專題9.6 直線與圓錐曲線（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數學一輪復習題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題9.6直線與圓錐曲線題型一直線與圓錐曲線的位置關系題型二弦長問題題型三三角形（四邊形）問題題型四中點弦問題題型五求參數范圍及最值問題題型六定點問題題型七定值問題題型八定直線問題題型九圓錐曲線的切線問題題型一 直線與圓錐曲線的位置關系例1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）已知直線與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將直線方程與雙曲線方程聯立，消去，利用判別式研究即可.【詳解】聯立，消去得，當時，方程有解，即直線與雙曲線有公共點；當時，，解得或.故選：C.例2．（2023春·上海浦東新·高三統考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】根據直線方程可得直線過定點，判斷點與橢圓C的位置關系即可得結果.【詳解】對于直線，整理得，令，解得，故直線過定點.∵，則點在橢圓C的內部，所以直線l與橢圓C相交.故選：A.練習1．（2022秋·黑龍江綏化·高三海倫市第一中學?？计谥校┲本€：與橢圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交【答案】A【分析】方法1：先求含參直線l恒過定點M，研究定點M與橢圓的位置關系可判斷直線l與橢圓的位置關系；方法2：代數法，聯立直線l與橢圓方程，消參后可由判斷出直線l與橢圓的位置關系.【詳解】方法1：∵，即：，∴直線l恒過定點，又∵橢圓∴，∴定點M在橢圓內，∴直線l與橢圓相交.方法2：∴恒成立，∴直線l與橢圓相交.故選：A.練習2．（2023秋·高二課時練習）已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條【答案】C【分析】將直線方程和拋物線方程聯立，使得方程僅有一個實數根，求出對應的的取值個數即可.【詳解】聯立直線和拋物線方程可得，整理可得，直線l與有一個公共點等價于方程只有一個實數根，當時，方程為僅有一解，符合題意；當時，一元二次方程僅有一解，即，解得，所以滿足題意得直線有三條，即，和.故選：C練習3．（2021秋·高三單元測試）討論直線與雙曲線的公共點的個數．【答案】答案見解析【分析】聯立方程組得到，結合一元二次方程的性質，分類討論，即可求解.【詳解】聯立方程組，整理得，當時，即時，具體為：當時，；當時，；此時直線與雙曲線有一個交點；當時，即時，可得，由，即，可得且，此時直線與雙曲線有兩個交點；由，即，可得，此時直線與雙曲線只有一個交點；由，即，可得或，此時直線與雙曲線沒有交點；綜上可得：當時，直線與雙曲線有兩個公共點；當或時，直線與雙曲線有一個公共點；當時，直線與雙曲線沒有公共點.練習4．（2023·河南·襄城高中校聯考模擬預測）已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左，右焦點分別為，，過左焦點作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點（在第一象限），是的中點，若是等邊三角形，則直線的斜率為______．【答案】【詳解】

設雙曲線的半焦距為，，根據題意得．又，∴．在中，由余弦定理得，，即，解得，則．設，，則，，兩式相減可得，所以．設，因為是線段的中點，所以，，又，所以．故答案為：.練習5．（2023·全國·高三對口高考）已知實數x，y滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5【答案】B【分析】令，問題化為與有交點情況下，直線在x軸上截距最大，聯立方程求相切情況下m值，即可得最大值.【詳解】令，則直線與有交點情況下，直線在x軸上截距最大，假設直線與橢圓相切，則，即，所以，可得，即，要使在x軸上截距最大，即.故選：B.題型二 弦長問題例3．（2023秋·貴州銅仁·高二統考期末）過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如圖所示，由題得，利用拋物線的定義化簡即得解.【詳解】如圖所示，由題得，拋物線的準線方程為.所以.故選：C

