2021年廣東省清遠(yuǎn)市清新一中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

2021年廣東省清遠(yuǎn)市清新一中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.(5分)若集合"={巾=欣弁},N={x|x<1},則MCN=()

A.(0,2)B.(0,1)C.(1,2)D.(-8,i)

2.(5分)命題“Va>0,a+^>2"的否定是()

1

A.maWO,CLH—aV2

C.Q+&N2

3.(5分)函數(shù)f。)=段，的圖象大致為(

4人ILI

4.（5分）牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫下的溫度變化：如果物體的初始溫度為7b,則

經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度T將滿足T-Ta=弓液（7（）-Ta）,其中心是環(huán)境溫度，h稱為

半衰期.現(xiàn)有一杯85℃的熱茶，放置在25℃的房間中，如果熱茶降溫到55℃,需要10

分鐘，則欲降溫到45℃,大約需要多少分鐘？（妒弋0.3010,k3Q0.4771）（）

A.12B.14C.16D.18

5.（5分）已知4%+》=孫（x>0,y>0）,則x+4y的最小值為（）

A.5B.10C.20D.25

11

6.（5分）“bta力nb”是％2>b2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（5分）若函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為/（x）.若/（x）-3V0恒成立，/

(-2)=0,則/(x)-3x<6解集為()

A.(…，-2)B.(-2,2)C.(-8,2)D.(-2,+~)

2

8.(5分)已知函數(shù)f(x)=log3(x+Vx+1)—3X；],若/(2a-l)4/(J-2)W-2,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[-3,1JB.[-2,1JC.(0,1]D.[0,I]

二、多選題(本大題共4小題，共20.()分)

9.(5分)給出下列命題，其中正確命題為()

A.投擲一枚均勻的硬幣和均勻的骰子(形狀為正方體，六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,

4,5,6)各一次，記硬幣正面向上為事件4,骰子向上的點(diǎn)數(shù)是2為事件8,則事件A和

事件B同時(shí)發(fā)生的概率為二

B.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)2=/〃)，，將其變換后得到

線性方程z=0.3x+4,則c,k的值分別是和0.3

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,。2),p(X>1.5)=0.34,則P(X<0.5)=0.16

D.某選手射擊三次，每次擊中目標(biāo)的概率均為5且每次射擊都是相互獨(dú)立的，則該選

1

手至少擊中2次的概率為:

2

10.(5分)設(shè)a=logo.20.3,Z>=log20.3,則()

11

A.-V—B.ah<0C.a+b<0D.ab<a+h

ab

11.(5分)下列說法正確的是()

x2y24

A.雙曲線《一宗=1的漸近線方程是產(chǎn)土打

B.雙曲線/-)2=]的離心率0=迎

x2y2

C.雙曲線"一1(。>0,力>0)的焦點(diǎn)尸到漸近線的距離是力

a2b2

D.雙曲線一一二=1,直線/與雙曲線交于A,8兩點(diǎn).若A3的中點(diǎn)坐標(biāo)是(-，-1),

422

則直線I的方程為2x+8y+7=0

(e"x4-mx+>x<0

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=21為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若方程/(-

\ex(x—1),x>0

x)+f(x)=0有且僅有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)〃，的值不可能為()

A.eB.2eC.6D.3e

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.（5分）已知函數(shù)/（x）=X>°,則/（/（'））=______.

\2X+x,x<0,

14.（5分）已知點(diǎn)（4,2）在嘉函數(shù)y=/（x）的圖象上，則不等式f（x）23的解集為.

9Y_1

15.（5分）已知命題p：x+]50,命題q：xe1-a>0.若p是q的充分條件，則〃的取

值范圍為.

