九年級數(shù)學全冊知識講解及鞏固練習：由平行線截得的比例線段知識講解

PAGE由平行線截得的比例線段知識講解責編：康紅梅【學習目標】掌握平行線截線段成比例的基本事實及應用；2、理解并掌握通過平行線截比例線段的基本事實等分一條已知線段；2、經(jīng)歷運用分類思想針對圖形運動的不同位置分別探究的過程,初步領略運用運動觀點、化歸和分類討論等思想進行數(shù)學思考的策略.【要點梳理】要點一、平行線截線段成比例基本事實：兩條直線被一組平行線(不少于3條)所截，所得的對應線段成比例已知如圖，直線l1、l2、l3是一組等距離的平行線，l4、l5是任意畫的兩條直線，分別于這組平行線一下相交于點A，B，C，D，E，F(xiàn)，則比例式成立.要點詮釋：上圖的變式圖形：分A型和X型；A型X型則常用的比例式：依然成立.要點二、把已知線段AB五等分.已知線段AB，請利用尺規(guī)作圖把線段AB五等分.作法以A為端點作一條射線，并在射線上依次截取線段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.連結(jié)A5B，并過點A1，A2，A3，A4分別作A5B的平行線，依次交AB于點B1，B2，B3，B4.則點B1，B2，B3，B4就是所求作的把線段AB五等分的點.依據(jù)：實際上，過點A作l∥A5B，根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實，就可以得到如下關(guān)系式∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,∴點B1，B2，B3，B4把線段AB五等分.要點詮釋：在射線上截取等長的線段時使用的作圖工具是圓規(guī),不能使用直尺進行量取,尺規(guī)作圖中的直尺是沒有刻度的,它的用途是畫線或者連線.【典型例題】類型一、平行線截線段成比例1.（2016?蘭州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（）A． B． C． D．【思路點撥】直接利用平行線分線段成比例定理寫出答案即可．【答案】C．【解析】解：∵DE∥BC，∴==，故選C．【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例定理，了解定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎定義或定理，難度不大．舉一反三【變式】如圖,在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求證:【答案】∵DG∥EC,∴,∵EG∥BC,∴,∴,即.2.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，則四邊形EFGH的周長是（）.A.B.13C.D.【思路點撥】根據(jù)矩形的對角線相等，利用勾股定理求出對角線的長度，然后根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實列式表示出EF、EH的長度之和，再根據(jù)四邊形EFGH是平行四邊形，即可得解．【答案與解析】在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，

根據(jù)勾股定理，AC=BD===，

∵EF∥AC∥HG，

∴，

∵EH∥BD∥FG，

∴，

∴=1，

∴EF+EH=AC=，

∵EF∥HG，EH∥FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH的周長=2（EF+EH）=．

故選D．【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例的基本事實，矩形的對角線相等，勾股定理，根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實求出是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．.3.如圖，AM是△ABC的中線，P是AM上任意一點，BP、CP的延長線分別交AC、AB于E、D兩點.求證：DE∥BC.【答案與解析】延長AM到H，使HM=MP，連接BH、CH

∵BM=MC

∴四邊形BPCH是平行四邊形

∵BH∥CD，CH∥BE

在△ABH和△ACH中，

有，∴DE∥BC

【總結(jié)升華】平行線所截得的對應線段成比例，而兩條平行線中的線段與所截得的線段不成比例.舉一反三

【變式】如圖，在△ABC（AB＞AC）的邊AB上取一點D，在邊AC上取一點E,使AD=AE,直線DE和BC的延長線交于點P,求證：.【答案】過點C作CF∥AB交DP于點F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴,即.4.如圖已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中點，CM交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.

【答案與解析】∵AB=AC，AD⊥BC

∴BD=DC

∵DN∥CP

∴BN=NP又AM=MD

∴AP=PN==2cm【總結(jié)升華】此題利用平行線截線段成比例的基本事實，結(jié)合中點定義找出線段的比值，進而求出線段的長.舉一反三【變式】如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點G，且AG=2，GB=1，BC=5，則的值為（）B.2C.D.【答案】D.提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直線l1∥l2∥l3，∴=.5把已知線段a(如圖)三等分.【答案與解析】作法1.把已知線段a的兩端點分別標注字母A，B，再以A為端點作一條射線，并在射線上依次截取線段AA1=A1A2=A2A35.