專(zhuān)題17 拋物線中的最值問(wèn)題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專(zhuān)項(xiàng)重難點(diǎn)突破練（新高考專(zhuān)用）

第第頁(yè)專(zhuān)題17拋物線中的最值問(wèn)題限時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，若，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【解析】根據(jù)題意,作圖如下：設(shè)點(diǎn)P在其準(zhǔn)線x=-1上的射影為A,由拋物線的定義得:.所以要使取得最小值,只需最小.因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)M,P,A三點(diǎn)共線時(shí)取“=”),此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,設(shè)其橫坐標(biāo)為x0.因?yàn)镻(x0,1)為拋物線上的點(diǎn),則有，解得：.當(dāng)P為(,1)時(shí),取得最小值2.故選：B．2．拋物線上的點(diǎn)P到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)拋物線上一點(diǎn)為，，點(diǎn)，到直線的距離，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短，為，故選：C3．已知是拋物線上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若，兩點(diǎn)均在軸上方，則的斜率的最小值為（

）A．1 B． C． D．【解析】依題意，設(shè)，，，由，在軸上方，故，，

因?yàn)閽佄锞€為，所以，則，所以，則，注意到，故，即，又，代入可得，故，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因而.故選：B.4．已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6【解析】由消去得，因?yàn)椋苑匠虩o(wú)解，即直線與拋物線無(wú)交點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，記拋物線的焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為,為拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物的定義可得，，則到直線和的距離之和為，若，，三點(diǎn)不共線，則有，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且位于之間時(shí)，，則，又，所以，即所求距離和的最小值為.故選：.5．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，定點(diǎn)，過(guò)準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)作拋物線的切線，為切點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作，垂足為H．則線段MH長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，所以過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，設(shè)切點(diǎn)，所以，則，所以直線的方程分別為；，聯(lián)立可得，所以，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在準(zhǔn)線上，則，，設(shè)直線的方程為：代入拋物線的方程可得：，所以，則，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)榻裹c(diǎn)，，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以，故選：C.6．，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．64【解析】設(shè)直線的方程為，，，直線的方程為，由，解得，即，，則，由，解得，即，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為8．故選：C．7．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．6【解析】由題意可得焦點(diǎn)，且直線斜率存在，設(shè)直線的方程為：，，，由可得，所以，，由拋物線的定義可得：，，所以，因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：A.8．直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為-1，以線段的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．16 B．20 C．32 D．36【解析】設(shè)直線，聯(lián)立則該直線與交點(diǎn)坐標(biāo)，直線，的斜率之積為-1，所以直線，則該直線與交點(diǎn)坐標(biāo)，線段的中點(diǎn)，令，則最小值為16，當(dāng)或時(shí)取得最小值.在和中，由余弦定理可得：，兩式相加可得：其最小值為36，當(dāng)或時(shí)取得最小值.故選：D二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為B．直線與C相切C．若，則的最小值為4D．若，則的周長(zhǎng)的最小值為11【解析】拋物線C：，即，，，設(shè)，對(duì)選項(xiàng)A：拋物線C的準(zhǔn)線方程為，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于，，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，正確.故選：ABD10．已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線l的方程為B．的最小值為4C．若，點(diǎn)Q為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為6D．的最小值【解析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4可得，所以拋物線的方程為，A中，由拋物線的方程為，所以可得準(zhǔn)線方程為，故A正確；中，過(guò)焦點(diǎn)的直線為，則，整理可得，可得，，所以，時(shí)取等號(hào)，最小值為8，所以不正確；中，滿足，可知點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6，故正確；中，由B的解析可知：由拋物線的方程可得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以正確；故選：ACD．11．已知點(diǎn)在拋物線C：上，過(guò)P作圓的兩條切線，分別交C于A，B兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為，若F為C的焦點(diǎn)，為C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（

）A． B．C．的最大值是 D．的最大值是【解析】由題意可知，點(diǎn)與圓心同在上，所以過(guò)P所作圓的兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以．設(shè)，，，則，同理可得，，則，得，所以，由，得．將代入拋物線C的方程，得，解得，故拋物線C的方程為，所以A錯(cuò)誤，B正確．設(shè)，作垂直準(zhǔn)線于，如下圖所示：