16.（5分）如圖，現(xiàn)有一個(gè)NAOB為圓心角、湖岸OA與。8為半徑的扇形湖面AO&現(xiàn)

欲在弧A3上取不同于A,B的點(diǎn)C,用漁網(wǎng)沿著弧衣（弧衣在扇形AOB的弧AB上）、

半徑OC和線段CD（其中CD//OA）,在扇形湖面內(nèi)各處連個(gè)養(yǎng)殖區(qū)域--養(yǎng)殖區(qū)域1

和養(yǎng)殖區(qū)域II.若。4=1皿，4。8=去ZAOC=0.求所需漁網(wǎng)長度（即圖中弧死、

半徑OC和線段CD長度之和）的最大值為.

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分）

17.在①2c、cosC-4cos8-6cosA=0,@a=ccosB-bsinC,③（a+6）2=a6+，2這三個(gè)

條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求￡并判斷△A8C的形狀，請(qǐng)說明理由.

b

在△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a+c=2b,___,求苫的值并判

b

斷△ABC的形狀，請(qǐng)說明理由.

18.已知前〃項(xiàng)和為S”的等比數(shù)列｛a”｝中，86722=（a3?4,S5=a6-4.

（1）求數(shù)列伍”｝的通項(xiàng)公式；

,11111

（2）求證：-S—+—+…+—

42

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CZ）為菱形，ZAfiC=60°,PB=PC,E為線

段BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段網(wǎng)上的一點(diǎn).

（1）證明：平面以EJ_平面BCP.

⑵若限=48=捌8,二面角A-8。-尸的余弦值為I，求P。與平面BDF所成角的

正弦值.

20.某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對(duì)他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)

計(jì)如下：

每月完成合格[26,28)[28,30)[30,32)[32,34)[34,36]

產(chǎn)品的件數(shù)

(單位:百件)

頻數(shù)10453564

男員工人數(shù)7231811

(1)其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評(píng)為“生產(chǎn)能手”由以上統(tǒng)

計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2X2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？

非“生產(chǎn)能手”“生產(chǎn)能手”合計(jì)

男員工

女員工

合計(jì)

(2)為提高員工勞動(dòng)的積極性，工廠實(shí)行累進(jìn)計(jì)件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件

數(shù)在定額2600件以內(nèi)的，計(jì)件單價(jià)為1元；超出(0,2001件的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為

1.2元；超出(200,400］件的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.3元；超出400件以上的部分，累

進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.4元，將這4段中各段的頻率視為相應(yīng)的概率，在該廠男員工中隨機(jī)選取

1人，女員工中隨機(jī)選取2人進(jìn)行工資調(diào)查，設(shè)實(shí)得計(jì)件工資(實(shí)得計(jì)件工資=定額計(jì)件

工資+超定額計(jì)件工資)不少于3100元的人數(shù)為Z,求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

時(shí).距2_n(ad-Ac)

川?八一(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)'

P(犬女0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

X2V2

21.已知橢圓C：=+彳=1(〃＞力＞0)過點(diǎn)(百，-1分，且它的焦距是短軸長的百倍.

azb乙乙

(1)求橢圓。的方程；

(2)若A,8是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(4,8兩點(diǎn)不關(guān)于x軸對(duì)稱)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，04

。8的斜率分別為%,k2,問是否存在非零常數(shù)入，使心"2=入時(shí)，△A0B的面積S為定

值？若存在，求人的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.已知函數(shù)f(%)=e2A

(1)討論函數(shù)/CO的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)證明：xe2x-Inx-2x—X).

2021年廣東省清遠(yuǎn)市清新一中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

參考答案與試題解析

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

2—x

1.（5分）若集合〃={巾=依羨},N={x|xVl},則MCIN=（）

A.（0,2）B.（0,1）C.（1,2）D.（…，i）

【解答］解：M={x\0<x<2}；

.*.MnN={x|0<x<l}=（0,1）.

故選：B.

2.（5分）命題“Va>0,a+i>2W的否定是（）

11

a。>

A.maWO,H—a<T2B.m0,QH—a<T2

ii

C.a+-a>2D.Va>0,a+-a<2

【解答】解：命題“Va>0,a+i>2M為全稱命題，

1

則其的否定為1>0,<2,

故選：B.

