，取長補短意識(Awareness)機靈、專注、好奇、富有創(chuàng)見營造一個有吸引力的課堂在這種課堂上能夠觀察到以下五種高水準的20培養(yǎng)學生高參與的策略活動流課程計劃流暢，吸引快節(jié)奏集中注意力，避免問“還有什么問題嗎？有層次，不條塊分割螺旋上升，聯(lián)系有限制的變化避免枯燥，多角度，避免混亂和不安全感培養(yǎng)學生高參與的策略活動流課程計劃流暢，吸引21提高學生自信的策略使用真理啟示語可以犯錯誤，那是我們的學習途徑；勇于嘗試，我們就能成就更多、學到更多。張貼并逐漸深入討論超越表揚與獎勵上癮、不公、操縱、吹捧等副作用，真誠的欣賞，理解，關注，直截了當，對錯誤暫時保持沉默，表揚集體提升卓越獎勵好學生是鼓勵其他學生最差的一種方法，懲罰差學生是促進他們和其他普通學生最糟糕的一種方法提高學生自信的策略使用真理啟示語可以犯錯誤，那是我們的學22評價策略家庭作業(yè)給學生以選擇家庭作業(yè)的權利，量、內容、時間由學生自己定；學生互批、交流作業(yè)；簡短地召見每一個學生了解困難考試與計分不強調分數(shù)，強調學習和形成良好的終身學習習慣，減輕拿不到高分的學生的沮喪與灰心，減少花在考試和評分上的時間；集體核對，成長檔案（自我設計、自我管理的一個學習工具）；學生想提高分數(shù)的辦法；與家長的聯(lián)系卡評價策略家庭作業(yè)給學生以選擇家庭作業(yè)的權利，量、內容、時23思考策略知識的復習與掌握集體回答，復習測驗，小組互助學習，報告或表演激發(fā)思考歸類，說出共同點與區(qū)別，寫總結，預測，解釋，解難題，小組討論超越事實與細節(jié)圍繞一個概念/規(guī)律而不是一串事實來組織一堂課；聯(lián)系實例；讓學生舉例說明如何應用，說說你知道的和你想知道的思考策略知識的復習與掌握集體回答，復習測驗，小組互助學習24馬明老師的一個故事我在初中學習“用文字代表數(shù)”這一節(jié)就感到困難，而老師則不理解我的困難。題目是：已知長方形的長為a尺，寬為b尺，求周長。我算得結果是2(a+b)尺。我問老師：“究竟這個長方形的周長是多少？”老師：“你不是已經算出來了嗎？”“沒有呀!”“不是已經算出來了嗎?2(a+b)尺呀！”“長方形一周究竟是幾尺，我并沒有算出來呀！”老師無語。馬明老師的一個故事我在初中學習“用文字代表數(shù)”這一節(jié)就感到困25公式是一種形式化是“孺子不可教”還是老師實在不知道他在哪里產生了困難以及困難的原因是什么？字母代表數(shù)歷來是初學者學習的難點，若小學用字母來表示周長、面積、運算律等，則教師要充分意識到字母表示數(shù)會比公式內容本身帶來更大的困難引入之前要鋪墊，引入時要解釋字母表示的好處公式是一種形式化是“孺子不可教”還是老師實在不知道他在哪里產26法則教學講得不得法，容易給學生留下對數(shù)學的負面印象，失去學習的興趣講得好，也會讓學生看到數(shù)學理性的一面，而且蘊含著數(shù)學之美聯(lián)系已有知識講法則的道理很重要如何變枯燥乏味為躍躍欲試法則教學講得不得法，容易給學生留下對數(shù)學的負面印象，失去學習27“有理數(shù)大小的比較”教材的安排：一周氣溫排序→在數(shù)軸上描點體會數(shù)軸上排序規(guī)定的合理性（氣溫排序，正數(shù)排序）→比較法則→練習“有理數(shù)大小的比較”教材的安排：一周氣溫排序→在數(shù)軸上描點體28第五講數(shù)學命題教學設計課件29教材設計缺乏層次，“硬灌”成分多，可考慮重新設計。可粗分為正數(shù)之間比、一正一負比、兩個負數(shù)比三類可以設第一層次的問題：“+6和+2哪一個大？在數(shù)軸上，它們哪一個在右？+6比+2大，在數(shù)軸上，+6在+2的右邊。我們記作+6＞+2或+2＜+6?！