專題23 圓錐曲線與內(nèi)心問題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)重難點(diǎn)突破練（新高考專用）

第第頁(yè)專題23圓錐曲線與內(nèi)心問題限時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知點(diǎn)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓E上的一點(diǎn)，若的內(nèi)心是G，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)G到各邊的距離為，由，得，

即，由橢圓定義知，，于是，所以橢圓E的離心率.故選：B2．已知、是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由橢圓的方程可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，即．故選：C．3．若橢圓的離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．4 D．【解析】

如圖，連接，，設(shè)到軸距離為，到軸距離為，則設(shè)△內(nèi)切圓的半徑為，則，，∴，不妨設(shè)，則，∴，因?yàn)闄E圓的離心率為，∴，故選：A.4．已知，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M為的內(nèi)心，若成立，則λ的值為（

）A． B． C．2 D．【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，所以離心率，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，又，所以，即，所以，所以.故選：B.5．已知雙曲線()的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（）A． B． C． D．【解析】如下圖示，延長(zhǎng)到且，延長(zhǎng)到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的內(nèi)心，則，由，則，故，即.故選：D6．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由題意，在中，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距可得，離心率為2，∴，解得：，∴∴雙曲線的方程為.

記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點(diǎn)分別為，則，橫坐標(biāo)相等，，，由，即，得，即，記的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（Q為坐標(biāo)原點(diǎn)），在中，，由于直線與的右支交于兩點(diǎn)，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是.故選：D.7．設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，則直線和直線的斜率之積（）A．是定值 B．非定值，但存在最大值C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值【解析】連接并延長(zhǎng)交軸于，則由內(nèi)角平分線定理可得：，，；設(shè)，，，則，，，則，又，則．，則，，，則，直線和直線的斜率之積是定值．故選：A．8．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若的內(nèi)心分別為，則與面積之和的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由雙曲線方程得：，，則，設(shè)內(nèi)切圓與三邊相切于點(diǎn)，，，，，又，，，設(shè)，則，解得：，即；同理可知：內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)；分別為的角平分線，，又，∽，則，設(shè)內(nèi)切圓半徑分別為，，，即，，雙曲線的漸近線斜率，直線的傾斜角，，則，，解得：，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，.故選：A.二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M為C的右頂點(diǎn)，過的直線與C的右支交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)點(diǎn)P，Q分別為，的內(nèi)心，R，r分別為，內(nèi)切圓的半徑，則（

）A．點(diǎn)M在直線PQ上 B．點(diǎn)M在直線PQ的左側(cè)C． D．【解析】先證明一個(gè)結(jié)論：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為.過的直線與C的右支交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為的內(nèi)心，設(shè)圓P與的切點(diǎn)分別為，則，則，解之得則切點(diǎn)的坐標(biāo)為.切點(diǎn)與雙曲線C的右頂點(diǎn)M重合，則圓P與x軸的切點(diǎn)為雙曲線C的右頂點(diǎn)M，同理可得圓Q與x軸的切點(diǎn)為雙曲線C的右頂點(diǎn)M.則直線的方程為，雙曲線C的右頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M在直線PQ上.則選項(xiàng)A判斷正確；選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：.判斷正確；選項(xiàng)D：由直線的方程為，可得.判斷正確.故選：ACD10．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)I是的內(nèi)心，延長(zhǎng)MI交線段于N，拋物線（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若四邊形是菱形，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的離心率是C．的最小值為 D．的值為【解析】對(duì)于A，因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，則，，，，因?yàn)閽佄锞€（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，所以由橢圓與拋物線的對(duì)稱性可得，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，，，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以的中點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，則，將代入拋物線方程得，，所以，則，所以，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A得，再代入橢圓方程得，化簡(jiǎn)得，則，故，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B得，所以，則，所以，不妨設(shè)，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于D，連接和，如圖，因?yàn)榈膬?nèi)心為，所以為的平分線，則有，同理：，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用橢圓與拋物線的對(duì)稱性，可設(shè)的坐標(biāo)，再由菱形的性質(zhì)與中點(diǎn)坐標(biāo)公式推得，從而求得的值，由此得解.11．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，且三角形為正三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則下列說法正確的是（

）A． B．雙曲線的離心率為C． D．【解析】因?yàn)闉檎切危?，所以，所以，故A正確將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，即，即，即，即，設(shè)（），則，解之得：或（舍），所以，所以，故B正確，，故C錯(cuò)誤，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，，，所以，即，故D正確故選：ABD12．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且傾斜角為的直線交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，I為的內(nèi)心，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（