3.（5分）函數(shù)〃%）=段"的圖象大致為（）

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)外嗎=看菽，有法+/心70,即/以N-2X,

設(shè)當(dāng)OVmVl時(shí)，/〃機(jī)=-2〃?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?,m）U（加，+8）,排除A,D

當(dāng)OViVm時(shí)，2x+//ir<0,x">0,則/（x）<0,排除3；

故選：C.

4.(5分)牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫下的溫度變化：如果物體的初始溫度為7b,則

經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度7將滿足T-Ta=弓成(To-Ta),其中心是環(huán)境溫度，h稱為

半衰期.現(xiàn)有一杯85℃的熱茶，放置在25c的房間中，如果熱茶降溫到55℃,需要10

分鐘，則欲降溫到45C,大約需要多少分鐘？(/g2M).3010,k3Q0.4771)()

A.12B.14C.16D.18

【解答】解：由題意可知55-25=(加(85-25),

解得：力=10,

：.45-25=(痂(85-25),

解得:.=，。曙,

?*t—101og23-—~16,

0ig2

即大約需要16分鐘.

故選：C.

5.(5分)己知4]+>=孫(x>0,y>0),則x+4y的最小值為()

A.5B.10C.20D.25

41

【解答】解：由4x+y=xy(x>0,y>0),可得一+-=1,

yx

則x+4y=(x+4y)e+》=17+/+?217+2j^?=25,

4%4v41

當(dāng)且僅當(dāng)一=一且一+-=1,即x=5,y=5時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值25.

yxyx

故選：D.

6.(5分)“/“nN/,力”是“a^>h2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：因?yàn)?“。》歷人解得a》6>0,

11

又a22b2,解得

即由Ina^-lnb可推出a2>b而a2>b2時(shí)，在”=。=0的情況下，Ina'lnb不

成立;

所以“癡力加'是"a2>h2”的充分不必要條件.

故選：A.

7.(5分)若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為/(x).若/(x)-3<0恒成立，/

(-2)=0,則/(x)-3x<6解集為()

A.(…，-2)B.(-2,2)C.(-8,2)D.(-2,+~)

【解答】解：令g(x)=fCx)-3x,

故g'(x)=f(x)-3<0,

故g(x)在R遞減，

而g(-2)=/(-2)=6,

故/(x)-3x<6,

即g(x)<g(-2),

故x>-2,

故選：D.

22

8.(5分)已知函數(shù)f(x)=log3(x+Vx+1)-/五，若f(2a-1)+f(a-2)W-2,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[-3,1]B.[-2,1]C.(0,1]D.[0,1]

【解答】解：由題可知，f(-x)=bg3(—x+QTT)-1占

_____7_____7

22

?V(x)V(-x)=log3(x+Vx+1)-+log3(-x+Vx+1)-3-x+1

=，。w(一/+產(chǎn)+i)一卷一言=-2,

：.f(x)+1=-[/'(-X)+1],

令g(x)=f(x)+1,則g(x)=-g(-X),即g(x)為奇函數(shù)，

,:函數(shù)丫=1+〃2+1與y=3X在R上均單調(diào)遞增，

：.f(x)在R上單調(diào)遞增，即g(x)在R上也單調(diào)遞增，

不等式f(2a-1)+f<?2-2)W-2,等價(jià)于/(24-1)+1W-[/'(a2-2)+1],

.".g(2a-1)<-g(a2-2)=g(2-a2'),

,:g(x)在R上單調(diào)遞增，

；.2a-1W2-J,

解得-3WaWl,

實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,1].