睌?shù)軸有理數(shù)的表示剛學兩個正有理數(shù)大小的比較在數(shù)軸上表示兩個正有理數(shù)，右邊的總比左邊的大比較兩個正有理數(shù)可以看位置坐標法思想和數(shù)形結合思想第一層次問題：誰大？誰在右？√教材設計缺乏層次，“硬灌”成分多，可考慮重新設計。數(shù)軸有理數(shù)30第二層次問題，“想一想：甲地的溫度是+4℃，乙地的溫度是-10℃，哪一個地方暖和?在數(shù)軸上+4與-10哪個在右邊?”一致!生活經驗+4℃比-10℃暖和沒學過+4與-10哪個大?一正一負有理數(shù)大小的比較在數(shù)軸上表示一正一負有理數(shù)，右邊的總比左邊的大比較一正一負有理數(shù)也可以看位置第二層次問題：哪一地暖和？誰在右？√第二層次問題，“想一想：甲地的溫度是+4℃，乙地的溫度是-131第三層次問題：“在數(shù)軸上，-3與-8哪一個在右邊？”兩個負有理數(shù)的大小比較，不再用甲乙兩地溫度比較的實際背景來引入，抽象到在數(shù)軸上比較，突出絕對值的幾何意義。類比思想、轉化思想-8-3第三層次問題：“在數(shù)軸上，-3與-8哪一個在右邊？”類比思想32第四層次，歸納出結論“在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的大?！币约啊罢龜?shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小?！睔w納思想第四層次，歸納出結論“在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比33“負負得正”用到加法去了一些學生學習有理數(shù)的加減法時完成得很好，但學了乘除法之后回頭再做加減法題目，比如（-2）+（-4），把“負負得正”用上去了?！柏撠摰谜庇玫郊臃ㄈチ艘恍W生學習有理數(shù)的加減法時完成得很34日本學生對分數(shù)除法的認識清水美憲調查對象：小學6年級和初中7年級共590個學生題目：1. 8/15÷2/5正確率為97％和96.6％2. 有一個女孩是這樣考慮的：“做8/15×2/5時，我是分子與分子相乘，分母與分母相乘，然后相除的，那么現(xiàn)在類似地，我就把分子與分子相除，分母與分母相除，即8/15÷2/5＝（8÷2）/（15÷5）＝4/3但是，做2/5÷3/4時她感到困難了。你對她的方法怎么看？正確率為73％和65％（1）是對的（2）是錯的 （3）雖然與我的不同但也是對的 （4）其他請寫出你作選擇的理由。答“是錯的”中的

61％和53％稱“因為她沒有顛倒”日本學生對分數(shù)除法的認識清水美憲調查對象：小學6356個月后對象：16名參加過第一次調查的7年級學生被分成8對。4對（錯，錯）4對（對，錯）兩人討論。題目：與第一次測試完全類似的2道題結果：許多原來選“是錯的”學生這次仍堅持說“是錯的”，只有2名在與同伴一起討論后徹底改變了立場，有5名始終絲毫不改變立場，在混合組中原來選“是錯的”學生立場有些轉變但不穩(wěn)固6個月后對象：16名參加過第一次調查的7年級學生被分成8對。36清水美憲說：請注意高分背后的“思維固執(zhí)”不用乘以倒數(shù)的規(guī)則所以是錯的死抱法則，是不管條件符合不符合用了再說的根源會做不等于理解清水美憲說：請注意高分背后的“思維固執(zhí)”37在上海的一個調查結果“老師既然說了方法，就一定是最簡便的方法，所以（李明的方法）是錯的?！薄耙驗樗话凑照_的方法去做，雖然有時碰巧能對了，但大布份（部分）是不行的?！薄耙驗榉謹?shù)除以另一個分數(shù)＝分數(shù)乘以另一個分（數(shù)）的倒數(shù)，李明沒有這么做?！薄袄蠲鞯母拍畈粔蚯宄?，將分數(shù)的乘法與除法搞混了，應該乘以倒數(shù)?！薄袄蠋煵皇沁@樣教的，我是好孩子，聽老師的?！