由拋物線的性質(zhì)可得，所以，當(dāng)最小時(shí)，的值最大，所以當(dāng)直線MN與拋物線C相切時(shí)，θ最大，即最?。深}意可得，設(shè)切線MN的方程為，聯(lián)立方程組，消去x，得，由，可得，將代入，可得，所以，即M的坐標(biāo)為，所以，，所以的最大值為，即C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)作的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)，則或C．點(diǎn)在定直線上D．設(shè)點(diǎn)為，則的最小值為3【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)，聯(lián)立拋物線和直線整理可得，利用韋達(dá)定理可知，則，將代入整理可得，即A正確；對(duì)于B，若點(diǎn)為，且直線與傾斜角互補(bǔ)，則可知與都不重合，即；所以，即，整理得整理得，解得或；當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不合題意；所以，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知直線恒過(guò)定點(diǎn)，如下圖所示：

不妨設(shè)在第一象限，則在曲線上，易得則在處的切線方程為，又,整理可得，在處的切線方程為，同理則在曲線上，易得則在處的切線方程為，且；所以在處的切線方程為，聯(lián)立，解得，即切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為3；即點(diǎn)在定直線上，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即的最小值為，即D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且，則的最小值為．【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，又因?yàn)?，所以，由，得，所以，是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)，則,因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)．14．已知是拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值是.【解析】，由拋物線的定義知等于到準(zhǔn)線的距離，記直線與準(zhǔn)線的夾角為，可得，①若斜率不存在，則原式，②若斜率存在，當(dāng)PA與拋物線相切時(shí)，最小，設(shè)的直線方程為，聯(lián)立得，由得，即，故，此時(shí)15．已知點(diǎn)P在拋物線上，P到的距離是，P到的距離是，則的最小值為.【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，，，，?duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.16．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心半徑為2的圓上，則的最小值為.【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖像動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)，可得的軌跡為圓，設(shè)，且，可得，化簡(jiǎn)可得，，所在方程又為，令，解得，此時(shí)滿足，可得，即，可得的最小值為的最小值，當(dāng)三點(diǎn)共線，且為拋物線的法線時(shí)，取得最小值，設(shè)，的導(dǎo)數(shù)為，可得，解得即，即有.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.(1)過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，求線段的長(zhǎng)；(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離.【解析】（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以曲線的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為①，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，則直線的方程為②，聯(lián)立①②，消去并整理得，設(shè)點(diǎn)，，由韋達(dá)定理得，此時(shí)；（2）不妨設(shè)點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，易知當(dāng)時(shí)，，故曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離為．

18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，求的最小值．【解析】（1）依題意，設(shè)．由拋物線的定義得，解得：，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以，解得：．故拋物線的方程為．（2）由題意可知，直線的斜率存在，且不為0．設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立，整理得：，則，從而．因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，同理可得．則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為8．19．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交拋物線于兩點(diǎn)，．(1)求拋物線的方程；(2)若，是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，，三點(diǎn)都不重合，求的最小值【解析】（1）由題知，∴，∴，拋物線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，由方程組得:，∴，即，且，，∴，，∵以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴或，若，直線：過(guò)點(diǎn)，不合題意，舍去．，∴．則，所以當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為11.20．已知拋物線C：，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，是拋物線C上點(diǎn)，且；(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)平面上一動(dòng)點(diǎn)作拋物線C的兩條切線PA，PB（其中A，B為切點(diǎn)），求的最大值.【解析】（1）依題意得：，∴，∴，所求拋物線的方程為；（2）拋物線的方程為，即∴，設(shè)，，則切線PA，PB的斜率分別為，.所以切線PA：，∴，又，，同理可得切線PB的方程為，因?yàn)榍芯€PA，PB均過(guò)點(diǎn)，所以，，所以，為方程的兩組解.所以直線AB的方程為.聯(lián)立方程，消去x整理得，∴，∴.∴，，由拋物線定義可知，，所以，∵，∴，令，∴原式，即原式的最大值.21．如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為F的拋物線上一點(diǎn)，A，B是拋物線C上異于P的兩點(diǎn)，且直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，若直線PA的斜率為.(1)求拋物線方程；(2)證明：直線AB的斜率為定值并求出此定值；(3)令焦點(diǎn)F到直線AB的距離d，求的最大值.【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程可得：，所以拋物線；（2）證明：設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得：，∴，因?yàn)橹本€PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，用代k可得：因此，，即.（3）解：由（2）可知，，，因此，到直線AB的距離，所以∵，∴，令，由，得∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最大值為.22．如圖，已知橢圓和拋物線，斜率為正的直線與軸及橢圓依次交于、、三點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在拋物線上．(1)求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍；(2)設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，且位于橢圓的左上