故選：A.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.（5分）給出下列命題，其中正確命題為（）

A.投擲一枚均勻的硬幣和均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,

4,5,6）各一次，記硬幣正面向上為事件A,骰子向上的點(diǎn)數(shù)是2為事件B,則事件A和

1

事件B同時(shí)發(fā)生的概率為不

B.以模型）'=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)2=/町，，將其變換后得到

線性方程z=0.3x+4,則c,上的值分別是e4和0.3

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1,。2）,p（X>1.5）=0.34,JJIIJP（X<0.5）=0.16

D.某選手射擊三次，每次擊中目標(biāo)的概率均為士且每次射擊都是相互獨(dú)立的，則該選

2

手至少擊中2次的概率為工

2

【解答】解：對(duì)于A,根據(jù)乘法原理，事件所以可能數(shù)為2X6=12,

事件4和事件B同時(shí)發(fā)生的概率為二，所以A對(duì)；

12

對(duì)于B,y=ce"lny—kx+lnc,z—lny,z=0.3x+4,

所以/〃c=4=c=e4,k=03,則c,上的值分別是和0.3,所以B對(duì)；

對(duì)于C,X?N（1,。2）,n=l,

P（X<0.5）=P（X<1-0.5）=P（X>1+0.5）=P（X>1.5）=0.34^0.16,所以C錯(cuò)；

對(duì)于力，選手射擊三次，至少擊中2次，即擊中2次或3次，

其概率為廢（1-獷-2（#+C|（i）3=1,所以。對(duì).

故選：ABD.

10.（5分）設(shè)〃=logo.20.3,Z?=log20.3,則（）

11

A.-V—B.ab<0C.a+〃V0D.ab<a+b

ab

【解答】解：:0=logo,2l<a=logo.20.3<logo,20.2=1,

i

/?=log20.3</o,g22=

AO<a<l,：.b<-1,

11

A->7,ab<0,o+bVO,故A錯(cuò)誤，BC均正確；

ab

11a+D

V-4-7=~~=logo.30.2+logo.32=k)go.30.4Vk)go.30.3=l,

abab

11■a+b

+7<1,即出VI'

ab

:?a+b>ab.

TOVaVl,b<-1,

Aab<a+b<0,故。正確.

故選：BCD.

11.（5分）下列說法正確的是（）

22

A.雙曲線二X一y二=1的漸近線方程是,=±34%

B.雙曲線/-丁=1的離心率e=或

2V2

C.雙曲線=X一三=1（。>0,〃>0）的焦點(diǎn)尸到漸近線的距離是〃

a2bz

22

D.雙曲線一x一y二=1,直線/與雙曲線交于A,8兩點(diǎn).若45的中1點(diǎn)坐標(biāo)是（-，-1）,

422

則直線/的方程為2x+8y+7=0

%2y2%2y2%v

【解答】解：對(duì)于A：雙曲線二?一—=1,令大一J=0,整理得二土占=0,整理得

91691634

4

y=土耳工，故A正確；

對(duì)于3：雙曲線/-y2=l中的a=1,b=l,所以c=Vl2+l2=V2,所以e=、=V2,

故離心率為VL故8正確；

%2y2xV

對(duì)于C：雙曲線二?一三=1（a>0,人>0）的焦點(diǎn)F（c,0）到漸近線一+7=0,即

a*b,ab

fer+ay=O的距離d=J^l==b,故C正確；

x2y2

對(duì)于。：雙曲線一一二=1,設(shè)直線/與雙曲線交于A（xi,yi）,B（x2,"）兩點(diǎn).

42

F1

=-yi+72

相的中點(diǎn)坐標(biāo)是（?2

2

則：x\+xi=1,y\+y2=-2.

堂-1

所以《力下，兩式相減整理得上=等中=一與

葉y-i_勺一%24

r-1

進(jìn)一步利用點(diǎn)斜式得到y(tǒng)+1=-1（%-1）,整理得2%+8>+7=0,故D正確.

