專題09 雙曲線的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長(zhǎng)問題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)重難點(diǎn)突破練（新高考專用）

第第頁(yè)專題09雙曲線的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長(zhǎng)問題限時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知雙曲線C：的一條漸近線方程是，過其左焦點(diǎn)作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，則截得的弦長(zhǎng)（

）A．7 B．8 C．9 D．10【解析】雙曲線C：的一條漸近線方程是，，即左焦點(diǎn)，，，，，雙曲線C的方程為易知直線l的方程為，設(shè)，，由，消去y可得，，故選：D2．已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則有，，兩式相減得到，又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，得到，所以的斜率為.故選：B.3．已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，則，由點(diǎn)差法得．∵，∴，，∴，又，∴，∴漸近線方程為.故選：A．4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【解析】直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則四邊形為矩形，所以，，

由雙曲線可得，，則，所以，所以，又，所以，解得，所以．故選：C．5．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|MN|等于（

）A． B． C． D．【解析】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：設(shè)，則，所以，解得，則，.弦長(zhǎng)|MN|.故選：D.6．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且位于第一象限，若直線的斜率為，則的內(nèi)切圓的面積為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，由題意知，直線的斜率為，則直線的方程為，∴，化簡(jiǎn)整理得，即，∴或（舍去），則，即，∴，，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為Q，半徑為r，連接，，，則由，得，∴，得，（利用等面積法求內(nèi)切圓的半徑）故的內(nèi)切圓的面積為．故選：B．7．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)，，若，則四邊形的面積為（

）A．6 B． C． D．4【解析】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性可知軸，，，又因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所在的漸近線方程為，點(diǎn)到漸進(jìn)線距離為，所以，所以，，則，所以，故選：B8．設(shè)A，B分別是雙曲線x2-=1的左、右頂點(diǎn)，設(shè)過P的直線PA，PB與雙曲線分別交于點(diǎn)M，N，直線MN交x軸于點(diǎn)Q，過Q的直線交雙曲線的右支于S，T兩點(diǎn)，且=2，則△BST的面積為（

）A． B．C． D．【解析】雙曲線x2-=1的左、右頂點(diǎn)分別為A(-1，0)，B(1，0)，又P，∴直線PA的方程為x=-1，PB的方程為x=-+1，聯(lián)立可得y2-=0，解得y=0或y=，將y=代入x=-1可得x=，即有M，聯(lián)立可得y2-y=0，解得y=0或y=，將y=代入x=-+1，可得x=，即N設(shè)Q(s，0)，由M，N，Q三點(diǎn)共線，可得kMN=kQN，即有=，將M，N的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得=，解得s=2，即Q(2，0)，設(shè)過Q的直線方程為x=my+2，聯(lián)立得(3m2-1)y2+12my+9=0，設(shè)S(x1，y1)，T(x2，y2)，可得y1+y2=-，y1y2=，Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立，又=2，∴y1=-2y2，∴-2·=，解得m2=，可得S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|==·=3·=故選：A．二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．的面積為 B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或C．的漸近線方程為 D．以線段為直徑的圓的方程為【解析】由雙曲線方程知，，所以雙曲線的漸近線方程為，故C錯(cuò)誤；又，所以為直徑的圓方程為，故D錯(cuò)誤；由，得或，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或，故B正確；又，所以，故A正確．故選：AB．10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該雙曲線的離心率為B．若，則的面積為C．點(diǎn)到兩漸近線的距離乘積為D．直線和直線的斜率乘積為【解析】由雙曲線方程得，，，雙曲線的離心率為，A正確；若，不妨設(shè)，，，B錯(cuò)誤；設(shè)，則，，漸近線方程為，點(diǎn)到兩漸近線的距離乘積為，C正確；，，，D正確；故選：ACD11．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)和連線的斜率之積等于，記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與交于兩點(diǎn)，則（

）A．的方程為 B．的離心率為C．的漸近線與圓相切 D．【解析】設(shè)點(diǎn)，由直線與的斜率之積為，可得，整理得，即曲線的方程為，所以A正確；曲線的離心率，所以B不正確；由圓，可得圓心為，可得圓心到曲線的漸近線的距離，又由圓的半徑為1，所以曲線的漸近線與圓相切，所以C正確；聯(lián)立方程組，整理得，則，，所以，所以D正確．故選：ACD．12．過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，則（

