廣西壯族自治區(qū)柳州市達標名校2024屆中考數(shù)學模擬試題含解析

廣西壯族自治區(qū)柳州市達標名校2024屆中考數(shù)學模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．比1小2的數(shù)是（）A． B． C． D．2．下列命題中，真命題是（）A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B．等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C．圓的切線垂直于經過切點的半徑D．垂直于同一直線的兩條直線互相垂直3．如圖，把一個直角三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝50°，則∠2＝（）A．20° B．30° C．40° D．50°4．下列圖形中為正方體的平面展開圖的是（）A． B．C． D．5．數(shù)據(jù)”1,2,1,3,1”的眾數(shù)是()A．1B．1.5C．1.6D．36．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，則∠BCD的度數(shù)為()A．100° B．110° C．115° D．120°7．改革開放40年以來，城鄉(xiāng)居民生活水平持續(xù)快速提升，居民教育、文化和娛樂消費支出持續(xù)增長，已經成為居民各項消費支出中僅次于居住、食品煙酒、交通通信后的第四大消費支出，如圖為北京市統(tǒng)計局發(fā)布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娛樂消費支出的折線圖．說明：在統(tǒng)計學中，同比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2018年第二季度與2017年第二季度相比較；環(huán)比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2018年第二季度與2018年第一季度相比較．根據(jù)上述信息，下列結論中錯誤的是（）A．2017年第二季度環(huán)比有所提高B．2017年第三季度環(huán)比有所提高C．2018年第一季度同比有所提高D．2018年第四季度同比有所提高8．如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（）A． B． C． D．9．夏新同學上午賣廢品收入13元，記為+13元，下午買舊書支出9元，記為（）元．A．+4B．﹣9C．﹣4D．+910．一、單選題如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝2，將△ABC繞點A順時針旋轉60°得到△AED，則BE的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．方程的解是__________．12．在如圖所示（A，B，C三個區(qū)域）的圖形中隨機地撒一把豆子，豆子落在區(qū)域的可能性最大（填A或B或C）．13．方程x+1=的解是_____．14．已知點P（a，b）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則ab=_____．15．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），點P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最大值是______．16．方程組的解一定是方程_____與_____的公共解．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥DC，垂足為點E，連接BE，點F為BE上一點，連接AF，∠AFE=∠D．（1）求證：∠BAF=∠CBE；（2）若AD=5，AB=8，sinD=．求證：AF=BF．18．（8分）已知：如圖所示，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（1，0），B（3，0）(1)求拋物線的表達式；(2)設點P在該拋物線上滑動，且滿足條件S△PAB=1的點P有幾個？并求出所有點P的坐標．19．（8分）閱讀材料：已知點和直線，則點P到直線的距離d可用公式計算.例如：求點到直線的距離．

解：因為直線可變形為，其中，所以點到直線的距離為：.根據(jù)以上材料，求：點到直線的距離，并說明點P與直線的位置關系；已知直線與平行，求這兩條直線的距離．20．（8分）在正方形ABCD中，M是BC邊上一點，且點M不與B、C重合，點P在射線AM上，將線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，連接BP，DQ．（1）依題意補全圖1；（2）①連接DP，若點P，Q，D恰好在同一條直線上，求證：DP2+DQ2=2AB2；②若點P，Q，C恰好在同一條直線上，則BP與AB的數(shù)量關系為：．21．（8分）隨著移動計算技術和無線網絡的快速發(fā)展，移動學習方式越來越引起人們的關注，某校計劃將這種學習方式應用到教育學中，從全校1500名學生中隨機抽取了部分學生，對其家庭中擁有的移動設備的情況進行調查，并繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖②，根據(jù)相關信息，解答下列問題：本次接受隨機抽樣調查的學生人數(shù)為，圖①中m的值為；求本次調查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該校1500名學生家庭中擁有3臺移動設備的學生人數(shù)．22．（10分）[閱讀]我們定義：如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“中邊三角形”，把這條邊和其邊上的中線稱為“對應邊”．[理解]如圖1，Rt△ABC是“中邊三角形”，∠C=90°，AC和BD是“對應邊”，求tanA的值；[探究]如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動，記點P經過的路程為s．當β=45°時，若△APQ是“中邊三角形”，試求的值．23．（12分）如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．判斷直線CD和⊙O的位置關系，并說明理由．過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長．24．如圖，在一條河的北岸有兩個目標M、N，現(xiàn)在位于它的對岸設定兩個觀測點A、B．已知AB∥MN，在A點測得∠MAB＝60°，在B點測得∠MBA＝45°，AB＝600米．（1）求點M到AB的距離；（結果保留根號）（2）在B點又測得∠NBA＝53°，求MN的長．（結果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、C【解題分析】1-2=-1,故選C2、C【解題分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．解答：解：A、錯誤，例如對角線互相垂直的等腰梯形；B、錯誤，等腰梯形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形；C、正確，符合切線的性質；D、錯誤，垂直于同一直線的兩條直線平行．故選C．3、C【解題分析】