故選：ABCD.

e1%-j-TRx-|—,x<T0

2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若方程

|ex(x—1),x>0

x)+/-(x)=0有且僅有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)〃?的值不可能為()

A.eB.2eC.6D.3e

【解答】解：設(shè)F(X)=f(x)4/(7)，可得F(-X)=F(x),即有尸(x)為偶函

數(shù)，

由題意考慮x>0時(shí)，F(xiàn)(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)x>0時(shí),-x<0,/(-x)=tx+夕，

即有x>0時(shí)，F(xiàn)(x)=xev-ex+ex-mx+y=xe^-竿，

由F(x)=0,可得正寫:=0,

由1M,y=m(x-1)相切，設(shè)切點(diǎn)為(t,td),

y=xe「的導(dǎo)數(shù)為y'=(x+1)/,可得切線的斜率為(f+1)e',

可得切線的方程為y-f￡=(r+l)￡(x-力，

11

由切線經(jīng)過點(diǎn)(一,0),可得-〃=(/+1)￡(-T),

22

解得f=l或一/(舍去)，

即有切線的斜率為2e,

由圖象可得，〃>2e時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

綜上可得"?的范圍是(2e,+°°),不可能是e,2e,

故選：AB.

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.(5分)已知函數(shù)"x”｛黑二財(cái)嗎)=1

4

【解答】解：由已知,f(^)=log2^=-l

所以/(/(3)=/(-i)=2-1-i=-1.

故答案為：-

14.(5分)已知點(diǎn)(4,2)在幕函數(shù)y=/(x)的圖象上，則不等式/(x)23的解集為［9,

+0°)

【解答】解：設(shè)基函數(shù)的解析式為/(X)=",

由暴函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),得2=4%

解得：a=

所以/(x)=V%；

所以/(X)的定義域?yàn)椋?,+8),且單調(diào)遞增；

故f(x)23,即發(fā)23,解得：x29,

故不等式的解集是［9,+8),

故答案為：［9,+°°).

9v_1

15.(5分)已知命題p；石］-W0,命題(7：-tz>0.若〃是q的充分條件，則。的取

值范圍為(-8,一1).

【解答】解：命題p：留W0,解不等式得7<三；；

命題g：xex-6?>0,不等式可化為QVX"；

1

x

設(shè)/(x)=xe9xE(-1,

1

則/(x)=ex+xex=(1+x)xE(-1,-］,

所以，(x)>0,f(x)是單調(diào)增函數(shù)，

所以/(冗)>/(-1)=

若p是q的充分條件，則。的取值范圍是(-8,-i).

1

故答案為：(-8,-

16.(5分)如圖，現(xiàn)有一個(gè)/AOB為圓心角、湖岸OA與OB為半徑的扇形湖面AOB.現(xiàn)

欲在弧AB上取不同于4,B的點(diǎn)C,用漁網(wǎng)沿著弧衣(弧衣在扇形A08的弧AB上)、

半徑OC和線段CD(其中CD//OA),在扇形湖面內(nèi)各處連個(gè)養(yǎng)殖區(qū)域--養(yǎng)殖區(qū)域1

和養(yǎng)殖區(qū)域n.若。4=1皿ZAOB=J,ZAOC^Q.求所需漁網(wǎng)長度（即圖中弧尬、

半徑OC和線段C。長度之和）的最大值為兀+6+28

2

【解答】解：由CQ〃OA,ZAOB=J,ZAOC=G,得NOCD=0,NOOC=竽，NCOD=

l-e-

2nn

在△OCQ中，由正弦定理，得CZ）=^sin（-—。），0G（0,一），…（6分）

V333

設(shè)漁網(wǎng)的長度為了（。）.

2n

可得，/（0）=0+14--^=sin（—―0）,（8分）

v33

27171

所以/（0）=1—~r=COS（—―0）,因?yàn)椋?,一），所以—一g（0,一），

V33333

令，（0）=0,得cos（；-0）=堂,所以2-6=親所以0=

23

n7Tnn

e（0,一）（-,-）

6663

f'（。）+0-

『⑹極大值

7T+6+2V5

所以/（9）G（2,---------].