痹谏虾５囊粋€調查結果“老師既然說了方法，就一定是最簡便的方法38數(shù)學知識教學的常見病沒有形成基礎，強加于人對使用的條件印象模糊，不會應用死背概念和定理的表述，不抓實質，理解不深，無法對付變化造成①不讓學生參與形成概念的生動過程，降低概括水平；②不揭示命題的形成過程，降低了理解水平；③忽視數(shù)學方法的探討過程，加重學生記憶負擔，降低了分析水平。學生只會復制，不能發(fā)展，因循守舊，不能開拓創(chuàng)新。數(shù)學知識教學的常見病沒有形成基礎，強加于人39定理的教學定理因綜合性更強而使教學更為復雜和困難已有知識的熟練數(shù)學語言的聽說讀寫形成邏輯推理的思維定理的教學定理因綜合性更強而使教學更為復雜和困難40 判定四邊形為平行四邊形平行四邊形的性質：兩組對比平行一組對邊平行且相等對角相等判定四邊形為平行四邊形的途徑？ 判定四邊形為平行四邊形平行四邊形的性質：41在“三角形內角和定理”的課堂上如圖，用橡皮筋構成△ABC，其中頂點B、C固定不動，放松皮筋后，點A自動收縮，產生一系列的三角形：△A1BC，△A2BC，△A3BC……，請觀察其內角和會產生怎樣的變化？生：內角和不變，都是180°師：好，說說你是怎樣觀察出來的？生：小學老師教的。師：是的，小學介紹過三角形的內角和等于180°，但沒有證明。進入中學階段，我們要給出一個嚴格的證明。在“三角形內角和定理”的課堂上如圖，用橡皮筋構成△ABC，其42通過圖示我看到，當點A趨向于BC時，∠B，∠C趨向于0°，而∠A趨向于180°，合起來，三角形內角和趨向于180°；同時，這個圖形還告訴我們怎么證明師：好，你說說證明。生：設三角形的內角和為x°，在BC上取一點D（相當于A的運動終點），連AD，有

……x+180°=2x，∴x=180°師：證明出來了，同學們好好看一看，做得對不對？通過圖示我看到，當點A趨向于BC時，∠B，∠C趨向于0°，而43改進版師：觀察點A沿BA方向運動的情況。當點A變?yōu)锽A延長線上的A1，A2，時，∠A變小，∠C變大；當點A奔向太陽，即∠A→0°的一瞬間，產生出平行線CA0∥BA，由同旁內角之和等于180°，∠C→180°-∠B，猜想內角和→180°且改進版師：觀察點A沿BA方向運動的情況。當點A變?yōu)锽A延長線44勾股定理設計一日本教材的編排是在章首提出兩個問題：Q1下圖①,②中，分別以直角三角形ABC的3條邊為邊向外畫正方形。Q2求出Q1中各個正方形的面積，填入下表。并在圖③中畫與①,②不同的直角三角形，用相同的方法求面積。勾股定理設計一日本教材的編排是在章首提出兩個問題：45猜想→證明→（三平方）定理證法一猜想→證明→（三平方）定理證法一46自由研究：勾股定理的其他證明證法二證法三還有沒有其他證明方法？利用附錄中的圖來考慮一下自由研究：勾股定理的其他證明證法二證法三還有沒有其他證明方法47附錄給的三種圖示證法附錄給的三種圖示證法48淡化發(fā)現(xiàn)與證明，注重應用該日本教材還設立2小節(jié)講定理在平面圖形中的應用（求平面中如邊長、弦長、圓心距等、求兩點間的距離、探究在數(shù)軸上表示帶根號的數(shù)字的方法等問題）和它在空間圖形中的應用（求空間中如長方體對角線長等問題）。淡化發(fā)現(xiàn)與證明，注重應用該日本教材還設立2小節(jié)講定理在平面圖49知道三邊長，能求三角形面積嗎？小明：“不知道三角形的高就沒法求面積?！被葑樱骸白黜旤cA到BC的垂線AH，并設BH=xcm……?！毙∶鳎骸啊鰽BH和△ACH可以用勾股定理。那么AH2可以表示成兩個方程式，x的方程式可以表示為……。”惠子：“若知道x的值，則AH的值也可知。3邊的長都知道的話，那么三角形的面積也可以知道了！”知道三邊長，能求三角形面積嗎？小明：“不知道三角形的高就沒法50在圓錐中，從底面圓上一點出發(fā)，沿著圓錐側面繞行一周。請回答以下問題。 （1）求圓錐的高和體積。 （2）求繞行軌跡的最短長度。在圓錐中，從底面圓上一點出發(fā)，沿著圓錐側面繞行一周。請回答以51勾股定理引入的設計二復習三角形三邊的關系：兩邊之和大于第三邊，即便是較小兩邊的和也大于第三邊。引導學生猜測、思考：三角形較小兩邊的平方和與第三邊的平方有何大小關系呢？（分別考察銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形）勾股定理引入的設計二復習三角形三邊的關系：兩邊之和大于第三邊52勾股定理引入的設計三教師展示一塊方格布傳說在一次盛大的宴會上，畢達哥拉斯被地面上奇妙的花紋吸引住了，你認為他會想到什么數(shù)學問題？勾股定理引入的設計三教師展示一塊方格布53勾股定理引入的設計四老師首先向學生介紹一個曾經在科技展覽館中見到的模型：由一個直角三角形和以其三邊分別向外作正方形而得到的平面模型。利用多媒體課件展示這個動態(tài)虛擬模型：充盈在上面兩個正方形中的象征性液體緩緩的注入到下面的大正方形中（剛好注滿大正方形）。勾股定理引入的設計四老師首先向學生介紹一個曾經在科技展覽館中54形成邏輯推理的思維初學證明時，有的學生會分不清何時舉例可以證明，何時舉例不能證明分不清要證明的結論，證明過程中條件、結論一起用，用特殊圖形解讀一般條件分不清應用定理前，先要陳述滿足所有條件，不能缺也不能多對策形成邏輯推理的思維初學證明時，有的學生會55一般認知發(fā)展過程言語連鎖學習水平：會說，會背，但不理解命題的本質正向產生式水平（正用水平）：已在心理上形成“若……，則……”這一正向產生式，能夠由滿足命題的條件信息推出結論信息逆向產生式水平（逆用水平）：已在心理上形成“要……，就要……”這一逆向產生式，能夠由結論信息出發(fā)，追尋結論成立的充分條件變形產生式水平（變形使用水平）：已在心理上形成變形產生式，能夠由問題的部分信息檢索出相關的數(shù)學命題模式，并根據(jù)當前解決問題的需要對數(shù)學模式進行變形使用，解決問題。一般認知發(fā)展過程言語連鎖學習水平：會說，會背，但不理解命題的56小結數(shù)學命題的教學要求，其基本精神與數(shù)學概念教學是相同的，要聯(lián)系學生的現(xiàn)實，最后要在整體上建構，但它也還有自己的特點，那就是更加重視從邏輯上去論證或分析，更加重視證明與運用，尋求從多種角度去講道理。小結數(shù)學命題的教學要求，其基本精神與數(shù)學概念教學是相同的，要57第五講

數(shù)學命題教學設計華東師大數(shù)學系李俊第五講

數(shù)學命題教學設計58數(shù)學命題（原理、規(guī)則）教學數(shù)學中的命題主要包括公理、定理、法則、公式，它們都是真命題。數(shù)學命題揭示了若干概念之間的聯(lián)系。學習數(shù)學命題，不僅是為了掌握這些數(shù)學命題，而且是為了能運用它們解決實際問題或為進一步學習做必要的準備。與概念教學一樣，也常常從具體例證開始。因為涉及幾個概念以及它們之間的聯(lián)系，所以學習層次和復雜程度會較概念學習高。數(shù)學命題（原理、規(guī)則）教學數(shù)學中的命題主要包括公理、定理、法59得出數(shù)學命題的一般順序已有知識→發(fā)現(xiàn)命題，教師并不直接給出命題，學生通過回顧已有知識，觀察、研究例證，推導或概括出命題，類似于概念的上位學習。教學中應注意聯(lián)系學生已有的知識，并為推導或概括鋪設難度適中的臺階。接受命題→例證檢核，教師先給出命題（可證明也可不證明），再通過例證引導學生理解命題的意義，類似于概念的下位學習。教學中應特別注意讓學生體會命題自然合理的一面。