由兩直線平行，同位角相等，可求得∠3的度數(shù)，然后求得∠2的度數(shù)．【題目詳解】∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°?50°=40°.故選C.【題目點撥】本題主要考查平行線的性質，熟悉掌握性質是關鍵.4、C【解題分析】

利用正方體及其表面展開圖的特點依次判斷解題．【題目詳解】由四棱柱四個側面和上下兩個底面的特征可知A，B，D上底面不可能有兩個，故不是正方體的展開圖，選項C可以拼成一個正方體，故選C．【題目點撥】本題是對正方形表面展開圖的考查，熟練掌握正方體的表面展開圖是解題的關鍵．5、A【解題分析】

眾數(shù)指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，根據(jù)眾數(shù)的定義就可以求解．【題目詳解】在這一組數(shù)據(jù)中1是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是1．故選：A．【題目點撥】本題為統(tǒng)計題，考查眾數(shù)的意義．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個．6、B【解題分析】

連接AD，BD，由圓周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，從而可求得∠BAD＝70°，再由圓的內接四邊形對角互補得到∠BCD=110°.【題目詳解】如下圖，連接AD，BD，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°-20°=70°，∴∠BCD=180°-70°=110°.故選B【題目點撥】本題考查圓中的角度計算，熟練運用圓周角定理和內接四邊形的性質是關鍵.7、C【解題分析】

根據(jù)環(huán)比和同比的比較方法，驗證每一個選項即可.【題目詳解】2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正確；2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故B正確；2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C錯誤；2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故D正確；故選C．【題目點撥】本題考查折線統(tǒng)計圖，同比和環(huán)比的意義；能夠從統(tǒng)計圖中獲取數(shù)據(jù)，按要求對比數(shù)據(jù)是解題的關鍵．8、D【解題分析】

過B點作BD⊥AC，如圖，由勾股定理得，AB=，AD=，cosA===，故選D．9、B【解題分析】

收入和支出是兩個相反的概念，故兩個數(shù)字分別為正數(shù)和負數(shù).【題目詳解】收入13元記為＋13元，那么支出9元記作－9元【題目點撥】本題主要考查了正負數(shù)的運用，熟練掌握正負數(shù)的概念是本題的關鍵.10、B【解題分析】

根據(jù)旋轉的性質可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判斷出△AEB是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BE=AB．【題目詳解】解：∵△ABC繞點A順時針旋轉

60°得到△AED，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△AEB是等邊三角形，∴BE=AB，∵AB=1，∴BE=1．故選B．【題目點撥】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，主要利用了旋轉前后對應邊相等以及旋轉角的定義．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、x=1【解題分析】

將方程兩邊平方后求解，注意檢驗．【題目詳解】將方程兩邊平方得x-3=4，移項得：x=1，代入原方程得=2，原方程成立，故方程＝2的解是x=1．故本題答案為：x=1．【題目點撥】在解無理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，解得答案時一定要注意代入原方程檢驗．12、A【解題分析】試題分析：由題意得：SA＞SB＞SC，故落在A區(qū)域的可能性大考點:幾何概率13、x=1【解題分析】

無理方程兩邊平方轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到無理方程的解．【題目詳解】兩邊平方得：（x+1）1=1x+5，即x1=4，

開方得：x=1或x=-1，

經檢驗x=-1是增根，無理方程的解為x=1．

故答案為x=114、2【解題分析】【分析】接把點P（a，b）代入反比例函數(shù)y=即可得出結論．【題目詳解】∵點P（a，b）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴b=，∴ab=2，故答案為：2.【題目點撥】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵．15、1【解題分析】

首先證明AB=AC=a，根據(jù)條件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到點A的最大距離即可解決問題．【題目詳解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，∴AB=AC，∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a，如圖延長AD交⊙D于P′，此時AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，∴AP′=5+1=1，∴a的最大值為1．故答案為1．【題目點撥】圓外一點到圓上一點的距離最大值為點到圓心的距離加半徑，最小值為點到圓心的距離減去半徑．16、5x﹣3y=83x+8y=9【解題分析】

方程組的解一定是方程5x﹣3y=8與3x+8y=9的公共解．故答案為5x﹣3y=8；3x+8y=9.三、解答題（共8題，共72分）17、（1）見解析；（2）2.【解題分析】

（1）根據(jù)相似三角形的判定，易證△ABF∽△BEC，從而可以證明∠BAF=∠CBE成立；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和三角形的相似可以求得AF的長【題目詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∠AFE=∠D，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC，∴∠BAF=∠CBE；（2）∵AE⊥DC，AD=5，AB=8，sin∠D=，∴AE=4，DE=3∴EC=5∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：BE=∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴==即==解得：AF=BF=2【題目點撥】本題考查相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答18、(1)y=﹣x2+4x﹣3；(2)滿足條件的P點坐標有3個，它們是（2，1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）．【解題分析】

