專題10解三角形問(wèn)題（講）【解析版】

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題10解三角形問(wèn)題（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．【答案】##【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.2.（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.3．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋?，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．總結(jié)規(guī)律預(yù)測(cè)考向（一）規(guī)律與預(yù)測(cè)1．正弦定理或余弦定理獨(dú)立命題；2．正弦定理與余弦定理綜合命題；3．與三角函數(shù)的變換結(jié)合命題；4．考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨(dú)立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長(zhǎng)、面積有關(guān)；有時(shí)也會(huì)與平面向量、三角恒等變換、立體幾何、解析幾何等結(jié)合考查.．（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一正弦定理的應(yīng)用【核心知識(shí)】正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題．【典例分析】典例1.（2022·西藏·日喀則市江孜高級(jí)高三期中）已知中，，，則B等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】已知兩邊一角，由正弦定理可求角B的正弦值，進(jìn)而得到角B的大小.【詳解】解：，，，由正弦定理，得，，，而，則或，故選：C.典例2.（2021·浙江省義烏高三階段練習(xí)）在中，已知，且邊上的高為，則______；______．【答案】

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【分析】作圖，根據(jù)圖像中的幾何關(guān)系，求出BC，再運(yùn)用正弦定理即可求解.【詳解】依題意作下圖，圖中，垂足為D，則有，是等腰直角三角形，

，，由正弦定理得：，解得；故答案為：①4，②.典例3.（2019·全國(guó)高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.【答案】.【解析】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【規(guī)律方法】1.已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2.已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意．3.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解考向二余弦定理的應(yīng)用【核心知識(shí)】余弦定理：，，.變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【典例分析】典例4.（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則___________，___________.【答案】

【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.典例5.（2020·全國(guó)·高考真題（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以；?）因?yàn)椋?，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．典?.（2021·全國(guó)·高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)?，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.【總結(jié)提升】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．考向三三角形中邊角計(jì)算【核心知識(shí)】三角恒等變換公式正弦定理余弦定理【典例分析】典例7.（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期中（理））在中，已知．(1)求的大??；(2)若，求cosB和a的值．【答案】(1)或(2)，【分析】（1）由可求，再由，用正弦定理算出，可得.（2），結(jié)合已知條件可求值，再用余弦定理求a的值.【詳解】（1）△ABC中，因?yàn)?，所以．由正弦定理得：?/p>

所以．所以或．（2），則，所以（舍去）．此時(shí)，，，，所以．即．由余弦定理得：，即，由，解得：.典例8.（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)椋鐖D，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)?，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.典例9.（2022·全國(guó)·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．【規(guī)律方法】考向四三角形面積、周長(zhǎng)問(wèn)題【核心知識(shí)】面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB【典例分析】典例11.（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．（1）由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．典例12.（2022·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以；?）解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.典例13.（2021·寧夏·永寧縣第二（永寧縣回民高級(jí)）模擬預(yù)測(cè)（文））在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足．(1)求；(2)若的面積為，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果；（2）利用余弦定理和三角形的面積公式應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：，所以，因?yàn)椋?，由于，所以．?）由于，所以，解得．在中，由余弦定理可得：，整理得，所以，所以．故三角形的周長(zhǎng)為．考向五三角形范圍和最值問(wèn)題【核心知識(shí)】輔助角公式均值不等式【典例分析】典例14.（2022·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)模擬預(yù)測(cè)（文））已知在中，角的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式與正弦的和差公式結(jié)合正弦定理的邊角變換，得到，從而得到，由此可得；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，從而得到，據(jù)此解答即可.【詳解】（1）由已知可得，所以，由正弦定理可得，即，則，因?yàn)椋?，所以，又，所以．?）由余弦定理可得，即，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為．典例15.（2020·全國(guó)·高考真題（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時(shí)，，所以周長(zhǎng)的最大值為．典例16.（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知在中，邊,,所對(duì)的角分別為，，，.(1)證明：,,成等比數(shù)列；(2)求角的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系，通過(guò)三角恒等變換化簡(jiǎn)條件等式可得，再利用正弦定理化角為邊即可證明；(2)根據(jù)余弦定理和基本不等式可求的最小值，由此可得角的最大值.【詳解】（1）通分化簡(jiǎn)可得，，即，即，整理得，由正弦定理可得，所以a?b?c成等比數(shù)列；（2）由（1）可得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即為正三角形時(shí)等號(hào)成立，所以的最大角為.【規(guī)律方法】三角形中的最值與范圍問(wèn)題主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍．考向六數(shù)學(xué)文化與實(shí)際應(yīng)用【核心知識(shí)】實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．(2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2)．(3)方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖3)①北偏東α°即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向．②北偏西α°即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向．③南偏西等其他方向角類似．(4)坡度：①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角θ為坡角)．②坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖4，i為坡比)．【典例分析】典例17.（2021·全國(guó)·