例4．（2023·全國·高三對口高考）過橢圓的左焦點作直線和橢圓交于A、B兩點，且，則這樣直線的條數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求過左焦點的通徑長度，由橢圓的性質：過左焦點的弦長最短為通徑長，最長為長軸長，結合已知弦長判斷直線的條數即可.【詳解】左焦點為，若直線垂直x軸，則直線為，代入橢圓方程得，可得，此時通徑長，所以，由橢圓性質知：的直線有僅只有一條.故選：B練習6．（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為_________．【答案】【分析】設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，結合弦長公式可求得的值.【詳解】在橢圓中，，，則，故點，設點、，由題意可知，直線的方程為，即，聯立可得，，由韋達定理可得，，所以，.故答案為：.練習7．（2023·北京·人大附中?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，，AB的中點橫坐標為4，則_____________．【答案】【分析】根據拋物線定義有，結合已知即可求參數p的值.【詳解】由拋物線定義知：，而AB的中點橫坐標為4，即，所以，即.故答案為：練習8．（2023春·廣東·高三統考開學考試）設拋物線的焦點為，過點的直線與相交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根據拋物線焦點弦的性質得，進而根據基本不等式即可求解最值.【詳解】因為直線過焦點，設直線為，設,聯立，則，故所以，所以，當且僅當時，等號成立．故選：A練習9．（2023·山東·模擬預測）過雙曲線的左焦點作直線，與雙曲線交于兩點，若，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】設直線方程與雙曲線聯立，利用弦長公式解方程判斷根的個數即可.【詳解】由題意得雙曲線左焦點，當直線垂直于橫軸時，不符合題意，雙曲線漸近線方程為；故可設，與雙曲線聯立可得，，由弦長公式知，則或.故存在四條直線滿足條件.故選：D練習10．（2023春·上海奉賢·高三?？茧A段練習）已知焦點在y軸上的橢圓C，過點，離心率直線l:被橢圓C所截得的弦長為，(1)求橢圓C的標準方程；(2)求實數的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據給定條件，求出橢圓C的長短半軸長即可作答.（2）聯立直線l與橢圓C的方程，利用弦長公式求解作答.【詳解】（1）因為橢圓C的焦點在y軸上，且過點，則橢圓C的短半軸長為2，設其長半軸長為，由離心率得：，解得，所以橢圓C的標準方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，設直線l被橢圓C所截弦的端點，于是，，解得，滿足條件，所以.題型三 三角形（四邊形）問題例5．（2023秋·高二課時練習）正方形ABCD的邊AB在直線上，C、D兩點在拋物線上，則正方形ABCD的面積為__________．【答案】18或50【分析】設出點的坐標，由正方形的特征建立等量關系求解即可.【詳解】如圖：

設，，不妨設，因為，，所以，化為①.由正方形可得，所以②，①②聯立化為.解得或或（舍）或（舍）.當時，，所以此時正方形的面積為18.當時，，所以此時正方形的面積為50.故答案為：18或50.例6．（2023·全國·統考高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據三角形面積比得到關于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.練習11．（2023秋·高二課時練習）已知經過橢圓的右焦點的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，是橢圓的左焦點，求的周長和面積．【答案】的周長為，面積為．【分析】利用橢圓定義和焦點三角形性質即可求得的周長為，寫出直線的方程并與橢圓聯立利用韋達定理，寫出面積表達式即可求得面積為.【詳解】如下圖所示：

由橢圓方程可知，根據橢圓定義可知，所以的周長為，即的周長為；易知，又直線的傾斜角為，則，所以直線的方程為，設聯立整理可得，由韋達定理可知；由圖可知的面積為；所以的周長為，面積為練習12．（2023·全國·模擬預測）如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線分別交于，，，四點.若，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件得出，在直角中，利用幾何條件得出，再結合條件得出，再聯立圓的方程和漸近線方程求出四個交點的坐標，從而求出結果.【詳解】如圖，因為以為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線分別交于，，，四點，則，又因為，所以，，又為的中點，所以在直角中，，所以，所以漸近線，即，又，所以，故以為直徑的圓的方程為，聯立，解得或，即，同理可得，由雙曲線的對稱性，易知四邊形為矩形，所以四邊形的面積為.故選：A.練習13．（2023·全國·模擬預測）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線右支上一點，且的延長線交軸于點，且，的內切圓半徑為4，的面積為9，則（

）

A．18 B．32 C．50 D．14【答案】C【分析】由雙曲線的定義，結合直角三角形內切圓半徑的求法及相似三角形對應線段成比練習求解即可.【詳解】因為，所以，所以為直角三角形，所以，因為，所以．因為的面積為9，所以，因為，所以，所以．易知，所以，所以．故選：C.練習14．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知拋物線的焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線，，且直線，分別與拋物線C交于A，B和D，E，則四邊形ADBE面積的最小值是______________.【答案】128【分析】由題意可得，直線的斜率存在且不為0，設直線：，聯立拋物線方程，利用韋達定理和弦長公式求出，由于直線，互相垂直，可得，用同樣的方法求出，根據四邊形的面積公式和均值不等式，即可求其最小值.【詳解】由題意可得，直線的斜率存在且不為0，