）A．存在四條直線，使B．與該雙曲線有相同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．若、都在該雙曲線的右支上，則直線斜率的取值范圍是D．存在直線，使弦的中點(diǎn)為【解析】對(duì)于A，由于，所以右焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為：.聯(lián)立得：，恒成立.所以，，則，.所以.所以，解得，所以只有兩條，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雙曲線的漸近線為，所以，過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故B正確；對(duì)于C，若、都在該雙曲線的右支上，則，即，所以，解得.故C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在直線，使弦的中點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得：，恒成立.所以，所以，所以直線方程為，但是由于不在直線上，故不存在這樣的直線，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．若直線y=kx+1與雙曲線交于A?B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，則實(shí)數(shù)k=．【解析】聯(lián)立直線y=kx+1與雙曲線可得，即，∵，直線y=kx+1與雙曲線交于A?B兩點(diǎn)，∴x1+x2=2，，∴，∴k且∵線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，∴x1+x2=2，∴，∴，∴k，∵，∴k14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作斜率為的弦．則的長(zhǎng)是．【解析】設(shè)，，雙曲線的左焦點(diǎn)為，則直線的方程為，由得，，，，則．15．已知點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最小時(shí)的面積為;【解析】雙曲線，，右焦點(diǎn)，設(shè)其左焦點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)在第一象限，此時(shí)直線的方程為，由，以及點(diǎn)在第一象限，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，所以.16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，，分別交y軸于P，Q兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為16，則的最大值為.【解析】∵軸且過，則AB為雙曲線的通徑，由，代入雙曲線可得，故.為的中點(diǎn)，，則為的中位線，故，又的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：4四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知雙曲線C的方程為．(1)直線截雙曲線C所得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)m的值；(2)過點(diǎn)作直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程．【解析】（1）聯(lián)立,得，直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為,,設(shè)直線與雙曲線交于,則,由弦長(zhǎng)公式得,解得.（2）設(shè),，則，，上式作差得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，但時(shí)，此時(shí)直線為直線，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，且時(shí)，，，，化簡(jiǎn)得，其中，而點(diǎn)，適合上述方程，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是.

18．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過且斜率為1的直線與的漸近線分別交于，兩點(diǎn)（在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且傾斜角不為0的直線與交于，兩點(diǎn)，與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，證明：．【解析】（1）由已知得：，聯(lián)立解得，同理可得．∵，∴，整理得．又，∴，，∴的方程為．

（2）要證明，只需證明的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合．設(shè)的中點(diǎn)為，直線：，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，，即，雙曲線：的漸近線方程為，由得可得，由得可得，∴的中點(diǎn)為，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴．19．設(shè)雙曲線的焦距為6，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)已知的右焦點(diǎn)為是直線上一點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)（在第一象限），過點(diǎn)作直線的平行線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，證明：為線段的中點(diǎn).【解析】（1）因?yàn)榻咕酁?，所以，將點(diǎn)代入的方程，得，又因?yàn)椋獾?，所以雙曲線方程為.（2）如圖所示：

是直線上一點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立方程組得，設(shè)，則，且，則，直線的方程為，①又直線的方程為，②，由①②消去得，在中，兩式相除，得，則，則，，故為線段的中點(diǎn).20．已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，虛軸上端點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，的面積為4．(1)求雙曲線的方程；(2)若過且與軸的夾角在內(nèi)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的面積為，求的方程．【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，因?yàn)?，即，又因?yàn)?，則，由，可得，即，所以，得，則．故雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，消去整理得．可得，且，則，，可得，因?yàn)椋傻?，所以，即，化?jiǎn)得，解得或．由題可知，所以或，故直線的方程為或，即直線的方程為或．

21．已知雙曲線的焦距為10，漸近線方程為.(1)求的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線與雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，求的值.【解析】（1）由題可得，，解得，所以的方程：（2）由于雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)直線的方程為，且，，則

聯(lián)立直線與雙曲線，所以，則.22．在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C過點(diǎn)，且有一條傾斜角為的漸近線.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)F為雙曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的右支上，點(diǎn)Q滿足，直線交雙曲線C于A