6

7T+6+2

故所需漁網(wǎng)長度的最大值為-------…（14分）

6

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分）

17.在①2ccosC-QCOSB-Z?cosA=0,（2）a=ccosB-^j-bsinC,③（〃+b）2=〃b+c2這三個(gè)

條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求￡并判斷△ABC的形狀，請(qǐng)說明理由.

b

a

在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a+c=2b,,求,的值并判

斷△A8C的形狀，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：若選①，因?yàn)?ccosC-acosB-6cosA=0,

由正弦定理可得2sinCcosC=sinAcos5+sin3cosA=sin(4+B)=sinC,

因?yàn)閟inCWO,

可得cosC=、

因?yàn)?(0,Ti),可得C=不

由余弦定理可得c2=a2+b2-ab,

2222

又a+c=2b,可得02=(2b-。)2=4廬+/-4?！?，可得：a^-ah=4h+a-4abf解得

a

a=b,即一=1,

b

所以A=B=C=g,ZVIBC為等邊三角形.

若選②，因?yàn)閍=ccosB-^-bsinC,

由正弦定理可得sin/l=sinCcosB—孚sinBsinC,

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sin5cosc=--ysinBsinC,

因?yàn)閟inBWO,

所以cosC=—等sinC,即tanC=—V3,

因?yàn)镃G(0,TC),可得C=-^-9

由余弦定理可得c2=a2+b2+ab,

2222

又a+c=2b,可得。2=(28-。)2=4廬+〃2-4。/?,可得：a+b+ab=4b+a-4abf解得

a3

b~S9

所以“=善，c=可得△回€■為鈍角三角形.

22

若選③，因?yàn)?〃+b)=ah+cf整理可得〃2+■_02=-必，

由余弦定理可得cosC=/需必=在4，

因?yàn)镃W(0,71),可得。=等，

由余弦定理可得。2=〃2+廿+仍，

又a+c=2b,可得c，2=(2〃-a)2=482+。2-4"，可得：a2+b2+ab=4b1+ci2-4ab,解得

a3

b~59

所以。=考，c=考，可得△ABC為鈍角三角形.

18.已知前"項(xiàng)和為S的等比數(shù)列｛〃”｝中，8a22=033,55=46-4.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

411111

(2)求證：-W—+—+…+—<-.

4a】a?a?i2

【解答】解：(1)設(shè)等比數(shù)列他“｝的公比為q,首項(xiàng)為“1,

由8諼=a3a4有q3=號(hào)算=8,可得q=2,

又由S5=a6-4,有巴；:)=32al-4,解得“1=4,

有斯=4x2n-1=2n+1.

故數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式為即=2n+1.

11

(2)證明：由一=(二)"+】，

a九2

11111

有—+…=-——1—=---T,

aia2an1-22

因?yàn)?=4—聲是減函數(shù)，所以｝《3一募,

-J1111

故有二<一+—+…+—<-.

4a】a?Q/t2

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8C￡>為菱形，乙48c=60°,PB=PC,E為線

段BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段必上的一點(diǎn).

(1)證明：平面B4E_L平面BCP.

(2)若PA=AB=與PB,二面角A-8。-F的余弦值為|,求與平面8OF所成角的

正弦值.

【解答】證明：(1)???在四棱錐P-ABC。中，底面ABCQ為菱形,

NABC=60°,PB=PC,E為線段8c的中點(diǎn),

：.AE±BC,PEIBC,

,：AECiPE=E,.,.2C_L平面布E,

；BCu平面BCP,，平面以E_L平面BCR

解：(2)；BC_L平面B4E,BC//AD,：.PALAD,

,:PA=AB=^PB,：.PA2+AB2=PB2,：.PA±AB,

,：ABHAD=A,；.%_L平面ABC。，

以A為原點(diǎn)，AE,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)B4=A8=￥PB=企，AF=t,