設直線：，，，由于直線，互相垂直，則，聯立，整理得，則，，從而，同理可得，四邊形的面積，當且僅當，即時，等號成立，即四邊形ADBE面積的最小值是128，故答案為：128.練習15．（2023秋·高二單元測試）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線交于P，Q兩點，O為坐標原點，則的面積等于__________．【答案】【分析】先根據題意求得的方程，再聯立拋物線方程得到關于的一元二次方程，從而求得，再結合即可得解.【詳解】依題意，設，則，

因為拋物線的焦點為，直線的傾斜角為，故，則為：，即，聯立，消去得，即，易得，則，所以，.故答案為：.題型四 中點弦問題例7．（2023·全國·高三對口高考）直線截橢圓所得弦的中點M與橢圓中心連線的斜率為_________．【答案】/【分析】根據題意利用點差法分析運算即可.【詳解】設線與橢圓的交點坐標為，則，可得，因為在橢圓上，則，兩式相減得，整理得，即所以.故答案為：.例8．（2023·全國·統考高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯立方程判斷交點個數，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.練習16．（2023秋·陜西西安·高三長安一中?？计谀┰O經過點的直線與拋物線相交于，兩點，若線段中點的橫坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據直線與拋物線的位置關系以及韋達定理、弦長公式求解即可.【詳解】因為經過點的直線與拋物線相交于，兩點，所以該直線的斜率不等于0，所以可假設直線方程為，設，聯立，整理得，所以所以，因為線段中點的橫坐標為，所以，所以，所以，故選：B.練習17．（2022秋·高三課時練習）橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點的直線的斜率為，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由點差法計算即可.【詳解】設，M、N中點為D，則，由題意得：因為M、N在橢圓上，則，兩式相減整理得，∴.故選：B.練習18．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的實軸長為4，離心率為，直線與交于兩點，是線段的中點，為坐標原點．若點的橫坐標為，則的取值范圍為______．【答案】【分析】先求出雙曲線方程，然后聯立直線和雙曲線方程表示出，然后判斷出直線和雙曲線一定交于兩支后進行計算.【詳解】由題知，解得，即雙曲線的方程為：.直線的斜率若不存在，則垂直于軸，由于雙曲線頂點為，斜率不存在的直線和雙曲線有交點，則兩個交點橫坐標相等且均大于，與點的橫坐標為1矛盾；直線的斜率也不會為，否則根據對稱性可知，的橫坐標為，矛盾.故直線斜率存在且非零.設直線方程為，聯立，得到，由.設，由題意，，即，的縱坐標為，即.根據雙曲線的范圍可知，若直線和雙曲線交于同一支，則交點橫坐標均大于或小于，與的橫坐標為矛盾，故直線和雙曲線交于兩支.由，得到，顯然滿足判別式條件：.由，于是故答案為：練習19．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┎慌c軸重合的直線經過點，雙曲線：上存在兩點A，B關于對稱，AB中點M的橫坐標為，若，則的值為_________.【答案】【分析】由點差法得，結合得，代入斜率公式化簡并利用可求得.【詳解】設，則，兩式相減得，即，即，所以，因為是AB垂直平分線，有，所以，即，化簡得，故，則.故答案為：練習20．（2023·全國·高三對口高考）中心在原點，一個焦點為的橢圓被直線截得弦的中點的橫坐標為，則橢圓的方程為_________．【答案】【分析】求出及其表達式，求出弦的中點坐標和的值，即可求出橢圓的方程.【詳解】由題意，在橢圓中，一個焦點為，設橢圓的方程為,∴，設直線與橢圓的交點為,弦中點為∵直線截得弦的中點的橫坐標為，∴，，∴即∴.∴，解得：∴橢圓的方程為：，故答案為：.故答案為：.

題型五 求參數范圍及最值問題例9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學校考期末）已知雙曲線的左焦點為，左頂點為，為左準線上動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據余弦定理表達出，結合不等式即可求解最值.【詳解】由題意可知：，左準線方程為，故設，則,當在軸上，此時為0，時當不在軸時，在中，由余弦定理得，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為，由于,故最大為，故選：B例10．（2023秋·高三課時練習）已知拋物線上三點A，B，C，且當點B移動時，點C的橫坐標的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，根據題意分析可得，換元，結合基本不等式運算求解.【詳解】由題意可設：，因為，因為，則，且，則，可得，整理得，令，則，當時，，當且僅當，即時，等號成立，則；當時，，當且僅當，即時，等號成立，則；綜上所述：點C的橫坐標m的取值范圍是.故選：A.練習21．（2023春·四川內江·高三四川省內江市第六中學?？计谥校┮阎獟佄锞€C的焦點為F，點A，B在拋物線上，過線段AB的中點M作拋物線C的準線的垂線，垂足為N，以AB為直徑的圓過點F，則的最大值為________．【答案】/【分析】由題設可得且，再結合基本不等式求的最大值，注意取值條件.【詳解】假設拋物線如下圖示，由題設：，則，，，即，以AB為直徑的圓過F，所以，所以，僅當時等號成立，故的最大值為.故答案為：練習22．（2023·湖北咸寧·校考模擬預測）已知是平面向量，，若非零向量滿足，向量滿足，則的軌跡方程為__________；的最小值為__________.【答案】【分析】第一空，建立坐標系，利用向量的坐標表示計算即可；第二空利用動點到直線的距離公式計算求最值即可.【詳解】根據題意不妨設，，則，，由可得；而，由題意得，如圖所示，設則，問題式即求拋物線上一點到直線距離最小值，由對稱性不妨求到直線距離最小值即.即的最小值為.