（1）由于已知拋物線與x軸的交點坐標，則可利用交點式求出拋物線解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可設P（t，-t2+4t-3），根據(jù)三角形面積公式得到?2?|-t2+4t-3|=1，然后去絕對值得到兩個一元二次方程，再解方程求出t即可得到P點坐標.【題目詳解】解:(1)拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x2+4x﹣3；(2)設P（t，﹣t2+4t﹣3），因為S△PAB=1，AB=3﹣1=2，所以?2?|﹣t2+4t﹣3|=1，當﹣t2+4t﹣3=1時，t1=t2=2，此時P點坐標為（2，1）；當﹣t2+4t﹣3=﹣1時，t1=2+，t2=2﹣，此時P點坐標為（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1），所以滿足條件的P點坐標有3個，它們是（2，1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）．【題目點撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.19、（1）點P在直線上，說明見解析；（2）．【解題分析】

解：(1)求：（1）直線可變?yōu)?，說明點P在直線上；（2）在直線上取一點（0，1），直線可變?yōu)閯t，∴這兩條平行線的距離為．20、（1）詳見解析；（1）①詳見解析；②BP=AB．【解題分析】

（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（1）①連接BD，如圖1，只要證明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解決問題；②結論：BP=AB，如圖3中，連接AC，延長CD到N，使得DN=CD，連接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【題目詳解】（1）解：補全圖形如圖1：（1）①證明：連接BD，如圖1，∵線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠1．∴△ADQ≌△ABP，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在Rt△BPD中，DP1+BP1=BD1，又∵DQ=BP，BD1=1AB1，∴DP1+DQ1=1AB1．②解：結論：BP=AB．理由：如圖3中，連接AC，延長CD到N，使得DN=CD，連接AN，QN．∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN，∴DQ=CD=DN=AB，∴PB=AB．【題目點撥】本題考查正方形的性質，旋轉變換、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸21、（Ⅰ）50、31；（Ⅱ）4；3；3.1;（Ⅲ）410人．【解題分析】

（Ⅰ）利用家庭中擁有1臺移動設備的人數(shù)除以其所占百分比即可得調查的學生人數(shù)，將擁有4臺移動設備的人數(shù)除以總人數(shù)即可求得m的值；（Ⅱ）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、加權平均數(shù)的定義計算即可；（Ⅲ）將樣本中擁有3臺移動設備的學生人數(shù)所占比例乘以總人數(shù)1500即可求解．【題目詳解】解：（Ⅰ）本次接受隨機抽樣調查的學生人數(shù)為：＝50（人），∵×100＝31%，∴圖①中m的值為31.故答案為50、31；（Ⅱ）∵這組樣本數(shù)據(jù)中，4出現(xiàn)了16次，出現(xiàn)次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4；∵將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，其中處于中間的兩個數(shù)均為3，有＝3，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3；由條形統(tǒng)計圖可得＝3.1，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3.1．（Ⅲ）1500×18%＝410（人）．答：估計該校學生家庭中；擁有3臺移動設備的學生人數(shù)約為410人．【題目點撥】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?2、tanA=；綜上所述，當β=45°時，若△APQ是“中邊三角形”，的值為或．【解題分析】

(1)由AC和BD是“對應邊”，可得AC=BD，設AC=2x，則CD=x，BD=2x，可得∴BC=x，可得tanA===(2)當點P在BC上時，連接AC，交PQ于點E，延長AB交QP的延長線于點F，可得AC是QP的垂直平分線.可求得△AEF∽△CEP，=，分兩種情況：當?shù)走匬Q與它的中線AE相等，即AE=PQ時，==，∴=；當腰AP與它的中線QM相等時，即AP=QM時，QM=AQ，（3）作QN⊥AP于N，可得tan∠APQ===，tan∠APE===，∴=，【題目詳解】解：[理解]∵AC和BD是“對應邊”，∴AC=BD，設AC=2x，則CD=x，BD=2x，∵∠C=90°，∴BC===x，∴tanA===；[探究]若β=45°，當點P在AB上時，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“中邊三角形”，如圖2，當點P在BC上時，連接AC，交PQ于點E，延長AB交QP的延長線于點F，∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，∴AC是QP的垂直平分線，∴AP=AQ，∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，∴△AEF∽△CEP，∴===，∵PE=CE，∴=，分兩種情況：當?shù)走匬Q與它的中線AE相等，即AE=PQ時，==，∴=；當腰AP與它的中線QM相等時，即AP=QM時，QM=AQ，如圖3，作QN⊥AP于N，∴MN=AN=PM=QM，∴QN=MN，∴ntan∠APQ===，∴ta∠APE===，∴=，綜上所述，當β=45°時，若△APQ是“中邊三角形”，的值為或．【題目點撥】本題是一道相似形綜合運用的試題,考查了相似三角形的判定及性質的運用,勾股定理的運用,等腰直角三角形的性質的運用,等腰三角形的性質的運用,銳角三角形函數(shù)值的運用,解答時靈活運用三角函數(shù)值建立方程求解是解答的關鍵.23、解：（1）直線CD和⊙O的位置關系是相切，理由見解析（2）BE=1．【解題分析】試題分析：（1）連接OD，可知由直徑所對的圓周角是直角可得∠DAB+∠DBA=90°，再由∠CDA=∠CBD可得∠CDA+∠ADO=90°，從而得∠CDO=90°，根據(jù)切線的判定即可得出；（2）由已知利用勾股定理可求得D