專題32 圓錐曲線中的軌跡問題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)重難點(diǎn)突破練（新高考專用）

第第頁專題32圓錐曲線中的軌跡問題考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)滿足：，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不存在【解析】∵表示為到定點(diǎn)的距離之和為5，即，∴點(diǎn)的軌跡為橢圓.故選：B.2．已知點(diǎn)F1（，0），F(xiàn)2（5，0），動點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a為3和5時，點(diǎn)P的軌跡分別是（

）A．雙曲線的右支 B．雙曲線和一條射線 C．雙曲線的一支和一條直線 D．雙曲線的一支和一條射線【解析】依題意得，當(dāng)時，，且，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)時，，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線.故選：D.3．若動點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．拋物線 B．線段 C．直線 D．射線【解析】動點(diǎn)滿足拋物線定義，則其軌跡為拋物線.故選：A.4．已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，其中、，且，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．焦距為的橢圓 B．焦距為的橢圓C．焦距為的雙曲線 D．焦距為的雙曲線【解析】設(shè)動點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，其中、，且，所以，所以，，所以，，所以，即，表示焦距為的雙曲線.故選：D5．已知A，B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為N.若，則動點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【解析】解：建立以所在的直線為x軸，以線段的中垂線為y軸的直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，設(shè)M的坐標(biāo)為，由題意可得，則，，，所以，，由，可得，整理可得：，所以，，故動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.

故選：D.6．已知圓與圓，圓與圓均相切，則圓的圓心的軌跡中包含了哪條曲線（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【解析】由圓可得，圓心，半徑；由圓可得，圓心，半徑.又，且，所以兩圓內(nèi)含，又.設(shè)圓的半徑為.由題意結(jié)合圖象可得，圓應(yīng)與圓外切，與圓內(nèi)切.則有，所以，根據(jù)橢圓的定義可得，圓的圓心的軌跡為橢圓.故選：B.7．正方體中，是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動點(diǎn)，且、與底面所成角相等，則動點(diǎn)的軌跡為（

）A．圓的一部分 B．直線的一部分 C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分【解析】正方體如圖所示，連接，，由底面，底面，可得、分別為直線、與底面所成的角，由，可得，由，．在平面內(nèi)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，則，，設(shè)，由，則，化簡得，動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓位于正方形內(nèi)的部分.故選：A8．如圖，直三棱柱的所有棱長均相等，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P到平面的距離，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【解析】如圖，作，做，連接.因幾何體為直三棱柱，則平面，又平面，則，又平面，平面，，則平面.又由題可得平面，則.因，，則.又平面EPD，平面EPD，，平面，平面，，則平面EPD平面.因平面平面EPD，平面平面，則.故，結(jié)合平面，平面，可得，則.又，則.由題又有，結(jié)合，則，即為點(diǎn)P到直線距離.故點(diǎn)P到定點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到直線距離，則點(diǎn)P軌跡為拋物線的一部分.故選：D二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，點(diǎn)為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且，則下列說法準(zhǔn)確的是（

）A．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為一直線B．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為一射線C．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡不存在D．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是雙曲線【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，則點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，則點(diǎn)的軌跡是一條射線，且射線的端點(diǎn)為，方向?yàn)檩S的正方向，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，，則點(diǎn)的軌跡是一條射線，且射線的端點(diǎn)為，方向?yàn)檩S的負(fù)方向，C錯；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，，且，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，D錯.故選：AB.10．關(guān)于、的方程表示的軌跡可以是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線【解析】當(dāng)時，該方程表示的軌跡是直線；當(dāng)時，該方程表示的軌跡是直線；當(dāng)且時，原方程可化為.當(dāng)或時，，該方程表示的軌跡是雙曲線；當(dāng)，又，則，此時方程為，該方程表示圓；綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.故選：BC.11．以下關(guān)于圓錐曲線的說法，不正確的是（

）A．設(shè)A，B為兩個定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線B．過定圓O上一定點(diǎn)A作圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓C．過點(diǎn)作直線，使它與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有2條D．若曲線C：為雙曲線，則或【解析】對于A，根據(jù)雙曲線的定義，當(dāng)時，，則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，當(dāng)或時軌跡不存在，當(dāng)時，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線，A錯誤；對于B，如圖：

不妨設(shè)圓O的半徑為r，，圓O的方程為，，顯然根據(jù)條件P是AB的中點(diǎn)，，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，B錯誤；對于C，如圖：

過點(diǎn)可以做出三條與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線，其中，MA和MO是過M點(diǎn)的兩條切線，MB是平行與x軸的直線，C錯誤；對于D，顯然方程表示雙曲線的充分必要條件是，即或，D正確；故選：ABC.12．下列命題中正確的是（

）A．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，則滿足的動點(diǎn)的軌跡為橢圓B．雙曲線與直線有且只有一個公共點(diǎn)C．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則D．過橢圓一焦點(diǎn)作橢圓的動弦，則弦的中點(diǎn)的軌跡為橢圓【解析】對于A，根據(jù)橢圓定義，若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，則滿足且的動點(diǎn)的軌跡為橢圓，故A錯誤；對于B，由得，所以雙曲線與直線有且只有一個公共點(diǎn)，故B正確；

對于C，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，方程組無解，故C錯誤；對于D，不妨設(shè)橢圓方程為，，則，弦的中點(diǎn)為，當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)弦方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，所以動弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以，可得，代入可得，當(dāng)直線與軸垂直時，弦的中點(diǎn)為在上，綜上弦的中點(diǎn)的軌跡為橢圓，故D正確.