練習23．（2023秋·重慶·高三校聯考期末）若點依次為雙曲線的左、右焦點，且，，.若雙曲線C上存在點P，使得，則實數b的取值范圍為__________.【答案】【分析】由題意可得，結合點P在雙曲線上，可得，利用雙曲線的x的范圍可推出，再結合，即得答案.【詳解】設雙曲線上的點滿足，即，即，又，，即，，且，，則，，又，實數b的取值范圍是，故答案為：.練習24．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）設、是橢圓的左、右焦點，點P是直線上一點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意方程求得，設，利用傾斜角的概念以及兩角差的正切公式，基本不等式，正切函數的性質即可求解.【詳解】由題意得：，則，所以.因為點P是直線上一點，不妨設,設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，于是，當且僅當時等號成立，因為在上單調遞增，所以的最大值是.故選:A.練習25．（2023春·四川德陽·高三德陽五中?？茧A段練習）在同一平面直角坐標系中，曲線按照伸縮變換后得到曲線方程(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與橢圓交于相異的兩點，且，求實數的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）根據伸縮變換的規(guī)律可知將代入曲線中，即可得曲線的方程；（2）設出兩點坐標為，，再利用即可得出，將代入橢圓方程聯立可解得，再由橢圓性質即可求得實數的取值范圍為.【詳解】（1）由伸縮變換可知；將代入得，即曲線的方程為．（2）如下圖所示：

設，，由得，從而，，即，因為點A在橢圓上，故，即，又在橢圓上，即，解得，由橢圓定義知，故，解得，又由題設知，故，所以實數的取值范圍是．題型六 定點問題例11．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知為坐標原點，，，和交點為.(1)求點的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點，試判斷是否存在定點使？如果存在，求出點坐標，不存在請說明理由.【答案】(1)(2)存在定點坐標為或【分析】（1）利用已知條件表示出點坐標，進而表示出直線，的方程，聯立即可得出點軌跡方程.（2）假設存在定點，設點坐標為，，聯立方程組，得出，，由整理得出，對恒成立，即可得出結論.【詳解】（1）設點，，，即，點坐標為，，即，點坐標為，根據兩點坐標可得，直線方程為：，直線方程為：，兩式移項相乘得：，整理得，點的軌跡為以為焦點，長軸長為的橢圓，即其方程為.（2）假設存在定點，設點坐標為，，聯立方程組消得，直線與橢圓交于兩點，即，，，，，，整理得：，，對恒成立，，得，，所以存在定點坐標為或.例12．（2023·全國·高三對口高考）已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，的三個頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點，若所在直線l的方程為．(1)求拋物線S的方程；(2)若O是坐標原點，P，Q是拋物線S上兩動點，且滿足．試說明動直線是否過定點．【答案】(1)(2)過定點【分析】（1）設拋物線的方程為，聯立方程組，設，則，和，再設，由重心的性質，求得，代入拋物線方程求得的值，即可求解；（2）當動直線的斜率存在時，設動直線的方程為，因為，設，得到，聯立方程組，結合韋達定理求得，得到直線恒過定點；當動直線的斜率不存在時，由，得到為等腰直角三角形，求得的坐標，進而得出結論.【詳解】（1）解：設拋物線的方程為，聯立方程組，可得，由，可得或，設，則，所以，設，由的重心為，則，所以，因為點在拋物線上，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）解：當動直線的斜率存在時，設動直線的方程為，顯然，因為，所以，設，所以，所以，聯立方程組，整理得，所以，則，所以，因為，所以，所以動直線的方程為，此時動直線恒過定點.當動直線的斜率不存在時，顯然軸，因為，所以為等腰直角三角形，由和，得到，此時直線也過定點，綜上可得，動直線恒過定點.練習26．（2023·全國·高三對口高考）在平面直角坐標中，設，，以線段為直徑的圓經過原點O．(1)求動點P的軌跡W的方程；(2)過點作直線l與軌跡W交于A，B兩點，點A關于y軸的對稱點為，試判斷直線是否恒過定點．【答案】(1)(2)直線恒過定點【分析】（1）直接求動點P的軌跡W的方程即可；（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設出直線l的方程與拋物線方程聯立求解即可.【詳解】（1）由題意可得，，因為以線段為直徑的圓經過原點O．所以,即，所以.即，即動點P的軌跡W的方程為：.（2）如圖：