得出數(shù)學命題的一般順序已有知識→發(fā)現(xiàn)命題，教師并不直接給出命60數(shù)學命題學習的認知過程觀察例證發(fā)現(xiàn)命題接受命題例證檢核建構解決問題反饋證明/分析數(shù)學命題學習的認知過程觀察例證發(fā)現(xiàn)命題接受命題例證檢核建構解61命題教學的一般過程（1）發(fā)現(xiàn)或接受命題，為此，需要了解學生預備知識掌握情況；需要提供例證；需要引發(fā)認知沖突或營造問題情境。命題教學的一般過程（1）發(fā)現(xiàn)或接受命題，為此，需要了解學生預62變枯燥乏味為躍躍欲試合并同類項今天，我們來一個點名做題比賽，我給出一個多項式：對這個多項式，由一個同學給出x、y各一個值，讓另一個同學說出這個多項式的值，好嗎？如果回答正確，就可以再給出x、y各一個值，去考他想考的同學。生1：x=0.15，y=10，請生2回答。生2：……師：我來回答吧，是1.5，想知道我是怎么算出來的嗎？變枯燥乏味為躍躍欲試合并同類項63命題教學的一般過程（2）如需要證明，與學生一起研究證明方法，如不需要證明，則提供材料讓學生體會命題規(guī)定的合理性。命題教學的一般過程（2）如需要證明，與學生一起研究證明方法，64

一初中教師花90秒介紹計算法則，然后是大量的例題加習題想到雜技節(jié)目“拋盤子”“過了這個村就沒了那個店”怎么教？初中冪的除法m,n是正整數(shù)，m>n,則有一初中教師花90秒介紹計算法則，然后是大量的例題加習題想65如何就冪的除法講道理m,n是正整數(shù)，m>n,則有方法1：因為所以，一般地有……方法2：因為方法3：因為n個am-n個a還有什么？開放題如何就冪的除法講道理m,n是正整數(shù)，m>n,則有n個am-66命題教學的一般過程（3）認識命題的條件與結論，如在公式推導過程中對條件引起注意，通過對結論從結構、功能、性質、使用步驟等角度分析以加深印象和理解。（4）循序漸進地應用（正用到逆用）命題，將命題納入到已有的知識體系中去。命題教學的一般過程（3）認識命題的條件與結論，如在公式推導過67公式法解一元二次方程復習提問復習“直接開平方法”，如x2=4；(x-2)2=7；(x-2)2=-7這種解法的理論依據(jù)是什么？局限性是什么？方程2x2+7x-4=0怎么解？配方成能夠“直接開平方”，要求學生說明每一步的依據(jù)最關鍵是哪一步？它的運算依據(jù)是什么？公式法解一元二次方程復習提問68若把二次項的系數(shù)2改為3，-2，…一般地，改為a≠0，對方程ax2+7x-4=0會配方嗎？若把一次項系數(shù)7變?yōu)閎，把常數(shù)項-4變?yōu)閏，對方程2x2+bx-4=0，2x2+7x+c=0，ax2+bx+c=0會配方嗎？若把二次項的系數(shù)2改為3，-2，…一般地，改為a≠0，對方程69公式推導…與課本不一樣！公式推導與課本不一樣！70公式得出后的使用，要求說出a,b,c并解方程x2-3x+2=02x2=4-7xx2-2x+2=0小結使用公式法解方程的完整過程練習，達到熟練公式得出后的使用，要求說出a,b,c并解方程71一元二次方程應用例題1一塊長方形綠地的面積為1200平方米，并且長比寬多10米，那么長和寬各為多少米？練習1用100厘米長的鉛絲，彎成一個長方形的模型，分別在下列條件下，求相鄰兩邊的長（1）長方形的面積是525平方米（2）長方形的面積是625平方米（3）長方形的面積是700平方米練習2利用墻的一邊，用籬笆圍成一個長方形ABCD，總共用去籬笆35米，為了使這個長方形的面積為150平方米，AB和CD邊各應多少米？練習3利用長為22米的墻的一邊，用籬笆圍成一個長方形ABCD，中間用籬笆分割出兩個小長方形，總共用去籬笆36米，為了使這個長方形ABCD的面積為96平方米，AB和CD邊各應多少米？一元二次方程應用例題1一塊長方形綠地的面積為1200平方72命題教學的一般過程（5）引申和拓廣命題，問一問還有什么，使教學對有興趣繼續(xù)鉆研的學生具有開放性和啟發(fā)性。