）A．若C的離心率，則的取值范圍是B．若且，則C的離心率C．若C的離心率，則D．過作，垂足為P，若I的橫坐標(biāo)為m，則【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，雙曲線的漸近線方程為，其傾斜角分別為，，因?yàn)檫^且傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，所以的取值范圍是，故A錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)B，由雙曲線的定義可知，又，故，，由，得，所以，連接，則，由得，在中，由余弦定理得，得，故，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)镃的離心率，所以，設(shè)的內(nèi)切圓I的半徑為r，則，故C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，因?yàn)椋珹P為的平分線，所以為等腰三角形，，，則，在中，OP為中位線，所以．設(shè)的內(nèi)切圓I與，，相切的切點(diǎn)分別為D，N，M，則，又所以，，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)到直線的距離為1．當(dāng)時(shí)，的內(nèi)心恰好是點(diǎn)，則雙曲線的方程．【解析】當(dāng)時(shí)，，由于點(diǎn)到直線的距離為，所以直線的斜率，因?yàn)辄c(diǎn)為的內(nèi)心，故是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以軸，不妨設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，把代入直線的方程：，得，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，設(shè)雙曲線方程為：，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程得到，所以雙曲線方程為：.14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C在第一象限上的一點(diǎn)，且直線的斜率為，點(diǎn)B為的內(nèi)心，直線PB交x軸于點(diǎn)A，且，則雙曲線C的漸近線方程為．【解析】如圖所示，設(shè)內(nèi)切圓與的三邊分別相切于三點(diǎn)，過P作軸于M點(diǎn)，因?yàn)?，，，又由雙曲線定義得，即，由，故，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，，又因?yàn)?，所以，故直線的方程為，令，可得，即，因?yàn)?，且，所以，故，可得，，在中，由余弦定理得，即，化?jiǎn)得，即，解得，或（舍去），所以，故雙曲線C的漸近線方程為或．故答案為：或．15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，M是雙曲線C右支上一點(diǎn)，記的重心為G，內(nèi)心為I．若，則雙曲線C的離心率為．【解析】如圖，連接MG，MI并延長(zhǎng)，與分別交于點(diǎn)O，D，設(shè)雙曲線C的焦距為2c，由題意，得，因?yàn)?，且G為重心，則，所以，因?yàn)镮為的內(nèi)心，所以MD為的平分線，所以，所以，又，所以，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則M到x軸的距離為3r，因?yàn)?，，所以，所以，所以雙曲線C的離心率．16．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)為的內(nèi)心，若，則的面積為．【解析】延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，設(shè)，則，，因此，，得，因此．設(shè)，，則內(nèi)切圓的半徑．又，所以，即．因?yàn)?，所以，（橢圓的定義的應(yīng)用）由，可得，即，所以，故，（角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例）因此，，由余弦定理得，因此，所以，故的面積為．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率是，為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，，設(shè)的內(nèi)心為，且．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知直線過定點(diǎn)，若橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求直線斜率的取值范圍．【解析】（Ⅰ）因?yàn)榈膬?nèi)心為，且，所以，又因?yàn)?，所以，即橢圓的方程為.（Ⅱ）（?。┯深}意當(dāng)時(shí)，顯然合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，中點(diǎn)是，由，得，由得，

①由，得，所以在直線上，即，所以

②①②得，所以且．綜合（?。áⅲ┘粗本€斜率的取值范圍是．18．已知橢圓C：，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任一點(diǎn)，的重心為G，內(nèi)心為I，且．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，則，設(shè)，則由，可得，∵，∴∴，即，∵直線y與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切∴，∴，∴橢圓的方程為；（2）設(shè)，則直線方程代入橢圓方程可得，由，可得，即，∵，∴，∴線段AB的中點(diǎn)R的坐標(biāo)為，∵線段AB的垂直平分線的方程為，R在直線上，∴，∴m，∴，∴，∴或．19．已知是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，都在軸上方，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在一條定直線上?請(qǐng)你給出結(jié)論并證明.【解析】（1）圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線上，設(shè)雙曲線的方程為，則，.所以，，又不可能在軸上，所以曲線的方程為.

（2）在軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在一條定直線上.證明如下：由條件可設(shè)：.代入，得，設(shè)，，則，得，所以所以，取，則又，都在軸上方，所以的平分線為定直線，所以在軸上存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心在定直線上.20．已知橢圓，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸為半徑的圓相切，為其左右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，的重心為，內(nèi)心為，且,（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知為橢圓上的左頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若的斜率滿足，求直線的方程．【解析】（Ⅰ）設(shè)，，則又，，，，故．又直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸為半徑的圓相切，，，．．（Ⅱ）若直線斜率不存在，顯然不合題意；則直線的斜率存在．設(shè)直線為，直線和橢圓交于，．將代入中得到：,依題意：,由韋達(dá)定理可知：又而從而求得,故所求直線的方程為：，即21．已知點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，為的內(nèi)心，且滿足.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，滿足（其中），求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由題意.所以，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題知，直線斜率存在且不為，可設(shè)其方程為，，聯(lián)立，整理得因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，則有，解得，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，同理，所以，①②兩式相除?因?yàn)椋?dāng)與漸近線平行時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)榕c雙曲線右支交于兩點(diǎn)，所以，.所以，所以，即的取值范圍為.22．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，B在橢圓C上，點(diǎn)到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點(diǎn)D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方