由題意可知直線l的斜率一定存在，故設直線l的方程為，，，則.由聯立得，，則或則，.直線的方程為：，所以，所以，所以，所以，即所以，直線恒過定點.練習27．（2023·甘肅定西·統考模擬預測）已知點M到點的距離比它到直線l：的距離小，記動點M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過點F的直線交E于，兩點，則在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PA，PB分別交E于另外兩點C，D，且？若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據點M到點的距離等于它到直線l：的距離，結合拋物線的定義得出拋物線E的標準方程；（2）設，由結合拋物線方程得出是方程的兩根，設直線AB的方程為，并與拋物線方程聯立結合韋達定理得出點P坐標.【詳解】（1）因為點M到點的距離比它到直線l：的距離小，所以點M到點的距離等于它到直線l：的距離，則點M的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線，則曲線E的方程為.（2）設，由得：，且，得，即，所以，代入拋物線方程，得，整理得，同理可得故是方程的兩根，，由韋達定理可得①，由題意，直線AB的斜率一定存在，故設直線AB的方程為，與拋物線方程聯立可得，易得，由韋達定理可得②，由①②可得，故在x軸的正半軸上存在一點滿足條件.

練習28．（2023·安徽淮南·統考二模）雙曲線的離心率為，分別是的左，右頂點，是上異于的一動點，直線分別與軸交于點，請寫出所有滿足條件的定點的坐標______________.【答案】或【分析】根據離心率可確定雙曲線方程和坐標，設，根據直線方程可求得坐標；設，由向量數量積坐標運算和雙曲線方程可得，根據等式恒成立可構造方程組求得點坐標.【詳解】雙曲線的離心率，，即雙曲線，，，設，則，，直線，，，，設，則，，，又，，，解得：，定點或.故答案為：或.【點睛】思路點睛：本題考查雙曲線中的定點問題的求解，解題的基本思路是根據已知中的等量關系構造出關于所求點的方程，根據方程恒成立，可讓變量的系數為零，從而構造方程組求得定點坐標.練習29．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點，直線，的斜率的倒數和為，則直線恒經過的定點為_____________.【答案】【分析】先根據漸近線的傾斜角算出，然后聯立直線和雙曲線，結合題目條件和韋達定理找到的關系，從而得到定點.【詳解】因為雙曲線方程為一條漸近線的傾斜角的正切值為.所以，解得，所以雙曲線方程為.設，，聯立得，.由韋達定理得，.因為，所以.所以，由題意知，此時.所以直線方程為，恒經過的定點為.故答案為：練習30．（2023·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，點B與點關于原點O對稱，P是動點，且直線與的斜率之積等于．(1)求動點P的軌跡方程；(2)設直線和分別與直線交于點M，N,問：是否存在點P使得與的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）設出點P的坐標，利用已知條件列出關系式，化簡后即可得出動點P的軌跡方程；（2）先假設存在點P，由面積公式得出關系式，根據角相等消去三角函數得比練習式，整理得出方程式，解方程即得.【詳解】（1）因為點B與點關于原點O對稱，所以點B的坐標為.設點P的坐標為，則由直線與的斜率之積等于，得，化簡得，故動點P的軌跡方程為.（2）若存在點P使得與的面積相等，設點P的坐標為，則，因為，所以，即.作直線，作于，于，則，所以，同理，所以可得，整理得，解得；因為，所以.故存在點P使得與的面積相等，此時點P的坐標為.

題型七 定值問題例13．（2023·北京·北京四中校考模擬預測）橢圓的焦距為為橢圓右焦點，.