命題教學的一般過程（5）引申和拓廣命題，問一問還有什么，使教73小結公式是什么？讀法？根由方程的系數(shù)a,b,c完全確定，與未知數(shù)寫成什么字母無關。它回答了解方程的三個基本問題：有沒有解？多少解？解是什么。步驟？公式怎么來的？配方，推導過程前半部分是“配方法”，后半部分是“直接開方法”，開方的實質是把一個二次方程化歸為兩個一次方程。公式法具有通用性和簡單性。公式之外還有什么？有了系數(shù)a,b,c，就能求出相應的根或者指出根不存在，那么，根與這三個系數(shù)之間應該有確定的關系，是什么呢？下節(jié)課繼續(xù)研究。c=0，靈活；與其它方法的關聯(lián)；兩邊乘更高次數(shù)方程的求解；公式解小結c=0，靈活；與其它方法的關聯(lián)；兩邊乘更高次數(shù)方程的求解74數(shù)學命題教學的設計重點是什么(條件、范圍、結論）為什么（推導/合理性）如何用（簡單應用、逆用、變形等靈活應用）涉及例題和課堂練習的設計

引申和拓廣：還有什么數(shù)學命題教學的設計重點是什么(條件、范圍、結論）引申和拓廣75Harmin

InspiringActiveLearning：aHandbookforTeachers教學的革命:創(chuàng)新教育課程設計施教篇激勵篇組織課堂篇測試篇思考篇提供一套切實可行的教學策略營造一個有吸引力的課堂提高考試分數(shù)提高學習者的責任心減少不當行為便于新教師施教HarminInspiringActiveLearni76營造一個有吸引力的課堂在這種課堂上能夠觀察到以下五種高水準的品質尊嚴(Dignity)

自信、好學的精神面貌活力(Energy)參與、生機勃勃自我管理(Self-management)集體感(Community)共同學習，取長補短意識(Awareness)機靈、專注、好奇、富有創(chuàng)見營造一個有吸引力的課堂在這種課堂上能夠觀察到以下五種高水準的77培養(yǎng)學生高參與的策略活動流課程計劃流暢，吸引快節(jié)奏集中注意力，避免問“還有什么問題嗎？有層次，不條塊分割螺旋上升，聯(lián)系有限制的變化避免枯燥，多角度，避免混亂和不安全感培養(yǎng)學生高參與的策略活動流課程計劃流暢，吸引78提高學生自信的策略使用真理啟示語可以犯錯誤，那是我們的學習途徑；勇于嘗試，我們就能成就更多、學到更多。張貼并逐漸深入討論超越表揚與獎勵上癮、不公、操縱、吹捧等副作用，真誠的欣賞，理解，關注，直截了當，對錯誤暫時保持沉默，表揚集體提升卓越獎勵好學生是鼓勵其他學生最差的一種方法，懲罰差學生是促進他們和其他普通學生最糟糕的一種方法提高學生自信的策略使用真理啟示語可以犯錯誤，那是我們的學79評價策略家庭作業(yè)給學生以選擇家庭作業(yè)的權利，量、內容、時間由學生自己定；學生互批、交流作業(yè)；簡短地召見每一個學生了解困難考試與計分不強調分數(shù)，強調學習和形成良好的終身學習習慣，減輕拿不到高分的學生的沮喪與灰心，減少花在考試和評分上的時間；集體核對，成長檔案（自我設計、自我管理的一個學習工具）；學生想提高分數(shù)的辦法；與家長的聯(lián)系卡評價策略家庭作業(yè)給學生以選擇家庭作業(yè)的權利，量、內容、時80思考策略知識的復習與掌握集體回答，復習測驗，小組互助學習，報告或表演激發(fā)思考歸類，說出共同點與區(qū)別，寫總結，預測，解釋，解難題，小組討論超越事實與細節(jié)圍繞一個概念/規(guī)律而不是一串事實來組織一堂課；聯(lián)系實例；讓學生舉例說明如何應用，說說你知道的和你想知道的思考策略知識的復習與掌握集體回答，復習測驗，小組互助學習81馬明老師的一個故事我在初中學習“用文字代表數(shù)”這一節(jié)就感到困難，而老師則不理解我的困難。題目是：已知長方形的長為a尺，寬為b尺，求周長。我算得結果是2(a+b)尺。