則8(―--名0),D(0,V2,0),F(0,0,t),

22

BD=(一*,—,0),BF=(一堂,—,t),

2222

設(shè)平面BDF的法向量晶=(x,y,z)

n-BD=--^-x+-0一「返

則±±,取y=l,得7i=(V3,1,—

—iTzrv6V2t

n-BF=—~2~x+-yy+tz=n0

平面A8力的法向量藐=(0,0,1),

3

???二面角A-BD-F的余弦值為g,

.\|cos<m,n>|=■,--=F，解得，=

2V2?--*__-

.?.尸(0,0,—),P(0,0,A/2),PD=(0,>/2,-V2),平面BOF的法向量n=(73,1,

3

一)

2

設(shè)PD與平面8。尸所成角的平面角為e,

則PD與平面BOF所成角的正弦值：sing里耳=￡=奈—

\PD\-\n\2-510

20.某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對(duì)他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)

計(jì)如下:

每月完成合格[26,28)[28,30)[30,32)[32,34)[34,36]

產(chǎn)品的件數(shù)

（單位:百件）

頻數(shù)10453564

男員工人數(shù)7231811

（1）其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評(píng)為“生產(chǎn)能手”由以上統(tǒng)

計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2義2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？

非“生產(chǎn)能手”“生產(chǎn)能手”合計(jì)

男員工

女員工

合計(jì)

（2）為提高員工勞動(dòng)的積極性，工廠實(shí)行累進(jìn)計(jì)件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件

數(shù)在定額2600件以內(nèi)的，計(jì)件單價(jià)為I元；超出（0,200］件的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為

1.2元；超出（200,400］件的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.3元；超出400件以上的部分，累

進(jìn)計(jì)件單價(jià)為14元，將這4段中各段的頻率視為相應(yīng)的概率，在該廠男員工中隨機(jī)選取

1人，女員工中隨機(jī)選取2人進(jìn)行工資調(diào)查，設(shè)實(shí)得計(jì)件工資（實(shí)得計(jì)件工資=定額計(jì)件

工資+超定額計(jì)件工資）不少于3100元的人數(shù)為Z,求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

的n（ad-bc）

,IJ:八一（a+b）（c+d）（Q+c）（b+d）'

P(犬女0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解答】解：(1)列聯(lián)表:

非“生產(chǎn)能手”“生產(chǎn)能手”合計(jì)

男員工48250

女員工42850

合計(jì)9010100

99

2_n(ad-bc)2_100x(48x8—42x2)2_

八一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)--50x50x90x10-’支了蟲

...有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān).

(2)當(dāng)員工每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)為3000時(shí)，實(shí)得計(jì)件工資為2600X1+200X1.2+200

X1.3=3100元.

從已知可得男員工實(shí)得計(jì)件工資不少于3100元的概率女員工實(shí)得計(jì)件工資不少

于3100元的概率p=]

在該廠男員工中隨機(jī)選取1人，女員工中隨機(jī)選取2人進(jìn)行工資調(diào)查，實(shí)得計(jì)件工資不

少于3100元的人數(shù)為Z=0,1,2,3,

P(Z=0)——(1—2)?x(l—耳)=2Q'P(Z=1)=C2x2(1-,)x(1—耳)+(1—之)

P(Z=2)—(扔x(1-1)+(72x|x(l—^)x|=卷

2

P(Z=3)=前.

；.Z的分布列：

Z0123

P3872

20202020

E(Z)=0x^+lx^+2x^+3x^=j

%2y21

21.己知橢圓C：—+—=1(a>&>0)過點(diǎn)(百，-|),且它的焦距是短軸長的百倍.

(1)求橢圓C的方程;

（2）若A,8是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（A,8兩點(diǎn)不關(guān)于x軸對(duì)稱），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A,

0B的斜率分別為Ai,ki,問是否存在非零常數(shù)入，使心?心=入時(shí)，△AOB的面積S為定

值？若存在，求人的值；若不存在，請(qǐng)說