(1)求橢圓的方程與離心率；(2)設為原點，為橢圓上一點，的中點為.直線與直線交于點，過且平行于的直線與直線交于點.求證：.【答案】(1)，.(2)證明見解析.【分析】（1）由題知,,求得,再由,即可求橢圓的方程與離心率.（2）設的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標，求得坐標，求得直線的方程，分別取得，點坐標，則，，在和中和都與互余，所以.【詳解】（1）橢圓的焦距為，所以，，又，所以，橢圓的方程是，離心率為.（2）由（1）得.設的中點為，.設直線的方程為:，將其代入橢圓方程，整理得，所以，所以，，即，所以直線的斜率是，所以直線的方程是，令得，直線的方程是，令得，由，得直線的斜率是，所以，記垂足為;因為直線的斜率是，所以，記垂足為.在和中，和都與互余，所以.

例14．（安徽省示范高中培優(yōu)聯盟2022-2023學年高二下學期春季聯賽數學試題）已知雙曲線的標準方程為，其中點為右焦點，過點作垂直于軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點，過點作雙曲線漸近線的垂線，垂足為，若，.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點作的平行線，在直線上任取一點，連接與雙曲線相交于點，求證點到直線的距離是定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據焦點到漸近線的距離為，列出方程求得，再由，求得，即可求得雙曲線的方程；（2）設點，得到直線的方程，設直線的方程為，點，根據，取得，得到直線的方程為，設，根據共線，求得，結合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】（1）解：由雙曲線，可得焦點，其中一條漸近線方程為，則點到漸近線的距離為，解得，又由，可得，解得，故雙曲線的標準方程為.（2）解：由雙曲線，可得，設點，則直線的方程為，即，由題意，設直線的方程為，由點在直線上，可設點，又由，可得，解得，即直線的方程為，設，由點共線，可得，即，得，即點，則點到直線的距離為.即點到直線的距離為定值.

練習31．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，點在橢圓：上，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）設過原點作圓的切線，利用圓心到直線的距離等于半徑得到，利用韋達定理及得到，結合點在橢圓上，即可求出半徑；（2）設，，由，可得，再由點在橢圓上得到，，即可得到，從而求出的值.【詳解】（1）設直線，的方程分別為，，過原點作圓的切線，則，即，即，所以，即，所以.（2）是定值，且，理由如下：設，，因為，所以，即①，又、在橢圓上，所以，，所以，，代入①可得，化簡得，所以，所以.練習32．（2023秋·高三課時練習）如圖，已知橢圓的右焦點為，上頂點為，右頂點為．

(1)求橢圓C的標準方程；(2)若點P是橢圓C上異于的一點，且直線PA、PB分別與y軸和x軸交于點，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據焦點和頂點坐標即可得，代入可得橢圓C的標準方程；（2）設，利用三點共線斜率相等即可求得點得的坐標，進而可表示出的表達式，結合化簡可得.【詳解】（1）由右焦點，上頂點可得，，所以；即橢圓C的標準方程為；（2）易知，由點P是異于的一點，設，則；設，由三點共線得，即，可得所以；由三點共線得，即，得，所以．故．因為點P在橢圓C上，所以，代入即得為定值．練習33．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）已知雙曲線C：經過點，右焦點為，且，，成等差數列.(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的右支交于P，Q兩點（P在Q的上方），PQ的中點為M，M在直線l：上的射影為N，O為坐標原點，設的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為，，證明：是定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意和可得，然后根據點在雙曲線上即可求解；（2）依題意可設PQ：，將直線方程與圓錐曲線方程聯立得到，利用韋達定理和已知條件求出的表達式，然后求出的表達式，化簡即可求證.【詳解】（1）因為，，成等差數列，所以，又，所以.將點的坐標代入C的方程得，解得，所以，所以C的方程為.（2）依題意可設PQ：，由，得,

設，，，則.，，則，而，所以，所以是定值.練習34．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）雙曲線的光學性質如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當時，求雙曲線的標準方程；(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.【答案】(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）延長與交于，根據，得到，再設，利用雙曲線的定義求解；（2）設，利用雙曲線的定義得到兩漸近線所在直線方程，設直線方程為，聯立求得即可.【詳解】（1）解：如圖所示：

延長與交于，因為，所以，設，則，即，，故方程為；（2）設，則，，兩漸近線所在直線方程為：，設直線方程為，將漸近線兩側平方與直線聯立，則可得，則，則，故.練習35．（2023·全國·高三對口高考）已知是拋物線上一點，經過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于點E），直線分別交直線于點M，N．(1)求拋物線方程及其焦點坐標；(2)已知O為原點，求證：為定值．【答案】(1)，焦點坐標為(2)證明見解析【分析】（1）由于在拋物線上，代入求解即可；（2）設出直線的方程聯立拋物線的方程，表示出點M，N的坐標，由，求證為定值即可.【詳解】（1）因為是拋物線上一點，所以，即，所以拋物線方程為：，其焦點坐標為：.（2）證明：如圖：