我問老師：“究竟這個長方形的周長是多少？”老師：“你不是已經算出來了嗎？”“沒有呀!”“不是已經算出來了嗎?2(a+b)尺呀！”“長方形一周究竟是幾尺，我并沒有算出來呀！”老師無語。馬明老師的一個故事我在初中學習“用文字代表數(shù)”這一節(jié)就感到困82公式是一種形式化是“孺子不可教”還是老師實在不知道他在哪里產生了困難以及困難的原因是什么？字母代表數(shù)歷來是初學者學習的難點，若小學用字母來表示周長、面積、運算律等，則教師要充分意識到字母表示數(shù)會比公式內容本身帶來更大的困難引入之前要鋪墊，引入時要解釋字母表示的好處公式是一種形式化是“孺子不可教”還是老師實在不知道他在哪里產83法則教學講得不得法，容易給學生留下對數(shù)學的負面印象，失去學習的興趣講得好，也會讓學生看到數(shù)學理性的一面，而且蘊含著數(shù)學之美聯(lián)系已有知識講法則的道理很重要如何變枯燥乏味為躍躍欲試法則教學講得不得法，容易給學生留下對數(shù)學的負面印象，失去學習84“有理數(shù)大小的比較”教材的安排：一周氣溫排序→在數(shù)軸上描點體會數(shù)軸上排序規(guī)定的合理性（氣溫排序，正數(shù)排序）→比較法則→練習“有理數(shù)大小的比較”教材的安排：一周氣溫排序→在數(shù)軸上描點體85第五講數(shù)學命題教學設計課件86教材設計缺乏層次，“硬灌”成分多，可考慮重新設計?？纱址譃檎龜?shù)之間比、一正一負比、兩個負數(shù)比三類可以設第一層次的問題：“+6和+2哪一個大？在數(shù)軸上，它們哪一個在右？+6比+2大，在數(shù)軸上，+6在+2的右邊。我們記作+6＞+2或+2＜+6。”數(shù)軸有理數(shù)的表示剛學兩個正有理數(shù)大小的比較在數(shù)軸上表示兩個正有理數(shù)，右邊的總比左邊的大比較兩個正有理數(shù)可以看位置坐標法思想和數(shù)形結合思想第一層次問題：誰大？誰在右？√教材設計缺乏層次，“硬灌”成分多，可考慮重新設計。數(shù)軸有理數(shù)87第二層次問題，“想一想：甲地的溫度是+4℃，乙地的溫度是-10℃，哪一個地方暖和?在數(shù)軸上+4與-10哪個在右邊?”一致!生活經驗+4℃比-10℃暖和沒學過+4與-10哪個大?一正一負有理數(shù)大小的比較在數(shù)軸上表示一正一負有理數(shù)，右邊的總比左邊的大比較一正一負有理數(shù)也可以看位置第二層次問題：哪一地暖和？誰在右？√第二層次問題，“想一想：甲地的溫度是+4℃，乙地的溫度是-188第三層次問題：“在數(shù)軸上，-3與-8哪一個在右邊？”兩個負有理數(shù)的大小比較，不再用甲乙兩地溫度比較的實際背景來引入，抽象到在數(shù)軸上比較，突出絕對值的幾何意義。類比思想、轉化思想-8-3第三層次問題：“在數(shù)軸上，-3與-8哪一個在右邊？”類比思想89第四層次，歸納出結論“在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的大?！币约啊罢龜?shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小?！睔w納思想第四層次，歸納出結論“在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比90“負負得正”用到加法去了一些學生學習有理數(shù)的加減法時完成得很好，但學了乘除法之后回頭再做加減法題目，比如（-2）+（-4），把“負負得正”用上去了?！柏撠摰谜庇玫郊臃ㄈチ艘恍W生學習有理數(shù)的加減法時完成得很91日本學生對分數(shù)除法的認識清水美憲調查對象：小學6年級和初中7年級共590個學生題目：1. 8/15÷2/5正確率為97％和96.6％2. 有一個女孩是這樣考慮的：“做8/15×2/5時，我是分子與分子相乘，分母與分母相乘，然后相除的，那么現(xiàn)在類似地，我就把分子與分子相除，分母與分母相除，即8/15÷2/5＝（8÷2）/（15÷5）＝4/3但是，做2/5÷3/4時她感到困難了。你對她的方法怎么看？正確率為73％和65％（1）是對的（2）是錯的 （3）雖然與我的不同但也是對的 （4）其他請寫出你作選擇的理由。答“是錯的”中的