故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知點(diǎn)A，B，P是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，直線PA與PB的斜率之積是，則動點(diǎn)P的軌跡C的方程為.【解析】設(shè)，由，整理得，故動點(diǎn)P的軌跡C的方程為，14．折紙是很多人喜愛的游戲，通過自己動手折紙，可以激發(fā)和培養(yǎng)審美情趣，鍛煉雙手，開發(fā)智力，提高實(shí)踐技能．一張圓形紙片的半徑為，圓心到定點(diǎn)的距離為，在圓周上任取一點(diǎn)，將圓形紙片折起，使得與重合，折痕記為直線，直線與直線的交點(diǎn)為．將此操作多次重復(fù)，則點(diǎn)的軌跡是（填“圓”、“橢圓”、“雙曲線”、“拋物線”）【解析】在圓周上任取一點(diǎn)，將圓形紙片折起，使得與重合，折痕記為直線，直線與直線的交點(diǎn)為，則，由題意可知，圓的半徑為，且，所以，，所以，點(diǎn)的軌跡為橢圓.15．已知點(diǎn)為上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足.則點(diǎn)的軌跡的方程為；【解析】設(shè)，則又由有，則，又在橢圓上，所以，，所以，，即點(diǎn)的軌跡的方程為16．已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到x軸的距離大．則點(diǎn)P的軌跡C的方程為；【解析】依題意，得，即①，則，兩邊平方得，則②，兩邊平方得，整理得，即，可得或，當(dāng)時，②轉(zhuǎn)化為，所以，此時①轉(zhuǎn)化為，所以，所以點(diǎn)的軌跡的方程為或.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知動點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與它到點(diǎn)的距離之比為，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)直線與曲線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【解析】（1）由已知，化簡得，化為．所以曲線的方程為：；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與圓的方程，，消去，得，∴，，由解得，則，，∴，∴，∴，∴，.18．如圖所示，以原點(diǎn)為圓心，分別以2和1為半徑作兩個同心圓，設(shè)為大圓上任意一點(diǎn)，連接交小圓于點(diǎn)，設(shè)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)．

(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)點(diǎn)分別是軌跡上兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，設(shè)，則（是參數(shù)），消去得，即曲線的方程為；（2），，當(dāng)直線或的斜率不存在時，易得，當(dāng)直線和的斜率都存在時，設(shè)，則，由得，，同理可得

，令故.19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡為的方程(2)設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)時的相應(yīng)取值范圍.【解析】（1）設(shè)是軌跡上的任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到的距離多，可得，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）在點(diǎn)軌跡中，記，因?yàn)樾甭实闹本€過定點(diǎn)，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，當(dāng)時，，此時，可得直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時，可得，不妨設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，令，解得，若直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)，則滿足，解得或，綜上，當(dāng)時，直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn).20．已知圓，動點(diǎn)在軸的右側(cè)，到軸的距離比它到的圓心的距離小1．(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過圓心作直線與軌跡和圓交于四個點(diǎn)，自上而下依次為A，M，N，B，若，求及直線的方程．【解析】（1）化為，可得半徑，圓心，因?yàn)閯狱c(diǎn)在軸的右側(cè)，到軸的距離比它到的圓心的距離小1，所以點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，由拋物線的定義得的軌跡方程為；（2）如圖所示：由圓的半徑為1，可得，又，，當(dāng)直線的斜率為時，直線與拋物線只有1個交點(diǎn)，不合題意；所以直線的斜率不為，可設(shè)直線，聯(lián)立，恒成立，，因?yàn)椋?，解得，所以直線的方程為．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，M是平面內(nèi)一動點(diǎn)，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．(1)求動點(diǎn)M的軌跡；(2)設(shè)過的直線交曲線于C，D兩點(diǎn)，Q為平面上一動點(diǎn)，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點(diǎn)Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，則，由題意知－4＜x＜4．∵，∴，即，故動點(diǎn)M的軌跡為．（2）存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．理由如下：當(dāng)直線CD的斜率存在時，設(shè)直線CD的方程為y＝kx＋1．設(shè)，，，則，，，由此知．將y＝kx＋1代入，得，于是，．①條件即，也即．將，代入得．顯然不在直線y＝kx＋1上，∴，從而得，即．將，代入得．將式①代入得，解得．當(dāng)直線CD的斜率不存在時，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．因此存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．22．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，動點(diǎn)滿足條件：直線與直線斜率之積等于，記動點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)過直線：上任意一點(diǎn)作直線與