設，，，,設直線l方程為，直線l方程與拋物線方程聯立得消去，整理得：，恒成立.則，，又直線的方程為：，即.令，得，則，同理可得，則，.所以.所以，即，為定值.題型八 定直線問題例15．（2023·廣西·統考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點且與相切．(1)求p的值：(2)點M在的準線上，動點A在上，在A點處的切線l2交y軸于點B，設，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程．【答案】(1)；(2)證明見解析，定直線方程為.【分析】（1）設直線l1的方程為，再根據直線和圓相切求出的值得解；（2）依題意設，求出切線l2的方程和B點坐標，求出，，即得證.【詳解】（1）由題得拋物線的焦點坐標為，設直線l1的方程為，由已知得圓的圓心，半徑，因為直線l1與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以.（2）依題意設，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設A，），則以A為切點的切線l2的斜率為所以切線l2的方程為．令，即l2交y軸于B點坐標為，所以，∴，∴．設N點坐標為（x，y），則，所以點N在定直線上．

例16．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定遠中學?？茧A段練習）已知雙曲線C：的離心率為，過點的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點（異于頂點）．(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標原點）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點，且，試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由【答案】(1)1(2)是在定直線上，定直線【分析】（1）根據題意列出方程組得到，設，，，利用點差法即可求解；（2）根據（1）的結論得出，，設直線l：，，設，，聯立直線與曲線方程，利用韋達定理聯立直線與直線的方程得出，進而得證.【詳解】（1）由題意得，所以，設，，，則，作差得，又MN的斜率，，所以.（2）∵，∴，，，直線l：，，設，，聯立得，所以，所以，設直線AN：，BM：，所以，所以．故存在定直線，使直線AN與直線BM的交點G在定直線上．練習36．（2022·高三課時練習）如圖，過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點在定直線上．【答案】(1)4；(2)證明見解析.【分析】（1）設出直線AB的方程，與拋物線方程聯立，設點A，B坐標，利用韋達定理計算作答.（2）利用（1）中信息，求出直線MN，CD的方程，并求出交點坐標即可推理作答.【詳解】（1）拋物線的焦點，顯然直線AB不垂直于y軸，設其方程為：，由消去x并整理得，，設點，，則，，矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，所以．（2）由（1）得，，，，于是得直線MN的方程為：，直線CD的方程為：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直線MN與直線CD交點在直線上.所以線MN與直線CD交點在定直線上.【點睛】方法點睛：涉及用過定點的直線l解決問題，若直線l不垂直于x軸，可設其方程為：；若直線l不垂直于y軸，可設其方程為：.練習37．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線E：（p>0），過點的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點．當l1的斜率為時，(1)求E的標準方程：(2)設G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據直線的點斜式方程寫出直線方程，與拋物線聯立方程，利用弦長公式，求出的值，從而求出拋物線的標準方程；（2）設直線方程為或，與拋物線聯立方程，由韋達定理得出，，求出直線方程和直線方程，求出交點的橫坐標，然后進行化簡，可以證明結論.【詳解】（1）當的斜率為時，得方程為，由,消元得，，，；由弦長公式得，即，解得或（舍去），滿足，從而的標準方程為.（2）法一：因為l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點，所以直線斜率存在設直線的方程為，設，由，消去得，則.設直線的方程為，同理，消去得可得．直線方程為，即，化簡得，同理，直線方程為，因為在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標為定值即可．由消去，因為直線與相交，所以，解得，所以點的橫坐標為2，即直線與的交點在定直線上．法二：設直線方程為，由消去得，設，則．設直線的方程為，同理可得．直線方程為，即，化簡得，同理，直線方程為，．因為在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標為定值即可．由消去，因為直線與相交，所以，解得，所以點的橫坐標為2，即直線與的交點在定直線上．【點睛】關鍵點點睛：本題中的證明問題的關鍵是：設出直線的橫截距或者縱截距方程，聯立拋物線，結合韋達定理，把目標逐步化簡，得出待證明的結論.練習38．（2023春·黑龍江·高三校聯考開學考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點，為Γ上一點，的斜率與的斜率之積為．過點且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點．(1)求Γ的方程；(2)若點E，F為直線上關于x軸對稱的不重合兩點，證明：直線ME，NF的交點在定直線上．【答案】(1)；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可知，根據條件列出方程組，進而即得；（2）設直線MN的方程為，聯立雙曲線方程求得，再由直線和的方程，求得交點的橫坐標，即可求解．【詳解】（1）由題意得，又為Γ上一點，的斜率與的斜率之積為，所以，解得，所以雙曲線Γ的標準方程為；（2）設直線MN的方程為，由，可得，則，，設，，，，，所以，直線：，：，聯立兩方程，可得：，解得，當直線與x軸重合時，則，：，：，聯立可得，綜上，直線ME與NF的交點在定直線上.練習39．（2023春·河北·高三校聯考階段練習）橢圓E的中心為坐標原點，坐標軸為對稱軸，左、右頂點分別為，，點在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程．(2)過點的直線l與橢圓E交于P，Q兩點（異于點A，B），記直線AP與直線BQ交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)點M在定直線上【分析】（1）根據左右頂點及點在橢圓上列式求解寫書橢圓方程即可；（2）先設直線方程再聯立方程組求韋達定理，再求兩個直線的交點，確定交點橫坐標即得.【詳解】（1）設橢圓E的方程為．則，解得，故橢圓E的方程為．（2）依題可設直線l的方程為，，，．聯立方程組，整理得，則，直線AP的方程為，直線BQ的方程為，聯立方程組，得由，得，得．所以.故點M在定直線上．練習40．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學?？寄M預測）已知曲線．(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．(2)設，曲線C與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點M，N．設直線AN與直線BM相交于點G．試問點G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)在定直線上，理由見詳解.【分析】（1）由橢圓的標準方程計算即可；（2）由對稱性分析該定直線為平行于橫軸的直線，將直線MN與橢圓聯立消，設直線AN、BM的方程解出G縱坐標，結合韋達定理化簡計算即可.【詳解】（1）因為曲線C是橢圓，所以，解得；.（2）是在定直線上，理由如下：當時，此時橢圓，設點與直線l聯立得，，且，所以易知，則，兩式作商得是定值，故G在定直線上.