61％和53％稱“因為她沒有顛倒”日本學生對分數(shù)除法的認識清水美憲調查對象：小學6926個月后對象：16名參加過第一次調查的7年級學生被分成8對。4對（錯，錯）4對（對，錯）兩人討論。題目：與第一次測試完全類似的2道題結果：許多原來選“是錯的”學生這次仍堅持說“是錯的”，只有2名在與同伴一起討論后徹底改變了立場，有5名始終絲毫不改變立場，在混合組中原來選“是錯的”學生立場有些轉變但不穩(wěn)固6個月后對象：16名參加過第一次調查的7年級學生被分成8對。93清水美憲說：請注意高分背后的“思維固執(zhí)”不用乘以倒數(shù)的規(guī)則所以是錯的死抱法則，是不管條件符合不符合用了再說的根源會做不等于理解清水美憲說：請注意高分背后的“思維固執(zhí)”94在上海的一個調查結果“老師既然說了方法，就一定是最簡便的方法，所以（李明的方法）是錯的?！薄耙驗樗话凑照_的方法去做，雖然有時碰巧能對了，但大布份（部分）是不行的?！薄耙驗榉謹?shù)除以另一個分數(shù)＝分數(shù)乘以另一個分（數(shù)）的倒數(shù)，李明沒有這么做?！薄袄蠲鞯母拍畈粔蚯宄?，將分數(shù)的乘法與除法搞混了，應該乘以倒數(shù)?！薄袄蠋煵皇沁@樣教的，我是好孩子，聽老師的。”在上海的一個調查結果“老師既然說了方法，就一定是最簡便的方法95數(shù)學知識教學的常見病沒有形成基礎，強加于人對使用的條件印象模糊，不會應用死背概念和定理的表述，不抓實質，理解不深，無法對付變化造成①不讓學生參與形成概念的生動過程，降低概括水平；②不揭示命題的形成過程，降低了理解水平；③忽視數(shù)學方法的探討過程，加重學生記憶負擔，降低了分析水平。學生只會復制，不能發(fā)展，因循守舊，不能開拓創(chuàng)新。數(shù)學知識教學的常見病沒有形成基礎，強加于人96定理的教學定理因綜合性更強而使教學更為復雜和困難已有知識的熟練數(shù)學語言的聽說讀寫形成邏輯推理的思維定理的教學定理因綜合性更強而使教學更為復雜和困難97 判定四邊形為平行四邊形平行四邊形的性質：兩組對比平行一組對邊平行且相等對角相等判定四邊形為平行四邊形的途徑？ 判定四邊形為平行四邊形平行四邊形的性質：98在“三角形內角和定理”的課堂上如圖，用橡皮筋構成△ABC，其中頂點B、C固定不動，放松皮筋后，點A自動收縮，產生一系列的三角形：△A1BC，△A2BC，△A3BC……，請觀察其內角和會產生怎樣的變化？生：內角和不變，都是180°師：好，說說你是怎樣觀察出來的？生：小學老師教的。師：是的，小學介紹過三角形的內角和等于180°，但沒有證明。進入中學階段，我們要給出一個嚴格的證明。在“三角形內角和定理”的課堂上如圖，用橡皮筋構成△ABC，其99通過圖示我看到，當點A趨向于BC時，∠B，∠C趨向于0°，而∠A趨向于180°，合起來，三角形內角和趨向于180°；同時，這個圖形還告訴我們怎么證明師：好，你說說證明。生：設三角形的內角和為x°，在BC上取一點D（相當于A的運動終點），連AD，有

……x+180°=2x，∴x=180°師：證明出來了，同學們好好看一看，做得對不對？通過圖示我看到，當點A趨向于BC時，∠B，∠C趨向于0°，而100改進版師：觀察點A沿BA方向運動的情況。當點A變?yōu)锽A延長線上的A1，A2，時，∠A變小，∠C變大；當點A奔向太陽，即∠A→0°的一瞬間，產生出平