題型九 圓錐曲線的切線問題例17．（2023秋·四川涼山·高三統考期末）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線在第一象限的交點為且.(1)求拋物線的方程；(2)過直線上的點作拋物線的兩條切線，設切點分別為，，求點到直線的距離的最大值.【答案】(1)(2)最大值為5【分析】（1）根據拋物線的定義和可求方程；（2）聯立方程，根據相切可求切線方程，進而得到的方程，利用點到直線的距離公式可求答案.【詳解】（1）拋物線的準線方程為：，由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.（2）記，，則可設直線，由消去并整理得，則由題意得，又得，所以直線的方程為，同理，直線的方程為，若設，則，所以直線的方程為，即，所以點到直線的距離，即，當，即時，；當時，因為則即，所以且；綜上，.所以點到直線的距離的最大值為5.例18．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學?？茧A段練習）已知橢圓．(1)求該橢圓的離心率；(2)設點是橢圓C上一點，求證：過點P的橢圓C的切線方程為；(3)若點M為直線l：x=4上的動點，過點M作該橢圓的切線MA，MB，切點分別為，求△的面積的最小值．【答案】(1)(2)詳見解析；(3)【分析】（1）利用橢圓離心率定義即可求得該橢圓的離心率；（2）利用直線與橢圓位置關系即可求得過點P的橢圓C的切線方程，進而證得結論成立；（3）先求得直線的方程，求得弦的長度，進而求得△的面積表達式，進而求得△的面積的最小值．【詳解】（1）橢圓中，，則，則，則橢圓的離心率為（2）當切線斜率存在時，其方程可設為，由，整理得，則，則此時方程的根為，則切點橫坐標，切點縱坐標，則，，則切線方程為，整理得；當切線斜率不存在時，其切點為或，切線方程為，滿足.綜上，點是橢圓C上一點時，過點P的橢圓C的切線方程為（3）設，，則橢圓C在點的切線方程分別為，，又在兩條切線上，則，，則直線的方程為，即由整理得，，則，則，又點M到直線的距離，則△的面積為令，則，，則，令，，則恒成立，則在上單調遞增，則當且僅當即點M坐標為時等號成立，則△的面積的最小值為.

練習41．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知A，B為拋物線上兩點，以A，B為切點的拋物線的兩條切線交于點P，過點A，B的直線斜率為，若點P的橫坐標為，則______.【答案】【分析】設，，，根據導數的幾何意義求出以A，B為切點的切線方程，可得為方程的兩根，根據韋達定理及過兩點的斜率公式即可求解.【詳解】設，，以A，B為切點的拋物線的切線斜率為，，由，得，故，，所以切線PA的方程為，即.同理可得，切線的方程為.設點P